Numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen

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1 Einleitung

In unserer Arbeit stellen wir numerische Methoden zur Berechnung von Optionspreisen vor. Wir erachten dies gerade in Anbetracht der aktuellen Finanzkrise (Subprimekrise seit 2007), die unter anderem aufgrund des short-sellings von Optionsscheinen hervorgerufen wurde, als ein äußerst wichtiges Teilgebiet der angewandten Mathematik. Um dem Leser den Einstieg in die Problematik der mathematischen Modellierung des Finanzmarkts zu erleichtern, werden wir in Kapitel 2 auf die grundlegenden Definitionen und Sachverhalte, die im Bezug zu dieser Arbeit stehen, eingehen. Darin werden wir zunächst die Begrifflichkeiten der Optionstheorie (Kapitel 2.1) erläutern, darauf folgend werden wir den wahrscheinlichkeitstheoretischen Hintergrund (Kapitel 2.2) dieser Arbeit behandeln, im Anschluss daran defnieren wir die Annahmen zur Modellierung des Finanzmarktes (Kapitel 2.3) und schließlich zeigen wir auf, welche Dynamik für einen Aktienverlauf (Kapitel 2.4) angenommen wird. In den frühen 1970er Jahren gelang Fisher Black und Myron Scholes die Herleitung einer Differentialgleichung für den Preis einer Option auf einen Aktienkurs ohne Dividendenzahlung. In Kapitel 3.1 werden wir diese stochastische Differentialgleichung(en) herleiten und im folgenden Abschnitt 3.2 werden wir auf die Parameter dieser Gleichung(en) eingehen. Alle Parameter der Black-Scholes-Gleichung sind am Markt beobachtbar bis auf die darin verwendete Volatiltät. Sie ist eine äußerst wichtige Größe, der wir den Hauptteil dieser Arbeit widmen werden. In Kapitel 4 werden wir die verschiedenen Ansätze, die Volatilität zu schätzen vorstellen. Zunächst widmen wir uns dem Ansatz die Volatilität aus historischen Daten zu berechnen, wir stellen dabei zwei Ansätze vor: Einerseits das Prinzip der historischen Volatilität in Kapitel 4.1 und andererseits einen ziemlich aktuellen Ansatz (2009) für die sogenannte New Volatility in Kapitel 4.2. Basierend auf den aktuellen Optionspreisen und mit Hilfe der Black-Scholes-Gleichung zeigen wir die Berechnung der impliziten Volatilität in Kapitel 4.3. Damit modellieren wir später den sogenannten Volatility Smile der lokalen Volatilitäten in Kapitel 4.5. In dem Kapitel 4.4 stellen wir eine weitere sehr populäre Modellierung der Volatilität vor, die Modellierung der sogenannten stochastischen Volatilität, in der die Volatilität selbst als stochastischer Prozess angenommen wird. Da wir in dieser Arbeit das Hauptaugenmerk auf die Realitätsnähe dieser Modelle gelegt haben, werden wir im folgenden auf tatsächliche Aktienkursentwicklungen und Optionspreise auf Aktien des Euro-Stoxx50 eingehen um sie anschließend darauf zu testen, ob sie die Realität gut wiedergeben. In Kapitel 5 analysieren wir die historischen Daten und berechnen in Kapitel 5 die verschiedenen daraus resultierenden historischen Volatilitäten und New Volatilities. Wir erstellen in diesem Abschnitt vier Portfolios aus Aktien des EuroStoxx50 abhängig von den höchsten und niedrigsten berechneten Werte der beiden betrachteten Berechnungsmodellen für den 17.09.2010. Darüberhinaus werden wir Optionsscheine mit einer Laufzeit von einem Jahr auf diese Aktienkurse verkaufen. In Kapitel 6 werten wir die Portfolioentwicklungen durch einen statistischen Test aus. Wir gestalten diesen Test so, dass wir die tatsächliche Entwicklung 4 Monate später, also am 17.01.2011, in Bezug zu den vorher berechneten Volatilitätswerten setzen. Damit können wir zeigen ob diese Werte auch tatsächlich mit der Realität übereinstimmen. In Kapitel 7 stellen wir eine weitere Berechnungsmethode für Optionspreise vor, die sogenannten Baummodelle. Sie basiert auf dem stochastischen Modell, aus dem die Black-Scholes Gleichung hergeleitet wird. Zunächst werden wir in Kapitel 7.1 auf die Entstehungsgeschichte der verschie-

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2 Grundlegende Definitionen und Sachverhalte

In diesem Abschnitt werden wir uns damit beschäftigen, die in dieser Arbeit behandelten Sachverhalte einzuführen. Wir unterteilen diesen Abschnitt in vier Teile. Zunächst legen wir dar, was eine Option ist, welche verschiedenen Optionsscheine es überhaupt gibt und wir definieren Begriffe aus dem Alltag eines Optionsscheinhändlers. Anschließend behandeln wir wahrschein-lichkeitstheoretische Grundlagen, damit die im Fortlauf der Arbeit auftretenden Rechnungen verständlich werden. Im dritten Teil stellen wir die Eigenschaften eines Finanzmarktes dar und welche mathematischen Gleichungen daraus folgen. Der letzte Teil dieses Abschnitts zeigt welche Annahmen wir an den Aktienkurs stellen um damit Aussagen darüber treffen zu können. Die verwendete Literatur für diesen Abschnitt ist aus [12].

2.1 Begriffe aus der Optionstheorie

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit grundlegenden Definitionen und Sachverhalten im Umgang mit Optionsscheinen. Alle weiteren Definitionen werden erst dort definiert, wo sie zum ersten Mal benötigt werden. Verwendete Definitionen die nicht aus [12] stammen, wurden von [4] (abgeändert) übernommen.

Definition 2.1.1 (Option)

Durch eine Option besitzt man das Recht, zu einem festen Zeitpunkt oder bis zu einem festen Zeitpunkt, einen vorher festgelegten Basiswert zum vorher festgelegten Basispreis zu kaufen oder zu verkaufen. Dieser feste Zeitpunkt heißt Laufzeitende T der Option. Der Basiswert sollte jederzeit handelbar sein und der Kurs sollte sich nach den Gesetzen von Angebot und Nachfrage bilden. Als Basiswerte kommen Aktien, Anleihen, Rohstoffe sowie auch zusammengesetzte Finanzprodukte wie z.B. ein Index in Betracht.

Definition 2.1.2 (Bezugsverhältnis)

Das Bezugsverhältnis gibt an, wie viele Optionen nötig sind, um einen Basiswert zum Basispreis zu beziehen, bzw. einen Basiswert zum Basispreis zu verkaufen. Aus Vereinfachungsgründen werden wir meistens ein Bezugsverhältnis von 1:1 annehmen. Da in der Praxis oft 10 Optionen benötigt werden, um einen Basiswert zum Basispreis zu beziehen werden wir bei Verwendung tatsächlicher Marktdaten das Bezugsverhältnis 10:1 verwenden.

Definition 2.1.3 (Call-Option)

Eine Call-Option berechtigt den Inhaber, zu einem bestimmten Zeitpunkt oder einmal in einem bestimmten Zeitintervall, einen vorher bestimmten Basiswert zu einem vorher festgelegten Basispreis zu kaufen. Man nennt einen Call-Optionspreis in the money, wenn der Marktpreis des Basiswertes höher ist als der Ausübungspreis, analog out of the money wenn der Marktpreis niedriger ist als der Ausübungspreis.

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2.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen

Damit wir später Aussagen über stochastische Zufallsvariablen im Bereich der Finanzmathematik tätigen können, werden wir nun dafür benötigte Annahmen vorstellen.

Definition 2.2.1 (Wahrscheinlichkeitsraum, σ -Algebra)

Sei Ω ein Raum und F eine Familie von Unterräumen in Ω. F wird σ -Algebra genannt, wenn:

Das Tupel (Ω, F ) heißt Maßraum. Eine Funktion P : F → [0, ∞) wird Wahrscheinlichkeitsmaß genannt, wenn:

1.P (∅) = 0, P (Ω) = 1.

2. für paarweise disjunkten F 1 , F 2 , F 3 , ... ∈ F gilt:

Das Tripel (Ω, F , P ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum.

Definition 2.2.2 (Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit) Seien (Ω, F , P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ F

1. A und B werden unabhängige Ereignisse genannt, wenn:

P (A ∩ B) = P (A)P (B).

2. Für P (B) > 0 definieren wir als bedingte Wahrscheinlichkeit von A: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis A eintreten wird, wenn bereits das Ereignis B eingetreten ist (nach Satz von Bayes):

Definition 2.2.3 (Borel σ -Algebra, Lebesguemaß)

Sei n ∈ N und a i < b i (i = 1, ..., n). Mit B( ⁿ ) beschreiben wir die kleinste σ-Algebra mit der Eigenschaft:

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mit einer stetig differenzierbaren Umkehrabbildung Nullmengen auf Nullmengen abbildet. (siehe [18])

2.3 Das Finanzmarktmodell

Wir betrachten nun die Annahmen, durch die ein Finanzmarkt modelliert werden kann. Zunächst führen wir den Begriff der Arbitrage ein.

Unter Arbitrage verstehen wir einen (augenblicklichen) risikolosen Gewinn. Wir gehen davon aus, dass auf dem Finanzmarkt keine Arbitrage-Möglichkeit existiert und dass alle Investoren denselben Informationsstand besitzen. Würde Arbitrage möglich sein, würde jeder Investor versuchen diesen risikolosen Gewinn augenblicklich mitzunehmen. Durch diese Versuche würden sich die Preise der involvierten Finanzinstrumente augenblicklich so ändern, dass die Arbitragemöglichkeit verschwinden würde.

Aus der Forderung der Arbitragefreiheit an einen Finanzmarkt, ergibt sich die Definition eines perfekten Finanzmarktes:

Definition 2.3.1 (perfekter Finanzmarkt) Ein perfekter Finanzmarkt besitzt die folgenden Eigenschaften:

1. Es sind keine Arbitrage-Möglichkeiten vorhanden 2. Es liegen keine Transaktionskosten vor

3. Der risikofreie Zinssatz für Geldanlagen und Kredite ist derselbe und beträgt r > 0 bei kontinuierlicher Verzinsung

4. Der Markt ist liquide und Handel ist zu jeder Zeit möglich 5. Es existieren keine Einschränkungen beim Short-selling

In dieser Arbeit werden wir nicht näher auf die Verwendung von Dividendenzahlungen auf Basiskurse eingehen.

Definition 2.3.2 (kontinuierliche Verzinsung)

Zum Zeitpunkt t = 0 legen wir den Betrag K 0 an. Der Betrag wird für die Zeit Δ t mit dem Zinssatz r verzinst und mit den Zinsen wieder neu angelegt. Somit erhalten wir nach T = nΔt den Betrag

K n = K 0 (1 + rΔt) ⁿ = K 0 (1 + rT /n) n

Im Grenzwert n → ∞ erhalten wir die kontinuierliche Verzinsung

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2.4 Die Dynamik des Aktienkurses

Bisher haben wir mathematische Grundlagen kennengelernt und Annahmen an den Finanzmarkt, um Optionsscheine modellieren zu können. Unser Hauptaugenmerk liegt jedoch darin, Aussagen über zukünftige Entwicklungen am Finanzmarkt zu machen. Deshalb werden wir versuchen, aus den derzeitigen Preisen am Finanzmarkt Aussagen über die Zukunft zu tätigen. Wie wir in 2.1 dargestellt haben, ist der Aktienkurs zum Zeitpunkt T bei europäischen Optionen sehr wichtig, da nur er darüber entscheidet wieviel Geld ausgezahlt wird. Das Prinzip der stochastischen Prozesse in stetiger Zeit erlaubt uns eine mathematische Modellierung der Entwicklung des Aktienkurs S t bis zum Zeitpunkt t = T . Dem betrachteten Modell liegen folgende Annahmen über den Verlauf der Aktienkurskurve zu Grunde:

Der Aktienkurs zur Zeit t S t sei die Summe aus dem anfänglichen Aktienkurs S 0 , einer Prämie a · t und einer zufälligen Entwicklung die wir zunächst „Zufall“ nennen. In einer Gleichung ausgedrückt ergibt dies: S t = S 0 + a · t + Zufall

Wir erkennen, dass bei genügend großem negativem Zufall, der Aktienkurs negativ werden kann. Dies kann vermieden werden, indem, motiviert durch Betrachtung eines Bonds B t mit einem risikofreien Zinssatz r ≥ 0 über einem kontinuierlichem Zeitraum

B t = B 0 e ^rt bzw. ln B t = ln B 0 + r · t,