Der wissenschaftliche Zweig der statistischen Qualitätskontrolle im Rahmen der Betriebswirtschaftslehre beschäftigt sich unter Anderem mit der Abbildung von Situationen der Eingangs- und Endkontrolle einer Warenpartie in einem Unternehmen und dient dabei der Entscheidungsunterstützung, ob eine solche Warenpartie anzunehmen oder abzulehnen ist. Die Warenkontrolle verläuft in einem Unternehmen normalerweise anhand eines Stichprobenverfahrens, indem aus Kosten- und Zeitgründen nicht die gesamte Warenpartie, sondern nur ein Teil dieser Partie auf ihren Ausschussanteil hin untersucht wird. Je nachdem, wie hoch dieser Ausschussanteil ausfällt, kann dann über eine Annahme oder eine Ablehnung der gesamten Warenpartie entschieden werden. Dieser Vorgang lässt sich gut unter Verwendung des statistischen Modells einer Zufallsstichprobe ohne Zurücklegen
abbilden. Die Entscheidung über die Annahme einer Warenpartie hängt dann von der Höhe einer statistischen Größe ab, der sog. Operationscharakteristik, die als gebräuchlicher Begriff für die Annahmewahrscheinlichkeit einer Warenpartie verwendet wird.
Da das Modell einer Stichprobe ohne Zurücklegen bei der Herleitung der
hypergeometrischen Verteilung zugrunde gelegt wird, spielt diese insofern für die statistische Qualitätskontrolle eine zentrale Rolle, als dass auf ihrer Basis auch die hypergeometrische Operationscharakteristik gebildet wird, deren Formel die exakte Annahmewahrscheinlichkeit einer Warenpartie liefert. Aufgrund ihrer Komplexität lässt sich die hypergeometrische Operationscharakteristik allerdings nicht immer exakt berechnen. Eine Abhilfe dieser Problematik können zwei geeignete Näherungen der hypergeometrischen Operationscharakteristik bilden: Die binomiale und die Poisson’sche Operationscharakteristik, die, wie ihr Name bereits
erahnen lässt, auf der Binomial- bzw. auf der Poisson-Verteilung basieren. Diese Operationscharakteristiken lassen sich im Vergleich zur hypergeometrischen Operationscharakteristik weitaus unkomplizierter berechnen, liefern allerdings nicht immer optimale Ergebnisse. Um auch an dieser Stelle die Problematik abzuschwächen, werden im Rahmen der vorliegenden Arbeit zwei weitere Operationscharakteristiken vorgeschlagen, die als Varianten der Poisson’schen Operationscharakteristik einzuordnen sind.[...]
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Statistische Grundlagen
2.1 Aufbau des Kapitels
2.2 Einführungsbeispiel
2.3 Wahrscheinlichkeitsraum
2.4 Zufallsvariable und Verteilungsfunktion
2.5 Stochastische Unabhängigkeit
2.6 Zufallsstichprobe
3 Verteilungen
3.1 Aufbau des Kapitels
3.2 Hypergeometrische Verteilung
3.3 Binomialverteilung
3.4 Poisson-Verteilung
4 Operationscharakteristiken
4.1 Aufbau des Kapitels
4.2 Testen einer Hypothese über den Ausschussanteil in einer Partie
4.3 Betrachtung einzelner Operationscharakteristiken
4.4 Untersuchung der Gemeinsamkeiten im Verlauf der OC
5 Implementierung in MATLAB
5.1 Aufbau des Kapitels
5.2 Implementierung der OC-Formeln in MATLAB (ohne ln)
5.3 Transformation der OC-Formeln (in ln)
5.4 Implementierung der OC-Formeln in MATLAB (mit ln)
6 Vergleich der Operationscharakteristiken
6.1 Aufbau des Kapitels
6.2 Fallunterscheidungen
6.3 1. Fall
6.4 2. Fall
6.5 3. Fall
6.6 4. Fall
6.7 5. Fall
6.8 Grenzfall: Annahmezahl c = 0
6.9 Grenzfall: Annahmezahl c = n - 1
7 Schlussbetrachtung
Zielsetzung und Themen der Arbeit
Die vorliegende Arbeit zielt darauf ab, die beste Approximation der hypergeometrischen Operationscharakteristik unter Berücksichtigung verschiedener Parameter (N, n, c) zu ermitteln. Dazu wird eine umfassende graphische und numerische Untersuchung der exakten hypergeometrischen sowie diverser Näherungsmodelle (Binomial- und Poisson-Verteilung sowie deren Varianten) durchgeführt.
- Mathematische Modellierung der hypergeometrischen Verteilung im Kontext der Qualitätskontrolle
- Analyse und Vergleich der Approximationsgüte durch Binomial- und Poisson-Verteilungen
- Einführung und Bewertung der Poisson-Varianten nach Bolshev und Molenaar
- Implementierung der komplexen OC-Formeln unter Nutzung von Logarithmierung in MATLAB
- Fallstudien zum Verhalten der Approximationen bei unterschiedlichen Stichprobenparametern
Auszug aus dem Buch
3.2 Hypergeometrische Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die einem Modell ohne Zurücklegen zuzuordnen ist. Dabei werden im Rahmen einer Stichprobe aus einer endlichen Grundgesamtheit zufällig n Elemente nacheinander und ohne Zurücklegen entnommen. Die hypergeometrische Verteilung gibt dann Auskunft darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl von Elementen vorkommt, die die gewünschte Eigenschaft besitzen.
In der statistischen Qualitätskontrolle ist das Modell ohne Zurücklegen mit einer endlichen Warenpartie vergleichbar, die eine Grundgesamtheit aus N Chips bildet und zwei Sorten an Waren enthält: schlechte und gute Chips. Wenn man die Anzahl an schlechten Chips in der Warenpartie mit M (0 ≤ M ≤ N) bezeichnet, sind demnach N - M Chips gut. Der sogenannte Ausschussanteil p · 100% = M/N · 100% (mit 0 ≤ p ≤ 1) ist der prozentuale Anteil der schlechten Chips in der Grundgesamtheit. Desweiteren wird eine Zufallsstichprobe von n Chips aus der Warenpartie ohne Zurücklegen gezogen, wobei m (0 ≤ m ≤ n) Chips einen Mangel aufweisen. Das Auswahlverfahren ist so beschaffen, dass jede aus n Chips bestehende Teilmenge der Grundgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweist, ausgewählt zu werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung motiviert die statistische Qualitätskontrolle als Mittel zur Entscheidungsunterstützung und stellt das Ziel vor, bessere Approximationen für die komplexe hypergeometrische Verteilung zu finden.
2 Statistische Grundlagen: Dieses Kapitel erläutert die wesentlichen Begriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie wie Wahrscheinlichkeitsraum, Zufallsvariable und stochastische Unabhängigkeit anhand eines Praxisbeispiels aus der Chip-Produktion.
3 Verteilungen: Hier werden die hypergeometrische, binomiale und Poisson-Verteilung theoretisch hergeleitet und deren Bedeutung für die Qualitätskontrolle definiert.
4 Operationscharakteristiken: Das Kapitel führt den Begriff der Operationscharakteristik (OC) ein, definiert den statistischen Test zur Annahme/Ablehnung von Warenpartien und analysiert deren mathematische Eigenschaften.
5 Implementierung in MATLAB: Der Autor beschreibt, wie die numerisch anspruchsvollen OC-Formeln mittels Logarithmierung in MATLAB effizient modelliert und berechnet werden können.
6 Vergleich der Operationscharakteristiken: Im Hauptteil werden in fünf definierten Fällen numerische und graphische Vergleiche angestellt, um die beste Näherung für verschiedene Parameterkombinationen zu bestimmen.
7 Schlussbetrachtung: Die Arbeit fasst die gewonnenen Erkenntnisse zusammen, bewertet die Eignung der Poisson-Variante nach Molenaar als beste Näherung und gibt einen Ausblick auf die Bedeutung moderner Software.
Schlüsselwörter
Qualitätskontrolle, hypergeometrische Verteilung, Binomialverteilung, Poisson-Verteilung, Operationscharakteristik, Approximationsgüte, Stichprobenverfahren, Ausschussanteil, MATLAB, stochastische Modellierung, Warenkontrolle, Annahmekontrolle, Wahrscheinlichkeitsfunktion, statistische Parameter, Konvexität.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Diplomarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der statistischen Qualitätskontrolle und vergleicht die exakten Berechnungen der hypergeometrischen Verteilung mit verschiedenen Näherungsverfahren, um bei großen Stichproben Rechenaufwand zu minimieren.
Was sind die zentralen Themenfelder der Arbeit?
Die zentralen Felder sind die stochastische Modellierung, die statistische Testtheorie (Operationscharakteristiken) und die numerische Umsetzung dieser Modelle in der Software MATLAB.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist es, für praxisrelevante Parameterkombinationen herauszufinden, welche der Näherungs-OCs (Binomial, Poisson oder deren Varianten) die hypergeometrische OC am präzisesten abbildet.
Welche wissenschaftliche Methode kommt zum Einsatz?
Es wird eine deduktive mathematische Herleitung sowie eine vergleichende numerische Analyse (Simulation) durchführt, wobei insbesondere die mathematischen Eigenschaften der OC-Kurven (Monotonie, Krümmung) untersucht werden.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung der Verteilungen und deren OCs sowie in eine umfassende empirische Untersuchung, in der die Approximationsfehler unter wechselnden Stichprobenparametern quantifiziert werden.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind insbesondere die Operationscharakteristik (OC), die hypergeometrische Grundgesamtheit, das Ziehen ohne Zurücklegen und die Varianten nach Bolshev und Molenaar.
Welche Bedeutung hat die Software MATLAB in diesem Kontext?
MATLAB ermöglicht die präzise numerische Darstellung der komplexen OC-Formeln, wobei durch die Transformation in den Logarithmus-Raum Speicherprobleme umgangen werden, die bei direkter Fakultätsberechnung auftreten würden.
Welche Schlussfolgerung zieht die Autorin bezüglich der Approximationsgüte?
Die Arbeit kommt zu dem Ergebnis, dass die Poisson-Variante nach Molenaar für die meisten betrachteten praxisnahen Bereiche die beste Approximation darstellt, da sie die geringsten Abweichungen zum hypergeometrischen Modell aufweist.
- Quote paper
- Nataliya Chukhrova (Author), 2011, Vergleich von Approximationen für die auf der hypergeometrischen Verteilung beruhenden Operationscharakteristik, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/184257
