Extrait
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Siglenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
1. Einleitung
2. Problemstellung
3. Relevanz der Inputparameter
4. Bestimmung der erwarteten Rendite
4.1 Die Bedeutung der Risikoprämie
4.2 Historische Betrachtung
4.2.1 Historisch erzielte Renditen und Risikoprämien
4.2.2 Die Problematik bei der Betrachtung historischer Renditen
4.2.3 Ex- ante geforderte versus ex- post realisierte Renditen
4.2.4 Prognosen mittels Renditeregressionen
4.3 Asset Pricing Theorie und das Equity Premium Puzzle
4.3.1 Das Standardmodell
4.3.2 Das Equity Premium Puzzle
4.3.3 Lösungsansätze des Equity Premium Puzzle
4.3.3.1 Variation der Inputvariablen
4.3.3.2 Alternative Präferenzfunktionen
4.3.3.3 Alternative Modellannahmen
4.4 Implizite Renditeerwartungen
4.4.1 Dividend Discount Modelle
4.4.2 Inputparameter für das DDM
4.4.2.1 Bestimmung des langfristigen Dividendenwachstums
4.4.2.2 Bestimmung der Dividenden- und Gewinnrendite
4.4.3 Modellergebnisse
4.4.4 Residual Income Modelle
4.4.5 Evaluation der Modellergebnisse
4.5 Expertenmeinungen
5. Ermittlung der Varianz- Kovarianz- Matrix
5.1 Die Bedeutung der Varianz- Kovarianz- Matrix in der Asset Allocation
5.2 Historische Renditen als Ausgangspunkt zur Bestimmung der VarianzKovarianz- Matrix
5.3 Weitere Möglichkeiten zur Bestimmung der Varianz- Kovarianz-Matrix
6. Das Black- Litterman Modell: Ein Verfahren zur Umsetzung in die Praxis
7. Fazit
Literaturverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Auswirkung von Schätzfehlern auf die Höhe der optimalen Portfoliogewichte
Abbildung 2: Auswirkung fallender Zinssätze und Gewinnrenditen auf die realisierten Renditen bei Aktien und Anleihen
Abbildung 3: Ausschüttungsraten und darauffolgende 10- jährige Gewinnwachstumsraten 1950-1991 in den USA
Abbildung 4: Dividendenrenditen und zugehörige Überschussrenditen der Jahre 1970-1999 des MSCI Schweiz
Abbildung 5: Ex- ante Risikoprämie und darauffolgende durchschnittliche 10jährige Überschussrendite
Abbildung 6: Verschiedene Höhen des Dow Jones Index bei variablen Renditeerwartungen
Abkürzungsverzeichnis
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabellenverzeichnis
Tabelle 1: Arithmetisch und geometrisch erzielte Renditen und Risikoprämien verschiedener Märkte im Zeitraum von 1900- 2000
Tabelle 2: Historische reale Renditen und Standardabweichungen der Märkte der USA und Deutschlands im Zeitraum von 1900-2000 (in %)
Tabelle 3: Regression der Risikoprämie auf die Dividendenrendite
Tabelle 4: Empirische Inputparameter des Equity Premium Puzzle
Tabelle 5: 50/50 Wette bei variablen Wetteinsatz und variablen Risikoaversionshöhen
Tabelle 6: Wachstumsraten des BIP, der Gewinne und der Dividenden 19691999
Tabelle 7: Prognosen der Aktien- und Anleihenrendite sowie die zugrundeliegenden Inputannahmen
Tabelle 8: Übersicht der Modellergebnisse
Tabelle 9: Schätzung der arithmetischen ex- ante Risikoprämie des U.S Aktienmarktes durch Finanzökonomen in Prozent
1. Einleitung
Die nachstehende Arbeit befasst sich mit der Ermittlung der relevanten Inputparameter für die langfristige Portfolio- Optimierung. Hierin gehen die erwarteten Renditen der betrachteten Anlagen sowie deren Varianzen und Kovarianzen ein. Eine fundierte Ermittlung dieser Parameter ist die Voraussetzung für eine zielkongruente strategische Asset Allocation. Der moderne Portfolio- Entscheidungsprozess untergliedert sich dabei heute sowohl bei institutionellen Investoren als auch in der privaten Anlageberatung in mehrere Phasen. In einem ersten Schritt wird dabei eine Analyse des Anlegerprofils hinsichtlich der Anlageziele, der Risikobereitschaft sowie des Zeithorizontes des Anlegers vorgenommen. Im darauf folgenden Prozessschritt ist dabei im Rahmen der strategischen Asset Allocation die Struktur des Portfolios sowie die Verteilung des anzulegenden Kapitals auf die verschiedenen Anlageklassen und Kategorien innerhalb des Anlageuniversums von zentraler Bedeutung.
Unter Anlageuniversum wird das gesamte Spektrum an Anlagealternativen bezeichnet, die grundsätzlich in das zu verwaltende Portfolio aufgenommen werden können. Unter dem Begriff Anlageklassen können sowohl verschiedene Anlagekategorien (z.B. Aktien, Anleihen), verschiedene Märkte (z.B. Deutschland, USA) als auch Sektoren (z.B. Technologie, Medien) bzw. eine Kombination aus diesen verstanden werden.
Gesucht wird innerhalb der strategischen Asset Allocation diejenige Auswahl und Gewichtung der verschiedenen Anlageklassen, die den Präferenzen des Anlegers ex- ante langfristig am Besten entspricht. Unter Langfristig werden dabei in der Regel Zeithorizonte von mindestens 5 bis 30 Jahren und mehr bezeichnet. Im Rahmen eines aktiven Portfoliomanagements können die in der strategischen Asset Allocation ermittelten Gewichtungen der einzelnen Anlagekategorien als Zielgewichtungen verstanden werden, von denen dann im Rahmen der taktischen Asset Allocation kurzfristig mit der Zielsetzung der Performancesteigerung abgewichen wird. Die strategische Asset Allocation stellt dabei sicher, dass die langfristigen Zielsetzungen bei der konkreten Ausgestaltung des Portfolios ausreichend berücksichtigt werden. Sie kann auch als grobe Vorgabe für die tatsächliche Umsetzung des Portfolios angesehen werden. Die Wichtigkeit dieser Vorgabe wird durch die Tatsache untermauert, dass mit der Wahl der Zielgewichtungen in der strategischen Asset Allocation sowohl die durchschnittliche Rendite, als auch das Risiko eines Portfolios maßgeblich bestimmt werden.1 Insofern können die Zielgewichtungen aus der strategischen Asset Allocation auch als Benchmark im Rahmen der Performance- Messung verstanden werden.
Von zentraler Bedeutung für die Gewichtung der einzelnen Anlageklassen ist dabei die Ermittlung deren erwarteter Rendite sowie die Ermittlung des ihnen zugrundeliegenden Risikos. Diese Größen fungieren als die entscheidenden Inputparameter des Prozesses zur Bestimmung der optimalen Portfoliogewichte. Während in der Finanzliteratur eine breite theoretische Basis für die Bestimmung der optimalen Portfoliogewichte bei gegebenen Inputparametern vorhanden ist, werden für die Schätzung dieser Inputparameter auch heute noch häufig einfach historische Größen verwendet.
Ziel dieser Arbeit ist es, weitere Methoden zur Ermittlung dieser Parameter aufzuzeigen sowie die damit verbundenen Probleme und Schwierigkeiten zu erläutern. Im Fokus steht dabei insbesondere der Vergleich der Renditeerwartung zwischen risikolosen und risikobehafteten Anlagemöglichkeiten. Dabei werden insbesondere vier verschiedene Vorgehensweisen zur Schätzung der zukünftigen Renditen in Betracht gezogen. Am Anfang steht dabei die klassische historische Ermittlung. Danach wird versucht werden, die theoretisch von den Investoren benötigten Überschussrenditen zum Erwerb risikobehafteter Anlagen abzuleiten, um dann im Anschluss der Frage nachzugehen, welche zukünftigen Renditen von der Marktseite unter plausiblen Annahmen implizit geboten werden. Abgerundet wird die Ermittlung der erwarteten Rendite von Schätzungen durch Experten, die insbesondere im Vergleich mit den übrigen Verfahren interessant scheinen. Darauf folgt eine Darstellung der Möglichkeiten zur Schätzung der zukünftigen Varianz- Kovarianz- Matrix.
2. Problemstellung
Die moderne Portfoliotheorie hat ihre Wurzeln in der Mean- Variance Analyse von Harry Markowitz. Das darin beschriebene Verhältnis zwischen der erwarteten Rendite und des Risikos eines Portfolios hatte weitreichende Auswirkungen auf das Portfolio- Management. Auch wenn man sich auch schon vor Markowitz` Aufsatz der naiven Diversifikation bewusst war,2 lieferte er die mathematischen Grundlagen, um zu zeigen, dass man durch geschickte Kombination risikobehafteter Anlagen ein Portfolio erhalten kann, welches aufgrund des Diversifikationseffekts bei nicht perfekt korrelierten Anlagen bei gleicher Renditeerwartung ein niedrigeres Risiko aufweist.3
Dabei zeigte Markowitz in einer ein- Perioden Betrachtung auf, wie die Investoren bei gegebenen Inputparametern ihr Vermögen auf verschiedene Wertpapiere aufteilen sollten.
Im Folgenden wird ein theoretisches Modell auf der Grundlage von Markowitz Arbeit kurz dargestellt um dann auf dessen Schwächen in der praktischen Portfolioumsetzung einzugehen.
Angenommen ein Investor hat die Wahl zwischen einem risikolosen Wertpapier und einem risikobehafteten Wertpapier, dann ist die Rendite des Portfolios RP,t+1:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dabei bezeichnet den Portfolioanteil des risikobehafteten Wertpapiers, Rt+1 bzw. Rf,t+1 sind die Renditen des risikobehafteten bzw. risikolosen Wertpapiers vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t+1.
Die erwartete Rendite dieses Portfolios beträgt dann
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Varianz ist dabei der Parameter, mit dem das Risiko einer Anlage gemessen wird. Unter der Annahme eines risikoaversen Investors, der nach der Maximierung seiner erwarteten Portfoliorendite unter gleichzeitiger Minimierung der Varianz strebt, lässt sich das resultierende Maximierungsproblem folgendermaßen darstellen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dabei beschreibt der Parameter die Risikoaversionshöhe des Investors.
Gleichung (4) lässt sich umschreiben zu:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Als Lösung für dieses Maximierungsproblem erhält man schließlich
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Der Anteil des risikobehafteten Wertpapiers am Portfolio sollte also dessen Überschussrendite oder Risikoprämie auf das risikolose Wertpapier dividiert durch das Produkt der Varianz und des Risikoaversionsparameters entsprechen. Dieser Ansatz lässt sich problemlos auf den Fall mit mehreren risikobehafteten Anlagemöglichkeiten übertragen.4
Diese Anlagemöglichkeiten können im Rahmen der strategischen Asset Allocation sowohl verschiedene Anlageklassen als auch im Rahmen der taktischen Asset Allocation einzelne Wertpapiere darstellen. Bei mehreren betrachteten riskanten Anlagen kann Gleichung (5) umformuliert werden zu:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Dabei ist Rt+1 nun ein Vektor der riskanten Renditen mit N Elementen undt ein
Vektor der Portfoliogewichte der riskanten Anlagen.t bezeichnet die VarianzKovarianz Matrix der riskanten Renditen, einen Einservektor.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
durcht ersetzt, lässt sich Gleichung (8) weiter
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die Risikoneigung des Investors ist in Gleichung (8`) nur durch den Skalar 1/ enthalten. Das heißt, dass die Investoren nur Unterschiede hinsichtlich der Gewichtung des risikobehafteten Teils innerhalb Portfolios aufweisen, nicht aber in der Zusammenstellung dieses risikobehafteten Teils.5
Diese Zusammenstellung hängt lediglich von den Annahmen über die erwarteten Renditen der einzelnen Anlagen bzw. Anlageklassen sowie deren Varianzen und Kovarianzen ab.
Obwohl die (Standard-) Mean- Variance Analyse ein einperiodisches Modell darstellt, lassen sich deren Aussagen gut auf mehrperiodische Modelle übertragen. So ist es z.B. denkbar, im Rahmen der strategischen Asset Allocation eine Mean- Variance Analyse durchzuführen um die einzelnen Zielgewichtungen der verschiedenen Anlageklassen zu bestimmen. Im Rahmen der taktischen Asset Allocation kann dann mit der Zielsetzung der Performancesteigerung eine vorübergehende Abweichung von diesen Zielgewichtungen erfolgen.
Obwohl die Mean- Variance Analyse in der wissenschaftlichen Literatur eine herausragende Stellung einnimmt und deren Grundaussagen uneingeschränkte Akzeptanz finden, ist deren Einfluss auf die praktische Anwendung immer noch begrenzt.
Dies liegt hauptsächlich an seiner Sensitivität gegenüber den getroffenen Inputannahmen.6 Viele auf Basis plausibler Inputannahmen erhaltene Portfoliogewichtungen sind aufgrund daraus resultierender extremer Portfoliogewichte nicht mit den „intuitiven“ Portfoliovorstellungen der Investoren vereinbar. Nach der Mean- Variance Analyse „optimierte“ Portfolios enthalten häufig extreme Leerverkaufspositionen, welche oft auch aus rechtlichen und institutionellen Gründen nicht umgesetzt werden können.7 Bereits aus kleinen Verschiebungen in den Inputannahmen, die zusätzlich oft große Schätzunsicherheiten beinhalten, können teilweise starke Verschiebungen der
Portfoliogewichte resultieren, die häufig ökonomisch nicht intuitiv und damit von den Investoren schwer nachvollziehbar sind.8
Aufgrund der Unsicherheit über zukünftige Renditeverteilungen ist das zentrale Problem der Mean- Variance Optimierung, dass der Grad der Fundiertheit des mathematischen Optimierungsalgorithmus weitaus höher ist als der Grad der Information in den Inputparameterschätzungen.
Michaud bezeichnet Investoren, die ihre Portfolios nach der Mean- Variance Analyse optimieren, sogar etwas provokativ als „estimation- error maximizers“.9 Die Stabilität der zu schätzenden Inputparameter ist also der entscheidende Grundstein in der Mean- Variance Optimierung. Je besser diese Abschätzung gelingt, desto fundierter werden die daraus resultierenden optimalen Gewichte der einzelnen Anlageinstrumente in der Portfolioallokation sein.
3. Relevanz der Inputparameter
Die Mean- Variance Optimierung benötigt die Schätzung der zukünftigen Renditen, der Varianzen sowie der Kovarianzen. Da über zukünftige Renditeverteilungen nie vollkommene Sicherheit bestehen kann, ist die Prognose dieser Inputparameter immer mit Schätzfehlern behaftet. Chopra und Ziemba haben die Auswirkungen dieser Schätzfehler auf die nach der Mean- Variance Analyse optimale Portfolioallokation getestet.10 Dabei nahmen sie in einem ersten Schritt die historischen Renditen von zehn zufällig ausgewählten Werten des Dow Jones Industrial Average (DJIA) im Zeitraum von 1980-1989 als „wahre“ Werte der Inputparameter an, um diese dann in einem zweiten Schritt durch einen Störparameter zu verändern. Mit diesem Störparameter wurde dann in mehreren Simulationsdurchläufen das daraus resultierende optimale Portfolio bestimmt. Dabei wurde jeweils einer der drei Parameter verändert, während die anderen beiden konstant gehalten wurden. Die Veränderung des Nutzens aus diesen durch den Störparameter veränderten Investors wurde von Chopra und Ziemba bei gegebener Risikotoleranz anhand des Sicherheitsäquivalents angegeben.11
Demnach wirkt sich ein Schätzfehler bei den erwarteten Renditen auf die optimale Portfolioallokation in der Mean- Variance Analyse ungefähr elfmal so stark aus wie ein Schätzfehler der Varianzen und ungefähr zwanzigmal so stark wie ein Schätzfehler der Kovarianzen. Dabei nehmen diese Relationen bei zunehmender (abnehmender) Risikotoleranz zu (ab). Eine Veränderung in den Renditeerwartungen um einen Prozentpunkt wirkt sich demnach also ebenso stark auf die Veränderung der Portfoliogewichte aus wie eine Veränderung um 11% in den Schätzungen über die zukünftige Varianz.
In einem ähnlichen Ansatz kommen Schäfer und Zimmermann für den deutschen Aktienmarkt zu vergleichbaren Ergebnissen. Auch sie ermitteln eine vorrangige Abhängigkeit der aus der Mean- Variance Analyse resultierenden Portfoliogewichte von der Güte der Schätzung der erwarteten Rendite.12 Diese Ergebnisse werden qualitativ auch von Kempf und Memmel in einer weiteren Studie bestätigt.13 Sie simulieren dabei für vier Aktien unabhängig verteilte Wochenrenditen über einen Zeitraum von zwei Jahren. Für jede dieser Aktien wird dabei eine erwartete Rendite von 11% p.a. und eine Standardabweichung (Std.) der Renditen von 25% p.a. unterstellt.14 Des weiteren wird eine Korrelation der Aktien untereinander von 0,3 angenommen.15 Im Ausgangsportfolio ergibt sich damit eine Gewichtung der Aktien von jeweils 25%. Danach wird unter der Beibehaltung der übrigen Parameter jeweils einer der Inputparameter bei Aktie 1 um den Wert -10% bis +10% verändert, um das Ausmaß einer möglichen Fehlschätzung zu bestimmen. Die Ergebnisse von Kempf und Memmel sind in Abbildung 1 grafisch dargestellt.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Abbildung 1: Auswirkung von Schätzfehlern auf die Höhe der optimalen Portfoliogewichte
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: Kempf/Memmel (2002), S.900, eigene Darstellung.
Es ist deutlich zu erkennen, dass sich Veränderungen hinsichtlich der Erwartungen über die Höhe der Rendite am stärksten in der Portfoliozusammensetzung niederschlagen. Von schwächerer Bedeutung ist demnach die Auswirkung von Schätzfehlern bezüglich der Standardabweichung, Schätzfehler bezüglich der Korrelationen bzw. Kovarianzen spielen eine deutlich untergeordnete Rolle in der Ermittlung des Mean- Variance optimierten Portfolios.
Die Bestimmung der erwarteten Rendite nimmt damit die zentrale Stellung innerhalb der Mean- Variance Optimierung und der strategischen Asset Allocation ein.
4. Bestimmung der erwarteten Rendite
Insbesondere von Interesse bei der Bestimmung der erwarteten Rendite ist die Ermittlung der Höhe der zukünftigen Überschussrendite oder Risikoprämie risikobehafteter Anlagen auf den risikolosen Zinssatz. Der erwartete Mehrertrag dieser risikobehafteten Anlagen kann dabei als Vergütung zur Übernahme des ihnen zugrundeliegenden Risikos verstanden werden.
4.1 Die Bedeutung der Risikoprämie
Die Risikoprämie stellt die wahrscheinlich wichtigste Kennzahl in der Finanzmarktökonomie dar. Sie ist sowohl der zentrale Input in der strategischen Asset Allocation als auch im „Capital Asset Pricing Model“ (CAPM), dem wohl bekanntesten Bewertungsmodell für risikobehaftete Anlagen. Ihre herausragende Stellung in der Finanzmarktökonomie lässt sich auch anhand eines Zitates von Martin Leibowitz veranschaulichen, der die Risikoprämie als „…the financial equivalent of a cosmological concept“ bezeichnet.16
Dabei ist die Risikoprämie definiert als die Differenz zwischen der erwarteten Rendite aus dem Marktportfolio aus Aktien und der Verzinsung risikoloser Anlagen.
Als Näherungswert für dieses Marktportfolio werden in der Regel möglichst breit gestreute Aktienindices verwendet. Für die USA wird dabei meist der S&P 500 herangezogen, weit verbreitet ist auch die Verwendung wert- oder gleichgewichteter NYSE (New York Stock Exchange) Portfolios.17 Enderle, Pope und Siegel nennen als Kriterien für einen guten Index als Schätzer für das Marktportfolio u.a. die Handelbarkeit und die Breite des Indexes, die Qualität und Verfügbarkeit der zugehörigen Daten sowie die Akzeptanz bei den Investoren.18 Die Bestimmung des risikolosen Zinses gestaltet sich etwas schwieriger. In der traditionellen Mean- Variance Analyse werden kurzfristige Geldmarktanlagen als risikolos angesehen. Diese beinhalten zwar kein Kreditrisiko, sind jedoch über längere Laufzeiten einem Wiederanlagerisiko ausgesetzt, was einen Vergleich mit
Aktien über längere Laufzeiten erschwert. Des weiteren können diese kurzfristigen Geldmarktzinssätze zum Prognosezeitpunkt erheblich von den über den Prognosehorizont erwarteten Zinssätzen abweichen. Deshalb wird häufig die Verzinsung von Staatsanleihen mit den dem Prognosehorizont entsprechenden Laufzeiten als Schätzer für den risikofreien Zins verwendet.19
Das Ausfallrisiko langlaufender Staatsanleihen kann zwar zumindest in den westlichen Industrieländern vernachlässigt werden, sie können jedoch aufgrund der Unsicherheit über die zukünftige Inflation nicht als komplett risikofrei angesehen werden.20 Als Extrembeispiel sei hier die Hyperinflation von 19221923 in Deutschland erwähnt, bei der der reale Wert festverzinslicher Anlagen komplett verloren ging. Die Unsicherheit über die reale Rendite lang laufender Obligationen geht also mit der Unsicherheit über die zukünftige Inflation einher. Jedoch dürfte diese Unsicherheit zumindest in den führenden Industrieländern in den letzten Dekaden aufgrund einer gestiegenen gesamtwirtschaftlichen Stabilität sowie einem gestiegenen Problembewusstsein seitens der Notenbanken gesunken sein.21
Eine weitere Möglichkeit den risikofreien Zins zu bestimmen wird in der Verwendung von TIPS (Treasury Inflation- Protected Securities) gesehen, die eine Inflationsgeschützte reale Verzinsung bieten. Jedoch stellen TIPS noch ein relativ junges Anlageinstrument dar, weshalb zumindest eine längere historische Ermittlung der Risikoprämie auf Basis von TIPS ausscheidet. Des weiteren sind TIPS in den meisten Ländern und Währungen noch nicht verfügbar und werden auch in den USA und Großbritannien (UK) - noch mit vergleichsweise geringen Marktvolumina gehandelt.22
Im Rahmen der strategischen Asset Allocation und deren in der Regel sehr langen Prognosehorizonten werden in der jüngeren Literatur dann auch meist lang laufende Obligationen (z.B. Zero Bonds) als Schätzer für den risikofreien Zins propagiert.23
Die Rendite langlaufender Staatsanleihen war im historischen Vergleich mit kurzfristigen Geldmarktzinssätzen meist etwas höher. Im Zeitraum von 19002000 betrug die Überschussrendite langlaufender Staatsanleihen gegenüber der
Rendite kurzfristiger Geldmarktanlagen in den USA ungefähr 0,7%, in Deutschland ergab sich jedoch im historischen Durchschnitt jedoch aufgrund teilweise hoher (nicht antizipierter) Inflationsraten eine negative
Überschussrendite von -1,7%.24
Da als Ziel von Investitionen letzten Endes der Konsum gilt, werden in dieser Arbeit - wenn nicht anders angegeben - reale Werte gegenüber nominalen Werten vorgezogen.
Da die von den Investoren ex- ante geforderte Risikoprämie zum Erwerb von Aktien grundsätzlich nicht empirisch beobachtet werden kann, wurden verschiedene Ansätze mit der Zielsetzung entwickelt, möglichst genaue Schätzer der zukünftigen Risikoprämie zu ermitteln.
In der Literatur können dabei prinzipiell vier verschiedene Ansätze zur Ermittlung der ex- ante Risikoprämie unterschieden werden.
Die erste Gruppe versucht die ex- ante geforderten Risikoprämien aus den historisch erzielten ex-post Risikoprämien abzuleiten, die je nach Untersuchungszeitraum, betrachtetem Markt und Berechnungsmethode im Bereich zwischen 3% und 9% liegen. Tatsächlich ist dies die auch heute noch am häufigsten verwendete Methode in der Praxis um einen Schätzer für die ex- ante Risikoprämie zu erhalten.25 Auch nimmt sie in der Lehrbuchliteratur nach wie vor einen festen Platz ein.26
Die zweite Gruppe versucht, die Höhe der ex- ante Risikoprämie anhand der theoretisch von den Investoren geforderten und benötigten Risikoprämie abzuleiten. Dabei wird von einem intertemporalen Nutzenmaximierungsverhalten der Investoren ausgegangen. Durch diese Modelle lassen sich fast ausschließlich langfristige Risikoprämien erklären, die sehr deutlich unter dem historischen Durchschnitt liegen. Der große quantitative Unterschied zwischen den durch diese Modelle theoretisch erklärbaren und den historisch beobachteten Risikoprämien ist Gegenstand des 1985 von Mehra und Prescott formulierten „Equity Premium Puzzle“.27
Die dritte Gruppe versucht die ex- ante Risikoprämie implizit aus Fundamentalvariablen wie dem Wirtschaftswachstum, Dividenden oder Erträgen zu bestimmen, die meist auf dem bereits 1962 vorgestellten „Dividend Discount Model“ (DDM) von Gordon basieren.28
So kommen beispielsweise Jagannathan, McGrattan und Scherbina anhand eines DDM zu dem Schluss, dass die Risikoprämie auf Aktien im historischen Vergleich aufgrund heute niedriger Dividendenrenditen und der momentan hohen Bewertung von Aktien gesunken ist.29
Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Risikoprämie wird in der Befragung von Experten gesehen; Ivo Welch befragte im Rahmen zweier Studien 226 Finanzmarktexperten zu ihren Ansichten über die Höhe der zukünftigen Risikoprämie.30 Die dabei ermittelten Schätzungen der zukünftigen Risikoprämie liegen im Durchschnitt signifikant über den modelltheoretischen Werten.
4.2 Historische Betrachtung
4.2.1 Historisch erzielte Renditen und Risikoprämien
Das 20. Jahrhundert kann als das Jahrhundert der Aktie bezeichnet werden. Dimson, Marsh und Staunton betrachten den Zeitraum von 1900-2000 in 16 verschiedenen Märkten und zeigen, dass in allen betrachteten Ländern während des 20ten Jahrhunderts Aktien eine deutlich höhere durchschnittliche Rendite erzielten, als lang laufende Staatsanleihen und kurzfristige Geldmarktanlagen.31 Die Berechnung der jährlichen Durchschnittsrenditen wird dabei in der Literatur teils anhand geometrischer und teils anhand arithmetischer Durchschnitte durchgeführt.32
Bei der Verwendung arithmetischer Durchschnittsrenditen wird implizit unterstellt, dass der anfangs angelegte Betrag über die Zeit konstant bleibt. Die aus der Anlage resultierenden Gewinne werden dabei entnommen, die Verluste periodisch ausgeglichen. Arithmetische Durchschnitte werden als einfacher Mittelwert der periodischen Renditen berechnet:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Sind die Renditen im Zeitablauf unabhängig und identisch verteilt (RandomWalk), stellt das arithmetische Mittel einen statistisch unverzerrten Schätzer für die Rendite der Folgeperiode dar. Arithmetische Durchschnittsrenditen messen dabei allen möglichen Renditepfaden die gleiche Gewichtung bei, während geometrische Durchschnittsrenditen nur den tatsächlich beobachteten Renditepfad berücksichtigen.33
Geometrische Renditedurchschnitte sind jedoch zur Bestimmung der historischen Performance von Wertpapieren vorzuziehen, da durch sie auch die Zinsesverzinsung des eingesetzten Kapitals berücksichtigt wird. Der geometrische Mittelwert lässt sich wie folgt berechnen:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Die geometrische Durchschnittsrendite kann, unter der Voraussetzung der Reinvestition der erzielten Renditen, als Wachstumsrate angesehen werden, mit der der angelegte Betrag über den Beobachtungszeitraum wächst. Bei der Berechnung des erwarteten Endwertes auf Grundlage des arithmetischen Durchschnittes ist Vorsicht geboten; dieser Wert entspricht zwar dem erwarteten Wert des Endvermögens, wird jedoch bei volatilen Wertpapieren meist aufgrund einer asymmetrischen Verteilung der Endvermögen unterschritten. Die Verwendung arithmetischer Durchschnitte beantwortet somit die Frage, welche Rendite man erwarten sollte, wenn zufällig ein einzelnes Jahr des Prognosezeitraumes ausgewählt wird. Die geometrische Durchschnittsrendite hingegen ist bei vorausschauenden Ansätzen derjenige Wert des Endvermögens, der mit einer 50%- Wahrscheinlichkeit erreicht wird, sprich der Median. Über die korrekte Verwendung dieser Durchschnittswerte für Prognosen der exante Risikoprämie besteht in der Literatur durchaus Uneinigkeit. Wird von einer unabhängigen und identischen Verteilung der zukünftigen Renditen ausgegangen, wird meist der arithmetische Mittelwert vorgezogen, während unter der Annahme einer Autokorrelation der Renditen der geometrische Durchschnitt propagiert wird.34 Campbell schlägt sogar die Verwendung eines Mittelwertes aus beiden Werten vor.35
Grundsätzlich ist dabei der arithmetische Durchschnitt höher als der geometrische. Der Unterschied zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel ist dabei umso größer, je höher die Volatilität des betrachteten Renditepfades ist.36 Als Faustformel zur Umrechnung von einem arithmetischen in einen geometrischen Durchschnitt gilt:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Diese gilt als gute Approximation, wenn man logarithmisch normalverteilte Renditen unterstellt.37
Tabelle 1 zeigt arithmetische und geometrische jährliche Durchschnitte der realen Renditen auf Aktien und langfristigen Staatsanleihen sowie die resultierenden Risikoprämien in den USA, Deutschland, Japan, Frankreich und Großbritannien im Zeitraum von 1900-2000.
Tabelle 1: Arithmetisch und geometrisch erzielte Renditen und Risikoprämien verschiedener Märkte im Zeitraum von 1900- 2000
Betrachteter Aktien Langfr.Staatsanleihen Risikoprämie
Markt Arithm. Geom. Arithm. Geom. Arithm. Geom.
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: Dimson/Marsh/Staunton (2002).
Diese fünf Länder repräsentierten am Anfang des Jahres 2000 zusammen über 75% der weltweiten Marktkapitalisierung in Aktien.38
Im Folgenden werden, wenn nicht anders angegeben, Durchschnittsrenditen in geometrischen, realen Werten angegeben.
Die Durchschnittsrendite des Aktienmarktes der USA im Zeitraum von 19002000 betrug 6,7%, mit einer Risikoprämie gegenüber langfristigen Staatsanleihen von 5,1%. Deutschland schneidet von den betrachteten Märkten sowohl bei den Aktien als auch bei den Anleihen am schwächsten ab. Die durchschnittliche Rendite von Aktien lag bei 3,6%, die Rendite langlaufender Staatsanleihen bei
-2,2%, was zu einer Risikoprämie von 5,8% führte. Betrachtet man für Deutschland den Zeitraum nach dem Zweiten Weltkrieg von 1950-2000, erhält man eine durchschnittliche historische Rendite auf Aktien von 9,1%, für Anleihen ergab sich eine jährliche Rendite von 3,7%. Die daraus resultierende Risikoprämie beträgt 5,4%.
Die jeweiligen Risikoprämien für Japan, Frankreich und Großbritannien liegen im Zeitraum von 1900-2000 bei 6,1%, 4,8% und 4,5%.39
In der Praxis werden diese historisch beobachteten ex- post Renditen häufig als
Schätzer für die ex- ante erwarteten Renditen verwendet. Dabei wird implizit unterstellt, dass die beobachteten Renditen im Zeitablauf konstant sind. Jedoch ist die historische Betrachtung mit erheblichen Schätzrisiken belastet. Tabelle 2 zeigt zusätzlich zu den beobachteten Durchschnittsrenditen und Risikoprämien die Volatilität der Renditen von Aktien und Anleihen für die Märkte der USA und Deutschlands. Die Größe des Schätzfehlers wird dabei durch die Standardabweichung der Mittelwerte gemessen. Von Schätzfehlern spricht man, wenn die Ausprägungen der zu schätzenden Parameter von den tatsächlichen, aber unbeobachtbaren Werten abweichen.
Die Standardabweichung der Mittelwerte bzw. die Höhe des Schätzfehlers ergibt sich in Abhängigkeit der Standardabweichung der Rendite und der Länge des Untersuchungszeitraums:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Tabelle 2: Historische reale Renditen und Standardabweichungen der Märkte der USA und
Deutschlands im Zeitraum von 1900-2000 (in %)
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Quelle: Dimson/Marsh/Staunton (2002), eigene Darstellung.
Auch bei der Verwendung sehr langer historischer Datensätze verbleibt ein hohes Schätzrisiko. Für den sehr langen Zeitraum von 1900-2000 ergibt sich, unter der Annahme einer Normalverteilung der Renditen, in den USA ein 95% Konfidenzintervall der realen historischen Aktienrenditen zwischen 6,7%-1,96 · 2,0% = 2,8% und 6,7%+ 1,96 · 2,0% = 10,6%, für Deutschland ergeben sich auf Basis des 95% Konfidenzintervalls Werte zwischen 3,6%-1,96 · 3,2%= -2,7% und
3,6%+1,96 · 3,2% = 9,9%. Die 95% Konfidenzintervalle der durchschnittlichen
Risikoprämie von Aktien auf langfristige Staatsanleihen liegen für die USA zwischen 5,1% -1,96 · 2,0 % = 1,2% und 5% +1,96 · 2,0% = 8,9% sowie für Deutschland zwischen 5,8% -1,96 · 2,9% = 0,1% und 5,8% +1,96 · 2,9% = 11,5%.
Durch die hohe Volatilität der historischen Renditen und Risikoprämien erscheint es also äußerst schwierig, plausible Aussagen über die Höhe der zukünftigen Renditen und Risikoprämien zu treffen.
Immerhin lässt sich eine statistisch signifikante Aussage darüber treffen, ob die Risikoprämie auf Aktien langfristig positiv ist. Zwei einfache t-Tests der Form
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
für Deutschland zeigen dies auf einem 5% Signifikanzniveau.
Bei gegebenen Parametern ist dafür aber mindestens ein Zeitraum von rund
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
Jahren für Deutschland nötig.
Aufgrund der hohen Schätzunsicherheit werden deshalb in der Regel sehr lange Zeiträume betrachtet, um zukünftig erwartete Renditen und Risikoprämien zu bestimmen. Jedoch beinhalten diese die Gefahr von Strukturbrüchen; die Bedingungen an den Aktienmärkten des 19ten oder frühen 20ten Jahrhunderts waren grundlegend andere als heute.
[...]
1 Vgl. Brinson/Hood/Beebower (1986 und 1991).
2 Die vor diesem Hintergrund getroffene Aussage „Don't put all your eggs in just one basket” ist im angelsächsischen Raum schon sehr lange verbreitet.
3 Vgl. Markowitz (1952).
4 Vgl. u.a. Campbell/Viceira (2002), S.20.
5 Vgl. Tobin (1958).
6 Vgl. z.B. Drobetz (2002b), Kapitel 1oder Michaud (1989).
7 In der Praxis wird daher häufig eine zusätzliche Leerverkaufsrestriktion formuliert, die jedoch die Probleme der Mean- Variance Optimierung bestenfalls mindern, aber nicht lösen kann.
8 Vgl. Best/Grauer (1991).
9 Vgl. Michaud (1989), S.33.
10 Vgl. Chopra/Ziemba (1993).
„optimalen“ Portfolios des repräsentativen
11 Das Sicherheitsäquivalent stellt denjenigen sicheren Betrag dar, aus dem der Investor bei gegebener Risikotoleranz den gleichen Nutzen zieht wie aus dem risikobehafteten Portfolio. Chopra und Ziemba verwenden eine Risikotoleranzhöhe von 50 und geben an, dass die meisten großen institutionellen Anleger eine Risikotoleranz von 40-60 aufweisen dürften.
12 Vgl. Schäfer/Zimmermann (1998), S.147.
13 Vgl. Kempf/Memmel (2002), S.900.
14Wenn nicht anders angegeben, beziehen sich in dieser Arbeit sämtliche Angaben über die Höhe der Renditeverteilungen auf die Höhe der jährlichen Renditeverteilungen.
15 Der Korrelationskoeffizient misst die Beziehung, die die Renditeentwicklungen zweier verschiedener Anlagen untereinander haben. Der Korrelationskoeffizient rangiert zwischen + 1,0 für Investitionen, deren Wertentwicklung absolut identisch verläuft, und - 1,0 für Investitionen, deren Wertentwicklung absolut gegensätzlich verläuft. Formal ist er gegeben durch:
Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
16 Vgl. Leibowitz (2001), in: Leibowitz u.a. (2001), S.1.
17 Vgl. u.a. Cochrane (1997).
18 Vgl. Enderle/Pope/Siegel (2003), S.13.
19 Vgl. z.B. Welch (2000), S.518 oder Ilmanen (2003), S.19.
20 Vgl. Feinman (2002).
21 Erwähnt seien hier beispielsweise die Stabilitätskriterien der Europäischen Zentralbank.
22 Vgl. dazu die Anmerkungen von Chen (2001), in: Leibowitz u.a. (2001), S. 46.
23 Vgl. u.a. Campbell/Viceira (2002), Kapitel 3.
24 Aufgrund der Hyperinflation von 1922 und 1923 sind diese Jahre bei der Betrachtung Deutschlands jeweils ausgenommen, da sie das Ergebnis zu stark verfälschen würden.
25 Vgl. u.a. Dimson/Marsh/Staunton (2002), S.163.
26 Vgl. u.a. Brealey/Myers (2000).
27 Vgl. Mehra/Prescott (1985).
28 Vgl. Gordon (1962).
29 Vgl. Jagannathan/McGrattan/Scherbina (2000).
30 Vgl. Welch (2000).
31 Vgl. Dimson/Marsh/Staunton (2002), S.167 und S.173.
32 Vgl. u.a. Ibbotson Associates (2001).
33 Vgl. u.a. Drobetz (2000), S.367-369.
34 Vgl. u.a. Kritzman (2000), Kapitel 4.
35 Vgl. dazu die Ausführungen Campbells in: Leibowitz u.a. (2001), S.45.
36 Der Begriff „Volatilität“ wird synonym verwendet zum Begriff „Standardabweichung“.
37 Vgl. Reimer/Zanker (2003), S.93
38 Vgl. Dimson/Marsh/Staunton (2002), S.12.
39 Auch nach den starken weltweiten Kursverlusten der vergangenen drei Jahre liegen die Werte für die durchschnittliche Rendite auf Aktien sowie die durchschnittlichen Risikoprämien in allen betrachteten Märkten für den Zeitraum von Januar 1900 - Mai 2003 aufgrund des sehr langen Beobachtungszeitraums nur leicht unterhalb der angegebenen Werte. Diese leicht niedrigeren Werte unterscheiden sich qualitativ nicht von den angegebenen Werten.
- Citation du texte
- Marc Philipp (Auteur), 2003, Methoden zur Ermittlung der relevanten Inputparameter in der strategischen Asset Allocation, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/18427
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