Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in Potentialen und Supersymmetrischen Potentialen


Diplomarbeit, 2005

106 Seiten, Note: 1


Leseprobe

Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und
Eigenfunktionen in Potentialen und Supersymmetrischen
Potentialen
Diplomarbeit
Fachhochschule Vorarlberg
Studiengang: Technisches Produktionsmanagement
vorgelegt von: Führer Harald
Dornbirn, Juni 2005

I
Kurzfassung
Anfang des letzten Jahrhunderts steckte die Physik in einer Krise. Die klassische Physik
war im Grossen und Ganzen schon bewiesen und in der Praxis angewandt. Allerdings
ergaben sich bei gewissen Experimenten und Forschungen zum Teil gravierende Un-
stimmigkeiten mit der klassischen Mechanik.
In der Welt der kleinsten Teilchen, der Elektronen, herrschen andere Gesetze als in der
Welt der makroskopischen Körper. Ein Elektron verhält sich nicht wie ein aus dem Alltags-
leben bekanntes Teilchen, sondern hat sowohl Wellen-, als auch Teilchencharakter.
Die Quantentheorie beschreibt den physikalischen Zustand eines Teilchens durch eine
Differentialgleichung, die nach dem Physiker und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger
benannt ist. Abhängig von der Komplexität einer gegebenen Potentialfunktion ist diese
Differentialgleichung analytisch schwer oder gar nicht mehr lösbar.
Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Quantenphysik an sich und der nu-
merischen Berechnung der Eigenfunktionen und Eigenwerte von beliebigen Potentialfunk-
tionen. Die Berechnung ist mit einem am Computer programmierten, ereignisgesteuerten
und mit einer Benutzeroberfläche ausgestatteten Programm möglich, ebenso wie automa-
tische Plotfunktionen. Im weiteren Teil der Arbeit wird dann zu Supersymmetrischen Po-
tentialen und deren numerischer Behandlung mit programmtechnischer Umsetzung für
genauere Analysen übergegangen.

II
Abstract
At the beginning of the last century, the science of physics was facing a crisis. Although
matters of classical physics were more or less scientifically proven and applied in practice,
the results of certain experiments achieved through physics showed great deviations from
the results achieved through classical mechanics.
Engineering principles applicable to the smallest microscopic particles are not the same
as those principles applicable to macroscopic particles. An electron does not act in the
same way as an ordinary particle known from every day life mainly because an electron is
identified by its wave and particle-dualism.
Quantum theory describes the physical condition of a particle by using a differential equa-
tion set up by the physicist and Nobel prize winner Erwin Schrödinger. Depending on the
complexity of the potential function, the solution of this differential equation by analytical
means is either very difficult or not possible at all.
This thesis approaches design engineering from the perspective of quantum physics with
the main focus on numeric design engineering of eigenfunctions and eigenvalues of any
potential function. Numeric design engineering is achieved by means of a computer con-
trolled program equipped with a user interface for automatic plotting of curves. Finally,
supersymmetric potentials and their numeric handling are dealt with as well. This thesis
also concentrates on how to get more precise analyses by using computer programs.

III
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich allen danken, die durch ihre fachliche und persönliche Unter-
stützung zum Gelingen dieser Diplomarbeit beigetragen haben.
Insbesondere Dr. Dipl. Ing. techn. Peter Pichler danke ich, der nicht nur die Grundidee zu
dieser Arbeit lieferte, sondern mir auch immer hilfreich und mit viel Know-how zur Seite
stand.
Vielen Dank auch an meine Freundin Birgit, die mir beim Korrekturlesen geholfen hat und
mich auch moralisch unterstützte.
Gewidmet ist die Arbeit meinen Eltern, die mich immer selbstlos unterstützt und mir das
Studium erst ermöglicht haben.

IV
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung -------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
2
Grundlagen------------------------------------------------------------------------------------------------ 2
2.1
Numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen---------------------- 2
2.1.1
Allgemein ---------------------------------------------------------------------------------------- 2
2.1.2
Streckenzugverfahren von Euler ---------------------------------------------------------- 2
2.1.3
Runge-Kutta ------------------------------------------------------------------------------------ 3
2.2
Numerisches Verfahren zur Differentiation ------------------------------------------------ 8
2.3
Numerisches Verfahren zur Integration--------------------------------------------------- 11
3
Schrödinger-Gleichung------------------------------------------------------------------------------- 16
3.1
Allgemein ----------------------------------------------------------------------------------------- 16
3.2
Der Teilchen Welle Dualismus -------------------------------------------------------------- 16
3.2.1
Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen -------------------------------------- 16
3.2.2
Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen ----------------------------------------- 17
3.2.3
Doppelspaltversuch mit Elektronen----------------------------------------------------- 18
3.2.4
Interpretation der Doppelspaltexperimente ------------------------------------------- 19
3.3
Das mathematische Gerüst der Quantentheorie --------------------------------------- 20
3.3.1
Das im unendlich hohen Potentialtopf eingesperrte Teilchen ------------------- 20
3.3.2
Die Schrödinger-Gleichung --------------------------------------------------------------- 26
3.3.3
Interpretation der Wellenfunktion-------------------------------------------------------- 29
4
Numerische Berechnung von Energieeigenwerten und Funktionen --------------------- 33
4.1
Stetigkeitsbedingungen an den Potentialwänden -------------------------------------- 34
4.2
Unendlich hoher Potentialtopf --------------------------------------------------------------- 36
4.2.1
Analytische Lösung ------------------------------------------------------------------------- 37
4.2.2
Numerische Lösung ------------------------------------------------------------------------ 40
4.3
Potentialfunktion
2
x
(quantenmechanischer Oszillator) ----------------------------- 44
4.3.1
Analytische Lösung ------------------------------------------------------------------------- 44
4.3.2
Numerische Lösung ------------------------------------------------------------------------ 51
4.4
Potentialfunktion
1
)
cosh(
1
2
x
------------------------------------------------------------ 55
5
Supersymmetrische Potentiale--------------------------------------------------------------------- 57
5.1
Allgemein ----------------------------------------------------------------------------------------- 57

V
5.2
Mathematische Behandlung der Supersymmetrischen Potentiale----------------- 57
5.2.1
Supersymmetrisches Potential im unendlich hohen Potentialtopf -------------- 58
5.2.2
Supersymmetrisches Potential zum Doppeltopfpotential ------------------------- 61
5.2.3
Aufsuchen der Energieeigenwerte aus höhergradigen Supersymmetrischen
Potentialen ---------------------------------------------------------------------------------------------- 62
Resümee und Ausblick------------------------------------------------------------------------------------- 65
Literaturverzeichnis ----------------------------------------------------------------------------------------- 67
Anhang --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 68

VI
Darstellungsverzeichnis
Darst. 2-1 numerische Differentiation einer Sinusfunktion ... 10
Darst. 2-2 Zerlegung der Fläche in 2n einfache Streifen. ... 11
Darst. 2-3 Berechnung des ersten Doppelstreifens ... 12
Darst. 3-1 Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen... 16
Darst. 3-2 Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen ... 17
Darst. 3-3 Doppelspaltversuch mit Elektronen... 18
Darst. 3-4 Elektroneneintritt durch eine Blende ... 30
Darst. 3-5 Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Elektrons im Intervall x bis x+dx. 30
Darst. 4-1 Potentialstufe... 34
Darst. 4-2 Endlicher Potentialsprung ... 34
Darst. 4-3 Kräftefreier, pendelnder Massepunkt mit zugehöriger potentieller Energie U(x)
... 36
Darst. 4-4 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 im unendlich hohen
Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum
Eigenwert=1 im unendlich hohen Potentialtopf... 39
Darst. 4-5 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=4 im unendlich hohen
Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum
Eigenwert=4 im unendlich hohen Potentialtopf... 40
Darst. 4-6 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=9 im unendlich hohen
Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons zum
Eigenwert=9 im unendlich hohen Potentialtopf... 40
Darst. 4-7 Eingabemaske zur numerischen Berechnung der Energieeigenwerte und
Eigenfunktionen in symmetrischen Potentiale ... 41
Darst. 4-8 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im
unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des
Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf... 42
Darst. 4-9 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im
unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des
Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf... 42
Darst. 4-10 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im
unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des
Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im unendlich hohen Potentialtopf... 43
Darst. 4-11 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung... 43
Darst. 4-12 lineares harmonisches Pendel mit der Masse m... 44
Darst. 4-13 potentielle Energie U(x) des harmonischen Oszillators... 46

VII
Darst. 4-14 Energieeigenwerte und zugehörige Eigenfunktionen des harmonischen
Oszillators ... 50
Darst. 4-15 Harmonischer Oszillator u. Übergang zum klassischen Fall ... 51
Darst. 4-16 Potentialfunktion
2
x
... 52
Darst. 4-17 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im
unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des
Elektrons zum Eigenwert=1 (rote Linie) im quadratischen Potential ... 52
Darst. 4-18 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im
unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des
Elektrons zum Eigenwert=2 (rote Linie) im quadratischen Potential ... 52
Darst. 4-19 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im
unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des
Elektrons zum Eigenwert=3 (rote Linie) im quadratischen Potential ... 53
Darst. 4-20 Bild links: Eigenfunktion des Elektrons zum Eigenwert=4 (rote Linie) im
unendlich hohen Potentialtopf Bild rechts: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des
Elektrons zum Eigenwert=4 (rote Linie) im quadratischen Potential ... 53
Darst. 4-21 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung... 54
Darst. 4-22 Potentialfunktion
1
)
cosh(
1
2
x
... 55
Darst. 4-23 Eigenfunktion im
1
)
cosh(
1
2
x
Potential... 56
Darst. 5-1
0
\
... 58
Darst. 5-2
0
\ c
;
0
0
\
\
c
... 59
Darst. 5-3
¸¸¹
·
¨¨©
§ c
0
0
\
\
dx
d
;
¸¸¹
·
¨¨©
§ c
0
0
*
2
0
\
\
dx
d
... 59
Darst. 5-4 exaktes Supersymmetrisches Potential
)
(
sin
2
)
(
2
x
x
V
... 60
Darst. 5-5 relative Fehlerwerte bei numerischer Berechnung im Supersymmetrischen
Potential ... 60
Darst. 5-6 Potentialfunktion:
06719
.
2
)
(
cosh
15
15
)
(
cosh
*
3
15
*
4
*
2
2
2
2
x
x
... 61
Darst. 5-7 Supersymmetrisches Potential:
¸¸¹
·
¨¨©
§ c
»
»
¼
º
«
«
¬
ª
0
0
2
2
2
*
2
06719
.
2
)
(
cosh
15
15
)
(
cosh
*
3
15
*
4
*
2
\
\
dx
d
x
x
... 61
Darst. 5-8 Erste Wellenfunktion
)
(x
\
bei Energieniveau
1
E
... 63
Darst. 5-9 Potential
2
2
2
2
x
x
V
... 64

1 Einleitung
Seite 1
1 Einleitung
Anfang des letzten Jahrhunderts steckte die Physik in einer Krise. Die klassische Physik
war im Grossen und Ganzen schon bewiesen und in der Praxis angewandt. Allerdings
ergaben sich bei gewissen Experimenten und Forschungen zum Teil gravierende Un-
stimmigkeiten mit der klassischen Mechanik. Ein konkretes Beispiel ist zum Beispiel die
Wärmestrahlung, die mit klassischen Konzepten nicht zu erklären war. Der deutsche Phy-
siker Max Planck stellte dabei die revolutionierende Annahme einer Energiequantelung
auf. Sie war für ihn zwar nicht streng beweisbar, klärte aber quantitativ korrekt den expe-
rimentellen Befund und muss als Geburtsstunde der modernen Physik angesehen wer-
den.
Im Mittelpunkt dieser Diplomarbeit steht dabei die Schrödinger-Gleichung, die nach dem
österreichischen Physiker und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger benannt, die zentrale
Bewegungsgleichung der Quantenmechanik darstellt. Sie tritt an die Stelle der klassi-
schen Newtonschen Bewegungsgleichungen.
1
Damit bei der in der Schrödinger-
Gleichung auftretenden Potentialfunktion
)
(x
V
auch komplexere Ausdrücke berechnet
werden können, bedient man sich numerischer Lösungsmethoden. Interessant hierbei ist
auch die programmtechnische Umsetzung zur Erzielung der Eigenwerte und Eigenfunkti-
onen dieser Differentialgleichung, um die Möglichkeiten der numerischen Mathematik
auszuloten.
1
Vgl. Nolting, Wolfgang: Grundkurs: Theoretische Physik. 3. Auflage. Ulmen: Zimmerman - Neufang 1996 ,S. 1
,,Wenn in einer Sintflut alle wissenschaftlichen Kenntnisse zer-
stört würden und nur ein Satz an die nächste Generation weiter-
gereicht würde, welche Aussage würde dann die größte Aussage
in den wenigsten Worten enthalten? Ich bin überzeugt, dass dies
die Atomhypothese (oder welchen Namen sie auch immer hat)
wäre"
(Feynman, R. P: Vorlesungen über Physik. Bd. 1, Teil 1 Mün-
chen1974, S. 1-2.)

2 Grundlagen
Seite 2
2 Grundlagen
2.1 Numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen
2.1.1 Allgemein
Viele in naturwissenschaftlichen, und technischen Anwendungen auftretenden Differenti-
algleichungen sind analytisch nicht mehr lösbar. Das heißt, es ist nicht möglich, die Lö-
sungsfunktion der Differentialgleichung in geschlossener Form anzugeben.
In manchen Fällen ist dies zwar möglich, jedoch nur mit sehr hohem Aufwand. Glückli-
cherweise existieren jedoch einige sehr gute numerische Verfahren, mit denen punktwei-
se eine Annäherung an die exakte Lösungskurve möglich ist.
2
2.1.2
Streckenzugverfahren von Euler
Dieses Verfahren kann zum Lösen von Differentialgleichungen erster Ordnung in der
Form
)
,
(
'
y
x
f
y
hergenommen werden.
h
ist die Schrittweite d.h.
h
x
x
0
.
Dabei wird die Anfangsbedingung
)
(
0
x
y
in die Taylorreihe eingesetzt:
Taylorreihe:
...
)
(
!
2
)
(
''
)
(
!
1
)
(
'
)
(
)
(
2
0
0
1
0
0
0
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
...
)
(
''
*
*
2
1
)
(
'
*
)
(
)
(
0
2
0
0
0
x
y
h
x
y
h
x
y
h
x
y
Falls
h
klein ist, dann sind die Terme mit
2
h
und den höheren Potenzen sehr klein, und
können dann vernachlässigt werden:
)
,
(
*
1
n
n
n
n
y
x
f
h
y
y
( 2-1 )
2
Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage:
Vieweg,1994, S. 558.

2 Grundlagen
Seite 3
Besser geeignet ist allerdings das nachfolgend beschriebene Runge-Kutta Verfahren, da
dies eine wesentlich höhere Genauigkeit bietet. Allerdings ist auch ein höherer Rechen-
aufwand vonnöten.
2.1.3 Runge-Kutta
Das Runge-Kutta Verfahren vierter Ordnung benutzt alle Terme bis
4
h
und heißt deshalb
bezeichnenderweise Runge-Kutta Verfahren 4. Ordnung.
3
Auch wenn das Euler Verfah-
ren für kleine Schrittweiten
h
recht gute Ergebnisse liefert, so summieren sich die Fehler
bei einer großen Zahl von Zeitschritten doch recht schnell.
Das Runge-Kutta Verfahren erweist sich in der Praxis als ein Rechenverfahren von hoher
Genauigkeit. Für die Steigung der Ersatzgeraden wird eine Art mittlerer Steigung der Lö-
sungskurve angesetzt, wodurch das Steigungsverhalten der Lösungskurve besser be-
rücksichtigt wird.
4
2.1.3.1 Runge-Kutta Verfahren für Differentialgleichungen 1. Ordnung
Um eine Differentialgleichung erster Ordnung zu lösen, kann diese mit den folgenden
Ausdrücken numerisch gelöst werden:
)
4
3
2
2
2
1
(
*
6
/
1
)
(
1
k
k
k
k
y
x
y
n
n
|
( 2-2 )
)
3
,
(
*
4
)
2
/
2
,
2
/
(
*
3
)
2
/
1
,
2
/
(
*
2
)
,
(
*
1
k
y
h
x
f
h
m
k
y
h
x
f
h
m
k
y
h
x
f
h
m
y
x
f
h
m
n
n
n
n
n
n
n
n
3
Shoup, Terry E .: Numerische Verfahren für Arbeitsplatzrechner: München, Wien: Hanser,1984,S. 129.
4
Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage:
Vieweg,1994, S. 563.

2 Grundlagen
Seite 4
2.1.3.2 Runge-Kutta Verfahren für Differentialgleichungen 2. Ordnung
Um eine Differentialgleichung höherer Ordnung (n-ter Ordnung) zu lösen, kann diese in
n-Differentialgleichungen erster Ordnung übergeführt werden:
)
2
(
'
)
1
(
)
,
,
(
''
)
,
(
'
)
'
,
,
(
''
2
2
a
y
a
y
x
g
y
a
y
x
f
y
dx
dy
y
y
x
g
y
dx
y
d
Daraus ergeben sich die benötigten Formelansätze:
)
4
3
2
2
2
1
(
*
6
/
1
)
(
1
1
k
k
k
k
y
y
x
y
n
n
n
|
( 2-3 )
)
4
3
2
2
2
1
(
*
6
/
1
'
'
)
(
'
1
1
m
m
m
m
y
y
x
y
n
n
n
|
)
3
'
(
*
2
)
2
/
2
'
(
*
2
)
2
/
1
'
(
*
2
'
*
1
m
y
h
k
m
y
h
k
m
y
h
k
y
h
k
n
n
n
n
)
3
'
,
3
,
(
*
4
)
2
/
2
'
,
2
/
2
,
2
/
(
*
3
)
2
/
1
'
,
2
/
1
,
2
/
(
*
2
)
,
,
(
*
1
m
y
k
y
h
x
f
h
m
m
y
k
y
h
x
f
h
m
m
y
k
y
h
x
f
h
m
y
y
x
f
h
m
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
Basierend auf diesem Verfahren wird ein Programm in der Delphi Entwicklungsumgebung
geschrieben, das es ermöglicht, Differentialgleichungen 1.- und 2.-ter Ordnung zu lösen.
Die Eingabemaske besteht aus den einzelnen Edit-Komponenten, in die die Differential-
gleichungen und die einzelnen Parameter (Schrittweite, Randwerte usw.) eingegeben
werden. Der gewählte Datentyp für genauigkeitsrelevante Berechnungen ist durchwegs
vom Typ extended, der eine 80 bit Gleitkommazahl mit einer Genauigkeit von 19-20 Stel-
len (der größte, der vom Mathematischen Coprozessor auf x86/32Bit CPU's unterstützt
wird) repräsentiert.

2 Grundlagen
Seite 5
Fehler werden automatisch bei der Eingabe abgefangen, z.B. Zahlen in rein numerischen
Werten werden gelöscht. Fehlende Bedingungen werden dem Benutzer ebenfalls über
eine Messagebox mitgeteilt. Eine Parser Dynamik Link Library sorgt für die mathemati-
sche Umrechnung des eingegebenen Differentialgleichungsstrings. Dabei können alle
gängigen mathematischen Operatoren sowie trigonometrische Funktionen, Potenzfunkti-
onen, Konstanten usw. eingegeben werden.
Beispiel: Vergleich der analytischen und numerischen Lösung einer Differentialgleichung
2. Ordnung:
Gegeben sei folgende Differentialgleichung:
)
3
sin(
4
2
)
3
sin(
4
2
t
x
x
x
t
x
x
x
x
x
x
x
x
x
( 2-4 )
0
)
0
(
0
)
0
(
:
x
x
x
en
tbedingung
Anfangswer
Lösungsweg:
Um die analytische Lösung zu bestimmen, wird zuerst die Lösung der homogenen Diffe-
rentialgleichung, d.h.
0
4
2
x
x
x
x
x
x
mit dem Ansatz
t
e
*
O
bestimmt. Daran anschließend
wird mit der ,,Methode der unbestimmten Koeffizienten" der Ansatz:
)
3
sin(
*
)
3
cos(
*
)
(
t
N
t
M
t
x
p
( 2-5 )
verwendet. Dieser Ansatz liefert die partikuläre Lösung der Differentialgleichung. Die all-
gemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist dabei die Summe der
Lösungen der homogenen Differentialgleichung und der partikulären Lösung der inhomo-
genen Differentialgleichung:
)
(
)
(
)
(
allg
t
y
t
y
t
y
h
p
( 2-6 )
analytische Lösung:
t
t
t
e
t
e
t
y
t
t
3
sin
61
5
3
cos
61
6
3
sin
61
3
7
3
cos
61
6
)
(
allg
( 2-7 )

2 Grundlagen
Seite 6
Vergleich der Ergebnisse mit unterschiedlichen Schrittweiten:
Schrittweite
h
=0,5:
analytische Lösung (Reihe 1)
numerische Lösung mit Schrittweite h=0,5 (Re
relative Fehler
der beiden
Messreihen
t
x(t)
t
x(t)
0
0
0
0
0
0,5
-0,0221992
0,5
-0,019897577
0,103680448
1
-0,241368
1
-0,236929829
0,01838757
1,5
-0,97818
1,5
-0,974980075
0,003271305
2
-2,35403
2
-2,354736708
-0,000300212
Mittelwert der relativen Fehler in
%:
2,500782217
numerische Lösung mit Schrittweite h=0,5
(Reihe 2)
Graphischer Ausdruck:
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
x(t)
y(
t)
Reihe1
Reihe2
Dabei ist zu erkennen, dass die beiden Funktionskurven gut übereinstimmen, trotz recht
großer Schrittweite.

2 Grundlagen
Seite 7
Schrittweite
h
=0,1:
analytische Lösung (Reihe 1)
numerische Lösung mit Schrittweite h=0
relative Fehler
der beiden
Messreihen
t
x(t)
t
x(t)
0
0
0
0
0
0,1
-0,000160828
0,1
-0,000160113
0,004448352
0,2
-0,001275488
0,2
-0,001275488
0
0,3
-0,004383234
0,3
-0,004383234
0
0,4
-0,010789532
0,4
-0,010789532
0
0,5
-0,022195764
0,5
-0,022195764
0
0,6
-0,040745331
0,6
-0,040745331
0
0,7
-0,068994943
0,7
-0,068994943
0
0,8
-0,109819492
0,8
-0,109819492
0
0,9
-0,166264352
0,9
-0,166264352
0
1
-0,241362664
1
-0,241362664
0
1,1
-0,337937528
1,1
-0,337937528
0
1,2
-0,458409707
1,2
-0,458409707
0
1,3
-0,6046304
1,3
-0,6046304
0
1,4
-0,777756025
1,4
-0,777756025
0
1,5
-0,978177777
1,5
-0,978177777
0
1,6
-1,205513589
1,6
-1,205513589
0
1,7
-1,458664288
1,7
-1,458664288
0
1,8
-1,735929816
1,8
-1,735929816
0
1,9
-2,035175859
1,9
-2,035175859
0
2
-2,354036583
2
-2,354036583
0
Mittelwert der relativen
Fehler in %:
0,021182627
numerische Lösung mit Schrittweite
h=0,1 (Reihe 2)
Graphischer Ausdruck:
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
t
x(
t)
Reihe1
Reihe2
Dabei ist zu erkennen, dass die beiden Funktionskurven annähernd deckungsgleich sind,
bei der Wahl einer kleinen Schrittweite.

2 Grundlagen
Seite 8
2.2 Numerisches Verfahren zur Differentiation
Des Öfteren wird eine Näherung für die Ableitung von tabellarischen Daten benötigt, wie
dies zum Beispiel später im Zuge dieser Diplomarbeit für die Berechnung der Supersym-
metrischen Potentiale benötigt wird. Die benötigten Formelansätze können z.B. aus der
Taylor Reihe hergeleitet werden, wie im folgenden noch gezeigt wird.
5
Wir benutzen eine Taylor Reihe der Form
...
)
(
*
!
3
)
(
'
*
!
2
)
(
'
*
!
1
)
(
)
(
ccc
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
H
H
H
H
(
2-8
)
Für den Differentialquotient werden die nachfolgenden Abkürzungen eingeführt:
...
...
...
...
...
...
)
(
)
(
)
(
3
3
3
2
2
2
dx
x
f
d
D
dx
x
f
d
D
dx
x
f
d
D
o
o
o
( 2-9 )
Mit
0
x
x
und
h
H
und damit
1
0
)
(
y
h
x
f
erhält man
...
)
(
6
)
(
2
)
(
*
0
3
3
0
2
2
0
0
1
x
D
h
x
D
h
x
D
h
y
y
(
2-10
)
und mit
h
2
H
erhält man
...
)
(
6
8
)
(
2
4
)
(
*
2
0
3
3
0
2
2
0
0
2
x
D
h
x
D
h
x
D
h
y
y
( 2-11 )
5
Shoup, Terry E .: Numerische Verfahren für Arbeitsplatzrechner. München, Wien: Hanser,1984,S. 189-195.

2 Grundlagen
Seite 9
Eliminiert man nun die zweite Ableitung, d.h.
2
D
aus ( 2-10 ) und ( 2-11 ), indem wir
( 2-10 ) mit
4
und ( 2-11 ) mit
1
multiplizieren und dann beide addiert, so erhält man:
3
2
3
4
)
(
2
0
2
1
0
0
y
h
h
y
y
y
y
x
D
ccc
c
( 2-12 )
Dabei ist der Term
3
2
y
h
ccc
für die Rechnung nicht verwendbar, da die dritte Ableitung nicht
bekannt ist. Man bekommt aber anhand der Größenordnung des Terms den Fehler der
gemacht wird. Die Formel (2-12) ist die Formel mit 3 Positionen des Vorwärtsdifferenzen-
verfahrens.
Auf ähnliche Art und Weise können Approximationen für Ableitungen höherer Ordnung
hergeleitet werden.
Da beim Differenzieren von tabellarischen Datenwerten beim letzten Wert nach Formel
(2-12) die nächsten Werte, d.h.
2
1
, y
y
unbekannt sind, muss das Rückwärtsdifferenzen-
verfahren herangezogen werden:
¸¸¹
·
¨¨©
§
ccc
c
0
2
2
1
0
0
3
)
4
3
(
2
1
y
h
y
y
y
h
y
( 2-13 )
Der Wert in Klammern bezeichnet den relativen Fehler, der gemacht wird.
Eigentlich würde das Vorwärtsdifferenzenverfahren für die Ableitung bis zum vorletzten
Punkt der Wertetabelle, und der Zuhilfenahme des Rückwärtsdifferenzenverfahrens für
die Ableitung des letzten Punktes der Wertetabelle reichen. Um aber den Fehler klein zu
halten, bedient man sich des Zentraldifferenzenverfahrens, das quasi zwischen dem Vor-
wärtsdifferenzenverfahren und Rückwärtsdifferenzenverfahren eingesetzt wird:
¸¸¹
·
¨¨©
§
ccc
c
y
h
y
y
h
y
6
)
(
2
1
2
1
1
0
( 2-14 )
Man sieht, dass der Fehlerterm in den runden Klammern von ( 2-14 ) nur halb so groß wie
bei ( 2-13 ) ist, obwohl für ( 2-14 ) nur 2 Positionen benötigt werden. Natürlich existieren

2 Grundlagen
Seite 10
auch noch Differenzenverfahrensformeln, die mit mehr als nur den hier beschriebenen
zwei oder drei Positionen rechnen. Dementsprechend werden die numerischen Fehler
dann geringer.
Nach Darst. 2-1 wurde eine Sinusfunktion (blaue Linie)
)
sin(x
, im Bereich von
0
bis
S
2
numerisch differenziert. Anhand einer Wertetabelle von
)
sin(x
, die mit der Schrittweite
0,06981317
h
berechnet wurde, ist für die Differentiation mit den obigen Formelansät-
zen in der Delphi Entwicklungsumgebung ein Programm entwickelt worden. Das Pro-
gramm liest dabei ein Textfile in ein Datenarray ein, berechnet aus dieser die Schrittweite
h
,und berechnet dann nacheinander mit dem Vor-, Zentral-, und Rückwärtsdifferenzen-
verfahren die Ableitungswerte an diesen äquidistanten Stellen. Das Ergebnis wir dann von
einem Array sequentiell in ein Ergebnisfile geschrieben. Das Ergebnisfile kann dann au-
tomatisch mit einem in VBA geschriebenen Programm in einem Excel-Sheet geplottet
werden. Der mittlere Fehler aller Datenpunkte im Vergleich zur exakten Lösung beträgt in
diesem Beispiel
%
0758
,
0
.
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0
1
2
3
4
5
6
7
Darst. 2-1
numerische Differentiation einer Sinusfunktion

2 Grundlagen
Seite 11
2.3 Numerisches Verfahren zur Integration
Es ist öfter der Fall, dass die Integration in geschlossener Form nicht möglich, oder vom
Aufwand her nicht vertretbar ist. Dies kann durch eine punktweise Berechnung der
Stammfunktion mithilfe spezieller Näherungsverfahren erreicht werden. Es existieren eini-
ge Verfahren zur numerischen Integration wie z.B. das Romberg Extrapolationsverfahren,
die Trapezregel, die Gauß Quadratur, usw. Hier soll die Simpson Regel zur numerischen
Integration vorgestellt werden, da diese relativ einfach programmierbar ist und trotzdem
hohe Genauigkeit erzielt. Zur Vervollständigung und zum besseren Verständnis soll die
Simpson Regel hergeleitet werden.
6
Zuerst wird das Integrationsintervall
b
x
a
d
d
in eine gerade Anzahl
n
2
von Teilinterval-
len gleicher Länge zerlegt.
n
a
b
h
2
( 2-15 )
Daraus folgen die
1
2
n
Stützstellen
b
x
usw
h
a
h
a
h
x
x
h
a
h
x
x
a
x
n
;
...
;
2
2
2
;
;
0
2
0
1
0
( 2-16 )
n
k
h
k
a
h
k
x
x
k
,...,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
*
*
0
( 2-17 )
Darst. 2-2
Zerlegung der Fläche in 2n einfache Streifen
Quelle: Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte
Auflage: Vieweg,1994, S. 445.
6
Vgl. Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte Auflage:
Vieweg,1994, S. 445-448.

2 Grundlagen
Seite 12
Mit den Stützwerten, bzw. Funktionswerten:
n
k
h
k
a
f
h
k
x
f
x
f
y
k
k
,...,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
)
*
(
)
*
(
)
(
0
( 2-18 )
Anschließend werden je zwei benachbarte Streifen zu einem Doppelstreifen zusammen-
gezogen. Mit
n
2
einfachen Streifen mit der Breite
h
entstehen genau
n
Doppelstreifen
mit der Breite
h
2
. Daraus folgt, dass das Integrationsintervall
b
x
a
d
d
in eine gerade
Anzahl von Teilintervallen zerlegt werden muss.
Nun wird näherungsweise der Flächeninhalt der
n
Doppelstreifen berechnet. Im ersten
Doppelstreifen nach Darst. 2-3 wird die Funktionskurve
)
(x
f
durch eine Parabel die
durch
3
1
0
,
,
P
P
P
geht, ersetzt. Diese hat die Gleichung:
0
1
2
2
)
(
a
x
a
x
a
x
y
( 2-19 )
Die Koeffizienten sind eindeutig bestimmbar, müssen aber, wie sich später zeigen wird,
nicht berechnet werden, da sie nur indirekt in die Endformel eingehen.
Darst. 2-3
Berechnung des ersten Doppelstreifens
Quelle: Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2.7. überarbeitete und erweiterte
Auflage: Vieweg,1994, S. 446.
Die Fläche
1
A
zwischen Parabel und
x
-Achse im Teilintervall
h
x
x
x
2
0
0
d
d
liefert
dann einen Näherungswert für den exakten Flächeninhalt des ersten Doppelstreifens.
Mittels elementarer Integration ist dieser berechenbar:

2 Grundlagen
Seite 13
3
6
6
6
8
12
6
...
...
0
1
0
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
1
2
2
1
0
0
h
a
h
a
x
a
h
a
h
x
a
x
a
dx
a
x
a
x
a
A
h
x
x
³
( 2-20 )
Der Ausdruck in Klammer der mithilfe der Parabelgleichung aus (2-19) berechnet wurde
ergibt jedoch die Summe:
)
(
)
(
4
)
(
4
2
1
0
2
1
0
x
f
x
f
x
f
y
y
y
( 2-21 )
Dies aufgrund von :
0
0
1
2
0
2
0
2
2
0
0
1
2
0
2
0
1
1
0
0
1
2
0
2
0
0
2
2
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
h
x
a
h
x
a
h
x
f
x
f
y
a
h
x
a
h
x
a
h
x
f
x
f
y
a
x
a
x
a
x
f
y
(
2-22
)
Denn an den Stellen
2
1
0
,
,
x
x
x
stimmt der Funktionswert von der Kurve
)
(x
f
und der Pa-
rabel überein. Der erste Doppelstreifen hat daher ungefähr den Flächeninhalt:
3
4
2
1
0
1
h
y
y
y
A
( 2-23 )
Die anderen Flächeinhalte berechnen sich analog dazu:
3
4
...
...
...
...
3
4
3
4
2
1
2
2
2
6
5
4
3
4
3
2
2
h
y
y
y
A
h
y
y
y
A
h
y
y
y
A
n
n
n
n
( 2-24 )
Ende der Leseprobe aus 106 Seiten

Details

Titel
Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in Potentialen und Supersymmetrischen Potentialen
Hochschule
Fachhochschule Vorarlberg GmbH
Note
1
Autor
Jahr
2005
Seiten
106
Katalognummer
V186146
ISBN (eBook)
9783869438870
ISBN (Buch)
9783867468886
Dateigröße
6379 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
numerische, berechnung, energieeigenwerte, potentialen, supersymmetrischen potentialen
Arbeit zitieren
Dipl.Ing.(FH) Harald Führer (Autor), 2005, Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in Potentialen und Supersymmetrischen Potentialen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/186146

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