Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Quantenphysik an sich und der numerischen Berechnung der Eigenfunktionen und Eigenwerte von beliebigen Potentialfunktionen.
Die Berechnung ist mit einem am Computer programmierten, ereignisgesteuerten
und mit einer Benutzeroberfläche ausgestatteten Programm möglich, ebenso wie automatische
Plotfunktionen. Im weiteren Teil der Arbeit wird dann zu Supersymmetrischen Potentialen
und deren numerischer Behandlung mit programmtechnischer Umsetzung für
genauere Analysen übergegangen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Grundlagen
2.1 Numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen
2.1.1 Allgemein
2.1.2 Streckenzugverfahren von Euler
2.1.3 Runge-Kutta
2.2 Numerisches Verfahren zur Differentiation
2.3 Numerisches Verfahren zur Integration
3 Schrödinger-Gleichung
3.1 Allgemein
3.2 Der Teilchen Welle Dualismus
3.2.1 Doppelspaltversuch mit klassischem Teilchen
3.2.2 Doppelspaltversuch mit klassischen Wellen
3.2.3 Doppelspaltversuch mit Elektronen
3.2.4 Interpretation der Doppelspaltexperimente
3.3 Das mathematische Gerüst der Quantentheorie
3.3.1 Das im unendlich hohen Potentialtopf eingesperrte Teilchen
3.3.2 Die Schrödinger-Gleichung
3.3.3 Interpretation der Wellenfunktion
4 Numerische Berechnung von Energieeigenwerten und Funktionen
4.1 Stetigkeitsbedingungen an den Potentialwänden
4.2 Unendlich hoher Potentialtopf
4.2.1 Analytische Lösung
4.2.2 Numerische Lösung
4.3 Potentialfunktion x² (quantenmechanischer Oszillator)
4.3.1 Analytische Lösung
4.3.2 Numerische Lösung
4.4 Potentialfunktion 1 / cosh(x)² + 1
5 Supersymmetrische Potentiale
5.1 Allgemein
5.2 Mathematische Behandlung der Supersymmetrischen Potentiale
5.2.1 Supersymmetrisches Potential im unendlich hohen Potentialtopf
5.2.2 Supersymmetrisches Potential zum Doppeltopfpotential
5.2.3 Aufsuchen der Energieeigenwerte aus höhergradigen Supersymmetrischen Potentialen
Resümee und Ausblick
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Computerprogramms, das in der Lage ist, Energieeigenwerte und Eigenfunktionen für beliebige Potentialfunktionen unter Nutzung numerischer Verfahren zu berechnen und grafisch darzustellen. Die Arbeit untersucht dabei die quantenmechanischen Grundlagen, die numerische Umsetzung der Schrödinger-Gleichung sowie die Anwendung von supersymmetrischen Potentialen.
- Numerische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen (Euler, Runge-Kutta).
- Interpretation des Teilchen-Welle-Dualismus und der Schrödinger-Gleichung.
- Numerische Berechnung von Energieeigenwerten für verschiedene Potentiale (Potentialtopf, Oszillator).
- Implementierung einer Benutzeroberfläche zur automatisierten Datenanalyse und grafischen Ausgabe.
- Einsatz supersymmetrischer Potentiale zur Untersuchung komplexerer quantenmechanischer Systeme.
Auszug aus dem Buch
3.2 Der Teilchen Welle Dualismus
Anfang des 20-sten Jahrhunderts hatte man verschiedenste Experimente gemacht, bei denen man nicht eindeutig sagen konnte, ob es sich bei dem untersuchten Objekt um eine elektromagnetische Welle oder ein Masseteilchen handelt. Zum Verständnis betrachten wir verschiedene gedankliche Experimente.
In Darst. 3-1 werden aus einer Schrottflinte Stahlkugeln auf eine Wand gefeuert. Beim ersten und zweiten Bild von links wird je ein einzelner Spalt abgedeckt und dann die Häufigkeit als Funktion des Ortes x aufgezeichnet. Beim Bild rechts wird die Häufigkeit ohne Abdeckung aufgezeichnet.
Dabei lässt sich beobachten: Die Kugeln kommen immer einzeln als diskrete Masseteilchen an. Bei vielen abgefeuerten Teilchen kommen pro Zeit und Detektorfläche viele Teilchen an, bei wenigen abgefeuerten Teichen wenige pro Zeit und Detektorfläche. Bei einer sehr hohen Anzahl an detektierten Kugeln ergibt sich I_a(x) und I_b(x). Wenn beide Blenden offen sind, dann ergibt sich I_c(x), das der Summe von I_a(x) und I_b(x) entspricht.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung beschreibt die historische Krise der Physik zu Beginn des 20. Jahrhunderts und stellt die Relevanz der Schrödinger-Gleichung für die Quantenmechanik heraus.
2 Grundlagen: Hier werden numerische Methoden wie das Streckenzugverfahren von Euler und das Runge-Kutta-Verfahren sowie Techniken zur numerischen Differentiation und Integration erläutert.
3 Schrödinger-Gleichung: Dieses Kapitel widmet sich dem Teilchen-Welle-Dualismus, dem mathematischen Gerüst der Quantentheorie und der Herleitung der Schrödinger-Gleichung.
4 Numerische Berechnung von Energieeigenwerten und Funktionen: Dieser Teil befasst sich mit der praktischen numerischen Bestimmung von Eigenwerten in verschiedenen Potentialen, wie dem unendlich hohen Potentialtopf und dem harmonischen Oszillator.
5 Supersymmetrische Potentiale: Das Kapitel untersucht supersymmetrische Ansätze, um mathematisch komplexe Potentiale oder eng beieinander liegende Eigenwerte effizienter numerisch zu lösen.
Resümee und Ausblick: Hier werden die Ergebnisse der Arbeit zusammengefasst und Möglichkeiten für zukünftige Erweiterungen, etwa durch adaptive Schrittweitensteuerung, aufgezeigt.
Schlüsselwörter
Schrödinger-Gleichung, Quantenmechanik, numerische Integration, Runge-Kutta-Verfahren, Energieeigenwerte, Eigenfunktionen, Potentialfunktion, Supersymmetrische Potentiale, Teilchen-Welle-Dualismus, Differentialgleichungen, numerische Mathematik, Simulation, Delphi, Wellenfunktion, Potentialtopf.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in der Arbeit grundsätzlich?
Die Diplomarbeit befasst sich mit der numerischen Berechnung von Energieeigenwerten und Eigenfunktionen für verschiedene Potentialfunktionen im Kontext der Quantenphysik.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die Arbeit verknüpft numerische Mathematik (Differentialgleichungslöser) mit theoretischer Quantenphysik (Schrödinger-Gleichung) und deren computergestützter Implementierung.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das Ziel ist die Erstellung einer Software (in Delphi), mit der Anwender für beliebige Potentialfunktionen Eigenwerte bestimmen und die Ergebnisse grafisch plotten können.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Es werden klassische numerische Verfahren wie das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung und die Simpson-Regel zur Integration angewandt, ergänzt durch Intervallschachtelungen zur Eigenwertsicherung.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt die Grundlagen der numerischen Verfahren, die Herleitung der Schrödinger-Gleichung und deren Anwendung auf spezifische Systeme wie den unendlich hohen Potentialtopf und den harmonischen Oszillator.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den wichtigsten Begriffen gehören Schrödinger-Gleichung, Runge-Kutta, Eigenwerte, Potentiale, Supersymmetrie und Quantenmechanik.
Wie unterscheidet sich das Programm von einer analytischen Lösung?
Während analytische Lösungen oft nur für einfache Systeme existieren, ermöglicht das numerische Verfahren die Berechnung für komplexe oder zusammengesetzte Potentiale, für die keine geschlossene Lösung mehr existiert.
Welche Rolle spielen die "Supersymmetrischen Potentiale" in der Arbeit?
Sie werden eingesetzt, um numerische Probleme bei der Bestimmung von eng beieinander liegenden Eigenwerten zu lösen, indem die Energieeigenwerte eines "Partnerpotentials" konstruiert werden.
Warum wird das Runge-Kutta-Verfahren verwendet?
Im Vergleich zum Euler-Verfahren bietet das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung eine deutlich höhere Genauigkeit bei vertretbarem Rechenaufwand, was für die Stabilität der Wellenfunktionsberechnung essentiell ist.
Was ist der "klassische Grenzfall"?
Der klassische Grenzfall beschreibt das Verhalten physikalischer Systeme bei sehr hohen Energien, bei denen die quantenmechanischen Effekte verschwinden und die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten in die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte übergehen.
- Citar trabajo
- Dipl.Ing.(FH) Harald Führer (Autor), 2005, Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in Potentialen und Supersymmetrischen Potentialen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/186146
