1 Problemstellung und Aufbau der Arbeit
Die Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit ist ein Themenge-biet, welches in der Literatur in ausführlichem Maße diskutiert und auf unterschied-liche Vorgehensweisen hergeleitet ist.1 Im wirtschaftswissenschaftlichen Bereich werden gerade im Zusammenhang mit ökonomischen Problemen Modelle mit zwei oder mehr Differentialgleichungssystemen verwendet, die zeitgleich zu lösen sind.2 Vor allem eignen sich die Lösungen von Differentialgleichungen (DGL) so-wie deren Systemen zur Interpretation und zur Beschreibung von ökonomischen Abläufen und Prozessen, da sie Informationen über Bewegungen und damit An-gaben über die „endogene Dynamik“3 enthalten. Deshalb erübrigt sich die Berück-sichtigung exogener Schocks wie beispielsweise Umwelteinwirkungen oder politi-schen Krisen, wodurch das zu lösende System trivialisiert wird. Im Rahmen dieser Seminararbeit soll eine allgemeine Vorgehensweise zur Stabilitätsuntersuchung eines zwei-dimensionalen Systems erarbeitet werden um aufbauend darauf unter-schiedliche Fälle von zwei-dimensionalen Differentialgleichungssystemen zu un-tersuchen.
Ziel dieser Arbeit ist es zunächst ein zwei-dimensionales lineares sowie autono-mes System in stetiger Zeit formal darzustellen um daraufhin dessen allgemeine Lösungen über zwei unterschiedliche Wege herzuleiten. Zuvor wird jedoch der Gleichgewichtsbegriff näher erläutert. Im Anschluss wird die allgemeine Lösung eines n-dimensionalen Systems erarbeitet, wobei für weitere Untersuchungen ein-fachheitshalber ein zwei-dimensionales System herangezogen wird. Im folgenden Schritt wird zunächst der Stabilitätsbegriff definiert. Aufbauend auf den hergeleite-ten Eigenwerten werden Stabilitätskriterien herausgearbeitet und definiert. Im letz-ten Schritt der Stabilitätsanalyse werden die zuvor festgelegten Kriterien ausführ-lich hergeleitet und mit Beispielen veranschaulicht. Schließlich werden im Fazit, die im Rahmen dieser Arbeit gewonnenen Ergebnisse zusammengetragen.
Inhaltsverzeichnis
- Problemstellung und Aufbau der Arbeit
- Formale Darstellung des Systems
- Systembeschreibung
- Gleichgewichtsbegriff
- Allgemeine Lösung eines zwei-dimensionalen Systems
- Erster Lösungsweg
- Zweiter Lösungsweg
- Fall der positiven Diskriminante
- Fall der Diskriminante gleich Null
- Fall der negativen Diskriminante
- Lösung eines n-dimensionalen Systems
- Stabilitätsanalyse
- Stabilitätsbegriff
- Stabilitätskriterien
- Anwendung der Stabilitätskriterien
- Erster Fall: Eigenwert reell und gleich
- Zweiter Fall: Eigenwerte reell und ungleich
- Dritter Fall: Eigenwerte konjugiert-komplex
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Arbeit befasst sich mit der Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit. Ziel ist es, eine allgemeine Vorgehensweise zur Stabilitätsuntersuchung eines zwei-dimensionalen Systems zu entwickeln und anhand verschiedener Fälle zu untersuchen.
- Formale Darstellung eines zwei-dimensionalen linearen Systems in stetiger Zeit
- Herleitung der allgemeinen Lösungen des Systems durch zwei unterschiedliche Wege
- Analyse des Gleichgewichtsbegriffs und dessen Ausprägungen
- Definition und Anwendung von Stabilitätskriterien für das System
- Zusammenfassen der gewonnenen Ergebnisse im Fazit
Zusammenfassung der Kapitel
- Kapitel 1: Problemstellung und Aufbau der Arbeit: Dieses Kapitel legt die Grundlage der Arbeit, indem es den Kontext und die Relevanz der Analyse eines autonomen linearen Systems im wirtschaftswissenschaftlichen Bereich erläutert. Die Arbeit soll eine allgemeine Vorgehensweise zur Stabilitätsuntersuchung entwickeln und verschiedene Fälle untersuchen.
- Kapitel 2: Formale Darstellung des Systems: Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der formalen Definition des zu untersuchenden Systems. Es beschreibt das System mit seinen Annahmen und erklärt die Eigenschaften Linearität, Autonomie und Homogenität. Der Gleichgewichtsbegriff wird eingeführt und verschiedene Ausprägungen des Gleichgewichtszustands werden dargestellt.
- Kapitel 3: Stabilitätsanalyse: Dieses Kapitel widmet sich der Stabilitätsanalyse des Systems. Zunächst werden der Stabilitätsbegriff und verschiedene Stabilitätskriterien definiert. Im Anschluss werden die Kriterien anhand von Beispielen erläutert und auf unterschiedliche Fälle von Eigenwerten angewendet.
Schlüsselwörter
Die Arbeit beschäftigt sich mit der Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit. Die wichtigsten Schlüsselwörter sind: Differentialgleichungssystem, Stabilitätsanalyse, Eigenwerte, Gleichgewichtsbegriff, zwei-dimensionales System, lineares System, autonome Systeme.
- Quote paper
- Raihan Youssufzay (Author), 2011, Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/188203
