Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit


Seminararbeit, 2011
32 Seiten, Note: 2,0

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Problemstellung und Aufbau der Arbeit

2 Formale Darstellung des Systems
2.1 Systembeschreibung
2.2 Gleichgewichtsbegriff
2.3 Allgemeine Lösung eines zwei-dimensionalen Systems
2.3.1 Erster Lösungsweg
2.3.2 Zweiter Lösungsweg
2.3.2.1 Fall der positiven Diskriminante
2.3.2.2 Fall der Diskriminante gleich Null
2.3.2.3 Fall der negativen Diskriminante
2.4 Lösung eines n-dimensionalen Systems

3 Stabilitätsanalyse
3.1 Stabilitätsbegriff
3.2 Stabilitätskriterien
3.3 Anwendung der Stabilitätskriterien
3.3.1 Erster Fall: Eigenwert reell und gleich
3.3.2 Zweiter Fall: Eigenwerte reell und ungleich
3.3.3 Dritter Fall: Eigenwerte konjugiert-komplex

4 Fazit

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Literaturverzeichnis

1 Problemstellung und Aufbau der Arbeit

Die Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit ist ein Themenge- biet, welches in der Literatur in ausführlichem Maße diskutiert und auf unterschied- liche Vorgehensweisen hergeleitet ist.1 Im wirtschaftswissenschaftlichen Bereich werden gerade im Zusammenhang mit ökonomischen Problemen Modelle mit zwei oder mehr Differentialgleichungssystemen verwendet, die zeitgleich zu lösen sind.2 Vor allem eignen sich die Lösungen von Differentialgleichungen (DGL) so- wie deren Systemen zur Interpretation und zur Beschreibung von ökonomischen Abläufen und Prozessen, da sie Informationen über Bewegungen und damit An- gaben über die „endogene Dynamik“3 enthalten. Deshalb erübrigt sich die Berück- sichtigung exogener Schocks wie beispielsweise Umwelteinwirkungen oder politi- schen Krisen, wodurch das zu lösende System trivialisiert wird. Im Rahmen dieser Seminararbeit soll eine allgemeine Vorgehensweise zur Stabilitätsuntersuchung eines zwei-dimensionalen Systems erarbeitet werden um aufbauend darauf unter- schiedliche Fälle von zwei-dimensionalen Differentialgleichungssystemen zu un- tersuchen.

Ziel dieser Arbeit ist es zunächst ein zwei-dimensionales lineares sowie autono- mes System in stetiger Zeit formal darzustellen um daraufhin dessen allgemeine Lösungen über zwei unterschiedliche Wege herzuleiten. Zuvor wird jedoch der Gleichgewichtsbegriff näher erläutert. Im Anschluss wird die allgemeine Lösung eines n-dimensionalen Systems erarbeitet, wobei für weitere Untersuchungen ein- fachheitshalber ein zwei-dimensionales System herangezogen wird. Im folgenden Schritt wird zunächst der Stabilitätsbegriff definiert. Aufbauend auf den hergeleite- ten Eigenwerten werden Stabilitätskriterien herausgearbeitet und definiert. Im letz- ten Schritt der Stabilitätsanalyse werden die zuvor festgelegten Kriterien ausführ- lich hergeleitet und mit Beispielen veranschaulicht. Schließlich werden im Fazit, die im Rahmen dieser Arbeit gewonnenen Ergebnisse zusammengetragen.

2 Formale Darstellung des Systems

2.1 Systembeschreibung

Die Modelle von ökonomischen Problemen können mit Hilfe von Differentialgleichungssystemen abgebildet und gelöst werden. Diese werden in der Literatur meist auf zwei-dimensionale Gleichungssysteme reduziert, da sie sehr gut dargestellt und untersucht werden können. Im Rahmen dieser Seminararbeit wird ein solches System behandelt und im Folgenden mit dessen Annahmen ausführlich beschrieben. Hierbei sind x und y die beiden Funktionen und

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

das zu analysierende Differentialgleichungssystem. In der Matrixschreibweise lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei (1) handelt es sich um ein lineares System erster Ordnung, da die abhängigen Variablen x und y linear miteinander verknüpft sind. Dieses System ist zudem ein autonomes, weil es auf der rechten Seite keine zeitabhängige Variable enthält. Schließlich liegt in diesem Fall auch Homogenität vor, weil sich im System keine weitere additionale Konstante befindet.4

Die letzte relevante Eigenschaft des zu untersuchenden Systems ist dessen Ste- tigkeit. Mathematisch ausgedrückt ist eine Funktion f „an der Stelle ihres Defini- tionsbereichs X stetig, wenn für jede Folge x aus X, die gegen strebt, im- n mer auch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] konvergiert.“5 Anschaulich ist darunter zu verstehen, dass n eine Funktion mit einem durchgezogenen Funktionsgraphen ohne Sprünge stetig ist. Diese Annahme gilt auch für das Differentialgleichungssystem (1).

2.2 Gleichgewichtsbegriff

MACHLUP F. bezeichnet ein GG als „a constellation of selected interrelated variables so adjusted to one another that no inherent tendency to change prevails in the model which they constitute“6. Für ein zwei-dimensionales lineares System ist der Zustandsraum zur Veranschaulichung heranzuziehen. Dies ist die Abbildung der zeitgleichen Entwicklung von meist stetigen Variablen. Darin wird mit Hilfe einer Trajektorie der zeitliche Entwicklungspfad einer Variablen eines DGLs dargestellt. Für den konkreten Fall der folgenden Darstellungen gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein intertemporales GG des Systems existiert im Punkt E, wobei sich entweder f x, y oder g x, y im Zeitverlauf ändern. Die jeweiligen Plus- und Minuszeichen zeigen die Bewegungsrichtungen auf.7

Ein Gleichgewichtszustand kann unterschiedliche Ausprägungen besitzen. Diese sind a) der instabile Knoten, b) der stabile Knoten, c) der Sattelpunkt, d) der stabi- le Strudel und e) der Wirbel bzw. Wirbelpunkt. Die folgende Abbildung stellt diese Zustände dar, wobei im Anschluss darauf diese im Einzelnen beschrieben werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Typen von Gleichgewichtszuständen

Quelle: CHIANG, 1967, S. 632ff.

Der Knoten ist ein Gleichgewichtszustand, der zwei unterschiedliche Formen annehmen kann. Handelt es sich um einen instabilen Knoten, dann führen die Bahnkurven strikt von dem Gleichgewichtsknoten hinweg. Umgekehrt führen die Bahnkurven eines stabilen Knotens hin zum GG.

Ein Sattelpunkt hingegen kann gleichzeitig zwei unterschiedliche Eigenschaften aufweisen. Die Abbildung c) veranschaulicht, dass es einerseits zwei stabile Kammlinien besitzt, die direkt und konsistent zum Sattelpunkt hinführen. Anderer- seits weist es zwei instabile Kammlinien auf, die direkt und konsistent vom Sattel- punkt wegführen. Zudem existieren Trajektorien, die sich in einem gewissen Be- reich zunächst auf den Sattelpunkt zu bewegen um sich dann wieder davon hin- weg zu bewegen. Auf Grund der Tatsache, dass die Stabilität eines Sattelpunktes lediglich auf den stabilen Kammlinien gegeben ist, wird diese Art eines GGs als instabil eingestuft.

Auch Strudel können allgemein zwei unterschiedliche Formen annehmen. Diese können sich entweder strikt wirbelnd auf den Strudel hinzubewegen, wobei sie dann als stabile Strudel bezeichnet werden. Die Abbildung c) veranschaulicht ei- nen solchen Fall, jedoch ist dort aus Übersichtsgründen lediglich eine Trajektorie dargestellt. Im Falle eines instabilen Strudels bewegt sich dieser strikt wirbelnd nach außen.

Schließlich können Gleichgewichte die Form eines Wirbels bzw. eines Wirbelpunktes annehmen. Dabei besteht dieses aus wirbelnden Kammlinien, die konzentrische Schleifen in Form von Kreisen oder Ovale bildet. Diese wiederrum bilden eine Art Umlaufbahn, die in ständiger Bewegung um das GG ist. Ein solches ist als instabil einzuordnen.8

Neben Typen von GGen wird in der Literatur im Zusammenhang mit GGen deren Existenz- und Eindeutigkeit diskutiert. Anhand der Existenzuntersuchung wird überprüft, ob unter gegebenen Annahmen und Voraussetzungen überhaupt ein GG vorhanden ist. Darauf aufbauend kann mit Hilfe der Eindeutigkeitsuntersu- chung examiniert werden, ob eines oder mehrere solcher GGe existieren. In ei- nem autonomen linearen System können zwei mögliche Situationen im Zusam- menhang mit GGen unterschieden werden. Entspricht die Determinante des Glei- chungssystems Null, dann existieren unendliche viele Lösungen. Dahingegen gilt für den Fall der Determinante ungleich Null, dass dieses aus genau einer Lösung besteht.9

Im nächsten Abschnitt, werden zwei mögliche Wege zur Herleitung der allgemei- nen Lösung eines linearen autonomen Systems in stetiger Zeit ausführlich darge- stellt.

2.3 Allgemeine Lösung eines zwei-dimensionalen Systems

Die Lösung eines zwei-dimensionalen Systems kann über zwei Methoden ermittelt werden. Bei der ersten handelt es sich um eine sehr allgemeine Vorgehensweise bei der das gegebene System in eine DGL zweiter Ordnung umformuliert wird um auf diese Weise das Sys]tem lösen zu können. Im Rahmen der zweiten Methode wird über die Determinante der Matrix zunächst das charakteristische Polynom und daraus allgemeine Lösungen ermittelt. Insgesamt wird jedoch in beiden Mög- lichkeiten die Lösung über das charakteristische Polynom hergeleitet.

2.3.1 Erster Lösungsweg

Der Grundgedanke im ersten Verfahren ist es das Gleichungssystem (1) so umzu- stellen, dass es letztlich aus einer unbekannten Funktion besteht. Im Folgenden wird die erste DGL, für die b gleitet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Falle, das b0 ist, kann auf die gleiche Weise die zweite DGL des Systems aus (1 ) nach x umformt werden, wobei dann [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt. Eine weiterer Schritt ist erforderlich, wenn gleichzeitig b und c ungleich Null sind. Die Substitution von (3) und (4) in der zweiten Gleichung von (1) ergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Faktor b kann durch Multiplikation aus dem Nenner eliminiert und die Gleichung folgendermaßen umgestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist (5) eine DGL zweiter Ordnung mit einer unbekannten,10 die eine charakteristische Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

besitzt.11 Die Abbildung 1 veranschaulicht den Zusammenhang der Lösungsmöglichkeiten für sowie den damit verbundenen und zu untersuchenden Fällen. Entspricht der Wert des Radikanden Null, dann gibt es für die charakteristische Gleichung zwei gleiche und reelle Lösungen. Bei einem Radikanden ungleich Null existieren zwei ungleiche Lösungen, die entweder reell für den Ausdruck unter der Wurzel größer Null sind oder Element komplexer Zahlen für kleiner Null. Diese drei Möglichkeiten werden im Folgenden formal hergeleitet.

[...]


1 Vgl. SHONE, 2002, S. 143-200; vgl. GÜNZEL, 2008, S. 171-230; vgl. HEUSER, 1995, S. 467-473; vgl. GANDOLFO, 1997, S. 237-278.

2 Vgl. SHONE, 2002, S. 142.

3 Vgl. THOMA, 2000, S. 47.

4 Vgl. SHONE, 2002, S. 142.

5 HEUSER, 2006, S. 212.

6 MACHLUP, 1958, S. 9.

7 Vgl. CHIANG, 1967, S. 629ff.

8 Vgl. CHIANG, 1967, S. 632ff.

9 Vgl. LÉONARD/VAN LONG, 1992, 96f.

10 Vgl. GANDOLFO, 1997, S. 238.

11 Vgl. GANDOLFO, 1997, S.194 und HEUSER, 1995. S. 452.

Ende der Leseprobe aus 32 Seiten

Details

Titel
Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit
Hochschule
Bayerische Julius-Maximilians-Universität Würzburg  (Empirische Wirtschaftsforschung)
Veranstaltung
Seminar zu "Konjunktur und Wachstum"
Note
2,0
Autor
Jahr
2011
Seiten
32
Katalognummer
V188203
ISBN (eBook)
9783656118343
ISBN (Buch)
9783656118589
Dateigröße
980 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
stetige Zeit, lineares System, autonomes System
Arbeit zitieren
Raihan Youssufzay (Autor), 2011, Analyse eines autonomen linearen Systems in stetiger Zeit, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/188203

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