Volatilität – Investitionsmöglichkeiten in eine neue Assetklasse


Diplomarbeit, 2011

93 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe


Inhaltverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

Begriffsdefinition

1 Problemstellung und Zielsetzung

2 Volatilität
2.1 Definition
2.2 Historische Volatilität
2.3 Implizite Volatilität
2.4 Zukünftige Volatilität
2.5 Saisonale Volatilität

3 Berechnungsmethoden
3.1 Das Black-Scholes-Modell
3.1.1 Arbitrageportfolio
3.1.2 Grundannahmen des Modells
3.1.3 Die Lognormalverteilung
3.2 Optionspreisberechnung nach Black-Scholes
3.2.1 Die Modellierung von Kurspfaden
3.2.1.1 Markov-Eigenschaft
3.2.1.2 Wiener-Prozess
3.2.1.3 Allgemeiner Wiener-Prozess
3.2.1.4 Itô-Prozess
3.2.2 Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung
3.3 Binomialmodell
3.3.1 Cox-Ross-Rubinstein
3.3.2 Darstellung eines Binomialbaumes

4 Bedeutung der impliziten Volatilität
4.1 Schiefe (Skewness) und Wölbung (Kurtosis)
4.2 Smile-Effekt
4.2.1 Der Smile-Effekt bei Aktienoptionen
4.2.2 Der Smile-Effekt bei Währungsoptionen
4.3 Volatilität im Zeitablauf
4.4 Oberfläche der Volatilität
4.5 Sensitivitätskennzahl Vega

5 Volatilität als Assetklasse
5.1 Volatilitätsindizes
5.1.1 VDAX-NEW
5.1.2 Unterschiede zu anderen Volatilitätsindizes
5.2 Eigenschaften der Volatilität
5.2.1 Leverage-Effekt
5.2.2 Mean Reversion
5.2.3 Volatilitäts-Clustering

6 Investitionsmöglichkeiten in Volatilitätsprodukte
6.1 Pfadabhängige Strategien
6.1.1 Delta-Hedging
6.1.2 Volatilitätsstrategien erster Ordnung
6.1.2.1 Long-Straddle
6.1.2.2 Weitere Optionsstrategien
6.1.3 Volatilitätsstrategien zweiter Ordnung
6.2 Reine Volatilitätsprodukte
6.2.1 Swaps
6.2.2 Futures
6.2.3 Optionen
6.2.4 Zertifikate
6.2.5 Exchange Traded Notes

7 Schlussbetrachtung

Literaturverzeichnis

Anhang

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Aktienrendite und Aktienkurs hinsichtlich ihrer Verteilung

Abbildung 2: Typische Pfade von Wiener-Prozessen

Abbildung 3: Black-Scholes Bewertungsfunktion für Calls

Abbildung 4: Optionspreise in einem Binomialbaum

Abbildung 5: Optionspreisbestimmende Parameter nach Black-Scholes

Abbildung 6: Schiefe bei der Renditedichte

Abbildung 7: Wölbung einer Renditeverteilung

Abbildung 8: Volatility Smile und Verteilungen für Aktienoptionen

Abbildung 9: Volatility Smile und Verteilungen für Währungsoptionen

Abbildung 10: Volatilitätsoberfläche von DAX-Optionen

Abbildung 11: Vega in Abhängigkeit von Strike Price und Restlaufzeit

Abbildung 12: Kursvergleich VDAX und VDAX-NEW (zurückberechnet)

Abbildung 13: Positive Korrelation der Aktienmärkte

Abbildung 14: Negative Korrelation zwischen VDAX-NEW und DAX 30

Abbildung 15: Mean Reversion anhand des VDAX-NEW

Abbildung 16: Mean Reversion der Volatilität

Abbildung 17: Gewinn- / Verlustprofil eines Straddles am Laufzeitende

Abbildung 18: Dynamisches Gewinn- / Verlustprofil eines Straddles

Abbildung 19: Nominal-Verlauf von Varianz-Swap (blau) und Volatilitäts-Swap (grau)

Abbildung 20: Gehandelte Kontrakte und Open Interest des Mini-Futures

Abbildung 21: Forwardkurve der Volatilität

Abbildung 22: Gehandelte Kontrakte und Open Interest der Optionen

Abbildung 23: Negative Korrelation in Krisenzeiten

Abbildung 24: Index-Zusammensetzungen und Korrelationen der iPath S&P 500 VIX Mid- / Short-Term Futures ETNs

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Volatilitätsmatrix

Tabelle 2: Verschiedene Volatilitätsindizes

Tabelle 3: Beispiel für einen Long-Straddle

Tabelle 4: Kontraktspezifikationen des Eurex VSTOXX Mini-Futures

Tabelle 5: Kontraktspezifikationen der Eurex VSTOXX Optionen

Tabelle 6: Volatilitäts-ETNs auf Xetra

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Begriffsdefinition

In der immer stärker globalisierten Finanzwelt haben sich für Bezeichnungen und Usancen unterschiedliche Begrifflichkeiten entwickelt. Um dieser Arbeit eine einheitliche und für den Leser verständliche Schreibweise zu geben, werden vorab Begrifflichkeiten festgelegt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Problemstellung und Zielsetzung

We started with exotic options on vanilla underlying instruments and nowadays we have vanilla options on exotic underlying instruments. Let’s see what the future has to offer. Nach Israel Nelken, Volatility as an Asset Class.

Die internationalen Finanzmärkte sind immer stärker vernetzt und zeichnen sich zudem durch eine immer größer werdende Komplexität aus. Die Anzahl an neuen Produkten, die an den Märkten verfügbar ist, steigt kontinuierlich und damit auch die Handelsvolumina, die teilweise extrem gestiegen sind. Vor allem im Bereich von derivativen Finanzinstrumenten gibt es hohe Wachstumsraten.[1]

Zudem haben die technisch immer ausgereifteren Handelssysteme und die Möglichkeit der globalen Orderplatzierung zu einer stärkeren Korrelation der internationalen Märkte geführt. Informationen werden durch automatisierte Prozesse in Sekundenschnelle verarbeitet und umgesetzt.

Die weltweiten Finanzplätze werden dadurch immer stärkeren Schwankungen ausgesetzt. Die Volatilität rückt demzufolge zunehmend in den Mittelpunkt der Finanzmarktakteure und findet in vielen Bereichen eine zentrale Bedeutung. Diese Bedeutung ist nicht zuletzt deswegen gegeben, da die Volatilität ein wesentlicher Bestandteil von vielen Preisberechnungsmodellen von Derivaten ist.

Aber auch als Assetklasse ist der Volatilität über die letzten Jahre eine wachsende Aufmerksamkeit entgegen gebracht worden. Immer mehr Investoren setzen die Volatilität als Bereicherungsmöglichkeit des Depots auf ihre Agenda.

Allerdings verzeichnen viele der bis jetzt emittierten Volatilitätsprodukte eine schlechte Performance und die Anleger stehen vor einer großen Anzahl verschiedener Produkte. Die Volatilität ist zudem ein sehr komplexes und theoretisches Konstrukt, welches sich somit als facettenreiches Investment zeigt. Einige sind davon für den Anleger sehr nützlich und geben der Volatilität die Berechtigung als eigene Assetklasse wahrgenommen zu werden, andere Eigenschaften erweisen sich wiederum als sehr negativ für den Anleger.

Diese Arbeit nimmt die Entwicklungen als Ausgangspunkt, sich mit den Investitionsmöglichkeiten in Volatilität als neue Assetklasse auseinander-zusetzen. Es werden die aktuellen Forschungsergebnisse über die Grundlagen und die Charakteristiken der Volatilität kritisch betrachtet. Dies soll dem Investor ein Verständnis für die Herleitung der Volatilität ermöglichen und zudem einen Einblick in die Funktionalität der Eigenschaften der Volatilität im Rahmen einer Assetklasse gestatten. Die Erkenntnisse werden anschließend genutzt, um ausgewählte Produkte vorzustellen und zu analysieren. Die Analyse soll zeigen, inwieweit ein Mehrwert für den Anleger ermöglicht wird und für welche Anlegergruppen die Finanzinstrumente grundsätzlich geeignet sind.

Die Arbeit beginnt mit einer Definition der Volatilität in Kapitel Zwei, in dem ferner die Volatilitätsbegriffe erläutert werden. In Kapitel Drei werden die Grundlagen von Optionsmodellen thematisiert und die Herleitung des Optionspreisberechnungsmodells nach Black und Scholes sowie das Binomialmodell aufgezeigt. Anschließend wird in Kapitel Vier die Bedeutung der impliziten Volatilität näher diskutiert, um ihre Wichtigkeit für die Bepreisung von Volatilitätsprodukten abzugrenzen. In Kapitel Fünf erfolgt die Betrachtung der Volatilität als Assetklasse. Des Weiteren wird, neben einer Analyse der charakteristischen Eigenschaften und den Auswirkungen der Volatilität, ein Überblick über die Volatilitätsindizes und deren Berechnungsmethodik vorgenommen. Abschließend werden in Kapitel Sechs ausgewählte Volatilitätsprodukte hinsichtlich ihrer Funktion und deren Nutzen für Investoren betrachtet.

2 Volatilität

2.1 Definition

Der Begriff der Volatilität kommt aus dem Lateinischen (volatilis „fliegend“; „flüchtig“) bzw. ist eng verwandt mit dem italienischen Wort volare („fliegen“) und ist eine „der bekanntesten Risikokennziffern in der Finanzwelt.“[2] In der Börsensprache wird zudem der Ausdruck Vola genutzt.

Die Volatilität ist ein statistisches Maß, um die durchschnittlichen Schwankungen der Renditen eines Wertpapieres respektive einer anderen Finanzgröße um ihren Mittelwert zu messen.[3]

Als Grundlage hierfür dient das Streuungsmaß Varianz, welches unter anderem mit dem griechischen Buchstaben Sigma σ² oder bezeichnet wird.[4] Die Varianz beantwortet die Frage, inwieweit ein Datensatz vom arithmetischen Mittel abweicht bzw. streut.

Das arithmetische Mittel stellt in der beschreibenden Statistik den wichtigsten Lageparameter in Risikomodellen dar.[5] Es gibt den Durchschnitt eines beobachteten Datensatzes wieder und errechnet sich gemäß der folgenden Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um nun die Streuung zu errechnen, liegt grundsätzlich das Vorgehen nahe, die Summe der Abweichung vom Mittelwert zu errechnen und durch die Anzahl der Beobachtungen zu teilen. Dies führt allerdings zu keinem sinnvollen Ergebnis, da die Summe aufgrund der Definition des arithmetischen Mittels immer null ergibt.[6]

Deshalb quadriert man die Differenz von dem beobachteten Wert und dem arithmetischen Mittel und dividiert das Ergebnis durch die Anzahl der Beobachtungen, was sich in folgender Formel ausdrücken lässt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit besitzt die Varianz die Dimension „Quadrat“. Das hat zur Folge, dass zwischen positiven und negativen Werten keine Unterscheidung mehr stattfindet und große Wertveränderungen überproportional berücksichtigt werden. Des Weiteren quadriert sich die ursprüngliche Maßeinheit.

Um Letzteres zu beheben, wird aus der Varianz die Wurzel gezogen. Damit erhält man dieselbe Maßeinheit in Form der Standardabweichung respektive der Volatilität.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Finanzwelt sind verschiedene Formen der Volatilität bekannt, die nachfolgend dargestellt werden.

2.2 Historische Volatilität

Die Historische Volatilität ist die annualisierte Standardabweichung der logarithmierten Kursrenditen eines Einzeltitels. Sie wird über einen Zeitraum von n Tagen als gleitender Durchschnitt gemessen.“[7]

Die logarithmische Normalverteilung wird z. B. anstatt der Gauß-Verteilung verwendet, da diese sich nur über die Menge der positiven reellen Zahlen erstreckt und somit keine negativen Kurse entstehen können (siehe Kapitel 3.1.3).

Gelöst von der Annualisierung ist die Länge der Messperiode (der Zeitraum n) zu beachten. Je länger die Periode gewählt wird, umso glatter ist der Verlauf der berechneten Volatilität.[8] Die in Kapitel 2.1 dargestellte Berechnungsmethode gibt die annualisierte historische Volatilität wieder. Je nach der Basierung der Rendite muss entsprechend faktorisiert werden. Liegen z. B. Tagesdaten vor, muss mit √250, bei Monatsdaten mit √12 multipliziert werden.[9]

Es sollte auf eine Kongruenz des Beobachtungszeitraumes und des Investitionszeitraumes geachtet werden. Ferner ist die Berechnungs-methodik der Renditen zu betrachten. Bei der stetigen Berechnungs-variante, bei der fortlaufend kapitalisiert wird, entsteht ein kontinuierlicher Aktienkursverlauf. Bei der diskreten Variante hingegen kann es zu sprunghaften Kursanstiegen kommen.

Des Weiteren gilt es zu beachten, inwieweit historische Ereignisse zu einer Verzerrung der Volatilität beigetragen haben könnten. Besonderes Augenmerk ist hierbei auf das Erscheinen ökonomischer Daten sowie außerordentliche Ereignisse, wie eine Finanzkrise, zu achten. Tritt ein singuläres Börsenereignis ein, bleibt es entsprechend der Zeitraum-betrachtung in der Kennzahl enthalten.

Zusammenfassend sei gesagt, dass die historische Volatilität versucht aufgrund historischer Daten eine Prognose für die Zukunft zu treffen. Allerdings lässt sich heutzutage eher nicht davon ausgehen, dass sich die beobachtete Entwicklung in der Zukunft ähnlich wiederholt.[10]

2.3 Implizite Volatilität

Um eine optimale Anlageentscheidung zu treffen, wäre die effizienteste Methode, zu wissen, wie sich die Renditeschwankungen in der Zukunft verhalten werden.

Es besteht die Möglichkeit, mit Hilfe des Black-Scholes-Modell (B/S-Modells) zur Bewertung von Optionsprämien (Kapitel 3.2) die zukünftigen Erwartungen der Marktteilnehmer zur Volatilität zu ermitteln.

Hierzu gibt man alle bekannten Input-Faktoren (den aktuellen Kurs des Underlyings, Strike Price, Restlaufzeit der Option sowie den risikolosen Zins) in die B/S-Formel ein und setzt diese gleich der vom Markt vorgegebenen Optionsprämie. Aufgrund fehlender Inversionsmöglichkeiten der Formel kann allerdings nicht direkt zur Volatilität umgestellt werden. Hierfür verwendet man das Iterationsverfahren[11] (Trial-and-Error), um die implizite Volatilität zu ermitteln.

Es lassen sich hierdurch nicht nur Aussagen über die eingepreisten (zukünftige) Erwartungen der Marktteilnehmer zur Volatilität ableiten, sondern es besteht ferner die Möglichkeit, vergleichbare aber illiquide Produkte zu bewerten. Dazu verwenden Händler die implizite Volatilitäten von aktiv gehandelten Optionen auf ein bestimmtes Underlying und interpolieren zwischen diesen, um die entsprechende Volatilität für eine weniger aktiv gehandelte Option auf dasselbe Underlying zu ermitteln.[12]

Zu beachten bleibt, dass die implizite Volatilität abhängig von dem inneren Wert einer Option ist. Wenn der innere Wert einer Option sich nahe Null befindet, also der Kurs des Underlyings ähnlich dem Strike Prices ist, beobachtet man eine hohe Volatilitätssensitivität. Divergieren der Kurs des Underlyings und der Strike Price, nimmt dieser Zusammenhang ab (siehe dazu Kapitel 4.2).

2.4 Zukünftige Volatilität

Als Zukünftige Volatilität wird die zukünftige Schwankung einer Aktie in einem festgelegten Zeitraum bezeichnet.[13]

Die zukünftige Schwankung eines Underlyings lässt sich nicht mit Sicherheit voraussagen. Vielmehr wird hier von der historischen Volatilität ausgegangen, welche dann für die Zukunft abgeleitet werden soll. Es wird aus historischen Daten ein Wert für die Zukunft geschätzt, der sich mit den bereits erörterten Problemen wie der Größe des Zeitraumes des Daten-satzes und einer eventuellen Gewichtung (Kapitel 2.2) konfrontiert sieht.

Somit ist die zukünftige Volatilität mit der historischen Volatilität gleichzusetzen und findet eher eine geringe Bedeutung, zumal sie auch durch die implizite Volatilität in einem konkreteren Maße ausgedrückt werden kann.

2.5 Saisonale Volatilität

Der Begriff der saisonalen Volatilität findet seinen Ausdruck im „wiederkehrende[n] Auftreten von jahreszeitlichen oder konjunkturellen Schwankungen bei Investitionsgütern“[14] und ist hauptsächlich bei Warentermingeschäften wie dem Orangensaft-Future und Wetterderivaten von Bedeutung. Ferner existiert keine genaue Berechnungsvorschrift.[15]

Dementsprechend ist die saisonale Volatilität nicht weiter von Bedeutung für diese Arbeit.

Zusammenfassend kann konstatiert werden, dass die Klassifizierungen der verschieden Formen der Volatilität relativ nahe zusammen liegen. Diese Schlussfolgerung ergibt sich aus dem Faktum, dass die implizite Volatilität die Erwartung der Marktteilnehmer ausdrückt, während ein Erwartungswert letztendlich die Vorwegnahme eines zukünftigen Ereignisses bedeutet.

Zudem beeinflussen neben der reinen Handelstätigkeit von Marktteilnehmern vor allem Nachrichten die Volatilität der Kurse. Dabei zählen Ereignisse wie Arbeitslosenzahlen, Konjunkturdaten oder die Bekanntgabe von Leitzinsänderungen zu den hauptsächlichen Wertetreibern.[16] Hier besteht die Möglichkeit, aufgrund von historischen Geschehnissen die Veränderung der Volatilität für die Zukunft zu prognostizieren und somit aus der historischen Volatilität ebenfalls einen erwarteten Zukunftswert zu implizieren.

Wie im weiteren Verlauf dieser Arbeit zu erkennen sein wird, ergeben sich jedoch weitreichende Folgen aus den einzelnen Formen der Volatilität.

3 Berechnungsmethoden

Wie im vorgehenden Kapitel dargestellt, stellt die Volatilität ein vielschichtiges Maß dar, welches über verschiedene Zeitraum-betrachtungen ermittelt werden kann.

In diesem Kapitel soll ein Überblick über die beiden bekannten Bewertungsmethoden, neben dem Gleichgewichtsmodell von Black-Scholes das Binomialmodell von Cox-Ross-Rubinstein (CRR), dargestellt werden.

3.1 Das Black-Scholes-Modell

Der Grundstein der modernen Optionspreistheorie ist bereits im Jahr 1900 mit der Arbeit von Bachelier gelegt worden. Er benutzte damals bereits das Modell der Brownschen Bewegung (Kapitel 3.2.1.2) zur Beschreibung von Aktienkursen. Hier wurde der Wert einer Option als Erwartungswert ihrer Auszahlung dargestellt.[17]

Im Jahr 1973 haben dann Fischer Black und Myron Scholes den bis heute anerkannten Durchbruch zur Bewertung von Optionen veröffentlicht. Erwähnt sei an dieser Stelle, dass Robert C. Merton ebenfalls an dem Modell mitgewirkt hat, jedoch im selben Jahr eine eigenständige Arbeit veröffentlich hat, in der bereits erste Erweiterungen des Modells vorgenommen wurden.[18] Dementsprechend wird die Bewertungsmethodik auch als Black-Scholes-Merton-Modell bezeichnet[19], wobei in dieser Arbeit synonym die Bezeichnung Black-Scholes-Modell verwendet wird. Das Modell hatte eine zentrale Bedeutung für das Financial Engineering[20] in den 1980er und 1990er Jahren und wurde damals wie heute für die Evaluierung von Optionsgeschäften verwendet. Das Gleichgewichtsmodell stellt nach wie vor eine zentrale Forschungsgrundlage dar und ist Bestandteil von unzähligen empirischen Untersuchungen, Erweiterungen und wissenschaftlichen Arbeiten. Infolgedessen ist es nicht verwunderlich, dass im Jahre 1997 Scholes und Merton (Black verstarb 1995) mit dem Nobelpreis für Wirtschafts-wissenschaften ausgezeichnet wurden.

Nachfolgend soll das B/S-Modell, genauer gesagt die B/S-Differential-gleichung, hergeleitet werden. Dafür sind diverse Voraussetzungen notwendig, die teils fundierte Kenntnisse der stochastischen Differential-gleichung fordern. Da das B/S-Modell sehr weit verbreitet ist und auch einen bedeutenden Bestandteil für das Verständnis dieser Arbeit darstellt, soll nachfolgend die Herleitung verdeutlicht werden.

3.1.1 Arbitrageportfolio

Die Ermittlung des Optionspreises im B/S-Modell basiert auf der Bildung eines risikolosen Portfolios, das je eine Position in einer Aktie und in einem Derivat, welches sich auf die Aktie bezieht, enthält. Wichtig hierbei ist, dass keine Arbitragemöglichkeiten vorhanden sind, da so die Rendite aus dem Portfolio dem risikolosen Zinssatz entspricht. Dies führt zu der B/S-Differentialgleichung.[21]

Ermöglicht wird die Bildung des risikolosen Portfolios dadurch, dass der Wert des Derivates und der Aktie vom selben Wertetreiber, der Schwankung des Aktienkurses, abhängt. Zudem wird in der Aktie eine Long-Position und in dem Derivat, einem Call, eine Short-Position eingenommen. In einem entsprechenden Verhältnis gewichtet, ergibt sich somit eine perfekte Korrelation der beiden Finanztitel, wenn auch nur für einen sehr kurzen Zeitabschnitt. Durch die Korrelation und die entsprechende Gewichtung wird ein Verlust aus der Aktienposition durch einen Wertzuwachs des Derivates ausgeglichen (et vice versa). Somit ist der Gesamtwert des risikolosen Portfolios am Ende des kurzen Zeitabschnitts eindeutig bestimmbar.[22]

3.1.2 Grundannahmen des Modells

Um das B/S-Modell anwenden zu können, müssen bestimmte Annahmen zugrunde gelegt werden:[23]

1. Relative Änderungen des Underlyings in einer kurzen Zeitspanne sind logarithmisch normalverteilt[24], wobei Erwartungswert μ und Volatilität σ konstant sind.
2. Der risikolose Zinssatz ist konstant und für alle Laufzeiten identisch.
3. Leerverkäufe des Underlyings unter vollständiger Verwendung der erlösten Erträge sind möglich.
4. Es existieren keine Steuern oder Transaktionskosten.
5. Alle Wertpapiere sind beliebig teilbar und können in ihrer Menge frei gehandelt werden.
6. Es existieren keine Dividendenzahlungen, Bezugsrechte oder sonstige Zahlungen an die Wertpapierinhaber während der Laufzeit des Derivates.
7. Es existieren keine Arbitragemöglichkeiten.
8. Die Märkte sind zu jedem Zeitpunkt geöffnet und es erfolgt ein fortlaufender Wertpapierhandel.
9. Die Option kann nur bei Endfälligkeit ausgeübt werden (europäische Optionen).

3.1.3 Die Lognormalverteilung

Das B/S-Modell setzt die logarithmische Normalverteilung des Underlyings, also den Aktienkurs[25], voraus. Eine lognormalverteile Variable kann jeden Wert zwischen Null und Unendlich annehmen. Wenn die Kurse des Underlyings nicht lognormalverteilt sind, können sich negative Optionsprämien oberhalb des Underlyings ergeben, was aufgrund der Wertunter- bzw. Wertobergrenze[26] einer Option nicht möglich ist.[27]

Die Lognormalverteilung verläuft deshalb, im Gegensatz zur Normalverteilung, asymmetrisch. Die Normalverteilung beschreibt beispielsweise den Verlauf der Aktienrendite, die auch negative Werte enthalten kann. Durch die Symmetrie der Normalverteilung sind der Mittelwert, der Median und der Modus identisch. Nachfolgende Grafik verdeutlicht die unterschiedlichen Symmetrien der Verteilungen.

Abbildung 1: Aktienrendite und Aktienkurs hinsichtlich ihrer Verteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Komazec, Z. (2009), S. 8.

3.2 Optionspreisberechnung nach Black-Scholes

Bei der Berechnung von Optionsprämien spielen stochastische Prozesse in stetiger Zeit eine wesentliche Rolle. Aktienkurse sind eigentlich Prozesse in diskreter Zeit.[28] Beim B/S-Modell handelt es sich allerdings um ein zeitstetiges Modell mit unendlich vielen Handelszeitpunkten und einer gleichen Anzahl von Kursverlaufsmöglichkeiten des Underlyings.[29] Um diese Kursverlaufsmöglichkeiten respektive die Aktienkursentwicklung im Rahmen des Gleichgewichtsmodells bestimmen zu können, wird im B/S-Modell mit bestimmten Kursverlaufshypothesen gearbeitet. Dadurch werden Annahmen über den zukünftigen Verlauf des Kurses des Underlyings getroffen.[30]

3.2.1 Die Modellierung von Kurspfaden

Jede Variable, deren Wert sich im Laufe der Zeit in einer unsicheren Weise verändert, kann als stochastischer Prozess aufgefasst werden. Ferner unterscheidet man einen stochastischen Prozess in stetiger Zeit und in diskreter Zeit. Bei einem Prozess in diskreter Zeit kann sich der Wert der Variablen nur zu einem bestimmten festgelegten Zeitpunkt ändern, während die Änderung bei einem stochastischen Prozess in stetiger Zeit kontinuierlich stattfinden kann.[31]

3.2.1.1 Markov-Eigenschaft

Allem voran steht die Markov-Eigenschaft als grundlegende Annahme finanzwirtschaftlicher Modelle. Diese sagt aus, dass nur der aktuelle Wert einer Variablen für die Prognose der zukünftigen Entwicklung relevant ist. Vergangene Werte haben also keine Aussagekraft für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zukünftiger Werte.[32]

Angemerkt sei hierbei, dass zwar die exakte historische Aktienkursentwicklung keine Relevanz besitzt, aber grundsätzlich Erkenntnisse wie die historische Volatilität hilfreich sein können.

Dieser Überlegung zufolge lässt sich die Entwicklung des Aktienkurses modellieren als sogenannter Random-Walk-Prozess. Dieser besagt, dass der Aktienkurs einer Zufallsvariablen in einer bestimmten Zeitperiode folgt.[33]

3.2.1.2 Wiener-Prozess

Aus dem Random-Walk-Prozess folgt der Übergang zu dem Wiener-Prozess, der auch als (arithmetische) Brownsche Bewegung bekannt ist. Das Modell der Brownschen Bewegung entstand durch den englischen Botaniker James Brown im Jahre 1825, der Zitterbewegungen von Teilchen in einer Flüssigkeit beobachtete. Dies wurde von Einstein (1906) und Wiener (1923) weiterentwickelt. In der Physik wird es zur Beschreibung der Wärmebewegung von Teilchen genutzt, welche einer Vielzahl kleiner, molekularer Stöße ausgesetzt sind.[34]

Der Wiener-Prozess kann als reiner Zufallsprozess angesehen werden. Diese zufälligen Bewegungen summieren sich meistens zu einer Normalverteilung, wodurch die Aussage getroffen werden kann, dass die Positionsveränderung der Teilchen in einem kleinen Zeitintervall ∆t normalverteilt sind. Die nicht vorhandene Eigenbewegung sowie die Impulse aus allen Richtungen lassen auf einen Erwartungswert der Normalverteilung von Null schließen. Zudem ist es naheliegend, dass die Streuung des Teilchens mit der Zeit größer wird, also nimmt die Varianz in Abhängigkeit von ∆t zu.[35]

Ein Wiener-Prozess ist folglich zeitstetig und besitzt die Markov-Eigenschaft. Die Veränderung in einem Zeitintervall ∆t sind normalverteilt mit dem Erwartungswert Null und der Varianz ∆t[36]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In Abbildung 2 wird die Dynamik des Wiener-Prozesses verdeutlicht.

Abbildung 2: Typische Pfade von Wiener-Prozessen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Franke, J. et. al. (2004), S. 57.

3.2.1.3 Allgemeiner Wiener-Prozess

Der Wiener-Prozess besitzt keinen Drift, er ist also richtungslos. Eine Driftrate von Null bedeutet, dass der Erwartungswert jederzeit gleich seinem aktuellen Wert ist. Im Kapitalmarktbereich wird dagegen von einer entsprechenden Wachstumsrate mindestens in Höhe einer risikofreien Verzinsung ausgegangen.[37]

Deshalb wird der Wiener-Prozess in dem allgemeinen Wiener-Prozess um einer konstanten Driftrate μ und eine konstante Varianzrate σ erweitert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Drift ist dabei die erwartete Veränderung des Prozesses im Zeitablauf und stellt die zufällige Schwankung um die erwartete Veränderung dar und ist somit eine zufällige Störgröße.[38]

Ungeeignet hierbei ist allerdings, dass aufgrund der Normalverteilung negative Kurse zugelassen werden und die lokale Variabilität größer ist, wenn sich der Kurs selbst auf einem hohem Niveau bewegt.[39]

3.2.1.4 Itô-Prozess

Für den Aktienkurs wird deshalb ein Itô-Prozess[40], angenommen, bei dem die Drift- und Varianzrate nicht konstant ist, sondern selbst jeweils Funktionen der betrachteten Variablen x und der Zeit t sind[41]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Itô-Prozess ist insofern wichtig, da nicht angenommen werden kann, dass Aktienkurse eine konstante Drift- bzw. Varianzrate aufweisen. Ein Investor wird ungeachtet der Höhe des Aktienkurses eine feste Renditeerwartung haben, weshalb die Rendite[42] als Konstante gilt, während absolute Kurssteigerungen von der Höhe des Aktienkurses abhängen und somit nur relative Änderungen konstant sind. Zudem ist die Varianz der Kurse, also die Volatilität, bei einem höheren Kursniveau ebenfalls größer.[43]

3.2.2 Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung

Berücksichtigt man nun den Wiener-Prozess im Itô-Prozess erhält man die geometrische Brownsche Bewegung, welche das am weitesten verbreitete Modell für das Verhalten von Aktienkursen darstellt[44]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei steht μ für die momentan erwartete Aktienrendite S und für eine infinitesimal kleine Zeiteinheit. Der Wiener-Prozess ist gegeben durch , wobei σ für die momentane Volatilität der Aktienrendite S steht.

Um nun den Optionspreis und seine Veränderung im Zeitablauf berücksichtigen zu können, wird das Lemma von Itô in Abhängigkeit zu der Aktienkursentwicklung gesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Parameter beschreibt dabei die Veränderung des Optionspreises in Abhängigkeit von dem Aktienkurs. Aus den Gleichungen (6) und (7) wird deutlich, dass beide einem identischen Wiener-Prozess folgen, welcher folglich bei der Zusammenstellung eines Portfolios aus einer Aktie und einem Derivat eliminiert werden kann.[45]

Die Zusammenstellung des Portfolios ist dahingehend wichtig, um zu beweisen, dass es über den Zeitraum ∆t durch kontinuierliche Anpassung risikolos ist, da das Portfolio zur stetigen risikolosen Rendite r verzinst wird und somit das No-Arbitrage-Argument beibehält.[46]

Somit ergibt sich die B/S-Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird nun in einem letzten Schritt die Gleichung (8) in die Wärmeaustauschgleichung der Physik umgeformt, erhält man die Optionspreisformel nach Black und Scholes[47]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Variablen und geben den Wert einer europäischen Call- und Put-Option an. Angemerkt sei, dass die Gleichung (9) auch den Wert einer amerikanischen Call-Option angibt, sofern diese Aktie dividendenlos ist.[48]

Der Aktienkurs zum Zeitpunkt Null ist gegeben durch , während der Strike Price durch bezeichnet wird, in Verbindung mit dem risikolosen Zinssatz , der durch die Euler`sche Zahl[49] einer stetigen Verzinsung unterliegt. Die Volatilität ist gegeben durch . ist die Restlaufzeit der Option, während den Grenzwert einer Verteilungsfunktion innerhalb einer Standardnormalverteilung beschreibt .

Die Gewichte und können demnach die Werte Null und Eins annehmen. Wenn man also eine weit aus dem Geld liegende Option betrachtet, ist bereits aus den Gewichten zu erkennen, dass die Call-Option nahezu wertlos ist, da beide Werte gegen Null tendieren, während es sich bei einer im Geld liegend Option gegenläufig verhält.[50]

Durch die B/S-Formel ist gewährleistet, dass für am Geld stehende Optionen die höchsten Zeitprämien zustande kommen. Zudem wird sichergestellt, dass die Bewertungsfunktion oberhalb der theoretischen Bewertungsuntergrenze verläuft.[51]

Abbildung 3: Black-Scholes Bewertungsfunktion für Calls

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Bruns, M. / Steiner, C. (2007), S. 347.

Eine grundsätzliche Interpretation der Formel ist, dass der Wert eines Calls der Differenz zwischen dem Aktienkurs und dem Barwert des Ausübungs-preises entspricht. Die Gewichtung der Komponenten erfolgt hierbei mit . Gewicht ist die Menge der zu kaufenden Aktien pro Call-Option im Arbitrageportfolio, demgemäß das Options-Delta.[52]

Demgegenüber kann als Wahrscheinlichkeit der Ausübung der Call-Option am Ende der Laufzeit in einer risikoneutralen Welt gewertet werden, sofern der innere Wert größer als Null ist.[53]

3.3 Binomialmodell

Mithilfe des Arbitrageportfolios und der B/S-Formel ist es möglich, den Preis von europäischen Optionen zu bestimmten. Sollte jetzt die Laufzeit der Option verändert werden, ist der Rechenprozess bereits nicht mehr möglich.

„John C. Cox und Mark Rubinstein haben einen anderen Weg vorgeschlagen, mit dem man Prämien sowohl von europäischen als auch von amerikanischen Optionen bestimmen kann.“[54]

Cox und Ross haben 1976 eine Verallgemeinerung des B/S-Modells vorgenommen, welches ebenfalls zu den analytischen Modellen zählt. Hierbei ist vor allem die Erweiterung des Itô-Prozesses um (Kurs-) Sprünge, das sogenannte Jump Modell[55], von nennenswerter Relevanz.[56]

Für diese Arbeit ist allerdings die Weiterentwicklung von CRR zum numerischen Verfahren, dem Binomialmodell, von Bedeutung.

3.3.1 Cox-Ross-Rubinstein

Das Binomialmodell von CRR[57] ist vor allem mit dem Ziel entwickelt worden, einen einfacheren Zugang zur B/S-Theorie zu ermöglichen. Wie im Kapitel 3.2 dargestellt wurde, ist das B/S-Modell rechnerisch sehr aufwändig und lässt während der Optionslaufzeit keine weiteren Anpassungen zu.[58]

Da für amerikanische Optionen keine analytischen Bewertungsmethoden zur Verfügung stehen, verwendet man Binomialbäume. Diese Form der Darstellung hat sich als sehr nützliche Methode herausgestellt. Es werden verschiedene Pfade (Knotenpunkte) erstellt, die einem Random-Walk folgen. In jedem Zeitschritt bewegt sich der Kurs um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit aufwärts und abwärts.[59] Damit ist auch die realitätsferne Annahme der konstanten Volatilität nicht Bestanteil des Modells.

Das CRR-Modell modelliert den Kursverlauf der Aktie über den Zeitraum als wiedervereinigenden Binomialbaum mit n Stufen. Die Teilintervalle haben alle die gleiche Länge ( ). Für jedes Teilintervall wird eine Entwicklung des Aktienkurses durch die positiven Zahlen u, d und p angenommen, die für alle Teilintervalle und möglichen Zustände gleich sind.[60]

3.3.2 Darstellung eines Binomialbaumes

Das Modell soll durch folgendes Beispiel verdeutlicht werden:[61]

- Die Wahrscheinlichkeit ist als p angenommen, folglich ist die Abwärtsbewegung 1-p.
- Der Aktienkurs ist 100 Euro, der Strike Price ist 95 Euro.
- Es findet jeweils eine Aufwärtsbewegung u (up) um 5 Euro und eine Abwärtsbewegung d (down) um 5 Euro statt.
- Der Zeitraum stellt dabei jeweils einen Knotenpunkt dar. Zinsen, Transaktionskosten und Dividenden werden nicht berücksichtigt.

Es wird für jedes Szenario zunächst der innere Wert der Option bei Fälligkeit ermittelt. Erfolgt nun beispielsweise ein Kursanstieg fünfmal in Folge mit der Wachstumsrate p, ergibt sich ein innerer Wert der Option von 26,60 Euro. Bei einem Kursanstieg von viermal p und einer Kursverringerung von 1-p ergibt sich ein innerer Wert von 15,00 Euro, was in Abbildung 4 visualisiert wird.

[...]


[1] Vgl. Schierenbeck, H. et al. (2008), S. 58.

[2] Beike, R. / Schlütz, J. (2010), S. 181.

[3] Vgl. Brüker, G. (2010), S. 21.

[4] Empirische Varianz = S², theoretische Varianz = σ².

[5] Vgl. Schierenbeck, H. et al. (2008), S. 60.

[6] Vgl. Ebd., S. 61.

[7] Sachtler, M. (2004), S. 35.

[8] Vgl. Komazec, Z. (2009), S. 21.

[9] Vgl. Sachtler, M. (2004), S. 37.

[10] Vgl. Beike, R. / Schlütz, J. (2010), S. 565.

[11] In der Praxis haben sich geeignetere Verfahren wie die Newton-Raphson-Methode durchgesetzt, vgl. Hull, J. C. (2006), S. 367.

[12] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 368.

[13] Sachtler, M. (2004), S. 35.

[14] Sachtler, M. (2004), S. 36 (Hervorhebung nicht im Original).

[15] Vgl. Ebd.

[16] Vgl. Eck, C. / Riechert, M. (2006), S.67.

[17] Vgl. Wilkens, S. (2003), S. 75.

[18] Vgl. Merton, R. C. (1973).

[19] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 346.

[20] Strukturierung von komplexen und innovativen Finanzprodukten.

[21] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 355.

[22] Vgl. Ebd.

[23] Vgl. Black, F. / Scholes, M. (1973), S. 640; Hull, J. C. (2006), S. 357; Komazec, Z. (2009), S. 9.

[24] Die lognormverteilten Zuwächse sind gegeben durch .

[25] Als Underlying bestehen viele Möglichkeiten (Zinssätze, Rohstoffe, Ratings usw.). Es wird nachfolgend grundsätzlich von Aktien ausgegangen, solange nichts Anderes genannt ist.

[26] Wertobergrenze: Ct ≤ St / Wertuntergrenze: Ct ≥ max { St – Ke ─r(T-t) ; 0}.

[27] Vgl. Wilkens, S. (2003), S. 75.

[28] Vgl. Franke, J. et al. (2004), S. 55.

[29] Vgl. Komazec, Z. (2009), S. 11.

[30] Vgl. Hagl, S. (2007), S. 56.

[31] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 326.

[32] Vgl. Ohlms, C. (2006), S. 148.

[33] Vgl. Hagl, S. (2007), S. 58.

[34] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 328.

[35] Vgl. Hausmann, W. et al. (2002), S. 185.

[36] Vgl. Ebd.

[37] Vgl. Hagl, S. (2007), S. 61.

[38] Vgl. Ebd.

[39] Vgl. Franke, J. et al. (2004), S. 63.

[40] Der Mathematiker Kiyosi Itô entwickelte 1951 einen wesentlichen Bestandteil zur Lösung von stochastischen Differentialgleichungen. Das Lemma ist essentiell im B/S-Modell.

[41] Vgl. Hagl, S. (2007), S. 62.

[42] D.h. der Quotient aus erwarteten Drift und Aktienkurs.

[43] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 332.

[44] Vgl. Ebd., S. 357.

[45] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 357.

[46] Vgl. Steiner, M. / Bruns, C. (2007), S. 346.

[47] Vgl. Black, F. / Scholes, M. (1973), S. 644.

[48] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 363.

[49] … Basis der natürlichen Logarithmen nach Leonhard Euler.

[50] Vgl. Komazec, Z. (2009), S. 15.

[51] Vgl. Steiner, M. / Bruns, C. (2007), S. 347.

[52] Vgl. Ebd.

[53] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 362.

[54] Ochynski, W. (2004), S. 194.

[55] Hierdurch, bzw. durch die Erweiterung zum Jump-Diffusion-Modell durch Merton (1976), ist das Einbeziehen von mehreren Risikoquellen möglich.

[56] Vgl. Hagl, S. (2007), S. 73.

[57] Vgl. Cox, J. C. / Ross, S. A. / Rubinstein, M. (1979).

[58] Vgl. Hagl, S. (2007), S. 90.

[59] Vgl. Hull, J. C. (2006), S. 300.

[60] Vgl. Hausmann, W. et al. (2002), S. 161.

[61] Vgl. Cohen, G. (2009), S. 262.

Ende der Leseprobe aus 93 Seiten

Details

Titel
Volatilität – Investitionsmöglichkeiten in eine neue Assetklasse
Hochschule
Technische Hochschule Köln, ehem. Fachhochschule Köln  (Fakultät für Wirtschaftswissenschaften)
Veranstaltung
Banking and Finance
Note
1,0
Autor
Jahr
2011
Seiten
93
Katalognummer
V189463
ISBN (eBook)
9783656135531
ISBN (Buch)
9783656135821
Dateigröße
3605 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Volatilität, Assetklassen, Hedging, Handel, Black and Scholes, Implizite Volatilität, Volatilitätsprodukte
Arbeit zitieren
Nils Grotewohlt (Autor:in), 2011, Volatilität – Investitionsmöglichkeiten in eine neue Assetklasse, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/189463

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