Im ersten Teil dieser Facharbeit möchte ich die Theorie der Fourier-Analyse bzw. Fourier-Synthese näher erläutern und anhand einer Beispielrechnung weiter vertiefen. Der zweite Teil besteht aus einem Versuch, in dem ich die Fourier-Spektren eines Klaviers und die eines Akkordeons am Computer mit Hilfe der FFT untersuche. So soll ihre Klangfarbe anhand ihrer Oberschwingungen erläutert und verglichen werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Hauptteil
2.1 Theorie
2.1.1 Mathematische Grundlagen
2.1.1.1 Fourierreihe und Fourierkoeffizienten
2.1.1.2 Abtastung und Abtasttheorem
2.1.2 Beispielrechnung zur Anwendung
2.2 Versuch
2.2.1 Versuchsfrage
2.2.2 Versuchsmaterial
2.2.3 Versuchsaufbau
2.2.4 Versuchsdurchführung
2.2.4.1 Fourier-Analyse Klavier
2.2.4.2 Vergleich der Spektren eines Klaviers und Akkordeons
2.2.4.3 Analysieren eines Dreiklangs (Akkordeon)
2.2.5 Fehlerquellenanalyse
3 Fazit
Zielsetzung & Themen
Die Arbeit befasst sich mit der physikalischen Analyse von akustischen Signalen, mit dem Ziel, die Fourier-Analyse und Fourier-Synthese theoretisch zu erläutern und ihre praktische Anwendung bei der Untersuchung verschiedener Instrumentenklänge zu demonstrieren.
- Grundlagen der Fourier-Analyse und mathematische Herleitung
- Bedeutung des Abtasttheorems für die digitale Signalverarbeitung
- Praktische Untersuchung von Klavier- und Akkordeonklängen mittels FFT
- Vergleich von Klangspektren zur Bestimmung der Klangfarbe
- Analyse von mehrstimmigen Akkorden in Frequenzspektren
Auszug aus dem Buch
2.2.4.2 Vergleich der Spektren eines Klaviers und Akkordeons
Mit der im vorherigen Kapitel beschriebenen Vorgehensweise können nun auch Töne eines Akkordeons untersucht werden, um diese anschließend mit denen eines Klaviers zu vergleichen. Für den Ton c' erhalten wir so folgenden Vergleich:
Im direkten Vergleich der beiden Spektren fällt sofort der Unterschied der Verhältnisse von Grund- und Obertönen auf. Wie bereits beschrieben hat der erste Oberton des Klaviers eine verhältnismäßig hohe Amplitude. Danach fallen die Amplituden der Obertöne mit zunehmender Frequenz ab. Das Spektrum des Akkordeons hingegen ist ein völlig anderes. Die Obertöne haben im Verhältnis zum Grundton eine kleine Amplitude. So wie der Grundton des Akkordeons im Spektrum hervorsticht und sich klarer von den Obertönen absetzt als beim Klavier, spricht man auch bei der Klangfarbe von einem klareren Klang des Akkordeons. Des Weiteren sind beim Spektrum des Akkordeons höhere Frequenzen vertreten als beim Klavier. Das bedeutet also: Der Klang des Akkordeons ist heller und klarer als der des Klaviers.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Einführung in die akustischen Grundlagen und die mathematische Natur von Klängen sowie Motivation für die Anwendung der Fourier-Analyse.
2 Hauptteil: Detaillierte Herleitung der mathematischen Grundlagen der Fourier-Analyse und Durchführung praktischer Experimente zur Klangspektralanalyse von Instrumenten.
3 Fazit: Zusammenfassende Betrachtung der gewonnenen Erkenntnisse über die Zusammensetzung von Klängen aus Oberschwingungen und die Eignung der Fourier-Analyse zur Klangunterscheidung.
Schlüsselwörter
Fourier-Analyse, Fourier-Synthese, Klanganalyse, Obertöne, Grundton, Frequenzspektrum, Fast-Fourier-Transformation, FFT, Abtasttheorem, Nyquist-Frequenz, Schwingung, Klangfarbe, Signalverarbeitung, Klavier, Akkordeon
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht die physikalischen Grundlagen von Tönen und Klängen und zeigt auf, wie diese mithilfe mathematischer Verfahren in ihre Einzelschwingungen zerlegt werden können.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die mathematische Theorie der Fourier-Reihen, die digitale Signalerfassung (Abtastung) und der experimentelle Vergleich der Klangspektren von Klavier und Akkordeon.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Ziel ist es, die Fourier-Analyse verständlich zu erklären und ihre praktische Eignung zur Analyse und Unterscheidung von verschiedenen Instrumentenklängen experimentell zu belegen.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Neben der theoretischen mathematischen Analyse wird die Fast-Fourier-Transformation (FFT) genutzt, um aufgezeichnete WAV-Dateien am Computer in Frequenzspektren zu überführen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in eine mathematische Herleitung der Fourierkoeffizienten sowie eine Versuchsreihe, in der Töne von Instrumenten aufgenommen und deren spektrale Zusammensetzung verglichen wird.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird maßgeblich durch Begriffe wie Fourier-Analyse, Frequenzspektrum, Obertöne, FFT und Klangfarbe charakterisiert.
Warum ist das Abtasttheorem für diese Arbeit wichtig?
Das Abtasttheorem ist entscheidend, um die Frequenzen eines harmonischen Signals korrekt bestimmen zu können, da es die notwendige Abtastrate definiert, um Fehler wie die Unterabtastung zu vermeiden.
Welche Unterschiede ergeben sich bei der Analyse von Klavier und Akkordeon?
Die Analyse zeigt, dass der Akkordeonklang durch ein anderes Verhältnis der Obertöne zum Grundton als heller und klarer wahrgenommen wird, während das Klavierspektrum tendenziell dumpfer wirkt.
Kann man in einem Dreiklang die einzelnen Töne im Spektrum erkennen?
Ja, das Experiment belegt, dass die einzelnen Töne eines Dreiklangs (c', e', g') als deutlich erkennbare Peaks im Fourier-Spektrum identifiziert werden können.
- Quote paper
- Florian Jonas (Author), 2012, Die Theorie der Fourier-Analyse und Fourier-Synthese, und ihre Anwendung zum Vergleich von akustischen Signalen in einem unterstützenden Versuch, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/192617
