Die Theorie der Fourier-Analyse und Fourier-Synthese, und ihre Anwendung zum Vergleich von akustischen Signalen in einem unterstützenden Versuch

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Hauptteil
2.1 Theorie
2.1.1 Mathematische Grundlagen
2.1.1.1 Fourierreihe und Fourierkoeffizienten
2.1.1.2 Abtastung und Abtasttheorem
2.1.2 Beispielrechnung zur Anwendung
2.2 Versuch
2.2.1 Versuchsfrage
2.2.2 Versuchsmaterial
2.2.3 Versuchsaufbau
2.2.4 Versuchsdurchführung
2.2.4.1 Fourier-Analyse Klavier
2.2.4.2 Vergleich der Spektren eines Klaviers und Akkordeons
2.2.4.3 Analysieren eines Dreiklangs (Akkordeon)
2.2.5 Fehlerquellenanalyse

3 Fazit

4 Eigenständigkeitserklärung

5 Literaturverzeichnis

6 Anhang

1 Einleitung

"Die Natur spricht die Sprache der Mathematik." Galileo Galilei Unser Ohr nimmt ständig etwas wahr. Das Hupen eines Autos, einen bellenden Hund, oder vielleicht hören wir auch eine Symphonie von Beethoven. All diese Geräusche und Töne nennt man Klänge."Physikalisch gesehen ist ein Klang eine mehr oder weniger regelmäßige Luftdruckschwankung. Von einem gewissen Zeitpunkt an und während einer bestimmten Dauer startet sie von einer Quelle (einem Instrument oder Lautsprecher) [...] und breitet sich in der Luft als Wellenzug aus. Dieser wird [...] vom Hörer als Luftdruckschwankung mit dem Ohr wahrgenommen" (Mazzola, 1990) Doch auch wenn zwei Instrumente den selben Ton spielen, werden sie von uns als unterschiedlich erkannt, denn ein Klang besteht nicht nur aus einer Schwingung, sondern setzt sich aus vielen Einzelschwingungen zusammen: So setzt sich ein Klang aus einem Grundton und mehreren Obertönen (Partialtönen) zusammen. Der Grundton ist eine Sinuswelle und die Obertöne schwingen mit ganzzahligen Vielfachen des Grundtones. Diese aufaddierten Schwingungen ergeben dann zusammen den Klang, den wir umgangssprachlich als Ton bezeichnen. Eine Schwingung hat eine bestimme Schwingform, welche den Klang bestimmt, eine Amplitude welche für die Lautstärke steht und eine Frequenz die die Tonhöhe angibt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Schwingungseigenschaften (Denkewitz, 2000)

Der Charakter eines Klanges, oder wie der Musiker sagt seine Klangfarbe, wird durch die Lautstärkeverhältnisse der Obertöne bestimmt. Klänge "wirken hell oder gar schrill, wenn die hohe Frequenzkomponenten oder Partialtöne stärker vertreten sind als die niedrigen. Dominieren umgekehrt die tiefen Partialtöne, so wirkt die Klangfarbe eher dumpf und dunkel" (Pierce, 1989). Doch woher weiß man aus welchen Teiltönen sich die Schwingung zusammensetzt?

Die Grundlage hierfür lieferte Jean-Baptiste-Josephe Fourier (1768-1830). Er war Mathematiker und Physiker und entwickelte zum Beispiel die Grundlagen der Theorie der Wärmeleitung. Mit seinem Werk Théorie analytique de la chaleur (Paris, 1822) , leistete er einen entscheidenden Beitrag zum Fortschritt der modernen Physik. Er bewies, dass man jedes beliebige Signal aus Sinus- und Kosinusgliedern, zusammensetzen kann . Dieses Zusammensetzen aus einzelnen harmonischen Schwingungen wird Fourier-Synthese genannt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Beispiel einer Fourier-Synthese. Die Sinusfunktionen (links) werden addiert (zweite von links) und ergeben so eine neue, periodische Funktion (zweite von rechts). Die Spalte ganz rechts zeigt die jeweiligen Fourier- Spektren¹

Die Umkehrung der Fourier-Synthese, also das Zusammensetzen von Einzelschwingungen, nennt man Fourier-Analyse. Sie ist ein mathematisches Verfahren um aufgezeichnete Signale zu zerlegen. Die Sinus- und Kosinusglieder werden aufaddiert, und man nähert sich so immer mehr der zu analysierenden Funktion an. Bezogen auf die Klanganalyse ist ihr Ziel also die Schwingung in ihre Grund- und Oberschwingungen zu zerlegen, ihre Amplituden zu berechnen und sie in einem Klangspektrum, den so genannten Fourier-Spektrum, darzustellen. vgl. (Fiedlschuster, 2006) und vgl. (Frühauf, et al., 1997)

Im ersten Teil dieser Facharbeit möchte ich die Theorie der Fourier-Analyse bzw. Fourier-Synthese näher erläutern und anhand einer Beispielrechnung weiter vertiefen. Der zweite Teil besteht aus einem Versuch, in dem ich die Fourier-Spektren eines Klaviers und die eines Akkordeons am Computer mit Hilfe der FFT² untersuche. So soll ihre Klangfarbe anhand ihrer Oberschwingungen erläutert und verglichen werden.

2 Hauptteil

2.1 Theorie

2.1.1 Mathematische Grundlagen

2.1.1.1 Fourierreihe und Fourierkoeffizienten

Eine harmonische Schwingung kann mit Hilfe folgender Funktion beschrieben werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erläuterung: A: Amplitude; : Winkelgeschwindigkeit; : Phasenverschiebung.

Das Summieren unendlich vieler harmonischer Schwingungen lässt sich wie folgt als trigonometrische Reihe, der so genannten Fourierreihe, darstellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erläuterung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]:Verschiebung des Signals in vertikaler Richtung; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](Winkelgeschwindigkeit);

n: Zählvariable der harmonischen Schwingung; [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]: die sog. Fourierkoeffizienten

Geht man davon aus, dass keine Phasenverschiebung vorliegt, d.h.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], und ersetzt[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch x, erhält man die einfachere Funktion:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ziel der Fourier-Analyse ist es, die Fourierkoeffizienten , und zu bestimmen, um mit ihnen die Amplitude der Teilschwingungen berechnen zu können. Nutzen wir die Tatsache, dass das Integral der Kosinus- und Sinusfunktion im Periodenintervall [0,2 ] null wird, erhalten wir nach einigen Schritten, auf die ich hier aus Platzgründen nicht näher eingehen möchte, folgende Formeln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sind die Fourierkoeffizienten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bekannt, lässt sich mit Hilfe von (7) die

Amplitude der n-ten Teilschwingung bestimmen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun haben wir alles was wir für eine Fourier-Analyse benötigen. Im nächsten Abschnitt werde ich diese noch einmal an einem Beispiel verdeutlichen.

Hinweis: Formeln und Herleitung sind in (Fiedlschuster, 2006) zu finden.

2.1.1.2 Abtastung und Abtasttheorem

Anders als in der Mathematik kennen wir bei physikalischen Experimenten meist nicht die genaue Funktion die unseren zu untersuchenden Klang exakt beschreibt. Das heißt, unsere Aufzeichnung des Signals liefert immer nur Funktionswerte zu einem bestimmten Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (im Abstand ∆t). Die Frequenz, in der das Signal abgetastet wurde, nennt man Abstastfrequenz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Das bedeutet, dass die Fourier- Analyse bei unseren Versuchen nur annäherungsweise durchgeführt werden kann, da die Funktion selbst ja nur an diskreten Punkten bekannt ist. Diese Art der FourierAnalyse nennt man Diskrete Fourier-Transformation.

Wie viele Funktionswerte nötig sind, um mit Hilfe der Fourier-Analyse sicher bestimmte Ergebnisse zu erhalten, klärt das so genannte Abtasttheorem. Es besagt sinngemäß: "Die Frequenz [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eines harmonischen Signals kann nur dann sicher bestimmt werden, wenn für das Signal mehr als 2 Abtastwerte pro Periode vorliegen." (Carl von Ossietzky Universität Oldenburg)

[...]

¹ Bildquelle:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Fourier_synthesis.svg/748px- Fourier_synthesis.svg.png

² FFT steht für Fast-Fourier-Transformation. Mit diesem Algorithmus ist eine komplette Fourier-Analyse in kurzer Rechenzeit möglich.