Vorwort:
Die folgende Ausarbeitung erfolgt im Rahmen des fachwissenschaftlichen Seminars I (Modul 6, Studiengang L2)der Universität Kassel, das im Sommersemester 2011 stattgefunden hat. Wenn nicht anders erwähnt, basieren die mathematischen Grundlagen auf dem Paper von Bruno Bosbach, einem unveröffentlichten Manuskript der Universität Kassel.
4.2. Beispiel Proporzproblem in einer Regierung
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Nun soll ein Gremium so besetzt werden, dass das Verhältnis der Regierungsmitglieder ausgewogen ist. Das heißt, kein Gremienplatz soll doppelt von einer Person besetzt werde, da sich sonst eine Machtkonzentration um diese Person bilden würde.
Nachfolgend werden unterschiedliche Gremien mit einer verschieden hohen Anzahl von zu verteilenden Plätzen mit Regierungsmitgliedern besetzt. Bei der Verteilung ist folgende Frage zu berücksichtigen: Ist es möglich, diese Gremien so zu besetzen, dass die Bedingungen
erfüllt sind?
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Inhaltsverzeichnis
0. Vorwort
1. Posets
1.1. Posets
1.2. Definition Poset
1.3. Gegenbeispiel zu Posets
1.4. Typische Beispiele für Posets
2. Ketten und Antiketten
2.1. Ketten und Antiketten
2.2. Definition
2.3. Beispiele
3. Satz von Dilworth
3.1. Robert Palmer Dilworth
3.2. Satz von Dilworth
4. Die ausgewogene Besetzung von Gremien
4.1. Das Proporzproblem der Politik
4.2. Beispiel Proporzproblem in einer Regierung
5. Satz von Hall
5.1. Satz von Hall
5.2. Philip Hall
5.3. Beispiel Proporzproblem in einer Regierung
6. Heiratssatz
6.1. Heiratssatz
6.2. Beweis Heiratssatz
6.3. Beispiel Heiratssatz
Zielsetzung & Themen
Das Hauptziel dieser Arbeit besteht darin, mathematische Konzepte aus der Ordnungstheorie und Kombinatorik – speziell den Satz von Dilworth und den Satz von Hall – auf praktische Probleme der proportionalen Gremienbesetzung in der Politik anzuwenden.
- Grundlagen der Ordnungstheorie (Posets, Ketten und Antiketten)
- Analyse und mathematische Formulierung des Proporzproblems
- Anwendung des Satzes von Dilworth auf Verteilungsfragen
- Einsatz des Satzes von Hall zur Überprüfung von Zuweisungsbedingungen
- Diskussion der Anwendbarkeit des Heiratssatzes auf soziale Zuteilungsszenarien
Auszug aus dem Buch
1.1. Posets
Der Begriff „Poset“ ist aus dem Englischen übernommen und steht für „Partially ordered set“. Ins Deutsche übertragen steht „Poset“ folglich für eine teilweise geordnete Menge, auch für eine Menge mit Halbordnung, Partialordnung, Teilordnung oder partielle Ordnung. Posets gehören somit zu den Ordnungsrelationen, einem Teilgebiet der Mengenlehre.
Ordnungsrelationen sind binäre Relationen, das heißt, dass zwei Elemente einer Menge in Relation zueinander stehen. Eine Ordnungsrelation, die üblicherweise durch das Symbol „≤“ dargestellt wird, ordnet zwei Elemente einer Reihenfolge in einer Menge zu. Die verschiedenen Ordnungen wie Halbordnungen, Quasiordnungen, totale Ordnungen etc. sind durch bestimmte Eigenschaften gekennzeichnet, unter denen immer die Transitivität enthalten ist.
Posets formalisieren die Anordnungen von Elementen einer Menge unter einer binären Relation. Die Elemente von einem bestimmten Paar aus der gegebenen Menge werden durch die binäre Relation geordnet, dabei geht ein Element jeweils dem anderen voraus. Eine Poset besteht also aus einer Menge und einer binären Relation. Es handelt sich dabei um partielle Ordnungen, da nicht alle Paare, die aus den Elementen gebildet werden können, in Relation zueinander stehen müssen. Es ist also nur eine partielle Ordnung vorhanden.
Posets sind durch Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität gekennzeichnet. Eine genaue Beschreibung liefert die folgende Definition:
Zusammenfassung der Kapitel
0. Vorwort: Einleitung in den Entstehungskontext der Ausarbeitung im Rahmen eines fachwissenschaftlichen Seminars an der Universität Kassel.
1. Posets: Einführung in die mathematischen Grundlagen von partiell geordneten Mengen, deren Definition und Eigenschaften.
2. Ketten und Antiketten: Definition von Ketten und Antiketten innerhalb einer Poset sowie Erläuterung der Zerlegung in disjunkte Ketten.
3. Satz von Dilworth: Darstellung der mathematischen Aussage über die Beziehung zwischen Kettenzerlegung und Antikettengröße inklusive biografischer Notiz zu Robert Palmer Dilworth.
4. Die ausgewogene Besetzung von Gremien: Anwendung der mathematischen Theorie auf das politische Proporzproblem anhand eines konkreten Regierungsbeispiels.
5. Satz von Hall: Einführung des Satzes von Hall als Werkzeug zur Lösung von Transversalproblemen und Anwendung auf das Gremienbeispiel.
6. Heiratssatz: Erläuterung des Heiratssatzes, seines Beweises und Überprüfung seiner Anwendbarkeit auf ein fiktives Zuteilungsszenario.
Schlüsselwörter
Posets, Ordnungsrelationen, Halbordnung, Ketten, Antiketten, Satz von Dilworth, Proporzproblem, Gremienbesetzung, Satz von Hall, Transversale, Heiratssatz, Kombinatorik, Mengenlehre, Mathematische Modellierung, Zuteilungsprobleme
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Anwendung mathematischer Sätze aus der Ordnungstheorie und Kombinatorik auf praxisorientierte Probleme der Zuteilung und proportionalen Besetzung von Gremien.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Felder sind die Theorie der partiell geordneten Mengen (Posets), die Ketten- und Antikettentheorie sowie die Anwendung des Satzes von Dilworth und des Satzes von Hall.
Was ist das primäre Ziel der Arbeit?
Das primäre Ziel ist es, das sogenannte Proporzproblem der Politik mathematisch greifbar zu machen und zu prüfen, ob Bedingungen für eine ausgewogene Verteilung von Sitzplätzen erfüllt werden können.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden klassische mathematische Beweis- und Analysestrukturen der diskreten Mathematik und Ordnungstheorie verwendet, um logische Bedingungen für Verteilungsprozesse zu prüfen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt die theoretischen Definitionen von Posets, die Sätze von Dilworth und Hall sowie die Anwendung dieser Theorien auf ein konkretes Beispiel einer vierköpfigen Regierungszusammensetzung.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Die Arbeit wird maßgeblich durch Begriffe wie Posets, Proporzproblem, Satz von Dilworth, Satz von Hall und Kettenzerlegung charakterisiert.
Was besagt der Satz von Dilworth in Bezug auf Gremien?
Der Satz von Dilworth stellt einen Zusammenhang zwischen der minimalen Anzahl an Ketten einer Zerlegung und der maximalen Größe einer Antikette her, was als mathematische Basis für Proportionalitätsfragen dient.
Warum findet der Heiratssatz im Beispiel Anwendung?
Er wird genutzt, um zu prüfen, ob die Voraussetzungen für eine erfolgreiche, konfliktfreie Zuteilung von Personen zu spezifischen Gremienplätzen gegeben sind, wobei das Beispiel zeigt, dass diese im gewählten Fall nicht erfüllt sind.
- Quote paper
- Stephanie Töpert (Author), 2011, Der Satz von Dilworth und der Satz von Hall, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/193635
