Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS)


Facharbeit (Schule), 2010

48 Seiten, Note: 15


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Begrie und De nitionen
2.1 Räume
2.1.1 Vektorräume
2.1.2 Metrische Räume
2.2 A ne Abbildungen
2.2.1 Translation
2.2.2 Skalierung
2.2.3 Rotation
2.2.4 Weitere a ne Abbildungen
2.2.5 Verkettung a ner Abbildungen
2.2.6 Berechnung einer a nen Abbildung
2.2.7 Fixpunkte a ner Abbildungen
2.2.8 Eigenschaften a ner Abbildungen
2.2.9 Kontraktionen
2.3 Dimension
2.3.1 Topologische Dimension

3 Klassische Fraktale
3.1 Was ist ein Fraktal?
3.2 Die Koch-Kurve
3.2.1 Selbstähnlichkeit der Koch-Kurve
3.2.2 Die Länge der Koch-Kurve
3.3 Die Cesàro-Kurve
3.3.1 Die fraktale Dimension D der Cesàro-Kurve
3.3.2 Allgemeine Flächenformel der Cesàro-Kurve
3.4 Weitere klassische Fraktale
3.4.1 Das Sierpi«ski-Dreieck
3.4.2 Der Sierpi«ski-Teppich

4 Iterierte Funktionensysteme (IFS)
4.1 Die Metapher der MVKM
4.2 De nition von IFS
4.3 Kodierung von Fraktalen durch IFS
4.4 Fraktale Modellierung mit Hilfe von IFS
4.5 Der Chaosspiel-Algorithmus
4.6 Die Box-Dimension DB
4.7 Ausblick

5 Eigene Wertung

6 Anhang
6.1 Das Programm IFS-Generator
6.1.1 Anmerkung zur verwendeten Programmiersprache
6.1.2 Quelltexte
6.2 Struktogramme
6.2.1 deterministischer Algorithmus (MVKM)
6.2.2 Chaosspiel-Algorithmus (GVKM)
6.3 Materialien auf CD-ROM
6.4 Literaturverzeichnis
6.5 Bildnachweise

Hinweis zu den Fuÿnoten: Zum Quellenvermerk gebe ich ein Kürzel aus Autor und Erscheinungsjahr an; im Literaturverzeichnis be ndet sich dazu eine Tabelle mit den Schlüsseln. Den Text, auf den sich der Vermerk bezieht, kann sich sowohl vor als auch hinter der Quellenangabe be nden.

Hinweis zum Satz: Dieser Text wurde in LATEX gesetzt.

1 Einleitung

Die fraktale Geometrie ist ein relativ neues Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit geometrischen Objekten, den sog. Fraktalen, deren Eigenschaften sich von denen der klas- sischen Geometrie grundlegend unterscheiden.1 Wichtigstes Merkmal von Fraktalen ist die Skaleninvarianz, d.h., dass man bei jeder Vergröÿerungsstufe Einzelheiten erkennen kann, egal wie stark man in das Objekt hinein dringt. Wenn man dagegen den Rand eines klassischen Objektes, wie den des Kreises, vergröÿert, so ähnelt dieser mit zunehmender Vergröÿerung immer mehr einer schlichten Gerade. Solche Objekte werden demnach als glatt bezeichnet. Bei einem Fraktal wird man jedoch nie eine Gerade erkennen können, sondern immer mehr Feinheiten des Objektes. Daher rührt die Bezeichnung Fraktal , vom lateinischen fractus für gebrochen , d.h. mit unzähligen Details übersät. Derartige Objekte waren schon seit Anfang des 20. Jahrhunderts bekannt, aber erst ab ca. 1970 wurde deren grundlegende Be- deutung erkannt. Davor wurden diese Objekte als mathematische Monster bezeichnet, da sie, wie ich im Folgenden erläutern werde, paradoxe Eigenschaften besitzen, die dem mensch- lichen Verstand mehr oder weniger unbegrei ich erscheinen. Dies änderte sich erst durch die Arbeit des Mathematikers Benoît Mandelbrot. Er erkannte, dass man mit Fraktalen etwas gänzlich Neues machen konnte, etwas was bis zu dieser Zeit als praktisch mathematisch unmöglich galt: die Modellierung und Beschreibung von unregelmäÿigen Objekten der Na- tur, insbesondere der belebten, von der man annahm, sie könne nicht geometrisch beschrieben werden.

In dieser Besonderen Lernleistung setzte ich mich zunächst mit den klassischen Fraktalen des 20. Jahrhunderts auseinander, um anhand dieser die grundlegenden Konzepte der Frak- talgeometrie zu erläutern. Anschlieÿend stelle ich die sog. iterierten Funktionensysteme (IFS), ein mächtiges Verfahren zur Kodierung und Generierung von Fraktalen, vor. Dabei werde ich auf die genaue De nition und deren Verwendung zur Modellierung und Darstellung Natur- ähnlicher Strukturen eingehen. Um die Theorie der Fraktale anschaulich erläutern zu können, habe ich diese Arbeit mit zahlreichen Bildern, die ich zum Groÿteil selbst erstellt habe, illus- triert. Dadurch vergröÿert sich zwar der Umfang des Hauptteils, doch ist es meiner Meinung nach unmöglich, Geometrie ohne Verwendung von Bildern zu erklären.

Im Rahmen dieser BeLL ist ebenfalls ein Computerprogramm entstanden, das die Funktionalität der IFS implementiert und anschaulich begreifbar macht. Darüber hinaus be nden sich in dieser Arbeit Ausarbeitungen, die ich nicht der Literatur entnommen habe, insbesondere die Flächenformel der Cesàro-Kurve.

2 Begri e und De nitionen

Um Fraktale und ihre zugrunde liegende Geometrie verstehen zu können, ist es zunächst notwendig, einige mathematische Begri e zu erläutern, die nicht in der Schulmathematik vermittelt wurden. Ohne die Kenntnis dieser Termini ist eine tief gehende Auseinandersetzung mit den Methoden und Theorien der fraktalen Geometrie nicht möglich. Bedauerlicherweise sind die Themen jedoch derart umfangreich, dass ich nur die wichtigsten Aspekte behandeln kann.

2.1 Räume

Der Begri des Raumes ist in der Mathematik sehr weit gefasst. Ich werde mich nur auf solche Räume beschränken, die mir aus der Schulmathematik bekannt sind bzw. sich einfach daraus herleiten lassen. Ich beginne mit folgender De nition:

De nition 2.1 Ein Raum ist eine Menge, deren Elemente Punkte des Raumes sind.

Aus der analytischen Geometrie sind bereits einige Veranschaulichungen solcher Räume bekannt, nämlich das zweidimensionale und das dreidimensionale Koordinatensystem. Aber auch die reelle Zahlengerade ist eine Veranschaulichung eines Raumes, nämlich des Raumes R, der der Menge der reellen Zahlen entspricht. Dementsprechend werden der zweidimensionale Raum als R2 und der dreidimensionale als R3 bezeichnet (R2 wird auch Euklidische Ebene, nach der Geometrie des Euklid, genannt). Dabei werden die Punkte dieser jeweiligen Räume durch Koordinaten dargestellt, die Anzahl der Koordinaten ist gleich der Dimension, d.h. der räumlichen Ausdehnungen des Raumes, die sich im Exponenten nach dem R widerspiegeln; so hat ein beliebiger Punkt im Raum R2 die Koordinaten ( x | y ) und in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt. Die obige De nition impliziert (obwohl es nicht explizit gesagt ist), dass de niert ist, wie die Punkte im Raum anzuordnen sind und wie sie zueinander in Beziehung stehen. Ein Raum kann aber auch eine ganz andere Art von Menge sein als die hier vorgestellten Beispiele, z.B. können die Punkte eines Raumes ganze Funktionen sein, die eine bestimmte Eigenschaft besitzen (z.B. der Raum X aller di erenzierbaren Funktionen, ein Punkt dieses Raumes wäre dann [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Im Folgenden werde ich auf die genauere Klassi kation von Räumen eingehen.

2.1.1 Vektorräume

Ein Vektorraum V (oder linearer Raum ) ist ein Raum, dessen Punkte als Vektoren bezeichnet3

werden, wenn Folgendes gilt:

1. Die Addition zweier Punkte ergibt wiederum einen Punkt des Raumes, formal: für alle

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Die Skalarmultiplikation ergibt wiederum einen Punkt des Raumes, formal: für alle

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit sind R, R2 und R3 Beispiele für Vektorräume, da beide Bedingungen erfüllt sind. Ein Vektorraum kann aber auch eine beliebige andere Menge sein, auf die die obigen Bedingungen zutre en.

Beispiel am Raum R2:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1.2 Metrische Räume

Nun komme ich zu einer Art von Räumen, die für das Verständnis der fraktalen Geometrie 4

von entscheidender Bedeutung sind.

Unter einem metrischen Raum (X , d ) versteht man einen gegebenen Raum X (z.B. den Vektorraum R2 ), der mit einer sog. Metrik d versehen ist. Eine Metrik d (x , y ) ist eine Funktion, die den Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] angibt. Diese Funktion darf aber nicht beliebig sein, sondern muss folgende Eigenschaften besitzen:

1. Für den Abstand zweier Punkte muss gelten (es muss eine Symmetrie vorhanden sein): [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]
2. Der Abstand zwischen zwei unterschiedlichen Punkten darf nicht unendlich groÿ oder 0 sein, formal: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].
3. Der Abstand identischer Punkte muss 0 sein, formal: d (x , x ) = 0 für alle x ∈ X
4. Die Dreiecksungleichung (In einem beliebigen Dreieck gilt: Die Summe der Längen der Seiten a und b ist gröÿer oder gleich der Länge der Seite c, d.h. c ≤ a + b ) muss erfüllt sein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus der Schulmathematik ist bereits eine solche Metrik bekannt, ohne sie explizit als solche aufgefasst zu haben, nämlich der Abstand zwischen zwei Punkten als Betrag des Vektors von A nach B:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Metrik wird als die Euklidische Metrik bezeichnet. Eine weitere Metrik ist z.B. die sog. Gittermetrik bzw. Manhattanmetrik:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Veranschaulichung der Gittermetrik

Diese Metrik gibt nicht mehr den kürzesten direkten Abstand an, sondern die Länge des Weges über die Maschen eines gedachten Gitters, ähnlich der Straÿenanordnung in Manhat- tan (daher der Name Manhattanmetrik ). Es gibt unzählige Arten von Metriken, aber nicht alle haben eine so intuitive Begreifbarkeit wie die bereits vorgestellten. So gibt es die sog. dis- krete Metrik, deren De nition relativ abstrakt ist und keinerlei praktische Veranschaulichung bietet (sie kann auf beliebige Räume angewendet werden):5

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der diskreten Metrik beträgt der Abstand identischer Punkte also 0 und unterschiedlicher Punkte 1. Diese Metrik ist eher eine theoretische Spielerei, um zu zeigen, dass auch sehr abstrakte Funktionen die vier Eigenschaften einer Metrik erfüllen können.

2.2 A ne Abbildungen

Eine Abbildung ist allgemein eine Funktion f , die einen Raum X auf einen Raum Y abbildet, formal [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , dabei wird jeder Punkt des Raumes X auf einen Punkt des Raumes Y abgebildet.6 Für die fraktale Geometrie sind eine spezielle Art von Abbildungen, sog. a ne Abbildungen, für das Verständnis unbedingt notwendig.7 Eine a ne Abbildung bildet einen Punkt eines beliebigen Vektorraumes auf einen anderen Punkt desselben Raumes ab. Ich werde mich hierbei auf den Raum R2 beschränken. Eine a ne Abbildung w hat demnach die allgemeine Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

A ne Abbildungen ordnen einem Urbildpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] genau einen Bildpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

zu, man nennt eine solche Abbildung eineindeutig bzw. bijektiv. Aus der Schulgeometrie sind bereits einige a ne Abbildungen bekannt, darunter die Ähnlichkeitsabbildungen, wie z.B. die zentrische Streckung. Zu den a nen Abbildungen zählen insgesamt die Translation (Verschiebung), die Skalierung, die Rotation (Drehung), die Spiegelung und die Transvektion (Scherung). Alle diese Abbildungen und deren Kombinationen lassen sich durch eine Matrix

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

beschreiben. Um nun die Koordinaten eines Punktes zu berechnen, muss man zunächst die

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

diert man v und erhält

für die beiden Koordinaten des Bildpunktes [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Nun möchte ich erläutern, wie man durch die Matrizendarstellung alle oben erwähnten Abbildungen beschreiben kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Eine skalierende und scherende a ne Abbildung wird auf das schwarze Quadrat angewendet. Ergebnis ist das graue Parallelogramm.

2.2.1 Translation

Für die Translation um einen Vektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

benutzt man diesen als Verschiebungsvektor.

Da bei der Matrizenmultiplikation die Ursprungskoordinaten erhalten bleiben sollen, muss

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Abbildung verschiebt also den Punkt 8

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Koordinaten von A′ lauten demnach A′(5|9).

2.2.2 Skalierung

Eine Skalierung ist eine Gröÿenänderung eines Objektes, z.B. eines Rechtecks. Dabei kann dies in x - und bzw. oder in y -Richtung geschehen. Ein Objekt wird skaliert, indem man eine a ne Abbildung der Form (der Verschiebungsvektor wurde der Übersichtlichkeit wegen weggelassen)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

verwendet. Dabei skalieren der Faktor a in x -Richtung und der Faktor b in y -Richtung.

Beispiel Skalierung des Dreiecks ΔABC mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf 0, 5 in x- und y-Richtung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit lauten die Koordi naten des neuen Dreiecks [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

2.2.3 Rotation

Als Nächstes behandle ich die Rotation, zunächst nur um den Ursprung, dann um einen beliebigen Punkt Q . Um einen Punkt P mit einen Winkel α gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung O (0|0) zu drehen, verwendet man eine Abbildungsmatrix (Rotationsmatrix ) der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um nun eine Rotation um einen beliebigen Punkt Q = (qx |qy ) durchzuführen, muss man den zu drehenden Punkt P und den Punkt Q derart verschieben, dass Q auf O fällt. Dazu verschiebt man P einfach um [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Nun kann man die gewohnte Rotationsmatrix anwenden. Anschlieÿend muss man P an den Ausgangspunkt zurückversetzen. Zusammen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

2.2.4 Weitere a ne Abbildungen

Auf die weiteren Arten von a nen Abbildungen wie Scherung und Spiegelung gehe ich nicht weiter ein, da die bereits beschriebenen Arten für das Verständnis ausreichend sind. Erstere lassen sich aber ebenfalls durch die Elemente der Abbildungsmatrix und einen Verschiebungs- vektor darstellen.

2.2.5 Verkettung a ner Abbildungen

Um z.B. erst eine Rotation α und anschlieÿend eine Skalierung β, also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] multipli ziert. Für die Verkettung verwendet man das Symbol ◦. Der Ausdruck [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bedeutet, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Für das obige Beispiel ergibt sich daher[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Zu beachten ist, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, also in der Regel A · B = B · A gilt.11

2.2.6 Berechnung einer a nen Abbildung

Eine affne Abbildung lässt sich durch jeweils drei gegebene Bild- und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] berechnen.12 Dazu nutzt man die Tatsache, dass [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt und man somit zwei lineare Gleichungssysteme

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

aufstellen kann. Durch Lösen dieser LGS erhält man die Elemente der Abbildungsmatrix a, b, c, d und die Komponenten des Translationsvektors e, f der entsprechenden Abbildung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und z auf [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abbildet. Wählt man willkürlich beliebige Bild- und Urbildpunkte, so erhält man in der Regel eine Verkettung verschiedener a ner Abbildungen.

2.2.7 Fixpunkte a ner Abbildungen

Ein Fixpunkt P ist ein Punkt, der bei Anwendung einer a nen Abbildung invariant (unver- p gilt. Fixpunkte lassen sich mit Hilfe der Formeln

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

berechnen. (a , b , c, d sind die Elemente der Abbildungsmatrix und e , f die Komponenten des Translationsvektors.)13

2.2.8 Eigenschaften a ner Abbildungen

Je nach ihren Eigenschaften lassen sich a ne Abbildungen in folgende Gruppen einteilen:14

ˆ- Kongruenzabbildungen (umfassen Spiegelungen, Translationen und Rotationen sowie deren Verkettungen)

Abgebildete Objekte sind zum Urbild deckungsgleich (kongruent ), d.h., dass Form und Gröÿe des Bildes der des Urbilds entspricht.

Daraus folgt: Parallelität, Flächeninhalt, Flächenverhältnisse, Winkel, Längen und Längenverhältnisse bleiben invariant.

ˆ- Ähnlichkeitsabbildungen (umfassen Kongruenzabbildungen sowie Skalierungen und de- ren Verkettungen)

Parallelität, Winkel, Flächenverhältnisse und Längenverhältnisse bleiben invari- ant.

- A ne Abbildungen (umfassen Kongruenzabbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen sowie Scherungen und deren Verkettungen)

-Parallelität, Flächenverhältnisse und Längenverhältnisse bleiben invariant.

2.2.9 Kontraktionen

Eine Kontraktion ist eine besondere Art von (a nen) Abbildungen.15 Eine unendliche Anwendung dieser bewirkt, dass ein beliebiger metrischer Raum X auf einen einzigen Punkt zusammengezogen wird. Dieser Punkt ist zugleich der einzige Fixpunkt dieser (a nen) Abbildung.16 Die Kontraktion verursacht demnach eine Stauchung aller Mengen, die in dem Raum eingebettet sind. Für eine Kontraktion w : X → X gilt folglich

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei wird s als Kontraktionsfaktor bezeichnet. Er gibt an, wie stark der Raum gestaucht wird. Ob eine Abbildung eine Kontraktion ist, hängt o ensichtlich davon ab, bezüglich welcher Metrik d man sie betrachtet. Beispielsweise gibt es Metriken, die bezüglich der Euklidischen Metrik Kontraktionen sind, bezüglich der Gittermetrik aber nicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Eine unendliche Ausführung einer Kontraktion zieht einen metrischen Raum auf einen einzigen Punkt zusammen.

2.3 Dimension

Dimension ist ein zentraler Begri in der fraktalen Geometrie, wo er als Maÿ für die Gebrochenheit von Objekten dient.17 Um dies verstehen zu können, muss zunächst geklärt werden, was in der klassischen Geometrie darunter verstanden wird.

Prinzipiell gibt die einbettende Dimension eines Vektorraumes an, wie viele Ausdehnungen (oder Freiheitsgrade ) dieser besitzt. Diese ist gegeben durch die Anzahl der Koordinaten des Vektors, so hat ein Vektor des Raumes R2 zwei Koordinaten x = x1 . Dementsprechend hat der Raum R3 die Dimension drei.18 Dimensionen kann man aber nicht nur für Räume, sondern auch für darin eingebettete Objekte, die dann als Teilmenge des Raumes bezeichnet werden, bestimmen. Be ndet sich z.B. eine Gerade in der Ebene, so hat diese die Dimension 1, da sie nur eine Ausdehnung besitzt (sie ist unendlich lang, aber auch unendlich dünn.). Ein Punkt dagegen hat die Dimension 0.

2.3.1 Topologische Dimension

Um die Dimension einer Teilmenge genau zu bestimmen, wurde die sog. topologische Di- mension eingeführt.19 Sie entspricht der intuitiven Dimension, die man einer Teilmenge anschaulich zuordnen kann. Zunächst kläre ich grob, was überhaupt unter Topologie ver- standen wird: Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Objekten be- fasst, die sich in einem gummiartigen Raum be nden, d.h., dass diese durch bestimmte Abbildungen beliebig transformiert ( verzerrt ) werden können. Diese Abbildungen werden als Homöomorphismen bezeichnet. Die Verzerrungen , die sie beschreiben, sind jedoch nicht beliebig, sondern lassen Löcher und Verbindungsstellen invariant. So gibt es Homöomorphis- men, die eine Gerade in eine gezackte bzw. zerknüllte Linie transformieren. Solche Objekte, die durch Homöomorphismen ineinander übergehen können, bezeichnet man als homöomorph oder topologisch äquivalent. Demnach sind z.B. auch eine glatte Kugel und ein karto elarti- ges Gebilde homöomorph. Nicht homöomorph wäre dagegen die Kugel mit einem Torus, da dieser ein Loch enthält.

Um nun die Dimensionen von Teilmengen zu bestimmen, hat der französische Mathematiker Henri Lebesgue folgende sehr anschauliche De nition20 auf Basis der Topologie entwi- ckelt:21

Es soll versucht werden, die gegebene Menge durch kleine Kugeln oder Kreisscheiben derart komplett zu überdecken, dass die Anzahl an Überschneidungen n zwischen diesen minimal wird. Die Dimension der Menge beträgt dann n − 1. Ein Beispiel: Die Dimension eines Punk- tes ist 0, weil er bereits durch eine Kreisscheibe beliebigen Radius überdeckt werden kann. Ebenso verfährt man mit Geraden. Hier ist die minimale Überschneidung zwei, daher ist sie eindimensional. Diese Dimension ergibt sich aber folglich auch für z.B. für eine Kurve oder den Rand einer Acht. All diese Objekte sind demnach topologisch betrachtet eindimensional.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Veranschaulichung der Überdeckungsdimension anhand eines Punktes und einer Kurve

3 Klassische Fraktale

Nachdem die mathematischen Grundlagen behandelt wurden, kann ich nun beginnen, mich dem zentralen Thema dieser Arbeit zuzuwenden. Zunächst ist aber zu klären, was überhaupt unter einem Fraktal zu verstehen ist.

3.1 Was ist ein Fraktal?

Bei Fraktalen handelt es sich um komplexe geometrische Figuren, deren Struktur stark ge- brochen (lat. fractus , daher der Name Fraktal ) bzw. zerklüftet erscheint und die einen hohen Grad an Skaleninvarianz aufweisen.22 Dies bedeutet, dass bei Vergröÿerung eines Aus- schnitts eines Fraktales stets immer feinere Strukturen erkennbar sind, egal wie stark der Vergröÿerungsfaktor ist, man sagt dazu auch, das Fraktal habe Details auf allen Stufen . Diese Eigenschaft unterscheidet Fraktale von den Objekten der klassischen Geometrie, wo bei hinreichender Vergröÿerung, z.B. des Randes eines Kreises, eine Gerade erkennbar ist, was in Übrigen die Di erenzierbarkeit dieser Objekte, also die Bestimmung der Steigung in einem Punkt, z.B. von Funktionsgraphen, überhaupt ermöglicht.23 Die skaleninvarianten Fraktale dagegen lassen die Bestimmung der Steigung in keinem ihrer Punkte zu.

Dies ist die grundlegende Eigenschaft, die alle Fraktale verbindet. Darüber hinaus gibt es einige spezi sche Eigenschaften, auf die ich weiter unten eingehen werde. Zunächst stelle ich einige der sog. klassische Fraktale vor. Sie wurden Ende des 19. bis Anfang des 20. Jahrhun- derts entwickelt und von den Mathematikern als mathematische Monster bezeichnet, weil sie sich grundsätzlich von den bisherigen Objekten der Geometrie unterschieden.24

Formal handelt es sich bei Fraktalen um kompakte25 Teilmengen eines vollständigen26 metrischen Raumes. Der Raum, auf den die Metrik de niert ist, kann z.B. R, R2 oder R3 sein. Im Folgenden werde ich mich aber auf den Vektorraum R2 beschränken.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Veranschaulichung der Skaleninvarianz: Jeder beliebig kleine Ausschnitt zeigt Details wie das gesamte Fraktal.

3.2 Die Koch-Kurve

Die Koch-Kurve (nach dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch) ist eines der bekanntesten Fraktale überhaupt.27 Von Koch stellte sie als Kurve vor, die überall stetig, aber nirgends di erenzierbar ist, da sie praktisch nur aus Ecken besteht, die keine eindeutige Tangente zulassen.

Zunächst erläutere ich die Konstruktion dieser Kurve: Die Koch-Kurve entsteht, indem man einen sog. Initiator, d.h. ein Ausgangsobjekt, in diesem Fall eine Strecke der Länge 1, drittelt und anschlieÿend den mittleren Teil durch zwei Kopien dieses Drittels ersetzt, sodass diese in einem Winkel von α = 60° zueinander und zur Initiatorstrecke stehen. Diesen Schritt, der als Generator bezeichnet wird, wendet man anschlieÿend auf alle vier entstandenen Teilstrecken an, und wiederholt (iteriert ) dies (theoretisch) unendlich oft. Das Fraktal, das bei diesem Prozess entsteht, hat besondere Eigenschaften, auf die ich im Folgenden genauer eingehen werde. Es folgt nun ein Bild, das diesen Konstruktionsprozess verdeutlichen soll.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Konstruktion der Koch-Kurve

Wie man leicht erkennen kann, erhöht sich die Anzahl an Ecken pro Iterationsschritt n um 4n−1, sodass die Grenzkurve, wie bereits oben erwähnt, aus unendlich vielen Ecken - und zwar ausschlieÿlich aus Ecken - zusammengesetzt ist, was nur daher kein Paradoxon ist, da der Konstruktionsprozess unendlich oft iteriert wird. Diese bemerkenswerte Eigenschaft macht sie daher an keiner Stelle di erenzierbar.

3.2.1 Selbstähnlichkeit der Koch-Kurve

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass ein Objekt aus verkleinerten Kopien seines selbst zusammen- gesetzt ist, die durch die Anwendung einer kontrahierenden Ähnlichkeits abbildung entstanden sind. Viele (aber längst nicht alle) Fraktale sind selbstähnlich, und die Koch-Kurve ist ein typisches Beispiel dafür. Betrachtet man sie genau, so erkennt man leicht, dass sie aus vier auf 3 skalierten Teilenaufgebautist,vondenenderzweiteum-60° undderdritteTeilum+60° rotiert worden ist. Nimmt man nun einen dieser Teile und vergröÿert ihn auf das Dreifache, so erhält man wiederum die gesamte Kurve. Dabei setzt sich die Selbstähnlichkeit bei jeder beliebiger Vergröÿerungsstufe fort, die Skaleninvarianz der Koch-Kurve ist demnach eine di- rekte Folge ihrer Selbstähnlichkeit. Es ist jedoch zu beachten, dass kein Konstruktionsschritt der Kurve selbstähnlich bzw. skaleninvariant ist. Theoretisch wäre es nämlich möglich, die- sen derart stark zu vergröÿern, sodass die Details verschwinden würden und man die eckige Struktur erkennen könnte. Die Selbstähnlichkeit bezieht sich daher nur auf das Grenzobjekt, die Gesamtlänge pro Iteration um das nach (theoretisch) unendlich vielen Iterationen entsteht.28 29

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung7: Selbstähnlichkeit der Koch-Kurve.

3.2.2 Die Länge der Koch-Kurve

Nun möchte ich zeigen, wie man die Länge der Koch-Kurve bestimmen kann.30 Wie bereits

erwähnt, hat die Initiatorstrecke die Länge1. Da der Generator diese durch a1 = 4 Teilstre- 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Koch-Kurve hat also eine unendliche Länge! Zwar belegt sie eine endliche Fläche31, da man sie ja auf einem Blatt Papier darstellen kann (wenn auch nur ungenügend), ist sie dennoch von einer gänzlich anderen Natur wie andere bekannte Objekte wie z.B. der Kreis, der nachweislich einen endlichen Umfang und eine endliche Fläche besitzt. Dies ist der Grund, warum die Koch-Kurve und die anderen klassischen Fraktale als Monster bezeichnet wurden: Sie entsprachen nun mal nicht den gängigen Vorstellungen geometrischer Objekte.

3.3 Die Cesàro-Kurve

Bei der Cesàro-Kurve handelt es sich um eine Verallgemeinerung der Koch-Kurve.32 Zwar bleibt der Initiator die Einheitsstrecke, jedoch ändert sich der Generator dahin gehend, dass der Basiswinkel des von der Kurve umschlossenen gleichschenkligen Dreiecks, der bei der Koch-Kurve θ = 60° beträgt, variabel im Bereich von θ = 0° bis θ = 90° wird. Dadurch ändert sich folglich der Verkleinerungsfaktor in Abhängigkeit von θ. Im Folgenden zeige ich eine Zusammenstellung von verschiedenen Cesàro-Kurven im Bereich von θ = 0° bis θ = 90° in Schritten von 10°. Für θ = 0° ergibt sich die nicht-fraktale Einheitsstrecke, da es keine Längenzunahme wie bei den andren Fällen gibt. Ansonsten sind alle Cesàro-Kurven wie die Koch-Kurve unendlich lang, der Zuwachs an Länge pro Iteration ist aber o ensichtlich von θ abhängig. Da es sich bei θ um einen Parameter handelt, bilden alle Cesàro-Kurven eine sog. Kurvenschar.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 8: Verschiedene Cesàro-Kurven

[...]


1 Im Folgenden aus [Mand91] S. 27 .; [WP5]; [Reit06] S.13f., S. 52

2 Im Folgenden aus [Barn95] S.6 .

3 Im Folgenden aus [Barn95] S.7; [Baum01] S.47 4

4 Im Folgenden aus [Barn95] S. 11f.; [Peit92] S. 315 .

5 [WP1]

6 [Barn95] S. 57f.; [Baum01] S.174

7 Im Folgenden aus [Baum01] S.177 .; [Spre09] S.5; [Gruh06] S. 21

8 [Gruh06] S. 6f.; [Spre09] S. 6

9 [Spre09] S. 6; [Peit92] S. 283

10 [Spre09] 8f.

11 [Baum01] S.186; [Spre09] S. 12

12 Im Folgenden aus [Spre09] S. 11

13 [Peit92] S. 283

14 Im Folgenden aus [Gruh06] S. 21

15 Im Folgenden aus [Barn95] S. 84f.

16 Dies besagt der sog. Fixpunktsatz von Banach, vgl. auch [Peit92] S. 317.

17 Im Folgenden aus [Peit92] S. 128 .; [WP2]; [WP3]

18 Hier gibt ebenfalls der Exponent über dem "R" die Dimension an.

19 Im Folgenden aus [Peit92] S. 130ff.

22 Im Folgenden aus [Mand91] S. 27 ., S. 31f., S. 394; [WP5]; [Reit06] S.13f.

23 Solche Objekte werden daher als glatt bezeichnet, vgl. [Reit06] S. 52

24 [Peit92] S. 81 .

25 Kompaktheit bedeutet, dass eine Menge X innerhalb eines Kreises im Raum liegt, d.h. dass sie nicht unendlich ausgedehnt (formal: beschränkt) ist und dass der Grenzwert einer konvergenten Folge von Punkten der Menge ebenfalls ein Punkt in X ist (formal: abgeschlossen). (vgl. auch [Peit92] S. 320 und [WP6])

26 Ein metrischer Raum X heiÿt vollständig, wenn der Grenzwert jeder Punktfolge, deren Punkte immer dichter liegen, d.h. der Abstand zwischen diesen immer geringer wird, ebenfalls Punkt des Raumes ist. (Eine solche Folge bezeichnet man als Cauchy-Folge.) (vgl. auch [Peit92] S. 317)

27 Im Folgenden aus [Peit92] S. 107 .

28 Im Folgenden aus [Mand91] S. 394; [Peit92] S. 172

29 [Peit[92]] S. 180

30 Vgl. im Folgenden [Peit92] S. 113

31 Weiter unten werde ich diese exakt bestimmen.

32 Im Folgenden aus [Mand91] S. 76f.; [Reit06] S. 75 .

Ende der Leseprobe aus 48 Seiten

Details

Titel
Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS)
Note
15
Autor
Jahr
2010
Seiten
48
Katalognummer
V193908
ISBN (eBook)
9783656224587
ISBN (Buch)
9783656226826
Dateigröße
1665 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Iterierte Funktionensysteme, IFS, Fraktale Geometrie
Arbeit zitieren
Adrian Jan Jablonski (Autor), 2010, Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS), München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/193908

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