In diesem Beitrag wollen wir grundlegende Beziehungen der speziell-relativistischen Optik herleiten, erläutern und verallgemeinern. Hierzu gehören die relativistischen Transformationsbeziehungen für die Frequenz der elektromagnetischen Welle (Doppler-Effekt, speziell: longitudinaler und transversaler Doppler-Effekt), die Transformationen der Richtungskosinus und damit der Wellennormale und eine relativistische Beziehung für den Aberrationswinkel. Diese Formeln verallgemeinern wir für beliebige Geschwindigkeitsrichtungen der Bezugssysteme und für beliebige Richtungen der Lichtausbreitung im Raum. Wir benötigen hierzu die allgemeinen, eigentlichen Lorentz-Transformationen.
Weiterhin behandeln wir die Lichtausbreitung im strömenden Medium bei beliebigen Geschwindigkeitsrichtungen, wobei wir beachten müssen, dass sich das Additionstheorem der Geschwindigkeiten aus der Kinematik i.a. nicht auf dieses Problem anwenden lässt. Wir erweitern anschließend unsere relativistischen Transformationsbeziehungen der optischen Kenngrößen für die Lichtausbreitung in einem strömenden Medium, wobei wir auch in diesem Fall beliebige Geschwindigkeitsrichtungen (Lichtrichtung und Strömungsrichtung) annehmen und eine Reihe von Spezialfällen behandeln.
Wir diskutieren weiterhin den Zusammenhang des transversalen Doppler-Effektes mit Zeitverschiebungseffekten (Zeitdehnung bzw. Möglichkeit einer Kontraktion).
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Aus (3.12) erhalten wir nach Substitution der Vierervektoren:
2
Hieraus ergibt sich die Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle in einem
homogenen, isotropen und bewegten Medium allgemein (bei beliebigen
Geschwindigkeitsrichtungen) zu [2]:
c
ph
l Über wird hierin von 1 bis 3 summiert. Wenn wir nun noch die Komponenten der
Vierergeschwindigkeit in (3.14) mit Hilfe von (3.11) ersetzen und (3.10) verwenden, so
erhalten wir:
c ph
Zeigt die Ausbreitungsrichtung der Lichtwelle und die Bewegungsrichtung des Mediums in
x-Richtung, so erhalten wir aus (3.15) wieder die Beziehung (3.7). In dem Fall, dass die
Strömungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichtes ist, erhalten wir (aus
3.15) die resultierende Geschwindigkeit der Welle zu:
c
(3.16) c ph
~ p 1
Man kann diese Gleichung auch auf die Form [2]
c
ph
c n
bringen.
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5 Über die Möglichkeit relativistischer Umkehreffekte, Zeitkontraktion
Eine Umstellung der Formel für die relativistische Zeitverschiebung oder auch eine
relativistische Vertauschung führt uns keineswegs auf den Schluss einer Zeitkontraktion.
Wenn eine Zeitkontraktion tatsächlich auftreten kann, so müssen wir sie ebenfalls, wie die
Zeitdehnung, als Raum-Zeit und Perspektiveffekt begründen.
Zunächst können wir aber aus der Formel (4.12) für den transversalen Doppler-Effekt eine
interessante Schlussfolgerung ziehen. Wenn nämlich die Wellennormale senkrecht zur
Geschwindigkeitsrichtung des Mediums (in S) ist, so tritt eine Frequenzvergrößerung mit
Vergrößerung der Geschwindigkeit auf (in S ). Mithin wird dann die Periodendauer
verringert. Es ergibt sich nämlich für diesen Fall:
T c
Hier taucht aber die Lichtgeschwindigkeit im ruhenden oder strömenden Medium gar nicht
mehr auf, sondern nur noch die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Wir haben es also in
diesem Fall mit einem Allgemeinen, vom Material (der Art des Mediums) unabhängigen
Effekt zu tun. Diesen Effekt könnte man deshalb als Zeitkontraktion deuten. Wir vermuten
danach, dass es Bedingungen geben muss, wobei allgemein (für jedes Zeitintervall) die
Transformation
t c
auftritt. Umkehreffekte können aus veränderten Bedingungen bei der Messung tatsächlich
gefolgert werden. Wir verwenden für den Nachweis die speziellen Lorentz-Transformationen.
an, dass in
S
die Raumkoordinaten gleich ermittelt Nehmen wir bei der Bestimmung von
t
werden (Eintreffen der Lichtsignale am gleichen Ort), dann ist
t v t v x x den Lorentz-Transformationen: und damit
2 1 1
t v t v x . (5.3)
1 2 1 2
Damit folgern wir:
c
in S´, wenn t x Analog erhalten wir für ermittelt wird:
2 1
t c
Wieder ergibt sich also ein Perspektiveffekt, diesmal aber als Zeitkontraktion. Die
Zeitkontraktion entspricht dem transversalen Doppler-Effekt (Winkel zwischen der
Bewegungsrichtung der Quelle und der Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle
vom Standpunkt der Quelle ist 90 Grad).
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