Herleitung eines fiktiven Minimum-Varianz-Portfolios im Zwei-Anlagen-Fall anhand der Portfoliotheorie nach Markowitz

INHALTSVERZEICHNIS

Abkurzungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Formelverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Problemstellung und Zielsetzung

2. Entwicklung der Portfoliotheorie

3. Grundannahmen der Portfolio-Selection-Theorie
3.1 Zeithorizont
3.2 Markterfordernisse
3.3 Vorgaben an den Investor
3.4 Diversifizierung des Portfolios
3.5 Verbot von Leerverkaufen

4. Herleitung des MVP fur den Zwei-Anlagen-Fall
4.1 Was versteht man unter dem Minimum-Varianz-Portfolio?
4.2 Grundsaulen der Portfolio Selection
4.1.2 Ermittlung der Portfoliorendite
4.1.3 Ermittlung des Portfoliorisikos
4.3 Ermittlung des Minimum-Varianz-Portfolios

5. Herleitung des MVP fur alle verfugbaren Wertpapiere

6. Fazit und Kritische Wurdigung

Literaturverzeichnis

Anhang

Abkurzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Die schlimmsten Bear Markets in der Geschichte

Abbildung 2: ^-o-Diagramm mit Effizienzkurve

Abbildung 3: Darstellung des MVP

Abbildung 4: Grafische Ubertragung der Rechenergebnisse

TABELLENVERZEICHNIS

Tabelle 1: Ermittlung der Renditen der Einzelanlagen

Tabelle 2: Ermittlung der Renditeerwartung des Portfolios

Tabelle 3: Ermittlung von Varianz und Standardabweichung

Tabelle 4: Ermittlung der Zusammenhangsmafie

Tabelle 5: Berechnung des Portfoliorisikos

Tabelle 6: Portfolioanteile des MVP

Tabelle 7: Ergebnisse zum MVP

Tabelle 8: Return und Risk der Einzelanlagen

Tabelle 9: Korrelationsmatrix

FORMELVERZEICHNIS

Formel 1: Ermittlung der diskreten Rendite

Formel 2: Berechnung der durchschnittlichen Rendite

Formel 3: Berechnung des arithmetischen Mittels historischer Renditen

Formel 4: Berechnung der Portfoliorendite

F ormel 5: Berechnung der Varianz zukunftiger Renditen

Formel 6: Berechnung der Varianz historischer Renditen

Formel 7: Berechnung der Standardabweichung historischer Renditen

Formel 8: Berechnung der Kovarianz

Formel 9: Berechnung des Korrelationskoeffizienten

Formel 10: Berechnung des Portfoliorisikos

Formel 11: Herleitung des Minimum-Varianz-Portfolios

Formel 12: Prufung der Minimumbedingung

SYMBOLVERZEICHNIS

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Problemstellung und Zielsetzung

Weltweit unterliegen die Finanzmarkte zahlreichen Einflussen, die erhebliche Schwankungen auslosen konnen. Beginnend mit dem Platzen der amerikanischen Immobilienblase im Jahr 2007, rutschte die Weltwirtschaft in eine Finanzkrise schweren AusmaBes. Zahlreiche Unternehmensverluste und -insolvenzen im Fi- nanzsektor, mit dem Zusammenbruch einiger GroBbanken, veranlassten Staaten da- zu, das Bankensystem mit Hilfe von Eigen- und Fremdkapitalzuschussen zu stabili- sieren und am Leben zu halten. Dieses Eingreifen trieb einige Staaten des Eu- roraums in die Schuldenkrise. Zahlreiche dieser Lander versuchen bis heute eine drohende Staatsinsolvenz durch Beantragung von Rettungspaketen abzuwenden.

Solch immense Ereignisse fuhrten auch zu starken Verlusten an den globalen Ak- tienmarkten. Es entstehen sogenannte Bear Markets (Baisse), die gekennzeichnet sind durch einen starken und langanhaltenden Kursruckgang^[1]. Die Starke des Kurs- ruckgangs aufgrund solcher Ereignisse verdeutlicht die folgende Grafik. Neben der angesprochenen Finanzkrise losten auch die Weltwirtschaftskrise der 30er Jahre, die Olkrise Anfang der 70er Jahre oder das Platzen der Dotcom-Blase solch massi­ve Einbruche des Aktienmarktes aus. Intensiviert wird dieser Effekt wiederum dadurch, dass aufgrund der pessimistischen Erwartungen der Preiseinbruch der Wertpapiere verstarkt wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Entnommen aus: Advisor Perspectives (2012), o.S.

Schwankungen des Aktienmarktes sind allgegenwartig, jedoch fallt deren Hohe nach Art und AusmaB der externen Einflusse unterschiedlich hoch aus. Durch eine daraus resultierende Zuruckhaltung, gerade privater Anleger, erlangt die Risikoana- lyse eines Aktienportfolios einen zunehmenden Stellenwert. Zielsetzung bei der Zusammenstellung ist vor allem eine stetige und langanhaltende Wertsteigerung^[2]. Vor dem Hintergrund der zuvor geschilderten Marktverwerfungen sind bei der Portfoliozusammenstellung Ansatze notwendig, die zu einer Verringerung der Ein- ^[3] flussnahme von Marktschwankungen auf das Portfolio fuhren . Folglich wird das Risiko des Portfolios minimiert. Im Rahmen der Portfolio-Selection-Theorie griff Markowitz den Ansatz des Minimum-Varianz-Portfolios (MVP), als risikominima- le Zusammenstellung von Wertpapieren, auf^[4].

Im Folgenden wird, aufbauend auf der wissenschaftlichen Einordnung in die Port- foliotheorie, die Portfolio-Selection-Theorie von Markowitz anhand eines fiktiven Anlegerportfolios erlautert. Zielfuhrend ist hierbei die Ermittlung des risikomini- malen Portfolios. Fur den Anleger steht hierbei ein Kapital von 50.000 Euro zur Verfugung. Unter Berucksichtigung der Borsennews erfolgt eine Beschrankung auf lediglich drei Wertpapiere. Mit dem Release des neuen iPhone 4S und den voran- schreitenden Verhandlungen uber Musikrechtebereitstellung fur den Online-Dienst iCloud wird von einem Kursanstieg der Apple-Aktie ausgegangen^[5]. Absatzrekorde des Automobilherstellers BMW bestatigen die weltweite Fuhrungsposition als Premiumhersteller, was auch in der Aktienkursentwicklung Niederschlag finden sollte^[6]. AbschlieBend wird die Aktie des Textilausrusters adidas ausgewahlt, bei der ein Kursanstieg im Hinblick auf die FuBballeuropameisterschaft 2012 und die Olympischen Spiele erwartet wird^[7]. Ausgehend von den Grundlagen der Portfolio- Selection-Theorie erfolgt die rechnerische Herleitung des Minimum-Varianz- Portfolios fur den Zwei-Wertpapiere-Fall anhand der moglich kombinierbaren Wertpapiere.

2. Entwicklung der Portfoliotheorie

Als Teildisziplin der Finanzierung beurteilt die Portfoliotheorie das Anlageverhal- ten an Kapitalmarkten ^[8].

Im Rahmen der wissenschaftlichen Entwicklung der Portfoliotheorie haben sich un- terschiedliche Denkweisen herausgebildet. Schwerpunkt der Betrachtung war vor allem die Frage nach der Prognostizierbarkeit von Aktienkursen^[9]. Aus einer erstma- ligen Aufzeichnung der Aktienkurse im Jahre 1910 durch Charles Dow wurde ver- sucht Prognosen zu generieren und Signale zu deuten. Ziel dieser Markttechniker ist die Suche nach einer eventuell vorhandenen und uberlegenen Anlagestrategie. Zwar zeigen sich kurzfristig Trends, die sich auch uber einen gewissen Zeitraum fortsetzen, doch langfristig gesehen zeigen sich Umkehrungen dieser Modeerschei- nungen^[10].

Untersuchungen der Okonomen Benjamin Graham und David L. Dodd Mitte der 30er Jahre sehen eine andere Vorgehensweise. Fundamental fur den Aktienkauf ist die vorherige Bestimmung des Unternehmenswertes. Ziel ist die Bestimmung von unterbewerteten Aktien auf Basis eines Wert-/Kursvergleiches (Kurs- /Gewinnverhaltnis), die anschlieBend erworben werden. Die Erhebung dieser Fun- damentalanalyse stellt sich jedoch als sehr muhsam heraus^[11].

Zwischen 1960 und 1980 entwickelte sich die Moderne Portfoliotheorie (MPT), die als revolutionarer Fortschritt angesehen wurde. Mit seinen Abhandlungen zur Port­folio Selection im Jahre 1952 lautete Harry M. Markowitz die Geburtsstunde einer neuen Richtung und Praxis der Portfoliotheorie ein. Mit einem von Grund auf neu- en Ansatz wurden die Fundamente fur eine Reihe an Entwicklungen innerhalb der Finanzwirtschaft gelegt. Basierend auf Annahmen zum Anlegerverhalten werden Aussagen im Hinblick auf dessen Investitionen abgeleitet. Zielfuhrend ist diejenige Zusammenstellung des Portfolios, die bei einem gegebenen Risiko die zu erwarten- de Rendite widerspiegelt. Neben Markowitz wurden auch Sharpe und Miller 1990 fur ihre Verdienste mit dem Nobelpreis ausgezeichnet^[12] .

Zwar wurde die MPT in den vergangenen Jahren durch immer neue Fakten hinter- fragt, doch wurde sie keineswegs widerlegt. Vielmehr wurde sie stetig verfeinert und hat nichts an ihrer Gultigkeit verloren ^[13]. Im Folgenden werden die grundlegen- den Annahmen der Portfolio Selection nach Markowitz naher beleuchtet.

3. Grundannahmen der Portfolio-Selection-Theorie

Bei der Portfolio-Selection-Theorie nach Markowitz handelt es sich um ein Ge- dankenmodell, das gewissen Annahmen unterliegt. Zielfuhrend ist hierbei, dem In­vestor diejenige Kombination von Wertpapieren aufzuzeigen, die die Portfolioren- dite (pP) auf Basis eines vorherrschenden Risikos (oP) maximiert^[14]. Vorerst werden die Grundpramissen dieses Modells in der Kurze dargestellt werden. Im Anschluss erfolgt die Detaillierung der wesentlichen Saulen der Portfolio Selection in Zu- sammenhang mit der Berechnung eines fiktiven Anlegerportfolios.

3.1 Zeithorizont

Zwei Zeitpunkte finden im Rahmen der Portfolio Selection Betrachtung, t = 0 und t = 1. Von hoherer Bedeutung ist der Zeitpunkt t = 0, da hier durch den Investor ex- ante die Allokation der Wertpapiere vorgenommen wird. Entgegen einem Einperio- denmodell, wird diese Zusammensetzung des Portfolios bis zum Zeitpunkt t = 1 nicht mehr verandert^[15].

3.2 Markterfordernisse

Voraussetzung findet ein vollkommener Kapitalmarkt ohne Restriktionen, Transak- tionskosten und Steuern. Gleichzeitig ist dem Investor das Volumen der marktge- handelten Assets gegeben. Alle Anlagen sind daruber hinaus beliebig teilbar^[16].

3.3 Vorgaben an den Investor

Markowitz unterstellte im Rahmen der Portfolio Selection einen rationed handeln- den Anleger. Dieser wird stets eine Maximierung des erwarteten Portfoliowertes anstreben. Weiterhin ist die Pramisse der Risikoaversion zu erfullen, wonach der Investor das sichere Ergebnis stets bevorzugen wird .^[17]

3.4 Diversifizierung des Portfolios

Ein Portfolio wird allgemeingultig als „... Aggregation einzelner Assets”^[18] be- zeichnet. Die Zusammenstellung spielt auch fur Markowitz eine entscheidende Rol- le.

"A good portfolio is more than a long list of good stocks and bonds. It is a balanced whole, providing the investor with protections and opportunities with respect to a wide range of contingencies."^[19]

Wie dieses Zitat von Markowitz ausdruckt, ist es zielfuhrend das Anlegerkapital auf mehrere Wertpapiere aufzuteilen. Dieser Diversifizierungsansatz wurde durch Mar­kowitz nicht neu geschaffen, jedoch systematisch auf das Wertpapiergeschaft uber- tragen ^[20]. Hierdurch kann eine auf den Wertpapiervorhersagen basierende Unsicher- 21 heit eingeschrankt werden^[21] .

3.5 Verbot von Leerverkaufen

Zur Veraufierung einer Anlage muss diese auch tatsachlich vorhanden sein. Dies bedingt, dass diese Anlage innerhalb des Portfolios einen positiven Wert aufweist. Somit sind Leerverkaufe fur den Investor ausgeschlossen^[22] .

4. Herleitung des MVP fur den Zwei-Anlagen-Fall

Auf der Basis der Modellannahmen erfolgt nun die Herleitung des Minimum- Varianz-Portfolios fur den Zwei-Anlagen-Fall. Wie einleitend geschildert steht dem Anleger hierbei ein Kapital von 50.000 Euro zur Verfugung. Die Zusammensetzung des Portfolios erfolgt vorerst aus den Wertpapieren der Apple Inc. und BMW AG.

Einleitend erfolgt die Einordnung des MVP im Rahmen der sich aus der Portfolio Selection ergebenden Kombinationen an Portfolios. Nachdem Rendite und Risiko die zu optimierenden Parameter und damit die Grundsaulen der Portfolio Selection darstellen, erfolgt im Verlauf der Herleitung des MVP eine umfassendere Betrach- tung^[23].

4.1 Was versteht man unter dem Minimum-Varianz-Portfolio?

Im Falle zweier- oder mehr Anlagemoglichkeiten lassen sich samtliche p-o- Kombinationen grafisch darstellen. Aus der prozentualen Gewichtung der Anlagen ergibt sich die Kurve moglicher Portfoliokombinationen, auf Basis der Relation zwischen erwarteter Rendite und damit verbundenem Risiko. Diese Kurve grenzt die Menge aller moglichen Portfolios, innerhalb und auf dieser Hyperbel liegend, nach auBen hin ab. Diese Menge wird auch als Opportunity Set bezeichnet^[24] .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Innerhalb der Hyperbel und auf der Hyperbel unterhalb des Punktes E liegende Portfoliokombinationen gelten als ineffizient, da hier bei gegebenem Risiko eine hohere Rendite erzielbar ist^[25] .

Der Teil der Hyperbel, der sich zwischen den Punkten E und F befindet, wird auch als Effizienzkurve oder Efficient Frontier bezeichnet. Diese Kurve stellt die Linie aller effizienten Portfolios dar. Fur diese Wertpapierkombinationen existiert kein anderes Portfolio, das bei gegebenem Risiko eine hohere Rendite verspricht^[26].

Fur den Investor stellt diejenige Wertpapierkombination auf der Effizienzkurve das optimale Portfolio dar, das den hochsten Nutzen verspricht. Dies ist im Tangential- punkt der Effizienzkurve und der Iso-Nutzen-Kurve der Fall^[27] .

Abschliefiend verbleibt die Frage nach dem Minimum-Varianz-Portfolio. Das MVP befindet sich an dem Punkt der Effizienzkurve, der die Portfoliokombination mit dem geringsten Risiko widerspiegelt (in Abbildung 2 als Punkt E und unten durch Pfeil gekennzeichnet). Unter Aspekten der totalen Risikoaversion ware dieses Port­folio fur den Investor optimal.^[28]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Entnommen aus: Analyst Notes (2012b), o.S.

4.2 Grundsaulen der Portfolio Selection

Die Portfoliorendite und das Portfoliorisiko stellen innerhalb der Portfolio Selection die entscheidungsrelevanten Grofien dar. Somit spielt deren Berechnung im Hin- blick auf die Herleitung des MVP eine entscheidende Rolle. Fur die Berechnung werden diese Grofien als exogen gegeben angenommen. Eine Hinterfragung der Herkunft spielt folglich keine Rolle ^[29].

4.1.2 Ermittlung der Portfoliorendite

Die Rendite kennzeichnet den mitunter wichtigsten Begriff der Portfolio Selec-tion^[30] . Sie lasst sich als das Verhaltnis des Endwerts einer Aktie auf den An-fangswert bezeichnen. Dieses wird, bezogen auf einen festgelegten Zeitraum, in Prozent ausgedruckt ^[31]. Um die Portfoliorendite bestimmen zu konnen, ist anfang- lich die Rendite der einzelnen Wertpapiere zu bestimmen.

4.1.2.1 Die Rendite der einzelnen Wertpapiere

Mit der Rendite wird der Gewinn/Verlust einer Anlage auf der Basis des einge- setzten Kapitals ermittelt ^[32]. Nachdem das Portfolio-Selection-Modell einer Zweizeitpunktbetrachtung unterliegt und demnach von zwei einzelnen, diskreten Zeitpunkten begrenzt wird, findet die diskrete Rendite zur ex-post Ermittlung des Anlageergebnisses Verwendung ^[33]. Der Zeithorizont wird hierbei auf ein Ge- schaftsjahr fixiert. Somit lassen sich die historischen Renditen mit folgender Formel errechnen:

Formel 1: Ermittlung der diskreten Rendite

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Fur die Berechnung der zuruckliegenden Anlageergebnisse kann auch die stetige Rendite herangezogen werden. Diese wird berechnet aus der Logarithmierung der diskreten Rendite. In der Praxis weist die stetige Rendite eher die Eigen- schaften einer Normalverteilung auf. Vor allem in Hinblick auf deren Ergebnisse ist die diskrete Rendite auf einen Verlust von -100 Prozent beschrankt, wahrend die stetige Rendite samtliche Werte annehmen kann.

[...]

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^[1]Vgl. Konecny, L. (2012), S. 303.

^[2]Vgl. Brandt, H., Prontera, D. (2009), S. 1.

^[3]Vgl. ebd., S. 1.

^[4]Vgl. Staehle, H. (2005), S. 32.

^[5]Vgl. N24.de (2011a), o.S.

^[6]Vgl. N24.de (2011b), o.S.

^[7]Vgl. N24.de (2011c), o.S.

^[8]Vgl. Spremann, K. (2006), S. 47 f.

^[9]Vgl. Garz, H. (2002), S. 18.

^[10]Vgl. Spremann, K. (2008), S. 55 f.

^[11]Vgl. ebd., S. 57 f.

^[12]Vgl. ebd. S. 59 f.; Schulte-Mattler, H. (2012), S. 18 ff.

^[13]Vgl. Spremann, K. (2008), S. 62.

^[14]Vgl. Bieg, H. et al. (2009), S. 254.

^[15]Vgl. ebd., S. 173 f.

^[16]Vgl. Bieg, H. et al. (2009), S. 254 f.; Wellner, K. (2003), S. 80.

^[17]Vgl. Garz, H. (2002), S. 45 f.; Markowitz, H. M. (1991), S. 470.

^[18]Bruns, C., Meyer-Bullerdiek, F. (2008), S. 2.

^[19]Markowitz, H. M. (1976), S. 3.

^[20]Vgl. May, S. (2012), S. 2.

^[21]Markowitz, H. M. (2008), S. 37.

^[22]Vgl. Wellner, K. (2003), S. 80.

^[23]Vgl. Wellner, K. (2003), S. 80.

^[24]Vgl. Wolff, T. (2010), S. 17.

^[25]Vgl. Gondring, H., Wagner, T. (2011), S. 79.

^[26]Vgl. ebd., S. 80.

^[27] Vgl. Bieg, H. et al. (2009), S. 255.

^[28] Vgl. Gondring, H., Wagner, T. (2011), S. 80.

^[29] Vgl. Lohse, A. (2011), S. 5.

^[30] Vgl. Spremann, K. (2008), S. 71.

^[31] Vgl. Bruns, C., Meyer-Bullerdiek, F. (2008), S. 4.

^[32] Vgl. Staehle, H. (2005), S. 17.

^[33] Vgl. Spremann, K. (2008), S. 71 f.