Fraktalgeometrie: Selbstähnlichkeit und fraktale Dimension – Teil 1


Hausarbeit (Hauptseminar), 2010

20 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung (Sawatzki, Otterbein)

2 Was sind Fraktale? (Sawatzki)

3 Selbstähnlichkeit (Sawatzki)
3.1 Exakte Selbstähnlichkeit (Sawatzki)
3.1.1 Exakte Selbstähnlichkeit am Beispiel einer Strecke (Sawatzki)
3.1.2 Exakte Selbstähnlichkeit am Beispiel eines Schachbrettes (Sawatzki)
3.2 Statistische Selbstähnlichkeit (Otterbein)

4 Selbstähnlichkeitsdimension Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Sawatzki, Otterbein)

5 Mathematische Fraktale (Sawatzki, Otterbein)
5.1 Cantor-Drittelmenge (Sawatzki, Otterbein)
5.1.1 Selbstähnlichkeit der Cantor-Drittelmenge (Otterbein)
5.1.2 Dimension der Cantor-Drittelmenge (Sawatzki)
5.2 Sierpinski-Dreieck (Sawatzki, Otterbein)
5.2.1 Selbstähnlichkeit im Sierpinski-Dreieck (Sawatzki)
5.2.2 Dimension im Sierpinski-Dreieck (Otterbein)

6 Wischaktivitäten (Sawatzki, Otterbein)
6.1 Wischaktivitäten in der Ebene (Sawatzki, Otterbein)
6.1.1 Sierpinski-Teppich (Otterbein)
6.1.2 Vergleich der Selbstähnlichkeitsdimension Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten des Sierpinski-Dreiecks mit der des Sierpinski-Teppichs (Otterbein)
6.2 Wischaktivitäten im Raum (Sawatzki, Otterbein)
6.2.1 Beispiel 1) (Otterbein)
6.2.2 Beispiel 2) (Otterbein)
6.2.3 Beispiel 3) (Otterbein)

7 Fazit (Sawatzki, Otterbein)

1 Einleitung

In der nachfolgenden Arbeit soll die Selbstähnlichkeit und fraktale Dimension, Teil 1 behandelt werden. Vorab wird der Begriff „Fraktale“ im Allgemeinen beschrieben und erklärt. Zur Verdeutlichung des Begriffs wird ferner auf die unterschiedlichen Eigenschaften der Fraktale, die das Grundgerüst der Fraktalgeometrie und den Schwerpunkt der Arbeit bilden, eingegangen. Des Weiteren wird die Selbstähnlichkeit dargestellt, die sich unter anderem zwischen der exakten und der statistischen Selbstähnlichkeit unterscheiden lässt. Einige Beispiele sollen diesen Unterschied deutlich machen und herauskristallisieren. Darauf aufbauend wird die Selbstähnlichkeitsdimension Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten allgemein definiert sowie die Formel zu ihrer Berechnung abgeleitet. Anschließend wird sich den mathematischen Fraktalen zugewandt. Im Mittelpunkt stehen die Cantor-Drittelmenge und das Sierpinski-Dreieck, bei denen jeweils die Selbstähnlichkeit sowie deren Dimension beschrieben und vertiefend erklärt wird. Abschließend werden unterschiedliche Wischaktivitäten in der Ebene und im Raum anhand zahlreicher Beispiele skizziert und diese miteinander verglichen.

2 Was sind Fraktale?

Der Begriff Fraktale wurde im Jahre 1975 von dem polnisch-französischen Mathematiker Benoît B. Mandelbrot eingeführt. Anders als die euklidische Geometrie, die in der Institution Schule gelehrt wird, werden in der Fraktalgeometrie komplexere und irregulärere Objekte betrachtet.

Fraktale lassen sich übergeordnet durch folgende vier Eigenschaften charakterisieren:

„Ein Fraktal ist

- das Ergebnis eines unendlich wiederholten rekursiven Erzeugungsprozesses.
- ein Objekt dem als Dimension eine nichtganzzahlige Zahl zugeordnet wird.
- eine Kurve, die über keine charakteristische Länge verfügt, d.h. unendlich lang ist.
- ein Objekt, das auf jeder Größenskala aus mehreren gleichgroßen Teilen, die exakte Kopien des Ganzen sind, besteht.“[1]

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass ein Fraktal die Eigenschaften einer gebrochenen Dimension und der Selbstähnlichkeit aufweisen muss.

3 Selbstähnlichkeit

Im Folgenden wird die Selbstähnlichkeit beschrieben, die wiederum zwischen einer exakten und einer statistischen Selbstähnlichkeit unterschieden wird. Die exakte Selbstähnlichkeit wird am Beispiel einer Strecke sowie am Beispiel eines Schachbrettes, die statistische Selbstähnlichkeit am Beispiel der Küstenlinie sowie am Beispiel des Romanescos erläutert.

3.1 Exakte Selbstähnlichkeit

Exakt selbstähnlich wird eine Figur genannt, wenn sich diese aus gleichgroßen Teilen in kleineren Maßstäben zusammensetzen lässt, die verkleinerten Kopien jedoch exakt der ursprünglichen Figur entsprechen.[2]

Das ideale Fraktal weist also in jeder Vergrößerungsstufe eine strenge mathematische Ähnlichkeit zu sich selbst auf. Selbst bestimmte Teile der Figur wiederholen sich in ein und demselben Bild ständig, wenn auch in anderen Maßstäben.[3]

Dieses Phänomen lässt sich anhand der folgenden Beispiele verdeutlichen.

3.1.1 Exakte Selbstähnlichkeit am Beispiel einer Strecke

Wir betrachten eine Strecke gegeben durch das Intervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Diese wird in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kongruente[4] Teilstücke geteilt. Folglich erhält man die Intervalle Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten mit jeweils einer Längeneinheit. Die Vereinigung aller fünf Intervalle bildet erneut die gesamte Strecke.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jede Teilstrecke ist kongruent zur Gesamtstrecke, d.h. jedes einzelne Intervall lässt sich mit einem Vergrößerungsfaktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten auf das Intervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten vergrößern. Der Vergrößerungsfaktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten berechnet sich, indem die Gesamtstrecke in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gleich große Intervalle geteilt wird, die Anzahl dieser Intervalle entspricht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Somit ergibt sich im obigen Beispiel ein Vergrößerungsfaktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.[5]

Definition: Allgemein ist eine Figur Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten selbstähnlich im strengen Sinn, wenn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- die Vereinigung von bis auf die Randelemente paarweise disjunkten, kongruenten Teilstücken Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist, also Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.
- zu jedem Teilstück eine Ähnlichkeitsabbildung[6] Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten existiert mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, sodass man für jedes Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten durch Vergrößerung mit einem Faktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die komplette Figur erhält.[7]

3.1.2 Exakte Selbstähnlichkeit am Beispiel eines Schachbrettes

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ausgangsgröße eines Schachbrettes bildet ein Quadrat mit der Seitenlänge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, welches sich aus 64 Quadraten zusammensetzt. Für das ganze Schachbrett ergibt sich der Vergrößerungsfaktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, da jedes einzelne Feld mit dem Faktor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenvergrößert wieder das ursprüngliche Schachbrett darstellt.

Betrachtet man ein Feld des Schachbrettes und unterteilt dieses wiederum in 64 Quadrate, so erhält man wieder ein Schachbrett. Dieser Vorgang lässt sich beliebig oft wiederholen. Diese Analogie wird als exakt selbstähnlich bezeichnet.[8]

3.2 Statistische Selbstähnlichkeit

Selbstähnliche Objekte befinden sich in der gesamten Umwelt, beispielsweise in Form einer Küstenlinie. Diese besteht aus einer hohen Anzahl von Buchten, die wiederum aus mehreren kleineren Buchten bestehen – in allen Buchten befinden sich Steine und Felsen. Die Selbstähnlichkeit der natürlichen Objekte ist nie exakt. Diese sehen dem Original zwar sehr ähnlich, jedoch sind kleine Abweichungen zu erkennen. So liegen nicht in allen Buchten die gleichen Steine und Felsen; sie variieren in ihrer Anzahl und ihrem Aussehen. Sie bringen jedoch immer die gleiche Art Strukturen hervor, sie sind skaleninvariant.[9][10]

Betrachten wir als weiteres Beispiel den Romanesco, der aus einer Vielzahl von verkleinerten Romanescos besteht. Würde man ein verkleinertes Teilstück herausnehmen und dieses vergrößern, so wüsste man nicht, welcher Maßstab zu wählen wäre, um die gesamte Figur zu erhalten.

[...]


[1] Basso, G., Quatember, K. (2008), S. 6

[2] Vgl. ebenda, S.9

[3] Vgl. http://www.eberl.net/chaos/Sem/Altin/D_index.html (Abruf am 03.11.2010)

[4] Kongruenz bedeutet, dass zwei Figuren deckungsgleich sind, d.h. Strecken- und Winkelverhältnisse bleiben gleich.

[5] Vgl. Zeitler, H., Pagon, D. (2000), S. 13

[6] Ähnlichkeitsabbildungen sind Abbildungen, bei denen sich die Längen der Strecken ändern, die Strecken- und die Winkelverhältnisse jedoch gleich bleiben.

[7] Vgl. Zeitler, H., Pagon, D. (2000), S. 14

[8] Vgl. Basso, G., Quatember, K. (2008), S. 9

[9] Vgl. ebenda

[10] Skaleninvariant bedeutet, dass ohne einen eingeblendeten Maßstab nicht zu erkennen ist, zu welcher Stufe das jeweilige Bild gehört.

Ende der Leseprobe aus 20 Seiten

Details

Titel
Fraktalgeometrie: Selbstähnlichkeit und fraktale Dimension – Teil 1
Hochschule
Universität Kassel  (Institut für Mathematik)
Veranstaltung
Fachwissenschaftliches Seminar
Note
1,3
Autoren
Jahr
2010
Seiten
20
Katalognummer
V199310
ISBN (eBook)
9783656262367
ISBN (Buch)
9783656262572
Dateigröße
1378 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Fraktalgeometrie, Fraktale, Geometrie, Sierpinski, Cantor, Selbstähnlichkeit, Mandelbrot
Arbeit zitieren
Jutta Otterbein (Autor)Christina Sawatzki (Autor), 2010, Fraktalgeometrie: Selbstähnlichkeit und fraktale Dimension – Teil 1, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/199310

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