Lógica em termos

Inhaltsverzeichnis

1. Sobre Termos

2. As regras e os principios do cálculo de Leibniz.

3. О adendo de Jevons ao cálculo de Leibniz.

4. As proposiçoes categóricas no cálculo de termos.

5. О cálculo de termos e o método tableaux.

Sumário. Este ensaio oferece urna elaboraçâo de um cálculo de termos criado por Leibniz e aprimorado por Jevons. Embora nenhum desses autores tenha desenvolvido, isoladamente, uma axiomática completa da lógica, há elementos em seus escritos para tanto. Além de propor um conjunto de axiomas, este ensaio procura explicar alguns conceitos fundamentais de um cálculo de termos, a saber, “termo”, “intensao” e “extensao”. Vários exemplos de provas no sistema sao apresentados.

Palavras chave: lógica de termos, identidade, inferencia asilogística, intensao e extensao.

Abstract. This essay attempts to systematize a term calculus created by Leibniz and elaborated by Jevons. Although neither of these authors separately developed a complete axiomatic logic, there are elements in their writings for such a system. Besides proposing an adequate set of axioms, this essay attempts to explain some fundamental concepts of a calculus of terms, to wit, “term”, “intention” and “extension”. Several examples of proofs within the system are presented.

Key words: term logic, identity, non-syllogistic inference, intention and extension.

Lógica em Termos

Um sistema híbrido das lógicas de termos de Leibniz e Jevons será desenvolvido. Suas fontes sao, de um lado, os manuscritos Investigates gérais sobre a análise de conceitos e de verdades, As bases primeiras de um cálculo lógico e As bases de um cálculo lógico de Leibniz (Leibniz, 1966), e, do outro lado, o primeiro volume de The principles of science, de William Stanley Jevons (Jevons, 1874). Há pelo menos duas diferenças dignas de nota entre seus sistemas. A primeira diz respeito à relaçao entre os termos sujeito e predicado de proposiçoes: na lógica de Jevons, uma proposiçao do tipo “A é B” sempre significa que A é uma parte da extensao de B (em símbolos: A=AB), ao passo que, para Leibniz, tais proposiçoes às vezes (mas somente às vezes) afirmam que B é uma parte do definiens ou do intento de sentido de A (em símbolos: AB=B). Ao que parece, essa diferença nao exige vocabulários simbólicos distintos. Em segundo lugar, o cálculo de Jevons leva em conta relaçoes (além de identidade e diferença); Leibniz, no entanto, pensava que proposiçoes do tipo “Platao foi aluno de Sócrates”, por exemplo, podem ser “reduzidas” ou derivadas de proposiçoes da forma sujeito-predicado. Seu sistema, portanto, ignora as relaçoes. Nao obstante essas diferenças, a lógica do Principles pode ser vista como uma elaboraçao do cálculo leibniziano.

1. Sobre Termos.

Começaremos pela explicaçao da palavra “termo”. Um termo é uma palavra usada para designar objetos pertencentes a um universo suposto de discurso; um termo pode denotar todos, nenhum, ou apenas alguns objetos do dominio. Os objetos designados podem ser reais ou apenas ideais; eles podem ser conceitos, frases, proposiçoes ou até mesmo termos. Além desse conteúdo externo, um termo também tem, segundo Jevons, um conteúdo interno: este consiste dos atributos pelos quais o termo é definido, ou das “peculiaridades” e “circunstáncias” de certos objetos pelas quais aplica-se o termo (Jevons: Logic, 20-21). Em vários escritos, Jevons afirma a seguinte “lei de sentidos” sobre a relaçao entre a extensao e intensao de um termo: “Quando o intento do sentido de um termo aumenta, a extensao diminuí; e vice versa: quando a extensao é ampliada, o intento é diminuido” (Jevons: 1874, 32).

Tomemos, por exemplo, o termo "navio" e comparemos-lo com "navio a vapor". Há mais navios, evidentemente, do que há navios a vapor, porque do sentido deste último termo temos de excluir navios veleiros. Logo, ao colocar a frase “a vapor” depois de “navio” reduzimos em muito a extensao do termo. Mas aumentamos a sua intensao, porque “navio a vapor” significa todo o que “navio” significa, e muito mais, pois significa que o navio é movido pela energia do vapor. (Jevons: Logic, 21-22)

A lei dos sentidos é um critério do que é um termo: A e В sao termos, se o intento de sentido de “A&B” for maior, e a sua extensao menor, que as de A e В tomados isoladamente. Embora, rigorosamente, esse critério nao seja nem necessário nem suficiente, ele serve para destacar alguns exemplos considerados como termos por Leibniz ou Jevons:

“navio” e “veleiro”;

“navio veleiro” (pois os sentidos de extensao e intençao de “navio veleiro” diferem dos de “navio veleiro espanhol”);

“nao-espanhol” (se A é um termo, nao-A também é);

nomes próprios e pronomes (compare “Medina-Sidonia” e “a sua mâo esquerda”);

“menor que um fragata” (ou seja, algumas relaçoes ou propriedades relacionais podem ser classificadas como termos);

“existe” e “existente” (considere mundos possíveis: os sentidos de “homem” e “homem existente” diferem).

2. As regras e os principios do cálculo de Leibniz.

Nesta seçao, o vocabulário, regras de inferencia e alguns principios e teoremas das Investigates de Leibniz serao apresentados. A base dos tratados leibnizianos mencionados é a mesma, e é incorporada pelo Principies de Jevons. Antes de prosseguirmos, cabe salientar que o simbolismo das Investigates (doravante, a linguagem G - de Generales inquisistiones de analysi notionum et veritatum), inclusive a sua énfase em identidade e omissao de outras relaçoes, foi moldado pelo propósito que originalmente se lhe atribuiu, qual seja: o de expressar verdades segundo a metafísica e teoria do conhecimento de Leibniz.

Nas lógicas de Leibniz e Jevons, pelo menos uma proposiçao de qualquer inferencia deve ser uma identidade - uma fórmula contendo o simbolo “=” como conectivo principal. Em G, termos também podem ser ligados por conjunçao e diferença. Leibniz e Jevons nao usam nenhum símbolo para conjunçao - a conjunçao dos termos CeD, por exemplo, é expressa como CD¹ (aqui, essa conjunçao também poderá ser escrita como “C&D”). Usaremos o símbolo “^” para a diferença, ou seja, a negaçao de uma identidade. Assim, a proposiçao “C^D” significa: os termos CeD nao sao idénticos. Esta proposiçao também poderia ser simbolizada por “~(C=D)”. Portanto, usaremos o símbolo “~” para representar o operador de negaçao. Em G, “(~C)” e “CA” sao termos, como sugerido pelo rol de exemplos de termos acima.

E importante ressaltar que sequentes em G contendo o conectivo “=” “^” nao podem ser transformados em sequentes contendo apenas “&” ou “~”, nem vice versa. No sistema de Leibniz, cada proposiçao deve ter uma, mas somente uma, ocorréncia do conectivo de identidade ou de diferença, mas nao de ambos, e o resultado da conjunçao de termos, inclusive de termos negativos, é sempre um termo, nunca uma proposiçao.

A forma gérai de inferencias dedutivas em G pode ser escrita da seguinte maneira:

A=B, AoChBoC, para quaisquer termos A,BeC.

Por outras, a identidade (ou diferença) de B e C pode ser derivada da identidade de A e B e a identidade (ou diferença) de A e C. Quaiquer deduçao, se nao for uma inferencia desse tipo, pode ser expressa como uma série de tais inferencias. A justificaçao dessa inferencia é fornecida pela Regra de Substituiçâo (Regra S) abaixo.

Identidades podem ser caracterizadas como permissöes de substituiçâo - de se substituir um lado de uma identidade pelo outro, sempre que esses termos ocorrem em uma inferencia. Uma das definiçôes de identidade propostas por Leibniz é em termos de preservaçâo de verdade (a definiçâo salva ventate): os termos A e B sao idénticos se, e apenas se, a substituiçâo de um pelo outro em qualquer proposiçâo nao resulta numa mudança do seu valor de verdade (Leibniz: 1966: 53). Outra é sugerida pelo seu principio metafisico de identidade de indiscerníveis: A e B sao idénticos se, mas somente se, nao há elemento ou propriedade de A que nao seja uma propriedade ou elemento de B, e vice versa².

Uma regra de inferencia de Gé sugerida pela caracterizaçâo de identidades como permissöes de substituto:

Regra S (substituiçâo). Posto qualquer par de termos A e B, se A=B, entao A pode ser substituido por B (ou B por A) aonde quer que ocorra A (ou B) numa proposiçao.

Além desta, Leibniz enuncia vários principios (ou proposiçôes cuja verdade ou correçao é assumida por ele), e supöe a seguinte regra de principios:

Regra P. Qualquer principio ou consequencia de principios pode ser introduzido como uma premissa de uma prova.

Os principios e alguns dos teoremas seguintes se encontram nas Investigates e nos dois ensaios sobre as bases do cálculo lógico (Leibniz: 1966: 90-94).

Axioma 1. (“axioma de identidade”). Para qualquer termo A (simples ou complexo; negativo ou nao), a fórmula A=A é verdadeira.

A identidade explícita A=A é “verdadeira” em razao de qualquer urna das definiçoes leibnizianas de identidade: nao há nenhuma propriedade de A que nao seja a sua propriedade, e o termo A pode ser substituido por si mesmo salva veritate em qualquer proposiçao.

Segundo Leibniz, somente identidades explícitas ou virtuais³ sao certamente verdadeiras e, por isso, adequadas como fontes de verdade em ciencias demonstrativas. Segundo uma versao de sua teoria de prova⁴, a derivaçao de uma proposiçao a partir de uma identidade explicita ou virtual, T, e um conjunto consistente de identidades supostas (ou “definiçoes”), D, constituí uma prova de sua verdade - ou melhor, de sua “possibilidade”⁵. Usando esses símbolos:

se (T&D)hP, P é verdadeira.

De um ponto de vista lógico, esse tipo de prova é um corolário de provas por reduçao ao absurdo. Provas por R.A.A. tem por suposto o principio de contradiçao, que, nos termos do cálculo de Leibniz, afirma que, para qualquer termo A, a proposiçao (~A)=A - portanto, A^A - é falsa. Numa prova por reduçao ao absurdo, a falsidade de uma proposiçao, P, será estabelecida se a negaçao de uma identidade explícita, ±, for derivada de PJunto com identidades supostas e conjuntamente consistentes, D⁶.

Axioma 2. A^(~A).

Axioma 3. AA=A.

Axioma 4. (dupla negaçao). A=~(~A).

Axioma 5. A(~A) est non Ens, ou o termo A(~A) nao se aplica a nenhum objeto.

Podemos simbolizar esta sentença por A(~A)=0; “O” é um símbolo de termo⁷, e

representa a classe nula.

Axioma 6. A0=0.⁸

Axioma 7. (comutaçao). AB=BA.⁹

Teorema 1. Se A=B, entao AC=BC. Prova: afirma-se a fórmula AC=AC pelo

Axioma 1; dado que A=B, AC=BC segue pela Regra S.

Teorema 2. Se A=B e C=D, entao AC=BD. Prova: deriva-se das fórmulas A=B e

C=D e identidades C=C e B=B, as fórmulas AC=BC e BC=BD pelo Teorema 1;

pela Regra S, obtém-se AC=BD.

Teorema 3. Se A=B, entao ~A=~B. Prova: afirma-se ~A=~Apelo Axioma 1; se A=B, ~A=~B segue pela Regra S.

Teorema 4. Se A=AB e B=AB, entao A=B. О consequente segue do antecedente pela Regra S.

Teorema 5. Se A=B, entao A=AB e B=AB. Prova: afirma-se AB=AB pelo Axioma 1; portanto, se A=B, entao AA=AB e BB=AB pela Regra S; e pelo Axioma 3, A=AB e B=AB.

Teorema 6. Se A=ABC, entao A=AB. Prova: se A=ABC, e dada a identidade B=B,entao AB=ABC pelo Teorema 1 e o Axioma 3; as fórmulas AB=ABC e A=ABC implicam A=AB pela Regra S.¹⁰

Teorema 7. Se A=B, entao A^(~B). Prova: A^(~A) pelo Axioma 2; logo, se A=B, entao A^(~B) pela Regra S.

Teorema 8. Se A=0, entao AB=0. Prova: se A=0, entao, pela identidade B=B e o Teorema 1, AB=0B; portanto, AB=0 pelo Axioma 6.

О próximo teorema é provado por R.A.A.:

Teorema 9. Se AB^0, entao A^0. Prova: A=0 é suposto; se A=0, entao AB=0 pelo Teorema 8. Mas AB=0 e AB^0 sao proposiçoes contraditórias; segue que A^0,seAB^0.

E possível que o conjunto de axiomas arrolados nao seja completo - ou seja, que algumas verdades que podem ser expressas em G nao sejam consequéncias dedutivas do conjunto. No ensaio As bases de um cálculo lógico, duas proposiçoes condicionais sao tomadas por teoremas (ou proposiçoes verdadeiras suscetíveis a provas) - a saber, “Se A=AB, entao (~B)=(~B)(~A)”, e vice versa - sem que justificaçoes satisfatórias (de acordo, inclusive, com a avaliaçao do pròprio Leibniz) sejam oferecidas (Leibniz: 1966, 94). Para qualquer enunciado condicional correto cujo antecedente e consequente sao fórmulas distintas em G, supoe-se ou que o condicional seja um axioma de G ou que há uma regra que autoriza a transformaçao da primeira fórmula na segunda. Tal regra deveria ser ou um axioma ou uma consequéncia dos axiomas de G. Como os condicionais sao corretos, e se de fato os teoremas nao podem ser provados pelos axiomas listados, este conjunto deve ser incompleto. Veremos que Jevons propoe um axioma - a sua versao da “Lei do Meio Excluido” - que supre essa lacuna¹¹.

3. О adendo de Jevons ao cálculo de Leibniz.

A contribuiçào mais evidente de Jevons ao cálculo leibniziano diz respeito à introduçao de novos símbolos sentenciáis e, consequentemente, de principios que regem o seu uso. Mas a sua importância nao se limita à elaboraçao de G: o simbolismo do Principles torna manifesto que uma lógica de termos pode ultrapassar as formas proposicionais e inferenciais ditadas pela silogística.

Além dos operadores já mencionados (conjunçao, identidade e negaçao), o sistema de Jevons inclui a disjunçao e relaçao (deve-se notar, porém, que, para Jevons, identidade e diferença sao relaçoes dentre outras). Com respeito à disjunçao, ele considera duas definiçoes possiveis - disjunçao inclusiva e exclusiva. Contra George Boole, por exemplo, Jevons defende a primeira definiçao, e oferece duas razoes para tanto. Em primeiro lugar, ele argumenta que a disjunçao “formalmente” ou essencialmente implica a inclusao, e que o significado exclusivo às vezes atribuido ao conectivo é inferido a partir de determinados contextos. Em outras palavras, Jevons afirma que “A ou B” geralmente implica “A ou B ou ambos”, mas que em alguns contextos “nao ambos” é uma “premissa tácita” (Jevons: 1874, 84). Assim, por exemplo, a proposiçao de que um dado número é par ou impar pode ser entendida como um conjunto de duas proposiçoes: uma afirma que o número é par ou impar ou ambos, e a outra nega que qualquer número é impar e par ao mesmo tempo. Se uma dada proposiçao disjuntiva é exclusiva ou nao, ou se uma “premissa tácita” é implicada ou nao, só pode ser decidida caso a caso (Jevons: 1874, 83)¹². A segunda razao oferecida por Jevons para adotar a interpretaçao inclusiva de disjunçao é a possibilidade de expressar tais alternativas como conjunçoes, e vice versa. Esta relaçao entre os dois conectivos se tornou conhecida como “as leis de De Morgan”, embora Jevons, ao que parece, acreditasse que a descoberta fosse sua:

Nao tenho conhecimento de que os lógicos perceberam adequadamente a relaçao estreita entre termos combinados e disjuntivos - ou seja, que cada termo disjuntivo é o negativo de um termo combinado correspondente, e vice versa. Considere o termo:

Maleável denso metal.

Como é que descreveriamos a classe de coisas que nao sao maleáveis- densas-metais? Tudo o que é incluido sob o termo deve ter todas as qualidades de naturezas maleáveis, densas e metálicas. Onde quer que falte qualquer urna ou mais dessas qualidades, nao se aplica o termo combinado. Segue-se que o negativo do termo inteiro é:

Nao maleável ou nao-denso ou nao-metálico. (Jevons: 1874, 86)

Jevons usa um símbolo parecido com “+” para representar a disjunçao inclusiva (Jevons: 1874, 81), e classifica a sequência de símbolos A+B como um termo¹³. Seus principios (ele usa a palavra “leis” para designar tanto principios quanto teoremas) expressos em termos do operador sao os seguintes:

Axioma 8 (De Morgan). AB=~((~A)+(~B)).

Axioma 9 (Distribuiçao). A(B+C)=AB+AC.

Axioma 10. A=A+O.

Axioma 11 (Meio Excluido ou “Dualidade”). A=A(B+(~B)).

A simbolizaçao do Axioma 11 reclama uma explicaçao. O principio do meio excluido afirma que, para qualquer proposiçao, ou a proposiçao ou a sua negaçao é verdadeira; em termos de proposiçoes do tipo sujeito-predicado, ou “A é B” é verdadeira ou “A nao é B” é verdadeira. Nao seria correto, no entanto, simbolizar essas alternativas permitidas pelo principio por A=B+(~B). Jevons nos oferece a seguinte razao: “o negativo de B+(~B) é (~B)B, ou seja, um termo autocontraditório; tal que, se A fosse idéntico ao termo B+(~B), seu negativo, (~A), seria inexistente” (Jevons: 1874, 88). Também deve ser evidente que, por exemplo, a classe de squamata nao pode ser idéntica à classe de oviparos ou nao oviparos, visto que alguns animais oviparos nao sao squamata. A simbolizaçao proposta por Jevons do Axioma do Meio Excluido é correta: a classe de squamata é idéntica à classe de squamata oviparos ou squamata nao oviparos.

Seguem algumas proposiçoes que podem ser derivadas dos axiomas de Leibniz e Jevons acima listados (com a exceçao do Teorema 14 - comentado alhures -, apenas indicamos os axiomas de Jevons usados na derivaçao dos teoremas):

Teorema 10 (Comutaçao). A+B=B+A (Axioma 8).

Teorema 11. A=A+A (Axioma 8).

Teorema 12. A+B=~((~A)(~B)) (Axioma 8).

Teorema 13. A+(BC)=(A+B)(A+C) (Axioma 8)

Teorema 14 (Contraposiçao). Se A=AB, entao (~Β)=(~Α)(~Β), e vice versa.

Prova: afirma-se (~B)=(~B)A+(~B)(~A) pelo Axioma 11; visto que A=AB, a

fórmula (~B)=(~B)AB+(~B)(~A) segue pela Regra S; e desta, (~B)=(~B)(~A)

pode ser derivada pelos Axiomas 6e10.

Teorema 15 (modus toUendo ponens). Se A=B+C, entao A(~B)=C (Axiomas 9 e 10).

Além de disjunçao inclusiva, Jevons introduz o conectivo de “relaçao indefinida” simbolizado por “ ^”. Identidade e diferença sao classificadas como relaçoes por Jevons, mas “A ^B” pode representar qualquer outra relaçao entre A e B - por exemplo, “A é o pai de B”, “A é um fragmento de B”, “e assim por diante ad infinitum'’ (Jevons: 1874, 21). O reconhecimento de vários tipos de relaçao que podem ser afirmadas em inferencias leva Jevons a propor a seguinte “fórmula geral” de inferencias:

(A=B), (B «*C)HA *»C)¹⁴.

O ganho no que diz respeito ao que pode ser expresso no cálculo de Jevons, resultante da introduçao desse conectivo, deve ser comparável à elaboraçao do cálculo de predicados para incluir relaçoes. Evidentemente, nao há regras gerais para o uso de “relaçoes indefinidas” - elas devem ser formuladas caso a caso.

Vale a pena mencionar, mesmo de modo sumário, que Jevons usou o seu cálculo de termos na elaboraçao de sua teoria de inferencias indutivas. Sobre a induçao, Jevons reitera o quase sempre tolo lugar comum de que “a induçao é na realidade o processo inverso da deduçao” (e.g., Jevons: 1874, 14). No entanto, um “processo inverso” sugerido pela “fórmula geral” de inferencias dedutivas merece atençao:

(B ^C); portanto, se (A=B), entao (A ^C).

O antecedente desta forma de inferencia pode representar uma proposiçao singular - por exemplo, a barra de metal B é mais maleável que a barra C. Substituindo no consequente, obtemos (grosso modo): “Qualquer objeto, A, idéntico a B é mais maleável que C”. Nesta inferencia, uma proposiçao geral é derivada de uma proposiçao singular e ambas as proposiçoes sao empíricas: é dessa maneira que inferencias indutivas sao frequentemente caracterizadas. Todavía, a inferencia também é dedutiva - ou seja, Jevons propos uma soluçâo para о problema da induçao, embora seja possivel que ele nao tinha ciencia desse feito, nem mesmo de que havia tal problema.

4. As proposiçôes categóricas no cálculo de termos.

Esta seçao trata da simbolizaçao em G das proposiçôes categóricas da silogistica. Considerando apenas as suas extensôes, proposiçôes universais afirmativas (e.g., “todo homem é mortal”) da silogistica tem a seguinte estrutura: A=AB. Por outras, com referencia ao exemplo, a extensao do termo “homem” é igual à extensao da conjunçao dos termos “homem” e “mortal”. Uma maneira natural de formular tais sentenças é em termos de um todo e uma de suas partes (Leibniz: 1995, 87). Um diagrama de Venn torna claro por que a simbolizaçao é correta:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Em palavras: a extensao de A é igual à da parte A de B. A proposiçao universal negativa da silogistica pode ser traduzida para G como “A=A(~B)”. Em G, assim como na lógica de Aristóteles, proposiçôes singulares tem a mesma forma que as universais: “Sócrates é um homem”, por exemplo, pode ser expressa como “C=CA” - ou seja, o designatum do termo “Sócrates” é o mesmo que o de “Sócrates-homem”.

Voltemo-nos às formas intencionais em G dessas proposiçôes. A simbolizaçao da sentença “Sócrates é um homem” sugerida pela metafisica de Leibniz - pelo seu principio praedicatum inest subjecto - é CA=A. Em palavras: a parte do “homem” da noçao de Sócrates, designada por CA, é igual à noçao de “homem”. Como jà foi dito, a versao intencional da proposiçao “Todos os homens sao mortais” é AB=B (a interpretaçao dessa fórmula é anàloga à de CA=A).

Seguem duas provas do silogismo “Todos os homens sao mortais; Sócrates é um homem; portanto, Sócrates é mortal”. Na primeira, os sentidos dos termos consistem de suas extensôes, e, na segunda, de suas intençôes.

(1) A premissa maior e a menor sao simbolizadas por A=AB e C=CA, respectivamente. Dessas fórmulas, CA=CAB segue pelo Teorema 2 e o Axioma 3. Por fim, a fórmula C=CB é derivada C=CA e CA=CAB pela regra S.¹⁵
(2) As premissas sao simbolizadas por AB=B e CA=A. Estas fórmulas implicam CAB=B pelo Teorema 2, o Axioma 3 e a Regra S. Desta identidade, CB=B segue pela Regra S. A fórmula CB=B afirma que o conceito B (homem) é idèntico a uma parte da noçao de Sócrates - a saber, àquela parte designada por CB.

Com a exceçao das fórmulas intencionais em (2), as proposiçoes categóricas restantes expressas em G neste artigo devem ser interpretadas como extensionais.

O simbolismo de G apresentado até aqui também basta para provar o conhecido desafio à silogística aristotélica atribuido a De Morgan: “Todos os cavalos sao animais; portanto, a cabeça de um cavalo é a cabeça de um animal” (cf. Jevons: 1874, 22). Podemos traduzir a premissa “Todos os cavalos sao animais” como A=AB. Pelo Teorema lea identidade C=C, segue que CA=CAB. Para todos os efeitos, esta fórmula afirma que a extensao do termo “cabeça-cavalo” é uma parte da extensao do termo “animal”¹⁶. O argumento também pode ser provado por reduçao ao absurdo: a partir da suposiçao CA^CAB e da premissa A=AB, segue a proposiçao autocontraditória CA^CA.

As traduçoes para G das proposiçoes universais da silogística diferem das suas traduçoes para a linguagem do cálculo de predicados? A primeira vista, o correspondente na linguagem do cálculo de predicados de primeira ordem (doravante, CP) da fórmula A=AB é (Vx)(AxoAx&Bx). De acordo com a última, se qualquer objeto for um A, entao ele também será um A&B, e vice versa; por outras palavras, a fórmula afirma que as propriedades A e A&B tèm exatamente a mesma extensao, que elas sao verdadeiras (e falsas) dos mesmos objetos. Sem dúvida, as fórmulas A=AB e (Vx)(AxoAx&Bx) sao traduçoes próximas da proposiçao “Todos os A sao B”. Também é importante ressaltar que as fórmulas (Vx)(Ax^Bx) e (Vx)(AxoAx&Bx) sao equivalentes, e que a primeira é a traduçao usual para CP de “Todo A é B”. Mas a identificaçao ou associaçao de “o” e “=”, assim como a associaçao de outros operadores de CP e G, poderia ser recusada pela seguinte razäo: os operadores de CP qualificam proposiçôes¹⁷, enquanto os de G qualificam propriedades (é por isso que a menor fórmula de CP nao tem nenhum operador, enquanto a menor fórmula de G é um sequente contendo pelo menos um conectivo (=, Φ ou ■*»)). Essa objeçao tem por suposto que símbolos de termos nao podem designar proposiçôes. No entanto, tal uso dos símbolos nao é vedado por nenhuma regra aqui formulada; pelo contràrio, ele é acolhido pela lei de sentidos - a extensao e o intento de sentido de “mongóis sao cavaleiros e guerreiros”, por exemplo, difere das extensôes e intentos de sentido de cada uma das sentenças “mongóis sao cavaleiros” e “mongóis sao guerreiros”. Além do mais, como Leibniz argumenta, o ato de proferir um termo - “homem”, por exemplo - pode ser entendido como a associaçao ou atribuiçao do termo a determinados objetos, como se fosse dito que esses objetos säo homens:

Qualquer termo, inclusive um termo incomplexo, pode ser considerado como uma proposiçao, como se [as palavras] “esta coisa” fossem somadas a ele. Dessa maneira, [o proferimento] “homem” pode ser entendido como se fosse afirmado que homem é o mesmo que esta coisa (Leibniz: 1966: 71)

Leibniz e Jevons propuseram diversas simbolizaçôes de proposiçôes particulares

(ou seletivas) da silogística (proposiçôes do tipo “alguns A sao B” e “alguns A nao sao B”). E manifesto nos seus escritos que ambos tinham dúvidas consideràveis sobre o simbolismo correto; e quase todas as suas sugestôes sao questionàveis.

Nas Bases primeiras do cálculo lógico, Leibniz lista as seguintes simbolizaçôes da proposiçao particular afirmativa: YA=YAB, YA=ZB, AB=AB, AB est Ens e A^A(~B) (Leibniz: 1966, 90-1). As formas correspondentes da proposiçao particular negativa sao: YA=YA(~B), YA=Z(~B), A(~B)=A(~B), A(~B) est Ens e A^AB.

A fórmula AB=AB e a forma negativa correspondente devem ser descartadas sem delongas: a negaçao de AB=AB, mas nao a negaçao de “Alguns A sao B”, é uma contradiçao.

As fórmulas YA=YAB e YA=YA(~B) sao derivadas das proposiçôes universais correspondentes e a identidade Y=Y pelo Teorema 1. Leibniz usa as letras X, Y e Z como designadores “indefinidos” (Leibniz: 1966, 59). Tendo em vista a simbolizaçâo proposta, parece que a palavra “alguns” fora concebida por Leibniz como um termo semelhante a qualquer outro - que “alguns A”, ou YA, designa um subconjunto nao especificado de objetos do tipo A. Seja qual for a interpretaçao leibniziana, esse é o sentido de “alguns” suposto por Jevons. Para Jevons, deve haver um termo ou uma justaposiçao de termos que inclui A - digamos, PA - cuja extensao consiste dos objetos do subconjunto:

Alguns é um adjetivo indeterminado, e implica qualidades desconhecidas pelas quais poderiamos selecionar a parte em questao, se elas fossem conhecidas, mas nao dá nenhuma dica quanto à sua natureza. (Jevons: 1874, 39)

Pelo único critèrio de termo aqui evocado - a lei de sentidos -, a classificaçao de “alguns” como um termo nao è pacifica. A justaposiçao de “alguns” com uma letra de termo por si só nao altera a extensao do termo: por exemplo, as extensöes dos termos “veleiros que afundaram” e “alguns veleiros que afundaram” sao as mesmas. Todavía, supöe-se que os intentos de sentido desses termos diferem - pelo menos a substituiçao de um pelo outro em algumas sentenças nao preserva a verdade (compare as sentenças “veleiros que afundaram sao holandeses” e “alguns veleiros que afundaram sao holandeses”). Há outros incómodos devido à introduçao de uma conjunçao de símbolos de termos simples para “alguns A”. Em primeiro lugar, mesmo que seu intento de sentido nao mude, diferentes ocorrências de “alguns A” podem ter extensöes diferentes; por exemplo, diferem as extensöes de “alguns homens” em cada uma das sentenças “alguns homens sao destros”, “alguns homens sao ambidestros” e “alguns homens sao canhotos”. Em segundo lugar, a classificaçao de “alguns” como um termo difere da sua caracterizaçao na silogistica e no cálculo de predicados. De acordo com a proposta de Jevons, a soma das extensöes de PA e (~P)A è idèntica à extensao de A; ou seja, a proposiçao “(~P)A sao B” nao nega a existência de pelo menos um A que seja B, mas afirma que os designados por (~P)A sao B. Uma lógica simbólica em que “alguns” é definido dessa maneira nao pode ser coextensiva à silogística, nem pode contè-la. Mas o problema mais grave da simbolizaçao proposta de “alguns A” é que fórmulas do tipo YA=YAB e YA=ZB sao proposiçôes universais. Segundo a primeira fórmula, todos os elementos de uma classe parcialmente indefinida sao membros de outra, também parcialmente indefinida. De acordo com a segunda fórmula, todos os membres de duas classes parcialmente indefinidas sao os mesmos.¹⁸

As versoes A^AB e A^A(~B) das proposiçoes particulares sao baseadas no quadro de oposiçao da silogística. Essas formas nao estao sujeitas às objeçoes levantadas contra as outras propostas. A segunda é a contraditória de A=A(~B) (ou seja, de nenhum A é B) e, portanto, nega que todos os designados por A também sao designados por (~B) - ou por outras, a fórmula A^A(~B) afirma que as extensoes de A e A(~B) diferem. A negaçao de A=A(~B) pode ser expressa em termos de outra desigualdade, a saber, AB^O¹⁹. Esta fórmula também foi proposta acima como a simbolizaçao em G da sentença leibniziana “AB est Ens”. A primeira fórmula, A^AB, é a contraditória de A=AB (todo A é B), e pode ser elaborada de maneira análoga.

Segue uma prova por R.A.A. do silogismo “Todo A é B e alguns As nao sao C; portanto, alguns B nao sao C”. As premissas podem ser simbolizadas por A=AB e A^AC, respectivamente, e a conclusao por B^BC. E suposto que B=BC; e desta proposiçao e da premissa maior obtemos A=ABC pela Regra S. As fórmulas A=AB e A^AC implicam A^ABC pela Regra S. Portanto, uma contradiçao segue da suposiçao de que B^BC é falsa.

5. O cálculo de termos e o método tableaux.

O método de prova indicado acima - a deduçao a partir de axiomas ou outras identidades supostas - nao serve para estabelecer a invalidade de argumentos expressos em G; a incapacidade de provar validade pelos métodos deixa em aberto a questao da sua correçao. No entanto, o método tableaux de prova por reduçao ao absurdo pode ser usado para decidir tanto a invalidade quanto a validade de argumentos expressos em G, e dispensa a maioria dos axiomas listados acima. Além do mais, os tableaux podem ser vistos como elaboraçoes da “lousa lógica” (ou “logical slate”) criada por Jevons (a invençao da lousa lógica, sob o nome de “tabelas de verdade”, tem sido erroneamente atribuida a uma geraçao posterior de lógicos e filósofos). Aqui, as representaçoes de apenas très proposiçoes em G serao indicadas (pois bastam).

Começaremos pelo tableau da fórmula A=B. Esta fórmula somente é satisfeita pelas combinaçôes de termos AB e (~A)(~B). Se alguns objetos forem designados pelos termos A(~B) ou (~A)B, a fórmula é falsa. As condiçoes de verdade da identidade podem ser representadas da seguinte maneira:

Cada ramo desse diagrama representa uma combinaçao implicada pela fórmula A=B - o ramo à esquerda registra a combinaçao AB, e o ramo à direita a combinaçao (~A)(~B). O tableau de A^B é obtido pela substituiçao de B por (~B) nos ramos do diagrama acima. Por fim, o tableau da fórmula A=B+C basta para sugerir como outras fórmulas em G podem ser representadas:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Referencias.

Jevons, W. S. (1883). Principles of science (segunda ediçao). Londres: Macmillan & Co.

Jevons, W. S. (1874). Principles of science. Londres: Macmillan.

Jevons, W. S. (sem data). Logic. Chicago: American Book Company.

Kneale, W e M. (1964). The development of logic. Oxford: Oxford University Press.

Leibniz, G. W. (1966). Logicalpapers. Oxford: Clarendon Press.

Leibniz, G. W. (1921). Nouveaux essays sur l’entendement humain. Paris: Ernest Flammarion.

Leibniz, G. W. (1995). Philosophical writings. Londres: J. M. Dent.

Russell, B. (1975). History of western philosophy. Londres: George Allen & Unwin.

[...]

---

¹ Essa simbolizaçao de conjunçao trai a origem alema do cálculo de Jevons.

² Essas definiçôes de identidade têm sido largamente comentadas e criticadas. A avaliaçao dessas definiçôes nao cabe neste ensaio, cujo foco é a descriçao de uma lógica de termos. Todavía, cumpre salientar que, em diversos contextos, a utilizaçao do símbolo “=” difícilmente seria descrita como controversa ou problemática. Tenho em vista especialmente a simbolizaçao das proposiçôes categóricas (veja § 4).

³ Uma identidade virtual é uma proposiçao que pode ser transformada numa identidade explícita por meio de identidades supostas ou derivadas - por exemplo, A=B é uma identidade virtual se A=C, B=D e C=D.

⁴ Cf, por exemplo, seu ensaio Primeiras verdades (Leibniz: 1995, 87-92).

⁵ CfLivro II, Capítulo XXXII do Nouveaux essais surl’entendement humain (1921, 218).

⁶ Em símbolos: se (P&D)bl, P é falsa.

⁷ “O” é um termo pela lei de sentidos: veja o Axioma 6.

⁸ Sobre os axiomas 5e6, veja §9 das Bases do cálculo lógico (Leibniz: 1966, 93). A simbolizaçao adotada aqui é usada por Jevons: em seu cálculo, a fórmula A(~A)=O é escrita como Aa=O. Jevons usa letras minúsculas para designar as negaçôes dos termos correspondentes. Esta escolha provavelmente foi determinada por seu projeto de construir uma máquina de cálculo lógico.

⁹ Esta proposiçao pode ser derivada, pela Regra S, sob a condiçao de que A=B, visto que AA=AA (Axioma 1). Por ser descrita como axioma, é suposto que a proposiçao AB=BA é incondicionalmente verdadeira.

¹⁰ Mas a seguinte inferêncianao é correta: se A=BA, entaoA=B.

¹¹ Leibniz considerou as très leis da lógica - os principios do meio excluido, contradiçao e identidade - como versoes de um único principio. O principio de identidade prevalece nas primeiras décadas dos seus escritos, mas, na última, compete com o principio de contradiçao; no ensaio A natureza da verdade, o principio do meio excluido ocupa a posiçao de destaque (Leibniz: 1995, 93-5). Talvez a sua busca do desiderato de sistemas formais, de unificar ou minimizar suposiçoes, seja uma das razoes pelas quais Leibniz nao foi inteiramente bem sucedido no desenvolvimento de um cálculo lógico. Aqui, as très leis da lógica sao apresentados como axiomas distintos (os Axiomas 1, 5 e 11 (a seguir)), e a transformaçao de qualquer uma nas outras exigiria algum principio distinto - ou seja, uma única lei é insuficiente.

¹² Jevons cita H. Longueville Mansel (Artis logicae rudimenta): “É claro que só podemos conjecturar em cada caso, a partir do contexto, se os membros [de uma disjunçào] sao ou nao sao exclusivos. ... Podemos saber que duas alternativas nao podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, de modo que a afirmaçao da segunda exige a negaçao da primeira, mas isso, como Boécio observa, é uma consequência material, nao uma consequência/ormal”. (Jevons: 1874, 83)

¹³ Talvez cause incómodo a classificaçao de A+B como um termo. No entanto, mesmo que a A+B seja uma fórmula ambigua, ela é ambigua de um modo bem definido, se A e B forem termos univocos.

¹⁴ C/. Jevons:1874,21.

¹⁵ Seria um erro inferir de CA=CAB a proposiçao C=CB, embora esta seja verdadeira. Porque, ainda que uma identidade limitada de E e F - por exemplo, DE=DF - seja verdadeira, nao segue E=F também é (considere, p.ex., D=mamifero, E=bipede e F=homem).

¹⁶ A conclusao do desafio de De Morgan nao deve ser escrita como CA=CB, pois esta proposiçao é falsa: nem todos os designados por esses termos sao os mesmos.

¹⁷ A fórmula.(x)(Ax^Ax&Bx) afirma que um objeto qualquer é um A, se, e somente se, ele é um A&B.

¹⁸ A classifîcaçao de “alguns” como um termo simples encorajou Jevons a propor que a extensäo de “alguns A” fosse designada pela pròpria letra A (Jevons: 1874, 67-8). Embora essa estratégia resulte em algumas decisoes corretas, ela admite falsos positivos. Por exemplo, de acordo com a sua sugestao, o argumento “Alguns В sao C e alguns A sao В; portanto, alguns A sao C” seria simbolizado como “В=ВС e A=AB; portanto, A=AC”; mas a “validade” de tal argumento pode ser provada pela base de G. Nao pode haver dúvidas de que Jevons estava ciente desse tipo de problema, mas deixou de elaborar adequadamente suas regras para evitá-lo.

¹⁹ De A=A(~B) e B=B (pelo Axioma 1),a fòrmula AB=A(~B)B segue pelo Teorema 1; como A(~B)B=0, segue que AB=0; e o contraditòrio desta fòrmula é AB^0 - em palavras, o termo AB designa alguns elementos do universo de discurso.