Besteuerung und Risiko

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2. Grundbegriffe
2.1 Risikoarten
2.2 Risikosituation
2.3 Erwartungsnutzentheorie
2.4 Risikoeinstellungen

3. Das Portfoliomodell ohne Besteuerung
3.1 Optimale Portfoliowahl ohne Besteuerung
3.2 Einordnung in die mikroökonomische Haushaltstheorie
3.3 Wirkung einer Vermögensänderung

4. Das Portfoliomodell mit Besteuerung
4.1 Indikatoren des Risikos
4.2 Proportionale Einkommensteuer
4.2.1 Proportionale Einkommensteuer mit vollständigem Verlustausgleich
4.2.2 Proportionale Einkommensteuer mit teilweisem Verlustausgleich
4.3 Progressive Einkommensteuer
4.4 Vermögensteuer
4.5 Zusammenfassung

5. Anwendung des Portfoliomodells auf die deutsche Rechtslage
5.1 Vorgehensweise bei der Analyse
5.2 Analyse der deutschen Rechtslage bezüglich der Risikoübernahme
5.2.1 Bestimmung des riskanten Anteils
5.2.2 Bestimmung der effektiven Ertragsteuersätze nach alter und aktueller Rechtslage
5.2.2.1 Effektive Ertragsteuersätze in den Fällen der Personengesellschaft und Kapitalgesellschaft nach alter Rechtslage
5.2.2.2 Effektive Ertragsteuersätze in den Fällen der Personengesellschaft und Kapitalgesellschaft nach aktueller Rechtslage
5.2.3 Vergleiche der Rechtsformen nach alter und aktueller Rechtslage bezüglich der Risikoübernahme
5.2.3.1 Einzelunternehmen und Kapitalgesellschaft nach alter Rechtslage
5.2.3.2 Einzelunternehmen und Kapitalgesellschaft nach aktueller Rechtslage
5.2.3.3 Einzelunternehmen nach aktueller und alter Rechtslage
5.2.3.4 Kapitalgesellschaft nach aktueller und alter Rechtslage
5.3 Zusammenfassung

6. Fazit

Literaturverzeichnis

Rechtsquellenverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Risikoaversion

Abbildung 2: Möglichkeitsbereich und Indifferenzkurve im Zweizustandsdiagramm

Abbildung 3: Möglichkeitsbereich und Indifferenzkurve des Beispiels

Abbildung 4: Der Domar-Musgrave-Effekt im Zweizustandsdiagramm

Abbildung 5: Gesamteffekt einer Einkommensteuer im Falle positiver sicherer Ertragsrate

Abbildung 6: Riskanter Anteil in Abhängigkeit des Ertragsteuersatzes

Abbildung 7: Riskanter Anteil einer Kapitalgesellschaft und eines Einzelunternehmens nach alter Rechtslage

Abbildung 8: Ertragsteuerliche Gesamtbelastung einer Kapitalgesellschaft und eines Einzelunternehmens nach alter Rechtslage

Abbildung 9: Riskanter Anteil beider Rechtsformen nach alter Rechtslage bei ungleicher riskanter Anlageform

Abbildung 10: Riskanter Anteil einer Kapitalgesellschaft und eines Einzelunternehmens nach aktueller Rechtslage

Abbildung 11: Riskanter Anteil beider Rechtsformen nach aktueller Rechtslage

Abbildung 12: Riskanter Anteil beider Rechtsformen nach aktueller Rechtslage bei ungleicher riskanter Anlageform

Abbildung 13: Riskanter Anteil beider Rechtsformen nach aktueller Rechtslage bei ungleicher riskanter Anlageform (sest=29%)

Abbildung 14: Riskanter Anteil eines Einzelunternehmens nach alter und aktueller Rechtslage

Abbildung 15: Riskanter Anteil eines Einzelunternehmens nach alter und aktueller Rechtslage bei ungleicher riskanter Anlageform

Abbildung 16: Riskanter Anteil eines Einzelunternehmens nach alter und aktueller Rechtslage bei ungleicher riskanter Anlageform (minimale Erhöhung von p1 um 0.07 Prozentpunkte)

Abbildung 17: Riskanter Anteil einer Kapitalgesellschaft nach alter und aktueller Rechtslage

Abbildung 18: Riskanter Anteil einer Kapitalgesellschaft nach alter und aktueller Rechtslage (Hebesatz=400%)

Abbildung 19: Riskanter Anteil einer Kapitalgesellschaft nach alter und aktueller Rechtslage bei ungleicher riskanter Anlageform

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Ergebnismatrix

Tabelle 2: Nutzenmatrix

Tabelle 3: Vermögenselastizität der möglichen Formen von Risikoaversion

Tabelle 4: Vermögenselastizität der möglichen Formen von Risikoaversion bei indirekter progressiver Besteuerung

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Risiko ist ein Faktor, der aus der ökonomischen Welt nicht wegzudenken ist. So stehen Unternehmen regelmäßig vor Investitionen, deren Kosten und Erträge nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden können.¹ Zudem fördern riskante In- vestitionen die Innovation und den Strukturwandel. Vor allem junge und schnell wachsende Unternehmen setzen daher verstärkt auf Risikokapital.² Jedoch ist häufig von wirtschaftspolitischer Seite zu hören, dass Steuern die Investitions- neigung von Anlegern verändern und sie deswegen eher in sichere festverzins- liche Anlageformen statt in riskante Realinvestitionen treiben.³

Die Diplomarbeit setzt an dieser Stelle an und untersucht die Fragestellung, inwieweit Unternehmen oder auch einzelne private Haushalte bereit sind, ris- kante Investitionen durchzuführen. Vor allem wird die Zielsetzung verfolgt, her- auszuarbeiten, inwiefern sich die Risikoübernahme, und damit die Bereitschaft von Wirtschaftssubjekten mehr ins Risiko zu investieren, durch die Einführung verschiedener Steuersysteme im Vergleich zu einer Welt ohne Steuern verän- dert. Nach häufiger Meinung induziert die Besteuerung eine Verringerung der Risikoübernahme und schwächt damit die Investitionsneigung der Unterneh- mer.⁴ Jedoch haben bereits Domar/Musgrave (1944)⁵ mit ihrem Erwartungs- wert-Verlust-Ansatz gezeigt, dass die Besteuerung in Abhängigkeit der Verlust- ausgleichsmöglichkeiten durchaus dazu führen kann, dass verstärkt in riskante Anlageformen investiert wird.

Die Wirkung der Besteuerung auf die Risikobereitschaft ist seit vielen Jahren sowohl Forschungsgegenstand der betriebswirtschaftlichen als auch der fi- nanzwissenschaftlichen Steuerlehre.⁶ Während dabei die betriebswirtschaftliche Steuerlehre in jüngerer Zeit vermehrt auf Realoptionsmodelle zurückgreift, be- dient sich die Finanzwissenschaft der Erwartungsnutzentheorie, um die Wir- kung von Steuern auf das riskante Investitionsvolumen zu analysieren.⁷ In die- ser Arbeit wird ebenfalls die Hilfe der Erwartungsnutzentheorie in Anspruch genommen.

Die finanzwissenschaftliche Steuerlehre kennt neben der positiven Frage nach der Wirkung von Steuern auf die Risikoübernahme auch eine normative Frage, die sich mit optimalen Besteuerungsregeln und wohlfahrtstheoretischen Aspek- ten auseinandersetzt.⁸ Die vorliegende Arbeit wird sich einzig auf den ersten Aspekt konzentrieren.

Dabei wird von einem partialanalytischen Portfoliomodell ausgegangen, in dem ein repräsentativer risikoaverser Investor vor der Entscheidung steht, ein ihm zur Verfügung stehendes Anfangsvermögen erwartungsnutzenmaximal auf eine sichere und riskante Investitionsmöglichkeit aufzuteilen. Durch die Einführung von Steuern in das Modell ist dann eine Gegenüberstellung der Risikoübernahme des Vorsteuer - und Nachsteuerfalls möglich.

Neben dem Vergleich zwischen Vorsteuer - und Nachsteuerfall wird ein weite- rer Schwerpunkt der Arbeit die Anwendung des Portfoliomodells auf die steuer- liche Rechtslage in Deutschland sein. Dabei wird mit Hilfe der Erwartungsnut- zentheorie und Implementierung der effektiven Ertragsteuersätze in das Portfo- liomodell analysiert, ob eher Personengesellschaften in Form von Einzelunter- nehmen oder Kapitalgesellschaften dazu neigen, risikoreiche Investitionsmög- lichkeiten wahrzunehmen. Hierbei wird sowohl auf die Rechtslage vor der Un- ternehmensteuerreform 2008 als auch auf die aktuelle Rechtslage eingegan- gen.

Die Arbeit ist entsprechend wie folgt aufgebaut: Kapitel 2 behandelt wichtige Grundbegriffe und stellt dabei auch die Erwartungsnutzentheorie vor. Kapitel 3 stellt das Portfoliomodell mit seinen Annahmen dar und analysiert die optimale Entscheidungsfindung des Investors in einer Welt ohne Steuern. Kapitel 4 integ- riert dann unterschiedliche Besteuerungsarten in das Modell und analysiert ihre Wirkung auf die Risikoübernahme. Kapitel 5 wendet, wie oben erläutert, das Portfoliomodell auf das deutsche Recht an. Abschließend fasst Kapitel 6 die wichtigsten Ergebnisse zusammen.

2. Grundbegriffe

Das Kapitel liefert einen Überblick über die wichtigsten Grundbegriffe. U.a. stellt es die Erwartungsnutzentheorie dar, mit der in den nachfolgenden Kapiteln die Wirkung von Steuern auf die Risikoübernahme von Investoren analysiert wird.

2.1 Risikoarten

Grundsätzlich kann zwischen zwei Arten von Risiko unterschieden werden. Zum einen existiert ein unsystematisches Risiko (synonym: diversifizierbares Risiko) und zum andern ein systematisches Risiko (synonym: aggregiertes Ri- siko).

Die einzelnen Wirtschaftssubjekte werden vom unsystematischen Risiko unterschiedlich und zu verschiedenen Zeitpunkten getroffen.⁹ Hierbei sind die Risiken unabhängig verteilt und nicht miteinander korreliert, sodass sie nach dem Gesetz der großen Zahlen diversifiziert und versichert werden können.¹⁰ Hingegen sind die einzelnen Wirtschaftssubjekte vom systematischen Risiko in gleichem Ausmaß und zur gleichen Zeit betroffen. Dieses Risiko kann nicht diversifiziert und versichert werden.

Die in dieser Arbeit durchgeführte Analyse der Steuerwirkungen auf die Förde- rung riskanter Investitionen, kann auf beide Risikoarten übertragen werden.¹¹

2.2 Risikosituation

Das Charakteristikum einer Entscheidung unter Ungewissheit ist, dass für jede Handlungsalternative eines Entscheidungsträgers mehrere Umweltzustände möglich sind.¹² Jedoch kann erst von einer Risikosituation gesprochen werden, wenn dem Entscheidungsträger die Eintrittswahrscheinlichkeiten der jeweiligen möglichen Umweltzustände bekannt sind.¹³ Dementsprechend kann die Risiko- situation eines Entscheidenden, der sich gegenseitig ausschließende Hand- lungsalternativen al mit l=1, 2,…, L besitzt und eine wählen muss, mit folgender Ergebnismatrix wiedergegeben werden:¹⁴

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Ergebnismatrix

Dabei bezeichnen i die möglichen Zustände und pi für i=1, 2, …N die dazugehörigen Eintrittswahrscheinlichkeiten mit p1+p2+…+pN=1. Xli ist das Ergebnis der l-ten Alternative bei Eintritt des i-ten Zustands. Grundsätzlich kann die Zufallsvariable in Form des Ergebnisses X alles sein, was Individuen als Folge ihrer Handlungen wahrnehmen.¹⁵ Hier und im weiteren Verlauf der Arbeit wird das Ergebnis als Geldbetrag angenommen.

2.3 Erwartungsnutzentheorie

An dieser Stelle wird die Erwartungsnutzentheorie vorgestellt, mit der später anhand eines Portfoliomodells die Wirkung von Steuern auf die Risikoübernah- me von Investoren analysiert wird. In der Erwartungsnutzentheorie steht die Bewertung der oben vorgestellten Handlungsalternativen im Vordergrund. Um sich für eine der Handlungsalternativen entscheiden zu können, muss der Entscheidungsträger jede Möglichkeit al bewerten. Ein mögliches Bewertungs- maß, an dem er sich orientieren kann, ist der Erwartungswert der Ergebnisse E[X] jeder Handlungsalternative. Dementsprechend würde er sich für diejenige Alternative entscheiden, die den höchsten Erwartungswert hat. Jedoch wird in der Praxis häufig beobachtet, dass verschiedene Entscheidungsträger in glei- cher Risikosituation unterschiedliche Handlungsmöglichkeiten wählen. Deswe- gen kann der Erwartungswert der Ergebnisse E[X] als Beurteilungsgröße nicht allgemeingültig sein. Bereits Bernoulli schlug deshalb 1738 vor, neben den Er- gebnissen und Wahrscheinlichkeiten auch eine Nutzenbewertung der einzelnen Ergebnisse einzuführen. Dementsprechend müssen die Ergebnisse jeder Hand- lungsmöglichkeit erst in eine subjektive Nutzenfunktion u(X)¹⁶ eingesetzt und mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichtet werden.¹⁷ Demzufolge muss die Er- gebnismatrix in Tabelle 1 zunächst in eine Nutzenmatrix überführt werden:¹⁸

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Nutzenmatrix

Der Entscheidungsträger wählt diejenige Alternative al aus, die seinen Erwar- tungsnutzen E[u(X)]=p1u(Xl1)+p2u(Xl2)+…+pNu(XlN) maximiert. Dieses Vorgehen zur Entscheidungsfindung ist in der Literatur als Bernoulli-Prinzip bekannt und wurde von v. Neumann/Morgenstern (1944) axiomatisch begründet.¹⁹ In der Literatur findet sich das Prinzip auch unter der Bezeichnung Erwartungsnutzen- theorie wieder.

2.4 Risikoeinstellungen

Es lassen sich drei Risikoeinstellungen von Entscheidungsträgern unterschei- den: die Risikoneutralität, die Risikofreude und die Risikoaversion(=scheu). Da die Arbeit das Verhalten von Investoren untersucht, die in der späteren Analyse als Entscheidungsträger auftreten, wird an dieser Stelle nur auf die Risikoaver- sion eingegangen. Die Literatur ist sich darüber einig, dass die meisten Investo- ren durch ein risikoaverses Verhalten beschrieben werden können.²⁰ Die Risikoaversion eines Entscheidungsträgers ist durch die Konkavität der Nutzenfunktion gekennzeichnet und bringt zwei Eigenschaften zum Vorschein. Erstens bewertet der Entscheidende ein sicheres Ergebnis höher als ein ris- kantes Ergebnis X, das einen Erwartungswert in Höhe des sicheren Ergebnis- ses hat. Dies bedeutet, dass der Nutzen des sicheren Ergebnisses U( ) größer als der Erwartungsnutzen des riskanten Ergebnisses E[u(X)] ist, also U( )=u(E[X])>E[u(X)]. Diese Ungleichung wird Jensensche Ungleichung ge- nannt. Zweitens muss der Erwartungswert des riskanten Ergebnisses E[X] um eine gewisse Risikoprämie höher sein als das sichere Ergebnis , damit sie vom Entscheidungsträger gleich bewertet werden. Dies bedeutet U( )=E[u(X)], wenn E[X]> .²¹

Abbildung 1 stellt den konkaven Verlauf der Nutzenfunktion u(X) dar und verdeutlicht die getätigten Aussagen:²²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Risikoaversion

Angenommen das riskante Ergebnis X habe zwei Ausprägungen X1 und X2, die mit einer Wahrscheinlichkeit von p1 und p2 auftreten und zu einem Erwartungs- wert E[X]= führen. Dann lässt sich der dazugehörige Erwartungsnutzen E[u(X)] durch Linearkombination der Nutzen u(X1) in Punkt A und u(X2) in Punkt B darstellen. Ersichtlich ist, dass der Nutzen des sicheren Ergebnisses u( )=u(E[X]) in Punkt D größer ist als der Erwartungsnutzen des riskanten Er- gebnisses in Punkt C. Dies entspricht der ersten Aussage in Form der Jensen- schen Ungleichung. Außerdem ist anhand des Vergleichs der Punkte E und C die zweite Aussage zu erkennen. Der Erwartungswert E[X] muss um eine Risi- koprämie größer sein als das sichere Ergebnis , damit der Entscheidungsträ- ger sie gleich bewertet, d.h. u( )=E[u(X)], wenn E[X]> .²³

3. Das Portfoliomodell ohne Besteuerung

Wie in der Einleitung gesagt, fördern riskante Investitionen Innovation und Strukturwandel. Oft wird aber behauptet, dass eine hohe Besteuerung Investitionsanreize und die Risikobereitschaft von Investoren verringern würde.²⁴ Bevor untersucht werden kann, wie sich die Besteuerung auf das Verhalten der Anleger in risikoreiche statt in sichere Anlageformen zu investieren, auswirkt, muss zunächst geklärt werden wie Investoren ein optimales Portfolio aus riskanten und sicheren Investitionsmöglichkeiten bestimmen.

Dementsprechend stellt dieses Kapitel ein partialanalytisches Portfoliomodell ohne Berücksichtigung der Besteuerung vor und schafft damit die Vorlage für die Bearbeitung der Frage, wie sich Steuern auf die Risikoübernahme, und damit auf die Bereitschaft von Anlegern risikoreiche Investitionen durchzuführen, auswirken. Dabei wird auf die Modellannahmen und Entscheidungsfindung eines risikoaversen Investors mit Hilfe der in Kapitel 2.3 vorgestellten Erwartungsnutzentheorie eingegangen.

3.1 Optimale Portfoliowahl ohne Besteuerung

Basis der meisten Arbeiten, die eine optimale Portfoliowahl eines Anlegers untersuchen, ist das folgende einperiodige Modell:²⁵

Ein risikoscheuer Investor, sei es ein privater Haushalt oder ein Unternehmen, steht vor der Aufgabe ein ihm zur Verfügung stehendes Anfangsvermögen V0 optimal auf eine sichere und auf eine riskante Anlageform aufzuteilen. Der risi- koaverse Entscheidungsträger verfolgt das Ziel seinen Erwartungsnutzen be- züglich des Endvermögens V1 zu maximieren. Dementsprechend handelt es sich beim hier betrachteten Portfoliomodell um eine Zwei-Zeitpunkte- Betrachtung.²⁶

Angenommen wird, dass die sichere Investitionsmöglichkeit eine risikolose Er- tragsrate r pro investierte GE liefert, die größer oder gleich Null sein soll. Die Ertragsrate pro investierte GE in die riskante Anlage ist stochastisch und ab- hängig vom eintretenden Umweltzustand i mit i=1,..,N, d.h. dass die Verzin- sung pro riskant investierte GE eine Zufallsvariable z mit bekannten Merk- malsausprägungen zi ist. Außerdem wird unterstellt, dass die Eintrittswahr- scheinlichkeiten pi der möglichen Zustände dem Investor bekannt sind. Zur Vereinfachung und vor allem zur grafischen Darstellung wird im weiteren Verlauf der Arbeit lediglich von zwei möglichen Umweltzuständen ausgegan- gen: von einem günstigen Zustand 1 und einem ungünstigen Zustand 2, sprich z1>z2.

Aus der Annahme der Risikoaversion folgt gemäß Kapitel 2.4, dass der Investor nur ins Risiko investiert, wenn die riskante Anlage einen höheren Erwartungs- wert besitzt als den sicheren Ertrag. Die Differenz gibt dann die vom Investor individuell geforderte Risikoprämie wieder.²⁷ Dementsprechend muss der Er- wartungswert der riskanten Ertragsrate E[z] größer sein als die sichere Ertrags- rate r; sonst würde ein risikoscheuer Investor sein ganzes Anfangsvermögen V0 sicher anlegen. Wenn z.B. r=0.015, z1=0.03 und z2=-0.01 sind, dann folgt für den Erwartungswert der riskanten Investition bei gleicher Eintrittswahrschein- lichkeit der Zustände: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. In diesem Fall würde der Anleger sein gesamtes zur Verfügung stehendes Anfangsvermögen in die sichere Anlageform investieren. Sollte die Verzinsung zi in jedem Um- weltzustand i (i=1,2) größer sein als die Ertragsrate r der sicheren Anlage, so ergäbe sich erneut kein Entscheidungsproblem für den Anleger, weil er dann sein komplettes Anfangsvermögen in die riskante Anlageform investieren wür- de.²⁸ Der Entscheidungsträger würde sich dementsprechend verhalten, wenn die Parameter z. B. die Werte r=0.015, z1=0.03 und z2=0.02 annehmen. Die sichere wird hier von der riskanten Anlageform dominiert.

In der Arbeit wird aber der Fall einer inneren Lösung betrachtet, in dem z1>r>z2 und E[z]>r gilt, so dass der Investor zwischen Ertrag und Risiko einer Anlageform abwägen muss.²⁹ Formal sieht das Entscheidungsproblem des Investors wie folgt aus. Das Ziel ist die Maximierung seines Erwartungsnutzens bezüglich des Endvermögens V1:³⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei gibt V1i die Merkmalsausprägungen der Zufallsvariablen V1 wieder und stellt das resultierende Endvermögen dar, wenn Zustand i einritt. Ersichtlich ist, dass der Entscheidungsträger seinen Erwartungsnutzen E[u(V1)] über den prozentualen Anteil a seines Anfangsvermögens V0 optimiert, den er riskant anlegt. Dementsprechend stellt hier analog zu Kapitel 2.2 jede Wahl des riskan- ten Anteils a eine Handlungsmöglichkeit des Investors dar, die zu einem sto- chastischen Ergebnis V1i führt. Der Ausdruck (1-a) in (3.1) stellt denjenigen pro- zentualen Anteil seines Anfangsvermögens dar, den er in die sichere Anlage investiert. Das bedeutet, dass die Produkte [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] diejeni- gen Geldbeträge widerspiegeln, die in die riskante bzw. risikolose Investitions- möglichkeit eingehen.

Da der Erwartungswert der riskanten Anlage E[z] größer als die sichere Ertragsrate r ist, ist garantiert, dass der Anleger nicht sein gesamtes Endvermögen sicher investiert.³¹ Außerdem gilt: je höher der Investor den Anteil a wählt, desto riskanter ist auch das resultierende Endvermögen.³² Ohne ein bestimmtes Risikomaß vorzuschreiben ist die Aussage intuitiv nachvollziehbar: denn je mehr riskant investiert wird, desto weiter liegen die potenziellen Endvermögen im günstigen und ungünstigen Zustand auseinander.

Wegen der unterstellten Risikoaversion des Anlegers besitzt er eine streng konkave Nutzenfunktion für die gilt, dass die erste Ableitung u´(V1)>0 und die zweite Ableitung u´´(V1)<0 ist (von - Neumann - Morgenstern - Nutzenfunkti- on).³³ Bei zwei möglichen Zuständen, von denen bekannt ist, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von p1 und p2 eintreten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], folgt für das Maximie- rungsproblem aus (3.1):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um den Erwartungsnutzen über den riskant angelegten Anteil a zu maximieren, muss E[u(V1)] nach der Variablen a abgeleitet und Null gesetzt werden. Daraus resultiert für die Bedingung erster Ordnung:³⁴

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da das Anfangsvermögen V0 unabhängig vom eintretenden Umweltzustand ist, kann es vorgezogen werden, sodass es sich wegen des Nullsetzens wegkürzt. Bedingung (3.3) bestimmt implizit einen optimal riskant angelegten Anteil a*. In der obigen Optimumbedingung werden die zusätzlichen Erträge (z1-r) bzw. Ein- bußen (z2-r) einer zusätzlich riskant statt sicher investierten Geldeinheit mit dem Grenznutzen der jeweiligen Endvermögen multipliziert. Dadurch werden die Nutzenzuwächse bzw. Nutzeneinbußen aus einer marginalen Erhöhung des riskanten Anteils a oder Anlagebetrags A für die jeweiligen Umweltzustände ermittelt.³⁵ Dementsprechend erhöht der Investor a solange und investiert damit weiter eine zusätzliche Einheit des Geldbetrags A ins Risiko bis p1u´[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Aufgrund der Annahme z1>r>z2 und der strengen Kon- kavität der Nutzenfunktion gilt: p1u´(V11)(z1-r)>0 und p2u´(V12)(z2-r)<0. Je höher a ist, desto höher ist auch das Endvermögen V11 im günstigen Zustand. Dies impliziert aber wegen der Konkavität der Nutzenfunktion einen niedrigeren Grenznutzen u´(V11). Für den ungünstigen Zustand gilt das gleiche umgekehrt: hier sinkt das Endvermögen V12 mit steigendem a; entsprechend steigt der Grenznutzen u´(V12). Somit muss der Investor vor jeder marginalen Erhöhung des riskant angelegten Anteils und Betrags schauen, ob der mit (z-r) gewichtete erwartete Grenznutzen einer weiteren Geldeinheit positiv ist.³⁶ Sollte dies der Fall sein, dann lohnt sich eine Erhöhung von a und der maximale Erwartungs- nutzen E[u(V1)] ist noch nicht erreicht. Eine Erhöhung von a lohnt sich nicht mehr, wenn eben die Gleichheit von p1u´[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und damit der maximale Erwartungsnutzen E[u(V1)] erreicht ist.

Dass der riskant angelegte Anteil a*, der Bedingung (3.3) erfüllt, den Erwartungsnutzen tatsächlich maximiert, wird durch die Bedingung zweiter Ordnung deutlich, die kleiner als Null ist:³⁷

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Bedingung (3.4) ist für einen risikoscheuen Anleger immer erfüllt, da u´´[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist.³⁸

Beispiel 1:

Anhand eines Beispiels soll die bisher dargestellte optimale Portfoliowahl illust- riert werden. Untersucht wird das Entscheidungsproblem eines risikoscheuen Anlegers mit der streng konkaven Nutzenfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Ab- leitungen lauten u´([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Sein Anfangsvermögen beträgt V0 GE, das er auf eine sichere und eine riskante Anlageform optimal aufteilen möchte. Die Ertragsraten pro GE sollen analog zu oben r, z1 und z2 betragen. Tritt der günstige Zustand 1 ein, so erhält der Anleger ein Endver- mögen von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Im ungünstigen Zustand 2 lautet die Höhe des Endvermögens [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Treten die Zustände mit den Wahrscheinlichkeiten p1 und p2 ein, so stellt sich das Maximierungsproblem des Anlegers in Abhängigkeit von a wie folgt dar:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Bestimmung des optimalen a*, das den Erwartungsnutzen des Anlegers bezüglich seines Endvermögens V1 maximiert, muss E[u(V1)] nach a abgeleitet und Null gesetzt werden. Gemäß (3.3) folgt für die Bedingung erster Ordnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Umformen des obigen Ausdrucks nach a bestimmt denjenigen prozentualen Anteil des Anfangsvermögens V0, der vom Entscheidungsträger in die riskante Anlageform investiert wird. Für diesen optimalen Anteil a* resultiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Bedingung zweiter Ordnung ist laut (3.4) für einen risikoaversen Anleger erfüllt. Folgende Zahlen werden unterstellt: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] pro [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] pro GE und b=0.2. Treten beide Zustände mit der glei- chen Wahrscheinlichkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf, dann ergibt sich nach Einsetzen der Zahlen in obige Gleichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der Investor legt also 68.66 GE riskant und 31.34 GE sicher an. Er erhält ein Endvermögen von V11*=105.12 GE, wenn Zustand 1 eintritt, und ein Endvermögen i.H.v. V12*=99.63 GE unter Eintritt des Zustands 2. Sein Erwartungsnutzen ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].³⁹

3.2 Einordnung in die mikroökonomische Haushalts- theorie

Ein alternativer Weg zur Bestimmung des optimal riskant angelegten Anteils a* besteht in der Verbindung zur Mikroökonomie. Diese Variante ist unter Annah- me zweier möglicher Umweltzustände für die grafische Analyse der Steuerwir- kungen auf die Risikoübernahme von Bedeutung und soll deshalb im Folgen- den vorgestellt werden.

Unter der Annahme normaler Präferenzen und unter Ausschluss von Randlö- sungen erreicht ein Haushalt das nutzenmaximierende Bündel, bestehend aus zwei Gütern x1 und x2, durch den Tangentialpunkt zwischen der Indifferenzkurve und der Budgetgeraden, da dieser dem Haushalt den unter Beachtung der Budgetbeschränkung höchsten Nutzen bringt.⁴⁰ Dies impliziert, dass im Haushaltsoptimum die Grenzrate der Substitution (GRS), sprich die Steigung der Indifferenzkurve, dem betragsmäßigen Preisverhältnis der beiden Güter entsprechen muss (Steigung der Budgetgeraden).⁴¹

Analog zur Mikroökonomie können hier die Endvermögen im jeweiligen Um- weltzustand als zwei unterschiedliche Güter V11 und V12 betrachtet werden. Je- doch ist keine Nutzenfunktion des Anlegers, wie in der Haushaltstheorie üblich, gegeben, die von der Menge der beiden Güter abhängig ist. Allerdings wird die- se durch die Erwartungsnutzenfunktion E[u(V1)] ersetzt, die hier maximiert wer- den soll und abhängig von beiden Endvermögen V11 und V12 ist. Zur Erwar- tungsnutzenfunktion ist dann entsprechend eine konvexe Indifferenzkurve be- stimmbar, die alle Kombinationen von V11 und V12 enthält, die zum selben er- warteten Nutzenniveau führen. Die GRS lässt sich dann schreiben als Quotient der mit den jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Grenznutzen von V11 und V12:⁴²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die GRS gibt das Substitutionsverhältnis von V11 und V12 an; d.h. auf wie viele GE von V12 muss der Anleger verzichten um eine marginale GE von V11 zusätz- lich zu erhalten ohne dabei sein (erwatetes) Nutzenniveau zu verlassen, sprich auf derselben Indifferenzkurve zu verbleiben.⁴³ Auch ist im Sinne der Haushalts- theorie keine übliche Budgetgleichung gegeben, jedoch analog ein Möglich- keitsbereich, der durch die Gleichung V1i=V0+V0r+aV0(zi-r) repräsentiert wird. Die Steigung der mikroökonomischen Budgetgerade ist durch den Differential- quotienten dx2/dx1 bestimmt. Analog lässt sich hier die Steigung des Möglich- keitsbereichs ermitteln. Die jeweilige Veränderung des Endvermögens dV1i wird von dem riskant angelegten Anteil a festgelegt, sodass diese sich durch ablei- ten nach a erfassen lässt. Für die jeweiligen Endvermögen V1i folgen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Nach Division ergibt sich analog zum Differentialquotienten dx2/dx1 die Steigung des Möglichkeitsbereichs:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Steigung wird auch Grenzrate der Transformation (GRT) genannt und ist kleiner als Null. Sie gibt diejenige Rate wieder mit der das Endvermögen V11 im günstigen Umweltzustand 1 mit dem Endvermögen V1² im ungünstigen Um- weltzustand 2 ausgetauscht werden kann.⁴⁴ Wie oben gesagt, gilt unter der Annahme einer inneren Lösung, dass im Optimum die GRS dem Betrag der GRT entsprechen muss:⁴⁵

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die erwartungsnutzenmaximierende Kombination aus (V11*, V12*) kann wegen der Beziehung (3.7) grafisch veranschaulicht werden:⁴⁶

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Möglichkeitsbereich und Indifferenzkurve im Zweizustandsdiagramm

Die Abszisse gibt das Endvermögen V11 an, wenn der günstige Zustand 1 ein- tritt und die Ordinate entsprechend V12 im ungünstigen Zustand 2. Die blaue Kurve stellt die Indifferenzkurve zum maximal erreichbaren Erwartungsnutzen dar. Der Anleger ist zwischen allen Kombinationen (V11, V12), die sich auf ihr befinden, indifferent; d.h. sie führen zum selben (maximalen) Erwartungsnut- zen. Die rote Gerade gibt den Möglichkeitsbereich mit der Steigung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wieder. Wenn der Anleger a=0 wählt, also sein gesamtes An- fangsvermögen V0 in die sichere Alternative investiert, dann ist sein Endvermö- gen V1i unabhängig vom eintretenden Umweltzustand und beträgt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Deswegen liegt der dazugehörige Punkt B auf der 45 ° - Linie. Investiert der Anleger sein gesamtes Anfangsvermögen V0 in die riskante Anlage (a=1), dann erhält er ein Endvermögen von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wenn der günstige Zustand eintritt, und ein Endvermögen i.H.v. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im un- günstigen Zustand. Dies entspricht dem Punkt C. Alle Punkte auf dem Möglich- keitsbereich zwischen B und C sind für den Investor durch eine Wahl von a zwi- schen Null und Eins erreichbar.⁴⁷ Ersichtlich ist, je höher der Anleger a wählt, desto höher ist das möglich erreichbare Endvermögen des günstigen Zustands. Gleichzeitig ist aber das Endvermögen im ungünstigen Zustand umso niedriger. Dies bedeutet also, je weiter eine Endvermögenskombination (V11, V12) von der sicheren Kombination (V0(1+r), V0(1+r)) des Punktes B entfernt liegt, desto ris- kanter ist das Endvermögen. Die optimale und damit erwartungsnutzenmaxi- mierende Kombination (V11*, V12*) ist durch Punkt A gegeben. Dort ist äquivalent zum Ausdruck (3.7) die GRS gleich der betragsmäßigen GRT. Diese Kombina- tion ist durch die Wahl des optimal riskant angelegten Anteils a* zu realisieren. In Abbildung 2 ist a* als Streckenverhältnis BA/BC definiert.⁴⁸ Die zu Punkt A gehörenden Koordinaten betragen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Steigung des Möglichkeitsbereichs ist bekannt.

Seine Gleichung hat entsprechend folgende Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei bezeichnet n den Ordinatenabschnitt und kann durch mathematische Überlegungen bestimmt werden. Bekannt sind zwei Punkte des Möglichkeitsbereich, nämlich Punkt B [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Um n zu bestimmen, muss einer der Punkte in (3.8) eingesetzt und dann nach n umgeformt werden. Daraus resultiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die allgemeine Gleichung des Möglichkeitsbereichs ergibt sich damit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel 2:

Als Beispiel sei erneut der Anleger mit der streng konkaven Nutzenfunktion u(V1)=-e-bV¹ betrachtet. Sein Möglichkeitsbereich ergibt sich wie in (3.10). Zur Bestimmung der Indifferenzkurve zu einem bestimmten erwarteten Nutzenniveau Eu muss die Gleichung des Erwartungsnutzens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

nach V12 umgestellt werden. Daraus folgt für die Indifferenzkurve des Beispiels:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Optimum wird durch den Tangentialpunkt des Möglichkeitsbereichs mit der Indifferenzkurve bestimmt. Damit gilt die Beziehung (3.7), die im Beispiel wie folgt definiert ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für V12 ergibt sich durch Äquivalenzumformung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Ausdruck gibt analog zum haushaltstheoretischen Einkommens- Expansionspfad einen Vermögens-Expansionspfad wieder und beschreibt den Ort aller (V11, V12)-Kombinationen, die den erwarteten Nutzen maximieren.⁴⁹ Um das optimale Endvermögen V11* im günstigen Zustand 1 zu bestimmen muss V12 mit (3.10) gleichgesetzt und anschließend nach V11 umgestellt werden. Dar- aus resultiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das optimale Endvermögen V12* im ungünstigen Zustand 2 folgt, in dem V1¹ * in obige Form von V12 eingesetzt wird, was an dieser Stelle nicht mehr gemacht werden soll. Stattdessen werden die identischen Zahlen des Beispiels 1 be- trachtet: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Nach Einsetzen der Zahlen beträgt V11*=105.12 GE und V12*=99.63 GE. Das dazugehörige optimale a* ergibt sich dadurch, dass eine der Gleichungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nach a* umgeformt wird. Der optimal riskant angelegte Anteil ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].⁵⁰ Der maximale Erwartungsnutzen be- trägt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Damit ist das Ergebnis identisch mit dem in Beispiel 1. Abschließend zeigt Abbildung 3 den Möglichkeitsbereich und die Indifferenzkur- ve des Beispiels:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Möglichkeitsbereich und Indifferenzkurve des Beispiels

3.3 Wirkung einer Vermögensänderung

Die optimale Portfoliowahl des risikoscheuen Anlegers hängt neben den Ertragsraten auch wesentlich vom Grad der Risikoaversion und vom Anfangsvermögen V0 ab.⁵¹ Dies soll im Folgenden näher betrachtet werden. Bei der Diskussion muss zwischen dem riskant angelegten Portfolioanteil a und dem riskanten Anlagebetrag A=aV0 unterschieden werden.

Um die Wirkung einer Veränderung des Anfangsvermögens V0 auf den optimalen Anteil a* zu untersuchen, muss das totale Differential der Bedingung erster Ordnung nach a und V0 bestimmt und anschließend nach dem Differentialquotienten da/dV0 umgeformt werden:⁵²

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Die Frage, ob eine marginale Veränderung des Anfangsvermögens V0 den riskant angelegten Anteil a* erhöht, verringert oder gleich bleiben lässt, kann anhand des Vorzeichens von (3.11) analysiert werden. Der Nenner ist aufgrund der Bedingung zweiter Ordnung (3.4) negativ. Der Zähler ist jedoch nicht eindeutig, sodass (3.11) kleiner, größer oder gleich Null sein kann.⁵³ Dies wird im Folgenden näher untersucht.

Die Annahme der Analyse war bisher, dass der Investor risikoavers ist. Jedoch wurde nichts darüber gesagt wie sehr er dem Risiko abgeneigt ist. Dazu eignen sich zwei Maßzahlen, die den Grad der Risikoaversion bestimmen und von Arrow und Pratt entwickelt wurden.⁵⁴ Zum einen ist das der Grad der absoluten Risikoaversion (3.12) und zum andern der Grad der relativen Risikoaversion (3.13), die wie folgt definiert sind:⁵⁵

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Der Ausdruck (3.11), der die Wirkung einer marginalen Veränderung des An- fangsvermögens V0 auf den optimal riskant angelegten Anteil a* angibt, kann so umgeschrieben werden, dass er vom Grad der relativen Risikoaversion (3.13) abhängt. Die Summe [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in (3.11) ist äquivalent zu (3.1) nichts anderes als der Quotient [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und kann damit ersetzt werden. Wird außerdem der Zäh- ler in (3.11) mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erweitert, so kann da/dV0 auch geschrieben werden als:⁵⁶

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[...]

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¹ Vgl. Myles (2004), S. 196.

² Vgl. Keuschnigg (2005), S. 229.

³ Vgl. Buchholz/Konrad (2000), S. 63.

⁴ Vgl. Schneider (1977), S. 633.

⁵ Vgl. Domar/Musgrave (1944), S. 388 ff.

⁶ Vgl. Niemann/Sureth (2008), S. 122.

⁷ In der Literatur existieren auch noch andere Ansätze, wie z.B. den Erwartungswert-Varianz- Ansatz. Vgl dazu z.B. Neus/v. Hinten (1992), S. 235 ff.

⁸ Vgl. Schindler (2006), S. 21; Buchholz/Konrad (2000), S. 63.

⁹ Vgl. Schindler (2006), S. 21.

¹⁰ Vgl. Keuschnigg (2005), S. 248.

¹¹ Vgl. Schindler (2006), S. 22.

¹² Vgl. Schneider (1977), S. 635.

¹³ Vgl. Bamberg/Coenenberg (2006), S. 19.

¹⁴ Vgl. Kruschwitz (2007), S. 83.

¹⁵ Vgl. Kruschwitz (2007), S. 81 ff.

¹⁶ Dabei kann die Nutzenfunktion durch positive lineare Transformation normiert werden, d.h. u(X) und u*(X)= + u(X) mit IR, >0 sind äquivalent. Vgl dazu Kruschwitz (2007), S. 98 ff.

¹⁷ Vgl. Bamberg/Coenenberg (2006), S. 83 ff..

¹⁸ Vgl. Kruschwitz (2007), S. 87.

¹⁹ Vgl. Bamberg/Coenenberg (2006), S. 85. Zu den einzelnen Axiomen vgl. Kruschwitz (2007), S. 89 ff.

²⁰ Vgl. Cansier (1985), S. 256.

²¹ Vgl. Bamberg/Coenenberg (2006), S. 93 f.

²² Vgl. Kruschwitz (2007), S. 104.

²³ Vgl. Keuschnigg (2005), S. 232 f.

²⁴ Vgl. Neus/v. Hinten (1992), S. 235.

²⁵ Dazu gehören u.a. Arrow (1965); Mossin (1968); Stiglitz (1969); Sandmo (1969); Atkin- son/Stiglitz (1980); Sandmo (1985); Cansier (1985); Konrad (1989); Buchholz/Konrad (2000), Myles (2004); Keuschnigg (2005); Schindler (2006).

²⁶ Vgl. Neus/v. Hinten (1992), S. 236.

²⁷ Vgl. Cansier (1985), S. 256.

²⁸ Vgl. Buchholz/Konrad (2000), S. 64.

²⁹ Vgl. Keuschnigg (2005), S. 231.

³⁰ Vgl. Atkinson/Stiglitz (1980), S. 99.

³¹ Vgl. Arrow (1965), S. 39. Entsprechend kann auch der Fall eintreten, in dem der Investor mehr als das ihm zur Verfügung stehende Anfangsvermögen riskant anlegen möchte. Damit müsste er sich verschulden, z.B. in Form einer Kreditaufnahme. Vgl. dazu Atkin- son/Stiglitz (1980), S. 101.

³² Vgl. Keuschnigg (2005), S. 232.

³³ Vgl. Buchholz/Konrad (2000), S.65.

³⁴ Vgl. Schindler (2006), S. 24.

³⁵ Vgl. Buchholz/Konrad (2000), S.65.

³⁶ Vgl. Schindler (2006), S. 24.

³⁷ Vgl. Schindler (2006), S. 24.

³⁸ Vgl. Stiglitz (1969), S. 264.

³⁹ Die Nutzenfunktion könnte gemäß Fußnote 16 normiert werden, sodass ein anderer, nicht- negativer Erwartungsnutzen resultieren würde.

⁴⁰ Vgl. Paschke (2008), S. 91 ff.

⁴¹ Vgl. Paschke (2008), S. 120.

⁴² Vgl. Stiglitz (1969), S. 267.

⁴³ Vgl. Keuschnigg (2005), S. 233 f.

⁴⁴ Vgl. Keuschnigg (2005), S. 234.

⁴⁵ Vgl. Stiglitz (1969), S. 267.

⁴⁶ Vgl. Atkinson/Stiglitz (1980), S.101.

⁴⁷ Vgl. Buchholz/Konrad (2000), S. 69.

⁴⁸ Vgl. Atkinson/Stiglitz (1980), S. 101 f.

⁴⁹ Vgl. Myles (2004), S. 214.

⁵⁰ Beide Gleichungen liefern nicht genau dasselbe a*, was mit dem Runden der Endvermögen auf zwei Nachkommastellen zu begründen ist.

⁵¹ Vgl. Schindler (2006), S. 24.

⁵² Im weiteren Verlauf der Arbeit wird oft noch mit dem totalen Differential der Bedingung erster Ordnung gearbeitet. In der Literatur verwenden die Autoren auch die mathematische Tech- nik des Impliziten Differenzierens. Beide Verfahren führen aber letztendlich zu identischen Ergebnissen.

⁵³ Vgl. Schindler (2006), S. 24.

⁵⁴ Vgl. Bamberg/Coenenberg (2006), S. 96.

⁵⁵ Vgl. Arrow (1965), S. 33.

⁵⁶ Vgl. Keuschnigg (2005), S. 235.