Erstellung eines Motorberechnungsprogramms in MATLAB

Inhaltsverzeichnis

Konstanten-, Symbol- und Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung

2. Erstellung eines Wicklungseditors
2.1 Allgemeines zum algebraischen Wicklungsentwurf
2.2 Der Entwurf von Zweischichtwicklungen
2.3 Der Entwurf von Einschichtwicklungen

3. Strombelag
3.1 Fourier-Reihe
3.1.1 Sinus und Kosinus-Form der Fourier-Reihe
3.1.2 Komplexe Fourier-Reihen
3.1.3 Integration und Differentiation von komplexen Fourier-Reihen
3.1.4 Verschiebung von komplexen Fourier-Reihen
3.2 Strombelag in einer Nut
3.3 Der gesamte Strombelag
3.3.1 Einschichtwicklung
3.3.2 Zweischichtwicklung
3.4 Ermittlung der komplexen Fourier-Koeffizienten des Strombelags

4. Durchflutung
4.1 Definition
4.2 Die Durchflutung ohne Fehlersimulation
4.3 Die Durchflutung nach einer Fehlersimulation

5. Leitwertverteilung
5.1 Carterfaktor
5.2 Leitwertverteilung im Stator
5.3 Leitwertverteilung im Rotor
5.4 Die gesamte Leitwertverteilung

6. Die magnetische Flussdichte
6.1 Definition
6.2 Das B-Feld ohne Fehlersimulation
6.3 Das B-Feld nach einer Fehlersimulation
6.4 Plausibilitätsberechnung

7. Zusammenfassung
7.1 Fazit
7.2 Ausblick

Literaturverzeichnis

Anhang
A. Maschinenparameter A
B. Maschinenparameter B
C. Das MATLAB-Programm

Konstanten-, Symbol- und Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Weltweit erfolgt ein Großteil von elektromechanischen Energiewandlungen in rotierenden elektrischen Maschinen. Schon eine geringe Wirkungsgradverbesserung bei elektrischen Maschinen kann zu einer deutlichen Steigerung der globalen Energieeffizienz führen und erhebliche (Energie-)Kosten einsparen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung 1.1: Stromverbrauch von Deutschland nach Sektoren

Der Energiebedarf der Industrie entspricht dabei des Ertrags von etwa 24 durchschnittlichen deutschen Atomkraftwerken.

Dieser Energiebedarf wiederum teilt sich innerhalb des Industriesektors wie folgt auf

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.2: Stromverbrauch in der deutschen Industrie

Antriebe bilden ein unerschöpftes Feld der Wirtschaftlichkeitssteigerung. Derzeit verursachen elektrische Antriebe mehr als 64 Prozent Stromverbrauchs in der Industrie [7]. In Privathaushalten erfordern herkömmliche Heizungspumpen bis zu sieben Zehntel mehr Energie-Input als modernste Elektro-Antriebe.

Im Rahmen meiner Abschlussarbeit am ELSYS Institut an der Georg-Simon-Ohm Hochschule Nürnberg soll ein Motorberechnungsprogramm in MATLAB zur Berechnung und Simulation von elektrischen Maschinen erstellt werden.

Das zu erstellende Motorberechnungstool hat das Ziel, sowohl bei Einschicht- als auch Zweischichtwicklung, elektrischen Maschinen auszulegen. Danach werden die physikalischen Grundgesetze in den elektrischen Maschinen durch geschlossene mathematische Ausdrücke formuliert. Die Verteilung der Wicklung und der ungleichförmige Luftspalt in Umfangsrichtung führen zu der Oberwellentheorie der Maschine, die durch Fourier-Reihen beschrieben wird. Die mathematischen Verfahren werden auf die MATLAB-Programme übertragen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.3: Ablauf des Entwurfsverfahrens

2. Erstellung eines Wicklungseditors

2.1 Allgemeines zum algebraischen Wicklungsentwurf

Gegeben seien die Nutenzahl , die Polpaarzahl p, die Strangzahl (Im folgenden sollen nur mehrsträngige Wicklungen mit ungerader Strangzahl ≥ 3, betrachtet werden), und die Spulenweite W.

Die gesamte Wicklung setzt sich aus t identischen Urwicklungen zusammen, die jeweils N' = /t Nuten und p' = p/t Polpaare umfassen. t ist der größte gemeinsame Teiler (ggT) von Spulenzahl und Polpaarzahl [2].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die räumliche Verschiebung der Nuten gegeneinander beträgt 2π/ . Zum einfacheren Verständnis des algebraischen Wicklungsentwurfes ist die Vorstellung des sogenannten Nutensternes, der nachfolgend am Beispiel der Zweischichtwicklung erläutert wird, hilfreich. Jeder Spulenseite wird ein Strahl im Nutenstern zugeordnet. Der Winkel zwischen den Strahlen zweier räumlich benachbarter Spulenseiten entspricht der Phasenverschiebung der vom Grundfeld der Polpaarzahl p in diesen Spulen induzierten Spannungen und beträgt p∙2π/ . Der Nutenstern besteht aus Strahlen, von denen je t Strahlen deckungsgleich sind, so dass insgesamt /t = N' richtungsverschiedene Stellen existieren. Es sollen diejenigen Spulen zu Wicklungszonen zusammengefaßt werden, deren zugehörige Spannungszeiger die minimale Phasenverschiebung 2π/N' gegeneinander aufweisen. Der räumliche Versatz zweier solcher "elektrisch" benachbarter Spulen beträgt Yk ∙2π/ , wobei sich Yk aus der Bedingung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt, wobei g die kleinste natürliche Zahl ist, mit der sich für Yk ein ganze (i.a. positive) Zahl gibt. Von einer Spulenseite in die Nut mit der Nummer k muss man also um Yk Nuten am Umfang weitergehen, um zu nächsten Spulenseite der Wicklungszone zu gelangen.

Das Entwurfsverfahren ist ein rein algebraisches und daher für den maschinellen Wicklungsentwurf wesentlich besser geeignet als beispielsweise semigraphische oder graphische Verfahren [2].

2.2 Der Entwurf von Zweischichtwicklungen

Der Entwurf von Zweischichtwicklungen wird zurückgeführt auf den Entwurf der ersten Urwicklung. Die übrigen t - 1 Urwicklungen sind identisch aufgebaut und um den räumlichen Winkel 2π/t am Umfang verschoben. Zunächst wird für die einzelnen Stränge die Anordnung der Spulen in der Ordnung der Spulen in der Oberschicht festgelegt; die Unterschicht ist ein um W Nutteilungen verschobenes Abbild der Oberschicht. Die Nutenzahl kann gerade oder ungerade sein. Je Strang existieren N'/ Spulen, die auf positive und negative Polen aufgeteilt werden. Die erste Wicklungszone besteht aus q1 Spulen unter positiven Polen, die zweite Wicklungszone aus q2 Spulen unter negativen Polen:

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Die Gleichung (1.3) ist gleichzeitig die Ausführungsbedingung der symmetrischen mehrsträngigen Wicklung. Da die Summe q1 + q2 stets eine ganze Zahl ist, muss N' durch teilbar sein. Da p' und N' teilfremd sind, folgt hieraus, dass die Polpaarzahl einer Urwicklung nicht durch teilbar sein kann.

Bezeichnet man die Nut, in deren Oberschicht sich die Spulenseite der ersten Spule der ersten Urwicklung des ersten Strangs befindet, mit der Nummer 1, so besteht die erste Wicklungszone aus den Spulen, deren Spulenseiten in der Wicklungsoberschicht sich in den Nuten mit den Nummern:

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befinden. Die Modulofunktion mod(x,y) mit zwei ganzzahligen Argumenten x,y liefert den ganzzahligen Rest beim Teilen von x durch y. Die Spulenseiten in der Oberschicht der zweiten Wicklungszone befinden sich in den Nuten mit den Nummern

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Um die räumliche Anordnung der Spulenseiten des . Stranges, der genauso wie der erste Strang aufgebaut ist, zu bestimmen, muss nur die Lage der ersten Spulenseite in der Oberschicht des . Stranges bestimmt werden. Diese Spulenseite befindet sich in der Nut mit der Nummer

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so dass für die Nummern der Nuten, in denen die Spulenseiten in der Oberschicht der ersten Wicklungszone des . Strangs eingebettet sind, folgt:

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Für die zweite Wicklungszone ergibt sich analog

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Der Programmteil

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entspricht der Gleichungen 1.4 und 1.5.

Die Spulenseiten in der Unterschicht befinden sich in den um W Nutteilungen entfernten Nuten. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, wie mit Hilfe der Gleichungen (1.4) und (1.5) sehr einfache Ausdrücke für die Zonenwicklungsfaktoren und die Polpaarzahl der erregten Feldwellen hergeleitet werden können. Schon an dieser Stelle sei angemerkt, dass sich für diejenigen Wicklungsausführungen mit

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die größten Zonenwicklungsfaktoren für das Grundfeld ergeben. Aus diesem Grunde sollen Wicklungen, für die entweder Gl. (1.6.a) oder (1.6.b) erfüllt ist, als Standardwicklungen bezeichnet werden. Bei Wicklungen mit q1 = q2 existieren je Strang 2t identische Urwicklungszonen. Demnach können maximal 2t parallele Zweige geschaltet werden, während sich bei Wicklungen mit q1 ≠ q2 als kleinste Symmetrieeinheit ein ''Urwicklungsstrang'', im Folgenden stets kurz mit Urwicklung bezeichnet, ergibt. Die Unterscheidung in Wicklungen mit

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]maximal[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] parallele Zweige möglich

und

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]maximal[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] parallele Zweige möglich

ist für weitere Betrachtungen von großer Wichtigkeit.

Zugehöriger MATLAB-Programmteil:

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Erfolgt die Wicklungsauslegung der Oberwicklung, so kann anschließend die Unterwicklung problemlos ausgelegt werden.

Um die Unterwicklung zu ermitteln wird die Oberwicklung um eine Spulenweite W verschoben und mit -1 multipliziert. (Abbildung 2.1).

Am Ende des Berechnungsverfahrens nach dem oben beschriebenen Entwurf, wird das MATLAB-Programm Funktion_wicklungseditor.m folgende Z Matrix liefern.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Matrix Z wird aus allen folgenden Vektoren zusammengesetzt:

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Die Unterwicklung besitzt ebenfalls die gleichen Vektoren.

Beispiel:

Mit den gegebenen Größen:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] soll die Auslegung einer Zweischichtwicklung mit Hilfe vom Wicklungseditor durchgeführt werden. Die Abbildung 2.1 veranschaulicht den Wicklungsplan der Z Matrix.

Das Programm Funktion_wicklungseditor.m gibt am Bildschirm folgendes aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1 : Wicklungsplan einer Maschine mit 24 Nuten, p = 2, m1 = 3 und W = 5

Zur Kontrolle wurde dieses Ergebnis mit dem Wicklungsplan in [6] verglichen um die Richtigkeit des Programms zu überprüfen.

Fehlersimulation

Mit dem MATLAB-Programm: Funktion_wicklungseditor.m kann der Benutzer zunächst wählen, ob er eine Fehler simulieren (z. B, Leitungsunterbrechung in einer Spule…) möchte. Falls er sich für eine Fehlersimulation entscheidet, soll er dann die betreffende Nutnummer eingeben und die neue Stromamplitude und Windungszahl angeben. Das Programm passt automatisch die Änderung für die Oberschicht an der anderen Spulenseite, die sich in der Unterschicht in den um W Nutteilungen entfernten Nuten befindet, an. Für die Unterschicht wird die Änderung an der anderen Spulenseite, die sich dagegen in der Oberschicht in den um (-W) Nutteilungen entfernten Nuten befindet, angepasst (Abbildung 2.2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung: 2.2: Zweischichtwicklung einer Nut

Ausführliches Beispiel:

Bei einer Zweischichtwicklung mit = 12, p = 1, und = 3 und einer Spulenweite W = 5 wird eine Änderung in der Nut Nummert 6 simuliert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.3: Wicklungsplan einer 3-strängigen Wicklung mit p = 1, N1 = 12 und W = 5

Ausgabe des Programms :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Z Matrix

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Nun werden neue Werte eingegeben und gespeichert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Neue Ergebnisse:

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Y Matrix

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Zugehöriger Programmteil:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hinweis: Die beiden Matrizen X, Y sind für die folgenden Berechnungen und alle weiteren Programmprozessen von großer Bedeutung.

2.3 Der Entwurf von Einschichtwicklungen

Mit dem bisher in dem Abschnitt 2.2 ausgeführtem Entwurfsverfahren ist der Entwurf von Einschichtwicklung möglich. Es reicht lediglich wenn man die Oberschicht der Zweischichtwicklung als die gesamte Wicklung der Einschichtwicklung betrachtet.

Beispiel :

Mit den gegebenen Maschinenparametern im Anhang B soll die Wicklung für Einschichtwicklung ausgelegt werden. Mit dem Aufruf des MATLAB-Programms Funktion_wicklungseditor.m mit dem Parameter

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

im main.m Programm, wird folgende Z Matrix am Bildschirm ausgegeben:

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Das Wickelschema lautet folgendermaßen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Strombelag

Ausgehend von einer Nut mit Strom wird bis hin zur gesamten Wicklung die analytische Beschreibung des Strombelags mittels Fourier-Reihen entwickelt. Dabei wird durchgehend die Fourier-Reihendarstellung in komplexer Exponentialschreibweise angewandt.

Der Abschnitt über spezielle Wicklungsanordnungen führt schließlich zur Definition von Raumzeigern. Die Schreibweise des Strombelags mittels komplexer Fourier-Reihen legt es nahe, die Raumzeiger als komplexe Koeffizienten dieser Reihen zu definieren.

Es wird gezeigt, dass sich die Schreibweise mittels komplexer Fourier-Reihen als vorteilhaft für das Herleiten der Systemgleichungen erweist, da die erforderlichen Rechenoperationen (Integration und Differentiation) durch die komplexe Schreibweise recht einfach durchführbar werden.

3.1 Fourier-Reihe

In der Mathematik lassen sich durch eine Fourier-Analyse periodische Funktionen als Summe von trigonometrischen Funktionen beschreiben. Trägt man entlang des Maschinenumfangs die Stromstärkeamplitude auf, so erhält man den Strombelag als eine Rechteckfunktion, welche sich entlang der Umfangskoordinate periodisch wiederholt. Die Abbildung 2.1.1 zeigt die mit Leitern gefüllten Nuten eines Stranges, welche um die Polteilung versetzt am Umfang des Stators verteilt sind [8].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1.1: Leiter in Nuten

Eine solche unstetige Funktion kann mittels abschnittsweise definierten Funktionen beschrieben werden. Da es sehr unangenehm ist, mit solchen unstetigen Funktionen zu arbeiten, wird der Strombelag mit stetigen Funktionen ersetzt. Man kann hierfür die Methoden der Fourier-Analyse anwenden [5]. Es werden daher kurz die Grundlagen und Vorteile dieser Darstellungsform gezeigt.

3.1.1 Sinus und Kosinus-Form der Fourier-Reihe

Die sogenannten Fourier-Koeffizienten in Sinus und Kosinus-Form lassen sich mit den folgenden Integralen berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit der Fourier-Synthese ist es möglich, die Ursprungsfunktion als Partialsumme zu synthetisieren. Häufig werden die Funktionen als Partialsummen dargestellt, so können numerische Berechnungsmethoden leichter eingesetzt werden. Die Genauigkeit wird dabei durch eine große Anzahl von n Gliedern hinreichend genau.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.2 Komplexe Fourier-Reihen

In der Maschinentheorie ist es jedoch häufig sinnvoll, die Fourier-Reihe in komplexer Exponentialfunktion darzustellen, da bei Rechnung die Regeln der Potenzrechnung angewendet werden können und auf komplizierte Additionstheoreme verzichtet werden kann. Die Fourier-Koeffizienten in Exponentialform lassen sich wie folgt ermitteln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Koeffizienten beider Darstellungsformen können ineinander umgerechnet werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schreibt man die Partialsumme der komplexwertigen Fourier-Reihe, ergibt sich folgende Darstellung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.3 Integration und Differentiation von komplexen Fourier-Reihen

Der Vorteil der Exponentialform liegt unter anderem bei der relativ leichten Integrier- und Differenzierbarkeit der Funktion. So gilt:

Integration

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Differentiation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.4 Verschiebung von komplexen Fourier-Reihen

Neben der leichten Integration und Differentiation von komplexwertigen Fourier-Reihen können Verschiebungen bezüglich der abhängigen Funktionsvariablen leicht vorgenommen werden. So können durch Multiplikation von Exponentialfunktionen mit der Ursprungsreihe horizontale Verschiebungen auf der Ordinate durchgeführt werden (siehe Abbildung 2.1.2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1.2: Horizontale Verschiebung einer Funktion

Verschiebung in positive Koordinatenrichtung:

Multiplikation mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Verschiebung in negative Koordinatenrichtung:

Multiplikation mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Strombelag in einer Nut

Für das Herleiten der Systemgleichungen ist es von Vorteil, die elektromagnetischen Maschinengrößen vom Strombelag aus zu entwickeln.

Die Nut sei mit w Leitern gleichmäßig belegt. Die Leiter führen alle denselben

Strom i. Beschreibt man diese Stromverteilung längst der Umfangskoordinate, ist die Einführung der längenbezogenen Strombelag hilfreich. In Abbildung 2.2.1 ist der Strombelag einer gleichmäßig mit Strom belegten Nut dargestellt. Der Nutstrombelag wird durch den Strom hervorgerufen. Der Strombelag wiederholt sich nach der Umfangskoordinate von 2π und weist wegen der gleichmäßigen Stromverteilung in der rechteckförmigen Nut ebenfalls rechteckförmigen Verlauf auf.

[...]