Problemlösen - Arithmetik


Hausarbeit, 2009

25 Seiten, Note: 1,7


Leseprobe

Inhalt

1 Einleitung

2 Einführung in das Thema arithmetische Problemlöseaufgaben
2.1 Definition des Begriffs Arithmetik
2.2 Abgrenzung von Problemlöseaufgaben gegenüber Standardaufgaben
2.2.1 Standardaufgaben
2.2.2 Problemlöseaufgaben
2.2.3 Bedingungen und Kritik

3 Planung der Seminarsitzung
3.1 Zielsetzung
3.2 Begründung der Aufgabenauswahl
3.3 Begründung der Sozialform

4 Durchführung der Seminarsitzung
4.1 Aufgabenbeispiele
4.1.1 Laternenaufgabe
4.1.2 Äpfel
4.1.3 Die Zahlenmauer
4.1.4 Das Schachbrett
4.1.5 Türme bauen
4.1.6 Kryptogramme
4.2 Auswertung der Aufgaben

5 Reflexion

6 Literaturverzeichnis

7 Anlagen

1 Einleitung

Im Rahmen des Seminars Mathematik(unterricht) als Erfahrung haben wir uns näher mit der Konzeption des Problemlösens, speziell mit praktischen Beispielen aus der Arithmetik, beschäftigt. Da wir für unsere spätere Berufspraxis Erfahrungen im Umgang mit Problemaufgaben sammeln wollten, entschieden wir uns dafür, uns nicht nur theoretisch damit auseinanderzusetzen, sondern auch unterschiedliche Beispielaufgaben mithilfe der anderen SeminarteilnehmerInnen nachzurechnen.

In der heutigen Zeit stehen Kinder immer wieder vor der Aufgabe, Entscheidungen zu treffen. Das Angebot, zum Beispiel im Bereich der Fremdsprachen, erweitert sich ständig. Außerdem muss flexibel auf alltägliche Situationen reagiert werden. Bei der Beschäftigung mit Problemaufgaben werden unter anderem diese Fähigkeiten gefördert (vgl. Werning/Kriwet 1999, S. 7f.). Um später eine angemessene Vorbereitung unserer SchülerInnen zu erreichen, wollen wir uns näher mit diesem Themengebiet auseinandersetzen.

In dieser Arbeit wollen wir zunächst eine Einführung in das Thema arithmetische Problemlöseaufgaben geben. Dazu wollen wir zuerst den Begriff Arithmetik näher erläutern und anschließend darauf eingehen, inwiefern sich Problemlöseaufgaben von Standardaufgaben unterscheiden. Im Folgenden findet eine detaillierte Beschäftigung mit der Planung der Seminarsitzung statt. Anschließend wird näher auf die Umsetzung der Sitzung eingegangen, wobei sowohl die Aufgabenbeispiele erläutert als auch die Reaktionen und Ergebnisse der SeminarteilnehmerInnen beleuchtet werden sollen. Im letzten Kapitel reflektieren wir den Ablauf der Sitzung.

2 Einführung in das Thema arithmetische Problemlöseaufgaben

2.1 Definition des Begriffs Arithmetik

Die Lehre der Arithmetik stellt die „mathematische Theorie der natürlichen Zahlen oder positiven ganzen Zahlen “ (Courant 2000, S. 1) dar. Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass es für jede ganze Zahl, die größer als 1 ist, nur genau eine Möglichkeit gibt, sie als Produkt von Primzahlen zu notieren (vgl. Courant 2000, S. 19).

Um Problemaufgaben lösen zu können, sind arithmetische Kenntnisse und Fertigkeiten eine Voraussetzung (vgl. Rasch 1995, S. 28). Gleichzeitig können arithmetische Fähigkeiten durch solche Aufgaben auch „gefördert werden, wie das der gängige Unterricht bei der Arbeit mit Zahlen und beim Rechnen häufig nicht leistet. Darüber hinaus wird die Sicht auf Zahlen vertieft und erweitert“ (Rasch 1995, S. 26).

2.2 Abgrenzung von Problemlöseaufgaben gegenüber Standardaufgaben

2.2.1 Standardaufgaben

Zum Lösen von Standardaufgaben, auch Regelaufgaben genannt, genügt es, Algorithmen zu kennen und diese fehlerfrei anzuwenden. Weiterhin sind Disziplin und Ausdauer nötig, da es vorrangig um die Berechnung nach einem Routineverfahren geht, während Rechenansatz und -weg eindeutig sind (vgl. Gimpel 1990, S. 383). Es ist hier ausreichend, gegebene Zahlen „unter Nutzung der […] bekannten Grundrechenarten zu verknüpfen“ (Rasch 1995, S. 26).

Zu den Merkmalen von Standardaufgaben zählt daher unter anderem, dass der Sachverhalt leicht durchschaubar ist und die gesuchten Werte in der zum Lösen der Aufgabe benötigten Reihenfolge angegeben sind. Außerdem wird bei allen Standardaufgaben eine Frage gestellt, welche beantwortet werden soll. Weiterhin sind in der Aufgabenstellung nur die erforderlichen Angaben und keine zusätzlichen, zur Rechnung unnötigen, Daten enthalten (vgl. Palzkill 1987, S. 21).

Ein Beispiel für Regelaufgaben stellen in dieser Arbeit die ersten beiden Teilaufgaben der „Laternenaufgabe“ dar (vgl. Unterkapitel 4.1.1).

2.2.2 Problemlöseaufgaben

Im Gegensatz zu Standardaufgaben werden Problemaufgaben nicht nach Algorithmen gelöst, sondern mithilfe von Heurismen bearbeitet, welche Phantasie und Kreativität erfordern (vgl. Gimpel 1990, S. 383). Heuristische Techniken sind zum Beispiel kombinatorisches Austesten (vgl. Unterkapitel 4.1.5) sowie Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, welches im Unterkapitel 4.1.3 erläutert wird (vgl. Stein 1996, S. 123).

Als mathematisches Problem wird eine Aufgabe bezeichnet, bei der der Lösungsweg nicht sofort erkannt werden kann, sondern zunächst gefunden und erarbeitet werden muss (vgl. Zimmermann 1999, S. 12). Dazu müssen die SchülerInnen zum Beispiel lernen, „zu einem Sachverhalt Fragen zu stellen, wichtige Daten auszusuchen, fehlende Daten zu beschaffen, den Lösungsweg zu variieren [und] die Randbedingungen zu verändern“ (Palzkill 1987, S. 20). Es hängt dabei davon ab, in welchem Lernalter die Aufgaben eingesetzt werden und welches Vorwissen die SchülerInnen mitbringen, ob eine Standard- oder eine Problemaufgabe vorliegt (vgl. Zimmermann 1999, S. 12). Deshalb zeigen Aufgaben mit Problemcharakter auf, dass „der oder die ProblemlöserIn Wissenslücken hat“ (Werning/Kriwet 1999, S. 9).

Ein Merkmal von Problemaufgaben ist, dass die Daten teils unvollständig, teils aber auch überflüssig vorhanden sind und die Problemlösenden folglich allein entscheiden müssen, welche Informationen sie benötigen, um die Aufgabe zu lösen. Währenddessen fehlt manchmal auch eine zu beantwortende Frage. In diesem Fall muss die Frage selbst konstruiert werden. Eine weitere Eigenschaft besteht darin, dass Problemlöseaufgaben nicht immer eindeutig lösbar sind (vgl. Palzkill 1987, S. 20).

Um sich über die Vorteile bewusst zu werden, sollte erwähnt werden, dass Problemlösen zum einen die geistige Flexibilität fördert, weil verschiedene Lösungsansätze in Betracht gezogen und variiert werden müssen, und zum anderen das Argumentieren mathematischer Sachverhalte gefördert wird. Darüber hinaus können Problemaufgaben die Kooperation unter den Lernenden unterstützen, wenn in Gruppen gearbeitet wird. Dies kann zusätzlich die Diskussionsfähigkeit begünstigen (Zimmermann 1999, S. 12). Ferner können durch Problemaufgaben die Grundrechenoperationen vertiefend eingeübt werden, wenn verschiedene Werte eingesetzt und durch Rechnen auf ihre Richtigkeit überprüft werden (vgl. Möller 2000a, S. 35).

2.2.3 Bedingungen und Kritik

Während bei Problemlöseaufgaben das Verfügen über ausreichend Zeit zum Überlegen von Lösungsansätzen und -wegen Voraussetzung ist, wird bei Standardaufgaben der Schwerpunkt neben dem schnellen Abarbeiten von Algorithmen vor allem auf die Richtigkeit der Lösungen gelegt. Weiterhin sollte bei Problemaufgaben keine Kanalisierung der Gedanken erfolgen, sondern es sollte den SchülerInnen der Freiraum geschaffen werden, eigenständig an die Aufgaben heranzugehen. Auch die Teamfähigkeit, die bereits in Unterkapitel 2.2.2 erwähnt wurde, ist eine wichtige Bedingung für die erfolgreiche Bearbeitung von Aufgaben mit Problemcharakter, da eine Vielzahl von Ideen für Lösungswege notwendig ist. Ferner ist ein arbeitsfreundliches Klima bei jeder Art von Aufgaben von Vorteil (vgl. Gimpel 1990, S. 383ff.).

Es sollte jedoch auch beachtet werden, dass Schwierigkeiten auftreten können, wenn beispielsweise die Bedingungen nicht bedacht werden. So kann es problematisch sein, wenn nicht genügend Zeit zum Nachdenken gewährt wird (vgl. Gimpel 1990, S.383). Auch kann kritisiert werden, dass der Ablauf einer Unterrichtsstunde, in der das Thema Problemlösen behandelt wird, vorher nicht genau geplant werden kann, da sich verschiedene Fragestellungen bei den SchülerInnen ergeben können, die die Lehrperson möglicherweise nicht in Betracht gezogen hat (vgl. Werning/Kriwet 1999, S. 9). Dies kann sich zum Beispiel so äußern, dass bei der in Unterkapitel 4.1.1 erläuterten Aufgabe besonderes Augenmerk auf die Art, Größe und Farbe der Häuser gelegt wird, die für die Lösung jedoch irrelevant sind.

3 Planung der Seminarsitzung

Für die Vorbereitung der Seminarsitzung haben wir uns vorab Gedanken über unsere Ziele gemacht und infolgedessen geeignet erscheinende Aufgaben ausgewählt. Zudem haben wir uns überlegt, wie wir diese Aufgaben ansprechend präsentieren können.

3.1 Zielsetzung

Unsere Zielsetzung bestand darin, es den StudentInnen zu ermöglichen, verschiedene Typen von Problemaufgaben auszuprobieren, und dabei so viele Klassenstufen wie möglich zu berücksichtigen. Des Weiteren haben wir Wert darauf gelegt, dass die KommilitonInnen sich die Problemaufgaben zunächst nur mit den Möglichkeiten eines Grundschülers erarbeiten, um sich in die Sichtweise der Grundschüler hineinversetzen zu können.

3.2 Begründung der Aufgabenauswahl

Bei der Auswahl der Aufgaben haben wir besonderes Augenmerk darauf gelegt, möglichst viele Arten von Problemaufgaben darzubieten. So haben wir sechs Problemaufgaben ausgewählt, darunter Kryptogramme, kombinatorische Aufgaben und Sachaufgaben. Der Aufbau dieser Aufgaben sowie mögliche Lösungswege werden unter Punkt 4.1 genauer erläutert.

Um deutlich zu machen, dass Problemlöseaufgaben nicht nur für ältere SchülerInnen geeignet sind, sondern auch schon jüngere anspricht, haben wir zudem darauf geachtet, dass auch Aufgaben darunter sind, die in der Schulanfangsphase Anwendung finden können. So erstellten wir ein Repertoire an Aufgaben, welches die Klassenstufen 1 bis 6 berücksichtigte.

3.3 Begründung der Sozialform

Ferner wollten wir die Seminarsitzung auch die Sozialform betreffend abwechslungsreich gestalten. Da in den vorhergehenden Sitzungen bereits mehrfach Gruppenarbeit eingesetzt wurde, entschieden wir uns, etwas Neues zu erproben.

Die in der ersten Seminarsitzung kurz vorgestellten Karussellgespräche hatten uns so sehr beeindruckt, dass wir beschlossen, diese Form der Sitzordnung selbst auszuprobieren. Sie eignet sich vor allem dazu, verschiedene StudentInnen miteinander ins Gespräch zu bringen und zum gemeinsamen Arbeiten anzuregen. Ein besonderes Merkmal dieser Sozialform stellt der mehrfache Partnerwechsel innerhalb einer Stunde dar. Somit wird vermieden, dass immer wieder die gleichen Gruppenzusammensetzungen entstehen.

[...]

Ende der Leseprobe aus 25 Seiten

Details

Titel
Problemlösen - Arithmetik
Hochschule
Freie Universität Berlin
Veranstaltung
Mathematik(-unterricht) als Erfahrung
Note
1,7
Autor
Jahr
2009
Seiten
25
Katalognummer
V203322
ISBN (eBook)
9783656299219
ISBN (Buch)
9783656300410
Dateigröße
2717 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Arithmetik, Problemlösen, Mathematikunterricht, Mathematik, Schule, Grundschule, Zahlenmauer, Kryptogramme
Arbeit zitieren
M.E. Carolin Kautza (Autor), 2009, Problemlösen - Arithmetik, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/203322

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