Optimierung von Antriebssträngen für Hybridfahrzeuge

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einführung

2 Aufbau und Funktionsweise von Hybridfahrzeugen
2.1 Grundlagen
2.1.1 Begriffsbestimmung
2.1.2 Zusatzkomponenten des hybriden Antriebsstrangs
2.2 Hybride Antriebsstrangtopologien
2.2.1 Serieller Hybridantrieb
2.2.2 Paralleler Hybridantrieb
2.2.3 Leistungsverzweigender Hybridantrieb
2.3 Leistungsklassen des Parallelhybrids
2.4 Fazit

3 Optimierungsverfahren
3.1 Überblick
3.2 Analytische Optimierungsverfahren
3.2.1 Lineare Optimierung
3.2.1.1 Simplex-Verfahren nach Dantzig
3.2.1.2 Innere-Punkte-Methode
3.2.2 Nichtlineare Optimierung
3.2.2.1 Newton-Verfahren
3.2.2.2 Quasi-Newton-Verfahren
3.2.2.3 Sequential Quadratic Programming . .
3.2.2.4 Methode der Lagrange-Multiplikatoren .
3.3 Numerische Optimierungsverfahren
3.3.1 Deterministische Verfahren
3.3.1.1 Gauß-Seidel-Strategie
3.3.1.2 Minimumsuche nach Rosenbrock
3.3.1.3 Mustersuchverfahren nach Hooke und Jeeves
3.3.1.4 Simplex-Verfahren nach Nelder-Mead
3.3.1.5 Complex-Verfahren
3.3.1.6 Tabu-Suche
3.3.1.7 Dynamische Optimierung
3.3.2 Stochastische Verfahren
3.3.2.1 Monte-Carlo-Methode
3.3.2.2 Metropolis-Methode
3.3.2.3 Simulated Annealing
3.3.2.4 Evolutionäre Algorithmen
3.4 Statistische Verfahren zur Modellbildung
3.4.1 Design of Experiments (DoE)
3.4.2 Bayesianische und Kriging-Verfahren
3.4.3 Design and Analysis of Computer Experiments (DACE)
3.5 Mehrzieloptimierung

4 Optimierung von Hybridfahrzeugen mit Hilfe eines Simulationsmodells
4.1 Verbindung von Simulationsmodell und Optimierungsverfahren
4.1.1 Modellkomponenten
4.1.2 Ablauf der Simulation
4.1.3 Ablauf der Optimierung
4.2 Eigenschaften des Optimierungsproblems
4.2.1 Optimierungszielgrößen
4.2.2 Relevante Fahrzeug- und Optimierungsparameter
4.2.3 Randbedingungen
4.2.4 Beschaffenheit des Suchraums

5 Auswahl geeigneter Optimierungsverfahren
5.1 Auswahlkriterien
5.2 Bewertung der Verfahren
5.3 Implementierung der ausgewählten Verfahren
5.3.1 Evolutionäre Algorithmen
5.3.2 Modellbildende Verfahren
5.4 Leistungsvergleich der ausgewählten Verfahren
5.4.1 Evolutionäre Algorithmen
5.4.2 Modellbildende Verfahren
5.5 Zusammenfassung und weiteres Vorgehen

6 Auslegung von Hybridkomponenten für Fahrzeuge der Kompaktklasse
6.1 Komplexitätsreduzierung durch Bildung von Fahrzeuggruppen
6.2 Aufwands-Nutzen-Analyse
6.3 Auswirkungen von Standardisierungsmaßnahmen

7 Fazit und Ausblick

Literaturverzeichnis

Anhang
A. Abbildungen mit Originaldaten
B. Gruppeneinteilung und Daten der Kompaktklassefahrzeuge

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Kapitel 1 Einführung

Eine zentrale Herausforderung für die Automobilindustrie stellt in den nächsten Jahren und Jahrzehnten die Verbrauchsreduzierung von Kraftfahrzeugen dar. Gleichzeitig wird eine stärkere Unabhängigkeit von fossilen Brennstoffen gefordert. Diese Entwicklung lässt sich sowohl ökologisch als auch ökonomisch begründen.

Es dürften kaum noch Zweifel bestehen, dass das in der letzten Zeit verstärkt ins öffentliche Bewusstsein gerückte Phänomen der Klimaerwärmung von Kohlendioxid (CO2) und weiteren Treibhausgasen verursacht wird. Die Entstehung von CO2 ist unmittelbar vom Kraftstoffverbrauch eines Fahrzeugs abhängig und kann nicht wie andere Schadstoffe (CO, NOX, SOX, Feinstaub u. a.) im Katalysator nachbehandelt bzw. gefiltert werden. Auch andere negative Auswirkungen auf die Umwelt wie Smog und erhöhte Ozonbelastung werden zu einem gewissen Teil von Fahrzeugemissionen mitverursacht [RRV06, S. 172][Åhm01, S. 973f.].

Zusätzlich zu den ökologischen Notwendigkeiten lässt sich ein sparsamer Umgang mit der nicht- erneuerbaren Ressource Erdöl auch ökonomisch begründen. Abbildung 1.1 zeigt, dass bereits ab dem Jahr 2030 - selbst unter Einbeziehung schwer förderbaren Erdöls - der heutige Umfang der Ölförderung nicht aufrechtzuerhalten ist. Berücksichtigt man das rasante Wirtschaftswachstum von Staaten wie Indien oder China, wird eine Verknappung des Erdöls und damit massive Preis- steigerungen schon viel früher wahrscheinlich [Ger05, S. 2]. Die Abhängigkeit der Automobile von fossilen Energieträgern wird jedoch kurz- bis mittelfristig andauern, da alternative Ener- gieträger wie Strom oder Wasserstoff frühestens in den Jahren 2015 bis 2020 sowohl serienreif als auch bezahlbar sein werden [Bie04, S. 3]. Bei einer entsprechenden Weiterentwicklung der Batterie- und Brennstoffzellentechnolgie sind diese Antriebskonzepte einem Verbrennungsmo- tor vorzuziehen, da sie keine schädlichen Abgase ausstoßen und einen höheren Wirkungsgrad aufweisen [Åhm01, S. 986f.]. Auch der Betrieb von konventionellen Verbrennungsmotoren mit regenerativen CO2-neutralen Kraftstoffen wie Biodiesel oder Ethanol wird kurz- bis mittelfris- tig keine ernsthafte Alternative darstellen, da maximal 10 % des Bedarfs gedeckt werden könn- ten [Int07, S. 83].

Aus den genannten ökologischen und ökonomischen Gründen wurden in vielen Staaten gesetzliche Regelungen zur Beschränkung von Emissionen eingeführt. Zusätzlich zur bestehenden Emissionsgesetzgebung wird beispielsweise zum 1. September 2009 die strenge Euro-5-Norm in Kraft treten. Zusätzlich wird zur Zeit von der EU die Beschränkung des CO2-Ausstoßes für Neufahrzeuge auf durchschnittlich 120 g/km bis 2012 diskutiert [Bie04, S. 2].

Einen Kompromiss aus vorhandener Infrastruktur, zeitnaher technischer Realisierbarkeit und dennoch deutlichem Einsparpotential stellen elektrische Hybridfahrzeuge dar. Hierbei handelt es sich um den kombinierten Antrieb eines Fahrzeugs mit Elektro- und Verbrennungsmotor.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.1: Weltweite Erdölförderung zwischen 1900 und 2150 [Ger05].

Dadurch können Verbrauchseinsparungen von 15-25 % ermöglicht werden. Ein konventionel- ler Verbrennungsmotor ist für den Normalbetrieb überdimensioniert. Dies ist notwendig, um alle Anforderungen an Beschleunigungs- und Steigvermögen zu erfüllen. Im Normalbetrieb kann der Verbrennungsmotor daher im Allgemeinen nicht im optimalen Betriebspunkt arbei- ten [MP06, S. 64]. Der Vorteil von Hybridfahrzeugen liegt darin begründet, dass diejenige An- triebsform bevorzugt zum Einsatz kommt, die im jeweiligen Moment über den besseren Wir- kungsgrad verfügt. Ineffiziente Teillastbereiche des Verbrennungsmotors können so vermieden werden [Bie98].

Die Integration und Abstimmung der Hybridkomponenten in einem bestehenden Antriebsstrang hat weitreichende Auswirkungen auf das Gesamtsystem und ist daher eine sehr komplexe Auf- gabe. Um Systemanforderungen frühzeitig berücksichtigen und die Komponentenentwicklung bestmöglich abstimmen zu können, werden bei der Robert Bosch GmbH Simulationsstudien un- terschiedlicher Fahrzeuge und Hybridkonfigurationen modellgestützt durchgeführt [KMS+06]. Hierbei handelt es sich um einen sehr zeitaufwändigen Simulationsprozess und schon eine klei- ne Anzahl zu variierender Parameter erzeugt eine Vielzahl an Kombinationsmöglichkeiten. Das primäre Ziel dieser Arbeit ist daher, für zukünftige Simulationsstudien ein effizientes Optimie- rungsverfahren zu implementieren, welches die zur Verfügung stehende Rechenzeit bestmöglich ausnutzt, um möglichst verbrauchsarme Hybridvarianten zu ermitteln.

Es stellt sich jedoch die Frage, ob eine reine Verbrauchsminimierung zielführend ist und zu realistischen Ergebnissen führt. Entscheidend für den Erfolg oder Misserfolg eines Hybridfahr- zeugs am Markt ist die erwartete Amortisationszeit des Aufpreises, der durch die zusätzlichen Hybridkomponenten entsteht. Die grundsätzliche Kaufbereitschaft der Kunden scheint gege- ben zu sein [Spi07d], jedoch hängt der Absatz von Hybridfahrzeugen wesentlich von der Höhe der Spritpreise, dem Aufpreis des Hybridsystems, dem Verbrauchseinsparpotential sowie ge- setzgeberischen Vorgaben ab. Offensichtlich waren 1997 die Rahmenbedingungen für den Audi Duo, ein Hybridfahrzeug auf Basis des A4 Avant, zu schlecht um sich am Markt zu etablie- ren [Sch06, S. 1]. Obwohl sich der Rohölpreis in den letzten fünf Jahren mehr als verdoppelt hat, würden sich beispielsweise die Mehrkosten von 3000 US-$ eines Honda Accord Hybrid für einen US-amerikanischen Käufer erst nach ca. 10 Jahren amortisieren. Trotz versuchter Abhilfe durch großzügige Rabatte stagniert der Marktanteil von Hybridfahrzeugen bei ca. 2 % [Spi07c]. Um höhere Marktanteile zu erreichen, wird es von zentraler Bedeutung sein, Hybridsysteme zu möglichst geringen Mehrkosten anbieten zu können. Daraus ergibt sich die zweite Zielsetzung dieser Arbeit, welche in einer Aufwands-Nutzen-Analyse der automobilen Kompaktklasse mit Hilfe des aus der ersten Zielsetzung resultierenden Optimierungsverfahrens besteht. Es sollen möglichst effiziente Parameterkombinationen für die Hybridkomponenten ermittelt und somit der Zielkonflikt zwischen möglichst hohen Verbrauchseinsparungen bei gleichzeitig möglichst geringen Mehrkosten aufzeigt werden.

Ein weiterer wichtiger Einflussfaktor auf die Herstellungskosten eines Hybridsystems sind die produzierten Stückzahlen. Höhere Produktionsstückzahlen eines homogenen Guts führen im Allgemeinen u. a. durch Erfahrungskurveneffekte zu einer Stückkostendegression („Economies of Scale“ ). Je einheitlicher das Bedarfsspektrum einer Fahrzeugklasse mit verbrauchssenkenden Hybridkomponenten abgedeckt werden könnte, desto günstiger ließen sich diese produzieren. Daher ist es das abschließende Ziel dieser Arbeit, die Potentiale zur Komponentenstandardi- sierung in der Kompaktklasse unter Verwendung des ausgewählten Optimierungsverfahrens zu evaluieren.

Im Folgenden wird beschrieben, wie die genannten Ziele und Herausforderungen in dieser Arbeit umgesetzt werden. In Kapitel 2 werden zunächst die Grundlagen von elektrischen Hybridfahrzeugen erläutert. Nach einer Beschreibung der notwendigen Zusatzkomponenten werden die grundlegenden Antriebsstrangkonzepte von Hybridfahrzeugen sowie die in der Literatur vorgenommene Unterscheidung der Leistungsklassen vorgestellt.

Kapitel 3 gibt einen breiten Überblick über quantitative Optimierungsverfahren. Die Klassifi- zierung in analytische, numerisch-deterministische und numerisch-stochastische Verfahren hat sich dabei als geeignetes, trennscharfes Kriterium erwiesen. Verfahren der statistischen Mo- dellbildung werden in einer weiteren Kategorie dargestellt und als Optimierungsverfahren im weitere Sinne behandelt.

Um die Vielzahl von Hybridkonzepten und -auslegungen möglichst fundiert bewerten zu kön- nen, wird im Projekt Hybridsysteme der Robert Bosch GmbH ein Simulationsmodell auf der Basis von MATLAB / SIMULINK und ADVISOR („Advanced Vehicle Simulator“ ) verwendet. Das Modell und die unter dem Gesichtspunkt der Verbrauchsminimierung resultierende Pro- blemstruktur werden in Kapitel 4 beschrieben. Es wird untersucht, ob neben der Verbrauchs- minimierung weitere Zielgrößen lohnenswert erscheinen, welche Optimierungsparameter rele- vant und beeinflussbar sind und welche konstruktions- und leistungsbedingten Restriktionen den Suchraum beschränken.

Die Erkenntnisse aus den Kapiteln 3 und 4 werden in Kapitel 5 zusammengeführt, um ein Optimierungsverfahren zu bestimmen, welches die zeitaufwändige Suche nach verbrauchsgünstigen Komponentendimensionierungen bestmöglich verkürzt. Eine Vorauswahl von Verfahren wird an einem ADVISOR-Referenzfahrzeug getestet und deren Leistungen verglichen. Nach Abwägung von Vor- und Nachteilen der Verfahren folgt die Entscheidung, welche Methode für die weiteren Simulationsexperimente eingesetzt werden soll.

Diese Entscheidung, die in Kapitel 6 umgesetzt wird, soll es ermöglichen, für die gesamte Bandbreite der automobilen Kompaktklasse eine unter den gegebenen Zielgrößen optimale Dimensionierung der Hybridkomponenten zu bestimmen. Da eine individuelle Abstimmung auf jedes einzelne Fahrzeug immens hohe Kosten verursachen würde, zielen weitere Untersuchungen auf Möglichkeiten zur Standardisierung von Hybridkomponenten ab. Abgeschlossen wird die Arbeit durch eine Diskussion und Zusammenfassung der Ergebnisse.

Kapitel 2 Aufbau und Funktionsweise von Hybridfahrzeugen

Dieses Kapitel gibt einen Überblick über den aktuellen Stand der Technik im Bereich der Hybridfahrzeuge. Es werden die im Vergleich zu einem herkömmlichen Antriebsstrang zusätzlich notwendigen Komponenten erläutert sowie deren Dimensionierung und Zusammenspiel in den erfolgsversprechendsten Antriebsstrangtopologien beschrieben.

2.1 Grundlagen

2.1.1 Begriffsbestimmung

Im Allgemeinen wird unter einem Hybridantrieb die Kombination zweier Antriebsarten bzw. Energieträger für beliebige Antriebe verstanden. Bezogen auf Kraftfahrzeuge bestehen vielfäl- tige Möglichkeiten einen Verbrennungsmotor anzutreiben, z. B. mit Benzin, Dieselkraftstoff, Wasserstoff, Erd-, Bio-, Flüssiggas oder einer Kombination daraus. Neuere Ansätze (z. B. Brenn- stoffzellen betrieben mit Wasserstoff) versuchen, die chemische Energie zunächst in elektrische Energie umzuwandeln und mit dieser einen Elektromotor zu betreiben. Andere Ansätze inte- grieren zusätzliche Komponenten, welche überflüssige Energie zwischenspeichern und zu einem geeigneten Zeitpunkt wieder abgeben.

Durch die Verbrennung von Erd-, Bio- und Flüssiggas anstatt der üblichen Kraftstoffe kann nur eine geringfügige Reduzierung des CO2-Ausstoßes erreicht werden. Daneben benötigt die Nutzung von Wasserstoff als Antriebstechnik noch eine längere Entwicklungszeit. Deshalb soll- ten mittelfristig andere ressourcenschonende Verfahren zum Einsatz kommen. Einen vielver- sprechenden Ansatz zur Verbrauchs- und Emissionsreduzierung stellen sogenannte elektrische Hybridfahrzeuge (englisch: Hybrid Electric Vehicle (HEV)) dar, welche sowohl über einen Ver- brennungsmotor als auch über eine oder mehrere elektrische Maschinen (EM) verfügen. Als Energiespeicher werden ein Tank für den fossilen Brennstoff sowie üblicherweise eine Batte- rie (teilweise auch Kondensatoren) für den elektrischen Antrieb installiert [MP06, S. 64]. Die Attraktivität dieses Ansatzes gegenüber herkömmlichen Antriebssträngen besteht in den kom- plementären Drehmomentcharakteristiken beider Antriebsaggregate. Während die elektrische Maschine bereits bei niedrigen Drehzahlen das maximale Drehmoment zur Verfügung stellt, ist dies bei einem Verbrennungsmotor erst bei höheren Drehzahlen der Fall (siehe Abb. 2.1). Zusätzlich zu den besseren fahrdynamischen Eigenschaften bestehen trotz des unvermeidbaren Mehrgewichts enorme Potentiale zur CO2-Einsparung durch die Rückgewinnung von Bremsenergie (Rekuperation) und die Abschaltung des Verbrennungsmotors im Stillstand und während des elektrischen Fahrens [KMS+06, S. 1f.].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.1: Drehmoment in Abhängigkeit von der Drehzahl bei Elektro- und Ver- brennungsmotor am Beispiel des Porsche Cayenne Hybrid [Hei07].

Auf Grund der beschriebenen Vorteile soll sich die Betrachtung neuer Antriebskonzepte im Folgenden auf elektrische Hybridfahrzeuge beschränken.

2.1.2 Zusatzkomponenten des hybriden Antriebsstrangs

Im Vergleich zu einem herkömmlichen Antriebsstrang benötigen HEV-Antriebe zusätzlich einen elektrischen Antrieb und einen zugehörigen Energiespeicher. Des Weiteren ist eine Betriebsstrategie zur Steuerung der Antriebsstrangkomponenten erforderlich. Diese drei Begriffe sollen im Folgenden kurz beschrieben werden.

Elektrische Maschine

Im Gegensatz zu einem Verbrennungsmotor kann eine elektrische Maschine sowohl motorisch als auch generatorisch betrieben werden. Falls vom Fahrer Vortrieb gewünscht wird, kann sie im Falle des Parallelhybrids den Verbrennungsmotor unterstützen oder - je nach Dimensionierung der Komponenten und Ladezustand der Batterie - eigenständig das Fahrzeug beschleunigen. Der generatorische Zustand liegt in zwei Fällen vor. Einerseits kann die bei einer Verzögerung des Fahrzeugs freigesetzte Energie zurückgewonnen werden, indem mit der überschüssigen Bewegungsenergie die elektrische Maschine angetrieben wird (Rekuperation). Zum anderen kann der Verbrennungsmotor die E-Maschine antreiben und somit die Batterie laden. Letzteres ist nur sinnvoll, falls sich der Verbrennungsmotor in einem effizienten Betriebspunkt befindet und die Batterie einen niedrigen Ladezustand aufweist [KMS+06, S. 8].

Für die Verwendung in Hybridfahrzeugen kommen hauptsächlich zwei Typen von elektrischen Maschinen in Frage: Die Permanenterregte Synchronmaschine (PSM) und die Asynchrone Ma- schine (ASM). Eine Beschreibung beider EM-Konzepte findet sich beispielsweise in [Böh02].

Der übliche Anwendungsbereich der PSM liegt bei ca. 3 bis 60 kW. Im Vergleich zu allen an- deren E-Maschinen-Konzepten besitzt sie die höchste Leistungs- und Drehmomentdichte (4- 8 kW / l und 15-25 Nm / l) sowie den höchsten Wirkungsgrad (90-98 %) [Pug06, S. 5]. Daher wird die PSM bei strengen Bauraumanforderungen, wie sie in Personenkraftwagen vorliegen, bevorzugt eingesetzt. Die PSM ist jedoch auf Grund der eingesetzten Dauermagnete und einer komplexeren Rotorbauweise kostenintensiver als eine ASM und nicht so robust. ASM verfügen zwar über eine geringere Leistungsdichte, sind dagegen aber besonders bei hohen Leistungen günstiger in der Produktion. Der übliche Anwendungsbereich liegt zwischen 30 und 400 kW, daher eignen sich ASM besonders für den weniger bauraumbeschränkten Nutzfahrzeugbereich. Dabei ist zu beachten, dass mit höheren EM-Leistungen auch höhere Spannungen und Ströme einhergehen. Die Stromtragfähigkeit der Leistungselektronik muss hierfür ausgelegt sein, was bei höheren Leistungen zusätzliche Mehrkosten verursacht [FSK05, S. 763f.].

Energiespeicher

HEV benötigen ein System zur Energiespeicherung, um die im generatorischen Betrieb der elek- trischen Maschine erzeugte Energie zu einem günstigen Zeitpunkt wieder abgeben zu können. Dieses System muss insbesondere bei der Rekuperation hohe Leistungen aufnehmen können. Primäre Anforderungen sind eine möglichst hohe Energie- und Leistungsdichte, um eine große Reichweite für das rein elektrische Fahren bei geringem Zusatzbauraum und -gewicht zu ermög- lichen. Weitere Auswahlkriterien sind u. a. Kosten, Umweltverträglichkeit, Betriebstemperatur und Selbstentladung [Bie98].

Nickel-Metallhydrid (NiMH) und Lithium-Ionen (LiIon) sind heutzutage die gängigsten Batte- rietechnologien. Bisher werden (z. B. im Toyota Prius) hauptsächlich NiMH-Batterien in Hy- bridfahrzeugen eingesetzt. Diese bieten die Vorteile einer hohen Betriebssicherheit und Ver- fügbarkeit sowie einer Recyclingfähigkeit. Technologisch sind NiMH-Batterien jedoch so gut wie ausgereizt und werden daher in Zukunft sehr wahrscheinlich durch LiIon-Batterien ersetzt. Diese haben zwar noch nicht die vollständige Serienreife erreicht, bieten aber jetzt schon ei- ne höhere spezifische Energie (65 Wh/kg vs. 40-60 Wh/kg bei NiMH), eine höhere spezifische Leistung (1,5 kW/kg vs. 0,6-1,1 kW/kg bei NiMH) sowie eine geringere Selbstentladung. Nach- teile dieser Technologie sind ein komplexeres Batteriemanagement und ebenfalls hohe Anschaf- fungskosten [Sch06, S. 11]. Das thermisch kritische Kathodenmaterial zwang Toyota in jüngster Vergangenheit die für 2008 geplante Einführung des neuen Prius-Modells mit LiIon-Batterien auf das Jahr 2011 zu verschieben [Spi07b]. Dies zeigt, dass die LiIon-Batterietechnologie für den Einsatz in Hybridfahrzeugen noch weitere Entwicklungsarbeit benötigt.

Weitere Alternativen sind Hochtemperatursysteme, wie zum Beispiel Natrium-Nickelchlorid- oder Lithium-Polymer-Batterien. Diese kommen jedoch höchstens für serielle Antriebsstrangto- pologien (siehe Kapitel 2.2.1) in Frage, da die Temperierungsverluste bei unregelmäßiger Nut- zung ein einem Parallelhybrid zu groß wären und zudem die Leistungsdichte geringer ausfällt als bei NiMH- oder LiIon-Batterien. Für hohe, kurzzeitige Leistungsbedarfe sind auch Super- kondensatoren oder elektrische Schwungräder als Energiespeicher denkbar [Bie98].

Betriebsstrategie

Die Betriebsstrategie eines Hybridfahrzeugs beinhaltet Regeln, die für jede eventuell auftreten- de Situation die logische und zeitliche Abfolge der Betriebszustände vorgibt und damit die zu verwendende Antriebsart determiniert. Einflussgrößen wie Fahrerwunschmoment, Batterielade- zustand, Geschwindigkeit und Äquivalenzwert der elektrischen Energie werden durch die Be- triebsstrategie in Sollmomente für die E-Maschine und den Verbrennungsmotor übersetzt (siehe Abb. 2.2). Der Äquivalenzwert der elektrischen Energie bezeichnet hierbei die Kraftstoffmenge, die zur Erzeugung des Energieinhalts der Batterie notwendig war. Dieser Wert ist Teil der Betriebsstrategieoptimierung und ermöglicht eine Bewertung, unter welchen Umständen es günstig ist, elektrische Energie zu verbrauchen [KMS+06].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.2: Darstellung der Betriebsstrategie [KMS+06].

Die Freiheitsgrade bezüglich Antriebsstrangtopologien, Lastverteilung und Antriebswechsel- zeitpunkten sind enorm, sodass eine Vielzahl von Betriebsstrategien denkbar ist. Während für Diesel-HEV hauptsächlich die Reduzierung von Stickoxiden (NOX) angestrebt wird, ist die Ziel- größe der Betriebsstrategie bei Otto-HEV die Minimierung des Verbrauchs [MWK+05, S. 4ff.]. Die Optimierung der Betriebsstrategie erfolgt dabei stets unter diversen Nebenbedingungen wie z. B. Beschleunigungsanforderungen, Verhinderung häufiger Antriebsartenwechsel und Einhaltung des minimalen und maximalen Batterieladezustands [Bie98].

Die Betriebszustände der Komponenten eines Parallelhybrids lassen sich wie folgt klassifizieren [SSK03, S. 172]:

1. Nur Verbrennungsmotor aktiv
2. Nur E-Maschine aktiv

a) Motorisch (Elektrisches Fahren)
b) Generatorisch (Rekuperieren)

3. Beide Antriebe aktiv

a) E-Maschine motorisch aktiv (Unterstützung des Verbrennungsmotors)
b) E-Maschine generatorisch aktiv (Laden der Batterie)

Generell liegt die Verbrauchseinsparung von Hybridfahrzeugen in der Beeinflussbarkeit der Be- triebspunkte begründet, da ineffiziente Teillastbereiche des Verbrennungsmotors vermieden wer- den können. Eine Strategie, die besonders bei seriellen und leistungsverzweigenden Antriebss- trangtopologien (siehe Kapitel 2.2.1 und 2.2.3) zur Anwendung kommen kann, ist die kom- plette Entkopplung von Leistungsabgabe des Verbrenners und Leistungsanforderung. Dies hat den Vorteil, dass der Verbrenner konstant im optimalen Betriebspunkt arbeitet. Da jedoch die erzeugte Energie durch die Batterie aufgenommen, zwischengespeichert und bei Bedarf wieder abgegeben wird, entstehen zusätzliche Wirkungsgradverluste. Andererseits könnte der Verbren- nungsmotor dem aktuellen Leistungsbedarf folgen, was die Batterie zwar kaum belastet, dafür jedoch den Verbrennungsmotor in ineffizientere Betriebspunkte zwingt.

Bei Parallelhybriden (siehe Kapitel 2.2.2) ist solch eine Entkopplung nicht vollständig mög- lich, da Verbrennungsmotor und E-Maschine auf derselben Welle liegen (sogenannte Momen- tenaddition). Verbrauchseinsparungen sind mit diesem Konzept dennoch möglich, da sich die Drehmoment- und Wirkungsgradkennfelder von E-Maschine und Verbrennungsmotor sehr gut ergänzen (siehe Abb. 2.1), d. h. es kommt die Antriebsform zum Einsatz, die in der aktuellen Si- tuation am effizientesten ist. Negative Leistungsanforderungen entsprechen einer Verzögerung des Fahrzeugs und werden zur Rekuperation genutzt, welche durch die Maximalleistung der E-Maschine begrenzt ist. Bei niedrigen Geschwindigkeiten und niedrigen Leistungsanforderun- gen kann - falls die Batterie entsprechend geladen ist - rein elektrisch gefahren werden. Bei höheren Geschwindigkeiten wird der Verbrennungsmotor auf Grund von Effizienzvorteilen ak- tiviert. Teillastbereiche können hierbei vermieden werden, indem mit einem Momentüberschuss die Batterie geladen wird. Bei hohen Leistungsanforderungen kann die E-Maschine im motori- schen Betrieb hinzugeschaltet werden und somit den Verbrennungsmotor drehmomentaddierend unterstützen. Bei maximaler Leistungsanforderung durch den Fahrer, arbeiten beide Aggregate an ihrer Leistungsgrenze (sogenannter Boost-Modus), solange genug gespeicherte elektrische Energie vorhanden ist [KVS00, S. 216][KMS+06, S. 8f.].

2.2 Hybride Antriebsstrangtopologien

Die im letzten Kapitel beschriebenen Zusatzkomponenten eines hybriden Antriebsstrangs lassen sich in unterschiedlicher Anzahl und Anordnung mit den Komponenten eines konventionellen Antriebsstrangs kombinieren. Es resultiert eine Vielzahl denkbarer Antriebsstrangtopologien, von denen im Folgenden die grundlegenden Strukturen vorgestellt werden sollen.

2.2.1 Serieller Hybridantrieb

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Abbildung 2.3: Serielle und Seriell-Parallele Hybrid-Antriebsstrangtopologien.

Der serielle Hybridantrieb (kurz: S-HEV) zeichnet sich durch eine Entkopplung von Verbrennungsmotor und Fahrzeugantrieb aus (siehe Abb. 2.3a). Zunächst wird die Bewegungsenergie des Verbrennungsmotors von einem Generator (EM1) in elektrische Energie umgesetzt. Der Pulswechselrichter (PWR) wandelt die Leistung gemäß Fahrerwunsch und versorgt die zweite E-Maschine (EM2), welche für den Antrieb der Räder verantwortlich ist. Im Gegensatz zum Parallelhybrid wirkt nur ein Aggregat auf die Abtriebswelle [Gel06, S. 32].

Der Vorteil dieser Triebstranganordnung ist die freie Wahl des Betriebspunkts des Verbrennungs- motors, solange die angeforderte elektrische Energie bereitgestellt wird. Je nach Betriebsstrate- gie (siehe Kapitel 2.1.2) kann der Verbrenner in seiner Leistung dem aktuellen Bedarf folgen oder gleichmäßig im effizientesten Betriebspunkt arbeiten und überschüssige Energie in der Batterie speichern. Letztere Variante ermöglicht - ausgenommen von NOX - besonders nied- rige Emissionen [Bie98]. Es ist zu beachten, dass beide E-Maschinen groß genug dimensioniert sein müssen, um sowohl die Leistung des Verbrennungsmotors aufnehmen als auch wieder abge- ben zu können. Dies hat den Vorteil, dass auch starke Fahrzeugverzögerungen rekuperiert wer- den können. Die Nachteile durch hohe Kosten, Bauteilgröße und hohes Mehrgewicht dürften jedoch überwiegen¹. Zudem ist der Gesamtwirkungsgrad des Antriebsstrangs durch die zahl- reichen Energiewandlungsvorgänge deutlich reduziert [Kle03, S. 7]. Daher ist der Einsatz in Personenkraftwagen, obwohl von Chevrolet für das Modell „Volt“ angekündigt [Spi07e], eher fragwürdig. Ein lohnender Einsatzbereich liegt vielmehr bei schweren Nutzfahrzeugen, wie zum Beispiel diesel-elektrischen Antrieben in Lokomotiven [RRV06, S. 178].

Eine Erweiterung des seriellen Konzepts stellt der Seriell-Parallele Hybrid (kurz: SP-HEV) dar. Der Unterschied zum seriellen Triebstrangaufbau liegt in der Kupplung, welche beide E- Maschinen verbindet (siehe Abb. 2.3b). Ist die Kupplung geöffnet, verhält sich das System wie ein herkömmliches S-HEV. Bei geschlossener Kupplung kann der Verbrennungsmotor seine Leistung direkt an die Antriebsachse weitergeben, was einer parallelen Antriebsstrangtopolo- gie entspricht (siehe Kapitel 2.2.2). Die diskutierten Nachteile bezüglich Kosten, Bauraum und Mehrgewicht bleiben grundsätzlich bestehen. Hinzu kommen jedoch die Vorteile einer besseren Wirkungsgradkette durch Drehmomentaddition von Verbrenner und E-Maschine beim Boosten sowie eine Schonung der Batterie durch direkte Weitergabe der Verbrennungsmotorleistung.

2.2.2 Paralleler Hybridantrieb

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.4: Parallele Hybrid-Antriebsstrangtopologien.

Im Unterschied zu den seriellen und leistungsverzweigenden Konzepten wird bei parallelen Antriebsstrangtopologien nur eine E-Maschine benötigt (siehe Abb. 2.4). Sie wird sowohl ge- neratorisch als auch motorisch betrieben und ist mechanisch mit der Kurbelwelle des Verbren- nungsmotors verbunden². Es handelt sich um eine Momentenaddition, bei der die Drehmomente der Antriebe frei variiert werden können und die Drehzahlen in einem festen Verhältnis stehen [Bie98]. Somit ist es möglich, das Fahrzeug mit beiden Aggregaten kombiniert anzutreiben, wo- durch sowohl Verbrennungsmotor als auch E-Maschine kleiner als in den bereits vorgestellten Konzepten dimensioniert werden können [MP06, S. 65]. Auch eine rein mechanische Kraftüber- tragung vom Verbrennungsmotor zur Abtriebswelle ist beim Parallelhybrid möglich, falls die Kupplung (K) bzw. die Kupplungen (K1 und K2) geschlossen sind und die E-Maschine keine Leistung abgibt oder generiert. Der Gesamtwirkungsgrad liegt dadurch höher als bei den konkur- rierenden Topologien. Allerdings wirkt sich die direkte Anbindung an den Verbrennungsmotor nachteilig auf dessen Betriebspunktwahl aus, da die Drehzahl durch die Getriebeübersetzung und die Fahrgeschwindigkeit vorgegeben wird. Bei Verwendung eines Stufengetriebes kann der Betriebspunkt daher nicht frei gewählt werden. Der Entwicklungs- und Implementierungsauf- wand der parallelen Antriebsstrangtopologie für Personenkraftfahrzeuge ist im Vergleich zu seriellen und leistungsverzweigenden Konzepten niedrig, da geringere elektrische Leistungen verbaut werden müssen und die Anpassungen bei der Umstellung eines konventionellen Antriebsstrangs moderat ausfallen [Sch06, S. 8].

Nach der allgemeinen Beschreibung im letzten Absatz sollen nun drei Varianten der parallelen Hybridtopologie vorgestellt werden.

Parallelhybrid mit einer Kupplung

Die Parallelhybrid-Variante mit nur einer Kupplung wird abgekürzt als P1-HEV bezeichnet (siehe Abb. 2.4a). Da in dieser Konstellation die E-Maschine (EM) starr mit der Kurbelwelle des Verbrennungsmotors (VM) verbunden ist, muss sowohl beim Rekuperieren als auch beim elektrischen Fahren das Schleppmoment des Verbrenners aufgebracht werden. Diese Hybrid- Topologie eignet sich vor allem für die Leistungsklasse der Mild Hybrids (siehe Kapitel 2.3), welche ohnehin kein elektrisches Fahren vorsieht. Beispiele für den Einsatz der P1-HEV-To- pologie sind die Fahrzeuge Honda Insight und Honda Civic IMA³ („Integrated Motor Assist“ ) [RRV06, S. 175f.].

Parallelhybrid mit zwei Kupplungen

Elektrisches Fahren und Rekuperieren sind in vollem Umfang möglich, sobald man den Auf- wand einer zusätzlichen Kupplung (K1) zwischen Verbrennungsmotor und E-Maschine in Kauf nimmt (siehe Abb. 2.4b). Tritt einer der beiden genannten Zustände auf, wird die Kupplung K1 geöffnet, sodass der Verbrennungsmotor vom restlichen Antriebsstrang abgekoppelt wird. So- mit muss das Schleppmoment des Verbrennungsmotors nicht von der E-Maschine aufgebracht werden [RRV06, S. 176]. Die größten Herausforderungen dieses Konzepts bestehen in der Un- terbringung der zweiten Kupplung auf kleinstem Bauraum sowie im Neustart des Verbrennungs- motors aus dem elektrischen Fahren heraus ohne Komforteinbußen [Kle03, S. 6][Spi07a]. Ent- sprechend der Anzahl der Kupplungen wird diese Topologie als P2-HEV bezeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.5: „Through the Road“ -Parallelhybrid.

„Through the Road“ -Parallelhybrid

Eine weitere Variante ist in Abbildung 2.5 dargestellt. Seine Bezeichnung erhält der „Through the Road“ -Parallelhybrid auf Grund der Tatsache, dass in diesem Konzept Verbrennungsmotor und E-Maschine nicht miteinander verbunden sind sondern auf unterschiedliche Achsen einwir- ken. Die Zugkraftaddition, welche im physikalischen Sinne eine Momentenaddition ist, wird folglich über die Straße realisiert [Bie98]. Rekuperation und elektrisches Fahren erfolgen bei frontgetriebenen Fahrzeugen über die elektrische Hinterachse, während der unveränderte konventionelle Antriebsstrang die Vorderachse antreibt. Sind beide Aggregate motorisch aktiv, entspricht dies einem Allradantrieb. Die Momente zwischen Vorder- und Hinterachse lassen sich dabei innerhalb der jeweiligen Leistungsgrenzen frei variieren [RRV06, S. 180]. Im Vergleich zu den beiden zuvor beschriebenen Parallelhybrid-Topologien ist das Drehmoment der elektrischen Achse eines „Through the Road“ -Parallelhybrids bei hohen Geschwindigkeiten auf Grund des fehlendes Getriebes geringer. Zum Start des Verbrennungsmotors wird zudem ein Starter mit Start/Stopp-Automatik benötigt, da die vom Verbrennungsmotor entkoppelte E-Maschine hierfür nicht mehr zur Verfügung steht [EKKM07, S. 6].

2.2.3 Leistungsverzweigender Hybridantrieb

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.6: Leistungsverzweigte Hybrid-Antriebsstrangtopologien.

Kernelement der leistungsverzweigenden Hybridtopologie ist das in Abbildung 2.6 mit PG bezeichnete Planetengetriebe. In einem Planetengetriebe determinieren die Drehzahlen zwei- er Wellen immer die Drehzahl der dritten Welle. Im Basis-PS-HEV, wie er von Toyota im Modell Prius in Serie gebracht worden ist, kann die Leistung des Verbrennungsmotors einer- seits über einen elektrischen Pfad und andererseits über einen mechanischen Pfad transportiert werden (siehe Abb. 2.6a). Im elektrischen Pfad wird eine E-Maschine (EM1) angetrieben, die hauptsächlich als Generator fungiert. Die hierdurch erzeugte elektrische Energie wird über die Leistungselektronik an die zweite E-Maschine (EM2) weitergegeben, welche auf den Abtrieb wirkt. Bei Bedarf dient die Batterie als Energiepuffer auf diesem Pfad. Der Leistungsfluss vom Verbrennungsmotor über das Planetengetriebe zur Abtriebswelle wird als der mechanische Pfad bezeichnet. Abhängig von der Drehzahl des Verbrennungsmotors und der Bremsleistung des Generators berechnet sich die Drehzahl für die Abtriebswelle. Bei geladener Batterie ist über den elektrischen Pfad sowohl Boosten als auch rein elektrisches Fahren möglich.

Der größte Vorteil des leistungsverzweigenden Konzepts liegt in der stufenlos einstellbaren Übersetzung (sogenanntes Continuous Variable Transmission (CVT)-Verhalten) und der damit verbundenen Einsparung von Kupplung und Getriebe. Dies führt zu hohem Fahrkomfort ohne Zugkraftunterbrechung. Das Motorengeräusch ist hierbei nicht mehr von der tatsächlichen Be- schleunigung abhängig, was bei europäischen Kunden zu einer stark eingeschränkten Akzeptanz führt. Die in Kapitel 2.2.1 diskutierte Problematik der elektrischen Energieübertragung wurde zwar abgeschwächt, besteht aber im Grunde fort, da immer noch ein beträchtlicher Teil der An- triebsenergie über den elektrischen Pfad transportiert werden muss [Kle03, S. 8]. Ähnlich zum seriellen Hybrid werden leistungsstarke E-Maschinen benötigt und der Gesamtwirkungsgrad verringert sich durch die zahlreichen Energieumwandlungsvorgänge [RRV06, S. 179].

Eine komplexere leistungsverzweigende Antriebsstrangtopolgie stellt das mehrstufige PS-HEV- Konzept dar (siehe Abb. 2.6b). Es verfügt über zwei elektrische CVT-Fahrstufen und eine rein mechanische Übersetzung. Durch die Kombinationsmöglichkeiten der Ein- und Ausgangswel- len der Planetengetriebe (PG1 und PG2) kann eine Wirkungsgradverbesserung bei einer großen Spreizung von Fahrgeschwindigkeiten erzielt werden. Die direkte mechanische Gangstufe wird durch die Verwendung von zwei Kupplungen (K1 und K2) ermöglicht [KMS+06, S. 4].

2.3 Leistungsklassen des Parallelhybrids

Wie in Kapitel 2.2.1 beschrieben wurde, benötigt ein serieller Hybrid immer eine leistungs- starke E-Maschine für den Antrieb des Fahrzeugs sowie ein Sekundäraggregat als Generator [LD06, S. 117]. Auch leistungsverzweigende Hybride lassen wenig Spielraum zur Komponen- tendimensionierung. Im Gegensatz hierzu lassen sich Parallelhybride entsprechend ihrer elektri- schen Leistung in unterschiedliche Hybridisierungsgrade unterteilen. Diese werden im Folgen- den erläutert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2.1: Funktionen und Nutzen der drei Parallelhybrid-Leistungsklassen.

Start/Stopp-System als Vergleich

Ein reines Start/Stopp-System gilt noch nicht als Hybrid. Es ist eine leistungsschwächere und gleichzeitig kostengünstigere Variante. Dieses System vereint Anlasser und Lichtmaschine und stellt daher noch keine parallele hybride Struktur dar, auch wenn sie manchmal so bezeichnet wird [Böc06, S. 86]. Kombiniert mit einer Start/Stopp-Regelung wird der Verbrennungsmo- tor bei Stillstand des Fahrzeugs ausgeschaltet, was CO2-Einsparungen im Neuen Europäischen Fahrzyklus (NEFZ) von ca. 4 % ermöglicht. Hybrid-Funktionen werden - bis auf Rekuperation in sehr begrenztem Ausmaß - nicht unterstützt. Die Leistung der E-Maschine liegt bei 3-6 kW ([Böc06, S. 86]: 3-5 kW; [RRV06, S. 175]: 4-6 kW), als Energiespeicher kommt eine konventio- nelle 12 V-Batterie zum Einsatz. Die Vorteile des Start/Stopp-Systems liegen daher in geringem Mehrgewicht und niedrigen Entwicklungs-, Herstellungs- und Integrierungskosten für Automobilzulieferer und -hersteller.

Mild Hybrid

Das Konzept des Mild Hybrids ist deutlich aufwändiger, da im Vergleich zum Start/Stopp- System eine leistungsstärkere E-Maschine sowie eine (zurzeit) kostspielige Hochspannungs- batterie benötigt werden. Die Leistung der E-Maschine liegt hier bei ca. 10-30 kW ([RRV06, S. 174]: 10-15 kW; [Sch06, S. 5]: 15-30 kW). Diese beiden Komponenten ermöglichen zusätz- lich zum Start/Stopp-Betrieb eine Rückgewinnung und Speicherung des Großteils der Verzöge- rungsleistung. Bei nachfolgenden Beschleunigungsvorgängen kann die gespeicherte elektrische Energie durch eine Drehmomentunterstützung für den Verbrennungsmotor (sogenannte Boost- Funktion) wieder abgegeben werden. Die genannten Funktionalitäten decken den Großteil des Hybrid-Leistungsspektrums ab (siehe Tabelle 2.1) und erzielen in Summe CO2-Einsparungen im NEFZ von ca. 15 %. Ein rein elektrisches Fahren ist mit dieser Hybrid-Leistungsklasse nicht möglich.

Strong Hybrid

Im Gegensatz zum Mild Hybrid bietet der Strong Hybrid (auch Full Hybrid genannt) die Mög- lichkeit, den Verbrennungsmotor in Niedriglast-Situationen (z. B. Stop-and-Go- und Kriechver- kehr) abzuschalten und das Fahrzeug rein elektrisch anzutreiben [Sch06, S. 5]. Somit deckt er als einziges Konzept die gesamte Bandbreite der Hybrid-Anwendungen ab (siehe Tabelle 2.1). Hierfür sind jedoch im Vergleich zum Mild Hybrid eine stärkere E-Maschine im Bereich von 20-75 kW ([RRV06, S. 174]: 30-50 kW; [Sch06, S. 5]: 20-75 kW) sowie eine größer dimen- sionierte Hochspannungsbatterie notwendig, was die Herstellungskosten erhöht. Abhängig von Fahrzeugklasse, Komponentendimensionierung und Lastprofil lässt sich eine Strecke von ca. 4- 9 km rein elektrisch, d. h. als Zero Emission Vehicle (ZEV), bewältigen. Um die Mehrkosten gegenüber einem Mild Hybrid zu rechtfertigen, steht häufig eine deutliche Leistungssteigerung gegenüber konventionellen Fahrzeugen und damit ein erhöhter Fahrspaß im Vordergrund (siehe Tabelle 2.1). Andererseits kann eine höhere elektrische Antriebsleistung auch für ein Downsi- zing, d. h. eine geringere Dimensionierung, des Verbrennungsmotors genutzt werden [RRV06, S. 174]. Elektrisches Fahren zusammen mit Start/Stopp-Automatik, Rekuperation, Drehmomentunterstützung und Downsizing des Verbrennungsmotor ergibt für den Strong Hybrid ein CO2-Einsparpotential im NEFZ von ca. 25 %.

2.4 Fazit

Wie in Kapitel 1 bereits angedeutet, ist das Ziel dieser Arbeit, ein geeignetes Verfahren zur Optimierung von Hybridkomponenten zu ermitteln und dieses auf das Segment der Kompaktklassefahrzeuge anzuwenden. Nach der Präsentation der grundlegenden Komponenten, Topologien und Leistungsklassen für Hybridfahrzeuge stellt sich die Frage, welche dieser Optionen im weiteren Verlauf der Arbeit in den Simulationsstudien Verwendung finden sollte.

Die Wahl der E-Maschinen-Technologie fällt auf die PSM, da besonders in der Kompaktklas- se nur wenig Bauraum zur Verfügung steht und deswegen eine hohe Leistungsdichte unbedingt erforderlich ist (siehe Kapitel 2.1.2). Als Energiespeicher wird eine NiMH-Batterie für die Simu- lationen verwendet. Dies lässt sich mit der Verfügbarkeit, Betriebssicherheit und weitgehenden Verbreitung dieser Technologie im Hybridbereich begründen (siehe ebd.). Die Frage nach der ge- eigneten Antriebsstrangtopologie lässt sich nicht unmittelbar beantworten, da zusätzlich zu den vorgestellten Standardkonfigurationen durch unterschiedliche Anordnung und Kombination der Komponenten eine Vielzahl weiterer Topologien denkbar sind. Die 50 erfolgsversprechendsten Topologien wurden am Hybrid-Projekthaus der Robert Bosch GmbH anhand von über 30 nach Relevanz gewichteten Kriterien evaluiert [KMS+06, S. 5]. Abbildung 2.7 zeigt die Ergebnisse dieser Untersuchung bezüglich Verbrauch, Fahrspaß und Aufwand.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.7: Ergebnisse der Bewertung von Topologien im Hinblick auf Fahrspaß und Aufwand über Verbrauch [KMS+06].

Es zeigt sich, dass das SP-HEV in der Fahrspaß-Verbrauchs-Relation tendenziell die größten Vorteile aufweist, gefolgt vom P-HEV. In der Aufwands-Verbrauch-Relation dominieren sowohl PS-HEV als auch P-HEV. Für die Zwecke dieser Arbeit und im Hinblick auf die Kompaktklas- se bietet das P-HEV den besten Kompromiss aus Verbrauch, Fahrspaß und Aufwand und wird daher für die weiteren Untersuchungen als Antriebsstrangtopologie gewählt. Um in vollem Um- fang elektrisch Fahren und Rekuperieren und auch bei höheren Geschwindigkeiten eine Dreh- momentunterstützung von der E-Maschine erhalten zu können, wird die Leistungsklasse Strong Hybrid in der Variante mit zwei Kupplungen (P2-HEV) im Simulationsmodell umgesetzt (siehe Kapitel 2.2.2 und 2.3).

Kapitel 3 Optimierungsverfahren

In Kapitel 1 wurde die Notwendigkeit zur Effizienzsteigerung von Hybridfahrzeugen in Bezug auf Verbrauch und Mehrkosten begründet, wodurch der Einsatz von Optimierungsverfahren in diesem Gebiet sinnvoll erscheint. In diesem Kapitel soll ohne Berücksichtigung der spezifischen Problemcharakteristik ein Überblick über gängige Optimierungsverfahren gegeben werden. Durch die Vorstellung von Verfahren aus grundsätzlich verschiedenen Theoriebereichen soll ein möglichst breites Einsatzspektrum abgedeckt werden.

3.1 Überblick

Unter einem Optimierungsproblem versteht man üblicherweise ein System, dessen interessie- rende Zielgr öß e maximiert oder minimiert werden soll. Die Zielgröße kann verändert werden, indem die Wahl der Eingangsgr öß en variiert wird. Räumlich gesehen stellen die Eingangsgrößen einen Punkt im Suchraum dar. Der Zusammenhang zwischen Einflussgrößen und Zielgröße wird durch die Zielfunktion bestimmt. Diese muss nicht zwangsläufig als mathematische Funktions- vorschrift vorliegen. Man spricht von einem globalen Optimum eines Optimierungsproblems, wenn im gesamten Suchraum kein besserer Zielfunktionswert existiert. Ein lokales Optimum wird definiert als ein Zielfunktionswert, der zwar besser ist, als alle Punkte seiner Umgebung, jedoch kein globales Optimum darstellt. Je nach Art des Optimierungsproblems können keine oder auch sehr viele lokale Optima auftreten.

In allen folgenden Kapiteln wird eine einheitliche Notation verwendet: Die N Einflussgrößen p 1 ,..., p N werden im Parametervektor p zusammengefasst, d.h. es gilt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] determinierte Zielfunktionswert wird mit f([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) bezeichnet. Optional kann der Definiti- onsbereich der Eingangsgrößen eingeschränkt werden. Für alle N Eingangsgrößen enthält der Vektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die unteren zulässigen Grenzen und analog der Vektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die oberen zulässigen Gren- zen. Der i -te Eintrag eines Vektors [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird über die Schreibweise [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] referenziert, d. h. es gilt beispielsweise p(1) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Bei Minimierung und Maximierung handelt es sich grundsätzlich um äquivalente Problemstellungen. Durch Negation der Zielfunktionswerte können diese beiden Optimierungsprobleme gegenseitig in einander überführt werden. Daher stellt es keine Beschränkung der Allgemeinheit dar, wenn im Folgenden ausschließlich Minimierungsprobleme (wie sie in Kapitel 1 beschrieben wurden) behandelt werden.

Eine fundamentale Einschränkung für die Auswahl und Entwicklung von Optimierungsverfah- ren wurde von WOLPERT UND MACREADY (1997) beschrieben. Es lässt sich nachweisen, dass kein Verfahren existieren kann, welches alle anderen Verfahren in allen Problemklassen domi- nieren würde. Vorteile in einer speziellen Problemklasse müssen stets mit Schwächen in anderen Problemklassen „erkauft“ werden. Diese Erkenntnis ist auch als „No Free Lunch“ -Theorem be- kannt [WM97, S. 69]. Umgekehrt lässt sich hieraus schlussfolgern, dass Optimierungsverfahren mit problemspezifischem Wissen in einer speziellen Problemklasse mit hoher Wahrscheinlich- keit anderen Verfahren in diesem Bereich überlegen sind und daher bevorzugt eingesetzt werden sollten [WM97, S. 77].

Um aus der Vielzahl der existierenden Optimierungsverfahren jeweils das am besten geeignete für den angedachten Einsatzbereich auswählen zu können, empfiehlt sich eine Klassifizierung der Verfahren anhand ihrer Eigenschaften und Mindestanforderungen an die Problemstellung. Für eine Kategorisierung bieten sich u. a. folgende Unterscheidungsmerkmale an:

- Anzahl der benötigten Ableitungen
- Lokale / globale Optimumsuche
- Deterministisches / stochastisches Vorgehen
- Mit / ohne Berücksichtigung von Randbedingungen
- Anwendbar auf lineare / nicht-lineare Probleme
- Anwendbar auf konvexe / nicht-konvexe Probleme
- Verarbeitung von kontinuierlichen / diskreten Eingangsgrößen
- Populationsbasierte / nicht-populationsbasierte Suche

Es existieren zahlreiche Versuche und Vorschläge, diese Kriterien in ein konsistentes, trenn- scharfes Schema zusammenzufassen [TŽ89, S. 10ff.]. Eine allgemeingültige Klassifizierung ist jedoch durch die hohe Anzahl der unterschiedlichen Kriterien und deren Kombinationsmöglich- keiten unmöglich.

In dieser Arbeit wurde der in Abbildung 3.1 ersichtliche Ansatz umgesetzt. Die erste Unter- scheidungsebene betrifft die Existenz einer Zielfunktion in Form einer Funktionsvorschrift. Ver- fahren, die die Existenz einer solchen Zielfunktion voraussetzen, werden dem Zweig der ana- lytischen Verfahren (siehe Kapitel 3.2) zugeordnet. Im Gegensatz hierzu benötigen die numeri- schen Verfahren (siehe Kapitel 3.3) keine explizite Zielfunktion. Sie beziehen die Informationen zur Wahl neuer zu untersuchender Punkte allein aus den Zielfunktionswerten der bisher unter- suchten Punkte („Black-Box-Optimierung“ ). Die Gruppe der modellbildenden Verfahren (siehe Kapitel 3.4) beschreitet einen Mittelweg zwischen analytischen und numerischen Verfahren. Ausgehend von den bekannten Zielfunktionswerten wird versucht, den Suchraum über ein ma- thematisches Modell möglichst exakt zu approximieren und hieraus eine „Ersatz-Zielfunktion“ zu generieren. Da der Schwerpunkt dieser Verfahren hauptsächlich auf der beschriebenen Mo- dellierung des Suchraums liegt, werden sie als Optimierungsverfahren im weiteren Sinne be- zeichnet (angedeutet durch eine unterbrochene Verbindungslinie in Abb. 3.1).

Die zweite Unterscheidungsebene erlaubt eine differenziertere Einteilung innerhalb einer Grup- pe. Im Falle der analytischen Verfahren lassen sich lineare von nicht-linearen Verfahren un- terscheiden. Die Unterteilung der numerischen Verfahren erfolgt analog zu STERZING (2005) in deterministische und stochastische Verfahren [Ste05, S. 12]. Numerisch-deterministische Ver- fahren (siehe Kapitel 3.3.1) weisen unter gleichen Startbedingungen stets ein identisches Verhal- ten auf, wodurch deckungsgleiche Ergebnisse erzeugt werden. Hierbei handelt es sich größten- teils um lokal operierende Verfahren. Dagegen nutzen numerisch-stochastische Verfahren (siehe Kapitel 3.3.2) Zufallseinflüsse aus, um in bisher nicht untersuchte Bereiche des Suchraums vorzudringen. In dieser Arbeit enthält die numerisch-stochastische Kategorie nur Verfahren, die ihre Suche auf das globale Optimum ausrichten. Hierzu ist im Allgemeinen eine hohe Anzahl an Funktionsauswertungen notwendig.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.1: Klassifizierung der betrachteten Optimierungsverfahren.

3.2 Analytische Optimierungsverfahren

Die in diesem Kapitel behandelten Verfahren erfordern eine als Funktionsvorschrift vorliegende, analytische Zielfunktion. Manche Verfahren benötigen ebenfalls deren erste und teilweise sogar zweite Ableitung, um einen möglichst hohen Informationsgehalt des Optimierungsproblems zu erhalten und für die Lösungsfindung zu nutzen.

Zunächst werden zwei Verfahren der linearen Optimierung vorgestellt (siehe Kapitel 3.2.1), anschließend folgen vier Verfahren aus dem nichtlinearen Bereich (siehe Kapitel 3.2.2). Alle hier behandelten, analytischen Verfahren haben die Gemeinsamkeit, dass sie deterministisch, d. h. frei von Zufallseinflüssen, arbeiten.

3.2.1 Lineare Optimierung

Lineare Optimierungsprobleme können sehr effizient gelöst werden. Daher wird gewöhnlich zunächst überprüft, ob ein Optimierungsproblem die Linearitätsanforderung erfüllt.

Um diese Anforderung zu erfüllen, müssen sowohl Zielfunktion als auch Nebenbedingungen linear sein. Das bedeutet, dass alle Einflussgrößen die Bedingung der Proportionalität (keine Einflussgröße darf einen Exponenten verschieden von eins besitzen), der Additivität (Einfluss- größen dürfen nicht miteinander multipliziert werden) und der Teilbarkeit (Einflussgrößen müs- sen reellwertig sein) erfüllen müssen [HL04, 37ff.]. Ist dies der Fall, kann das Problem mit den nun vorgestellten Standardverfahren gelöst werden. Hebt man die Bedingung der Teilbarkeit auf und erlaubt ganzzahlige Einflussgrößen, erhält man ein sogenanntes gemischt-ganzzahliges li- neares Optimierungsproblem, welches mit heutigen Mitteln nicht mehr effizient lösbar ist [JS03, S. 5]. Auf diese Erweiterung wird im Folgenden jedoch nicht näher eingegangen.

Die allgemeine Form eines linearen Optimierungsproblems lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bekannte Größen sind. Dabei bezeichnet c den Kos- tenvektor der Zielfunktionskoeffizienten, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den Vektor der Einflussgrößen und K die Anzahl der Nebenbedingungen. Es muss K > N gelten, da es sich sonst um ein unbeschränktes Pro- blem handeln würde. Die Nebenbedingungen werden durch Gleichung 3.2 abgebildet, wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den Beschränkungsvektor darstellt. Ziel ist es, Eingangsgrößen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu finden, die das linea- re Gleichungssystem erfüllen und einen möglichst niedrigen Zielfunktionswert f([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) aufweisen. Diese Form der Darstellung deckt alle Fälle von linearen Optimierungsproblemen ab, d. h. jedes lineare Gleichungssystem kann durch einfache Umformungen in diese Normalform gebracht werden [Pap96, S. 125].

3.2.1.1 Simplex-Verfahren nach Dantzig

Das von George B. Dantzig im Jahr 1947 vorgestellte Verfahren ermöglichte erstmals die sys- tematische Lösung von linearen Gleichungssystemen [EBL03, S. 15]. Ausgehend von einem in allgemeiner Form (siehe Gleichungen 3.1 und 3.2) gegebenen linearen Optimierungsproblem lässt sich die Grundidee des Verfahrens wie folgt geometrisch veranschaulichen: Nach dem Start in einer zulässigen Ecke des durch die Nebenbedingungen erzeugten Beschränkungspolyeders werden sukzessive benachbarte Ecken durchlaufen. Das Verfahren terminiert garantiert mit der Bestimmung des globalen Optimums oder der Feststellung, dass keine zulässige Lösung exis- tiert.

Die Vorgehensweise dieses Verfahrens gliedert sich in vier Schritte [Kis04, S. 11f.]:

1. Aus den insgesamt K Nebenbedingungen werden N linear unabhängige ausgewählt. An- schließend wird ein Punkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bestimmt,fürdendiegewählten N Nebenbedingungen als Gleichung erfüllt sind.

2. Es wird überprüft, ob es sich bei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um einen zulässigen Punkt handelt, d. h. ob auch die restlichen K−N Nebenbedingungen erfüllt werden. Ist dies der Fall, wird mit (3.) fortgefahren. Andernfalls wird Schritt (1.) wiederholt und eine der N Nebenbedingungen durch eine der K −N Restriktionen ersetzt. Dabei ist zu beachten, dass die neue Nebenbedingung ebenfalls linear unabhängig von den verbleibenden N −1 Nebenbedingungen sein muss.

Innerhalb der N ausgewählten Nebenbedingungen werden nun jeweils unterschiedliche N −1 Bedingungen als Gleichung angenommen. Räumlich interpretiert entsprechen diesen Gleichungsbedingungen Hyperebenen im Suchraum, deren Schnitte die Kanten des zulässigen Bereichs bilden. So lassen sich die N Kanten ermitteln, die im Punkt p0 zusammenlaufen. Die Vektoren e1,...,eN stellen die Richtungsvektoren des zulässigen Bereichs mit Länge 1 dar, d. h. sie verlaufen auf den zuvor ermittelten Kanten (siehe Abb. 3.2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3.2: Richtungsvektoren des zulässigen Bereichs.

4. Man bildet die Skalarprodukte aus Zielfunktionsvektor c und den Begrenzungsvektoren des zulässigen Bereichs e1,...,eN. Nun kann man drei Fälle unterscheiden:

a) Sind alle Skalarprodukte positiv, existiert keine Kante, auf der man von p0 aus eine Ecke mit einem niedrigeren Funktionswert erreichen könnte. Das Optimum ist gefunden und das Verfahren kann beendet werden.
b) Ist mindestens ein Skalarprodukt gleich Null und die restlichen Skalarprodukte positiv liegt ein mehrdeutiges Optimum vor, d. h. es handelt sich nicht um eine optimale Ecke des Beschränkungspolyeders, sondern um eine oder mehrere optimale Kanten. Auch in diesem Fall kann das Verfahren terminiert werden.
c) Existieren negative Skalarprodukte, können über die entsprechenden Kanten Ecken erreicht werden, die einen niedrigeren Zielfunktionswert als p0 aufweisen und damit präferiert werden. Als nächster zu untersuchender Punkt wird die Ecke mit dem niedrigsten Zielfunktionswert gewählt. Die N −1 Hyperebenen bzw. Nebenbedingungen, welche die Kante zur neuen Ecke festlegen, werden beibehalten und die N -te Bedingung durch eine der K − N Nebenbedingungen ersetzt (unter der Voraussetzung, dass wie zuvor alle N Nebenbedingungen linear unabhängig sind). Danach wird erneut bei Schritt (1.) begonnen.

Von V. KLEE UND G. J. MINTY (1972) konnte eine exponentielle Laufzeit des Simplex-Algo- rithmus nachgewiesen werden, d. h. es sind Fälle konstruierbar, in denen der Algorithmus alle 2 K Ecken des Restriktionspolyeders überprüfen muss [KM72]. Die in der Praxis auftretenden Opti- mierungsprobleme können jedoch überwiegend in polynomialer Laufzeit gelöst werden [JS03, S. 46f.]. Obwohl das Simplex-Verfahren theoretisch gesehen eine schlechtere Laufzeit als z. B. die Innere-Punkte-Methode (siehe Kapitel 3.2.1.2) aufweist, liegt ein Vorteil des Verfahrens in der Wiederverwendung bereits bekannter Problemlösungen als Ausgangspunkt für die Lösung ähnlicher Optimierungsprobleme, wodurch die Rechenzeit verkürzt werden kann.

3.2.1.2 Innere-Punkte-Methode

Mit der von KARMARKAR (1984) vorgestellten Erweiterung des Innere-Punkte-Verfahrens [Kar84] gelang ein bedeutsamer Schritt im Wettlauf um das leistungsfähigste Verfahren zur Lö- sung linearer Optimierungsprobleme. Obwohl das Innere-Punkte-Verfahren im Vergleich zum Simplex-Verfahren (siehe Kapitel 3.2.1.1) über bessere theoretische Eigenschaften verfügt, ist derzeit noch nicht geklärt, welches der beiden Verfahren in praxisrelevanten Szenarien leistungs- fähiger ist [JS03, S. 67].

Im Gegensatz zum Simplex-Verfahren arbeitet dieses Verfahren mit Techniken der nicht-linearen Optimierung. Während das Simplex-Verfahren die Ecken des Beschränkungspolyeders nach dem globalen Optimum absucht, nähert sich das Innere-Punkte-Verfahren der Optimallösung - wie der Name besagt - aus dem Inneren des zulässigen Bereichs. Hierdurch kann eine Überprüfung der mit der Problemgröße exponentiell ansteigende Anzahl von Ecken umgangen werden [JS03, S. 68].

Die im Vergleich zu Gleichungen 3.1 und 3.2 leicht modifizierte Darstellung der allgemeinen Form des linearen Optimierungsproblems lautet wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Allgemeingültigkeit des Modells wird hiervon nicht berührt [Pap96, S. 125]. Dieses Optimierungsproblem wird auch als primales Problem bezeichnet. Im Bereich der linearen Optimierung ist jedem primalen Problem ein duales Problem zur Seite gestellt, welches zur identischen Lösung des Problems führt [JS03, S. 48]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auf Grund der Gleichungen 3.5 und 3.8 kann [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] d. h. die Gleichheit von primalem und dualem Optimierungsergebnis, nur dann erfüllt sein, wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt. Hieraus folgt, dass die Optimallösungen von Gleichungen 3.3 und 3.6 mit den Lösungen des folgenden Systems übereinstimmen [JS03, S. 73]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch die Einführung des Parameters μ > 0 lässt sich das System aus Gleichung 3.9 mit Hilfe des Newton-Verfahrens zur Bestimmung von Nullstellen lösen¹. Das modifizierte System hat die Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Startwert μ 0 wird hoch gewählt, sodass sich p(μ 0), q(μ 0) und s(μ 0) relativ leicht berechnen lassen. Anschließend wird μ sukzessive verkleinert und die entsprechenden Resultate mit dem Newton-Verfahren approximiert. Die durch die schrittweise Verkleinerung von μ entstehende Punktemenge

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wird als „zentraler Pfad“ bezeichnet. Unter Annahme gewisser Voraussetzungen lässt sich zeigen, dass im Fall von μ → 0 eine Optimallösung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] * für das primale bzw. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] *, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] * für das duale Problem resultiert [JS03, S. 75].

Es existieren verschieden Varianten des Innere-Punkte-Verfahrens, die zu jeweils unterschiedli- chen Laufzeiten in theoretischen und praxisrelevanten Betrachtungen führen. Die beste theoreti- sche Schranke wird durch das sogenannte Kurzschrittverfahren ermöglicht. Mit einer genügend √ groß gewählten oberen Grenze δ werden in dieser Variante maximal δ · N · log(1 / ε) Schritte benötigt, um eine Fehlergenauigkeit von ε zu garantieren [JS03, S. 67]. Zusätzlich zu den über- legenen theoretischen Laufzeiteigenschaften ist die Übertragbarkeit der Innere-Punkte-Methode auf nicht-lineare, konvexe Optimierungsprobleme ein weiterer Vorteil gegenüber dem Simplex- Verfahren. Ein erstaunliches Ergebnis ist, dass die beschriebene Schranke auch für diese Pro- blemklasse gilt [JS03, S. 355].

3.2.2 Nichtlineare Optimierung

Für die in diesem Kapitel behandelten Verfahren wird die in Kapitel 3.2.1 getroffene Linearitäts- anforderung an Zielfunktion und Nebenbedingungen eines Optimierungsproblems aufgehoben. Dadurch lässt sich zwar ein wesentlich breiterer Einsatzbereich von Optimierungsproblemen abdecken, jedoch müssen hierdurch eine erhöhte Problemkomplexität und damit längere Re- chenzeiten in Kauf genommen werden. Im Fall von nicht-konvexen Optimierungsproblemen² können lokale Optima auftreten, sodass eine Konvergenz im globalen Optimum nicht garantiert werden kann.

3.2.2.1 Newton-Verfahren

Das weithin bekannte Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen bildet die Grundlage des Newton-Verfahrens zur Bestimmung von lokalen Optima. Vorausgesetzt wird eine stetige, zweifach differenzierbare Zielfunktion ohne Nebenbedingungen [Alt02, S. 75]. Liegen diese Anforderungen vor, bietet das Newton-Verfahren im Bereich des lokalen Optimums eine quadratische Konvergenz, d. h. die Anzahl der korrekten Nachkommastellen verdoppelt sich mit jedem Suchschritt [Alt02, S. 107].

Ziel des Verfahrens ist, die unrestringierte Zielfunktion f([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) zu minimieren. Da die Steigung bzw. der Gradient an einem lokalen Optimum immer Null beträgt, lautet eine notwendige Bedingung für ein lokales Optimum f’([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) bzw. in Gradientenschreibweise³ [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Daher kann das Verfahren der Nullstellenbestimmung auf dieses Problem angewendet werden. Jedoch können auch Sattel- oder Wendepunkte einen Gradienten von Null aufweisen. Um die Konvergenz in einem lokalen Optimum zu garantieren, wird daher weiterhin gefordert, dass die sogenannte Hesse-Matrix der zweiten partiellen Ableitungen H([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) positiv definit sein muss⁴. Damit einher geht die Forderung, dass f([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) zweifach stetig differenzierbar sein muss [Alt02, S. 75].

Zunächst wird das Verfahren der Nullstellenbestimmung erläutert. Es wird angenommen, dass die Nullstelle einer Funktion g([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) approximiert werden soll. Ausgehend von einem Startpunkt p0 linearisiert man in jedem Iterationsschritt j die Gleichung g([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) = 0 und erhält [Alt02, S. 71]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Falls ∇g([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) invertierbar ist, lässt sich aus Gleichung 3.12 der nächste Suchschritt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ableiten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nimmt man nun an, dass es sich bei g([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) um die Ableitung der oben beschriebenen, zu minimierenden Funktion f([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) handelt, bestimmen sich die iterativen Suchschritte nach dem lokalen Optimum zu [JS03, S. 163]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Invertierbarkeit der Hesse-Matrix H(p) wird durch die geforderte positive Definitheit (siehe oben) garantiert.

Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist die bereits beschriebene quadratische Konvergenz, welche jedoch nur für einen lokalen Konvergenzbereich gilt. Der Konvergenzradius des vorgestellten Original-Verfahrens kann durch die Erweiterung mit einem sogenannten Schrittweitenverfahren (siehe z. B. [Alt02, S. 86ff.]) verbessert werden, sodass auch eine sehr gute globale Konvergenz erzielt werden kann. Der größte Nachteil des Verfahrens besteht in der rechenintensiven Invertierung der Hesse-Matrix in jedem Iterationsschritt.

3.2.2.2 Quasi-Newton-Verfahren

Das Quasi-Newton-Verfahren basiert auf dem in Kapitel 3.2.2.1 vorgestellten Newton-Verfah- ren. Um die aus der wiederholten Berechnung und Invertierung der Hesse-Matrix resultierenden Nachteile zu vermeiden, werden Ersatz-Matrizen verwendet, welche leichter zu handhaben sind.

Der Satz von DENNIS UND MORÉ [JS03, S. 174] besagt, dass die vorteilhaften Konvergenzeigenschaften des Newton-Verfahrens erhalten bleiben, falls anstatt der Hesse-Matrix H(p) eine Matrix B verwendet wird (vgl. Gleichung 3.14):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese muss folgenden Eigenschaften genügen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Formel wird als Quasi-Newton-Bedingung bezeichnet. Es kommen folglich unendlich viele Matrizen in Frage, die diese Anforderung erfüllen. Von besonderem Interesse sind Matrizen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], die sich möglichst leicht aus ihrer Vorgängermatrix [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und den Vektoren [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] berechnen lassen. Hierfür stehen sogenannte Update-Formeln (z. B. BFGS-Updateformel, siehe [Alt02, S. 124]) zur Verfügung. Mit deren Hilfe kann [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] unter Berücksichtigung der in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] enthaltenen Zusatzinformationen zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aktualisiert werden.

Diese Vereinfachung ermöglicht den Einsatz des Quasi-Newton-Verfahrens auch bei Problemen, deren Zielfunktion nicht explizit gegeben ist (z. B. Parameteroptimierung in Simulationen). In diesem Fall kann die Ableitung von f([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) durch finite Differenzen ersetzt werden, wobei die Messpunkte dicht beieinander liegen müssen, um exakte Ergebnisse zu erzielen. Die notwendigen Informationen zur Bestimmung von B beschafft sich das Verfahren approximativ im Laufe der Optimierung [Kur99, S. 22]. Voraussetzung für einen sinnvollen Einsatz ist eine glatte, stetige Oberfläche der Zielfunktion [KLT03, S. 391].

3.2.2.3 Sequential Quadratic Programming

Das Verfahren des Sequential Quadratic Programming stellt eine Verallgemeinerung des New- ton-Verfahrens auf restringierte Optimierungsprobleme dar, d. h. es können Nebenbedingungen berücksichtigt werden. Wie der Name besagt, wird hierzu eine Folge quadratischer Optimie- rungsprobleme gelöst [Alt02, S. 246]. Derzeit handelt es sich um eines der leistungsfähigsten Verfahren auf diesem Gebiet und wurde in zahlreichen Software-Paketen (z. B. MATLAB) implementiert [Pap96, S. 156]. Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der (Hybrid-)Fahrzeugtechnik finden sich u. a. in [KVS00] und [DA01].

[...]

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¹ Zu berücksichtigen sind zusätzliche Mehrkosten, die (im Vergleich zum Parallelhybrid) durch ein aufwändige- res Kühlsystem für E-Maschinen und Leistungselektronik entstehen. Da sich beide E-Maschinen im Dauerbe- trieb befinden, muss die entstehende Abwärme zuverlässig abgeführt werden. Zudem liegt die kontinuierliche Leistung von E-Maschinen deutlich unter der Maximalleistung, welche beim Parallelhybrid für kurze BoostVorgänge zur Verfügung steht [Pug06, S. 1].

² Die parallele Antriebsstrangtopologie ist daher auch unter dem Begriff „Kurbelwellenstartergenerator“ bekannt [RRV06, S. 175].

³ Dieser verfügt über eine relativ kleine Verbrennungsmotorleistung von 60 kW und eine E-Maschine mit 10 kW [Kle03, S. 5].

¹ Eine Beschreibung des Verfahrens zur Bestimmung von Nullstellen findet sich unter anderem in [JS03, S. 68ff.]. Zur Begründung, warum Gleichung 3.9 nicht mit Hilfe des Newton-Verfahrens gelöst werden kann, siehe [JS03, S. 74].

² Ein konvexes Optimierungsproblem liegt vor, wenn sowohl die Zielfunktion als auch die Menge der zulässigen Lösungen konvex ist.

³ Der sogenannte Nabla-Operator ∇f([Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]) repräsentiert die partiellen Ableitungen der Funktion f an der Stelle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

⁴ Eine quadratische Matrix A heißt positiv definit, falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für alle von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verschieden Vektoren [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt.