Ermittlung von Risikobeiträgen in Kreditportfolios mit dem erweiterten Vasicek-Modell

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkurzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretische Grundlagen
2.1. Charakterisierung von Kreditrisiken
2.2. RisikomaBe
2.3. Value atRisk
2.4. Risikobeitrage

3. DasVasicek-Modell
3.1. Einfuhrung in das Vasicek Standard-Modell
3.2. Modellerweiterungen

4. Anwendung des erweiterten Vasicek-Modells anhand eines Beispiels mit drei Kreditportfolios

5. Ermittlung von Risikobeitragen unter der Annahme einer Normalverteilung der Kreditportfolios

6. Vergleich der Ergebnisse und Fazit

7. Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: typische Portfolioverlustverteilung

Abbildung 2: graphische Darstellung des Value at Risk

Abbildung 3: Dichtefunktion der Verteilung von Portfoliowerten

Abbildung 4: Verteilungsfunktion des Gesamtportfolios fur Gewichte wi=0,44; W₂=0,33 und W₃=0,22

Abbildung 5: Recovery Rates von Untemehmensanleihen nach Besicherungsstufe in Prozent des Nennwerts

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Veranschaulichung der Parameter fur die drei Branchen-Portfolios

Tabelle 2: erwartete und unerwartete Verluste der drei Sub-Portfolios in Mio

Tabelle 3: VaRund Stand-alone-Risikobeitrage (Werte in Mio.)

Tabelle 4: Korrelationsmatrix

Tabelle 5: untere Dreiecksmatrix nach Cholesky-Zerlegung

Tabelle 6: Beispiel fur die Simulation der Verteilungsfunktion

Tabelle 7: Ubersicht der mit dem erweiterten Vasicek-Modell ermittelten Stand­alone- und marginalen Risikobeitrage (Werte in Mio.)

Tabelle 8: Stand-alone- und marginale Risikobeitrage unter der Annahme

normalverteilter Kreditportfolios (Werte in Mio.)

Tabelle 9: Gegenuberstellung der Risikobeitrage beider verwendeter Methoden (Werte in Mio.)

Abkurzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

“If you owe your bank a hundred pounds, you have a problem. But if you owe a million, it has.”^[1] Dieses Zitat von John Maynard Keynes soil einfuhrend verdeut- lichen, wie wichtig ein angemessener Umgang mit den Risiken des Kreditge- schafts, insbesondere fur Banken ist. Das groBte deutsche private Kreditinstitut, die Deutsche Bank, gab z.B. in ihrem Geschaftsbericht von 2011 an, einen oko- nomischen Kapitalbedarf von insgesamt 26,377 Milliarden (Mrd.) Euro zu haben. Dabei setzt sich dieses zur Abmilderung von Verlusten vorgehaltene Risikokapital aus verschiedenen Risikotypen zusammen. Mit 12,812 Mrd. Euro entfallt der GroBteil des Bedarfs auf Risiken, die aus dem Eingehen von Kreditgeschaften entstehen.^[2] Damit wird deutlich, dass es sich beim Kreditrisiko um eine der wich- tigsten Risikokategorien fur Kreditinstitute handelt.

Die Vergabe von Krediten ist seit jeher ein elementarer Bestandteil von Bankge- schaften. Das Management von Kreditportfolios hat angesichts der heutigen star- ken Ausrichtung des klassischen Bankgeschafts an den Kapitalmarkt an Bedeu- tung gewonnen und stellt daher eine Notwendigkeit dar.^[3] Die Aufgaben des Kreditportfoliomanagements bestehen unter anderem darin, das Kreditportfolio der Bank unter Berucksichtigung des Risiko- /Renditeaspekts optimal zu diversi- fizieren und den Eigenkapitaleinsatz fur Risikoaktiva zu optimieren. Dadurch ge- wonnene Freiraume bieten wiederum die Moglichkeit weitere Kreditgeschafte abschlieBen zu konnen.^[4] Ein weiterer wichtiger Bestandteil eines Kreditrisikoma- nagements ist die Entwicklung und Implementierung eines Systems zur Limitie- rung der eingegangenen Kreditrisiken.^[5] Es zeigt sich, dass die Aufgaben vielseitig sind und ein modernes und funktionierendes Kreditportfoliomanagement existie- ren muss.

Insbesondere auch durch Vorschriften der Aufsichtsbehorden wie die Anforde- rungen des Baseler Ausschusses fur Bankenaufsicht (Basel Committee on Ban­king Supervision), bekannt als Basel II, sind Kreditinstitute gezwungen sich aus- fuhrlich mit ihren Kreditrisiken auseinanderzusetzen. Daruber hinaus werden bis 2019 schrittweise die uberholten und noch strengeren Anforderungen an die Kapi- talunterlegung und Bestimmungen von Basel III eingefuhrt. Im Vordergrund steht dabei von aufsichtsrechtlicher Seite die Stabilitat und den Schutz des Finanzsys- tems zu gewahrleisten.

Eine Messung und Steuerung von Kreditrisiken erfolgt neben einer Betrachtung von EinzelgroBen vor allem auch in aggregierter Form auf Portfolioebene. Zur Quantifizierung werden MaBe verwendet mit denen sich Aussagen bezuglich der Hohe des (Portfolio-) Risikos treffen lassen. Des Weiteren existieren verschiedene Modelle, mit denen sich die Risiken messen lassen. Zu nennen sind dazu Modelle wie CreditMetrics oder CreditRisk+, die in der Praxis haufig Anwendung finden. Ublicherweise orientieren sich solche Kreditportfoliomodelle an den Marktwerten von Finanztiteln wie z.B. Anleihen oder Krediten. Hier wird deren Wertverande- rung unter anderem aufgrund von Ausfallen berechnet.^[6] Das Hauptaugenmerk jedes Kreditportfoliomodells liegt auf der Modellierung von Abhangigkeiten der einzelnen Kreditausfalle, da diese keine stochastische Unabhangigkeit aufweisen. Demzufolge sind Annahmen von statistisch unabhangigen Kreditausfallen als nicht realistisch zu betrachten.^[7] Der Risikomessung auf Portfolioebene ist im All- gemeinen eine hohe Bedeutung beizumessen, da sie insbesondere der Kreditrisi- kosteuerung und -limitierung dient.^[8]

Auf Hohe des Einzelgeschafts kann eine solche Steuerung uber den Einsatz von Derivaten wie z.B. Credit Default Swaps zur Absicherung des Ausfallrisikos er- folgen. Andererseits kann ein Steuerungsimpuls auf der Portfolioebene beispiels- weise uber die Ermittlung von Risikobeitragen erfolgen. Im Rahmen der vorlie- genden Arbeit findet weniger eine Betrachtung von Einzelgeschaften statt, son- dern vielmehr die Analyse auf der Portfolioebene. Es werden Kreditportfolios betrachtet, die zu einem Gesamtportfolio aggregiert werden. Zusatzlich sollen zur Risikosteuerung die Beitrage dieser Portfolios zum Risiko des Gesamtportfolios ermittelt werden.

Die Arbeit tragt das Thema „Ermittlung von Risikobeitragen in Kreditportfolios mit dem erweiterten Vasicek-Modell“ . Motivation und Ziel dieser Arbeit ist es, Risikobeitrage mit einem Kreditportfoliomodell zu bestimmen, das nicht wie bei bisherigen Ansatzen eine Approximation der Kreditrisikoverteilung uber eine Normalverteilung vornimmt, sondern die tatsachlich schiefe Verteilung implizit berucksichtigt. Im Vasicek-Modell lasst sich der fur ein Kreditportfolio typische Verlauf der Verteilung analytisch bestimmen und darstellen. Davon ausgehend soil eine mogliche Eignung des Modells untersucht und die Frage geklart werden, ob die mit dem erweiterten Modell abgeleiteten Risikobeitrage, im Vergleich zu denen mit Annahme einer Normalverteilung bestimmten Risikobeitrage, zu besse- ren Ergebnissen fuhren. Um eine solche Aussage treffen zu konnen, muss ein Benchmark der ermittelten Ergebnisse mittels Gegenuberstellung der Risikobei­trage beider Konzepte stattfinden.

Beginnend wird das nachfolgende Kapitel 2 zunachst eine theoretische Einfuh- rung in die relevanten Punkte des Kreditrisikos geben. Neben einer Charakterisie- rung des Kreditrisikos selbst, werden einige begriffliche Grundlagen wie z.B. der spater verwendete Expected Loss vorgestellt. Zusatzlich beinhaltet der Abschnitt unter Punkt 2.2. die Darstellung des Begriffs RisikomaB und die Klarung aller theoretischen Anforderungen, die ein solches erfullen sollte. Das in dieser Arbeit verwendete RisikomaB ist der Value at Risk (VaR), der sich trotz einiger Schwa- chen^[9] in der Praxis durchsetzen konnte und damit das entscheidende RisikomaB darstellt. Die bereits schon zuvor zur Messung von Marktpreis- und Zinsrisiken eingesetzte Vorgehensweise des Value at Risk-Konzeptes wird dabei einfach auf die Kreditrisikomessung ubertragen.^[10]

Ein RisikomaB, das die angesprochenen Schwachen des VaR nicht besitzt und daher insbesondere von der wissenschaftlichen Seite bevorzugt wurde ist der Expected Shortfall.^[11] Zukunftig sind Kreditinstitute angehalten die Risikomessung auf den Expected Shortfall umzustellen, da dessen Vorteil darin besteht, zusatz­lich die Schwere eines moglichen Verlustes, die sogenannten „tail risks“ zu be- rucksichtigen. Das Basel Committee on Banking Supervision (BCBS) fordert in ihrem Konsultationspapier „Fundamental Review of the Trading Book“ vom 03. Mai 2012 daher diesen Ubergang.^[12] Doch nicht ausschlieBlich aufsichtsrechtliche Anforderungen sollten ausschlaggebend fur die in Zukunft anstehende Verwen- dung des Expected Shortfall sein. Fur das interne Risikomanagement sollten na- turlich auch die Verluste interessant sein, die sich unterhalb des Bereichs befin- den, der mit dem VaR gemessen wird, denn gerade diese Verluste, die mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner als dem jeweiligen a-Quantil auftreten gefahrden in hochstem MaBe die Stabilitat des Finanzsystems.^[13]

Ebenfalls Bestandteil des Abschnitts 2 ist die Definition und Erlauterung des Ri- sikobeitrags im Unterpunkt 2.4. Zur Bestimmung von zu hinterlegendem Eigen- kapital fur riskante Positionen sind Kreditinstitute daran interessiert genaue Kenntnis uber den Beitrag eben jener Positionen am Gesamtrisiko zu besitzen. Vor dem Hintergrund, dass Risikokapital eine knappe Ressource darstellt, bietet sich hier jederzeit Optimierungsbedarf. Auf die Vielzahl der in der Literatur ge- nannten verschiedenen Ansatze zur Ermittlung von Risikobeitragen wird in dieser Arbeit nur kurz eingegangen. Letztlich werden zwei verschiedene Ansatze vorge- stellt, die auch bei der spateren Ermittlung in einem Beispiel zur Anwendung kommen.

Im Anschluss an Gliederungspunkt 2 wird im nachsten Kapitel das Modell von Oldrich Vasicek eingefuhrt. Dieses Modell, auch unter dem Namen „Ein-Faktor- Modell“ bekannt, ist in seiner Standardversion und der an spaterer Stelle des Ab­schnitts erweiterten Variante ein analytisch handhabbares Modell zur Simulation von Kreditportfolios. Es ist trotz vorhandener Ahnlichkeiten vergleichsweise we- niger komplex als andere Kreditportfoliomodelle, wie z.B. das von Credit Suisse entwickelte CreditRisk+. Doch gerade durch die Beschrankung auf nur wenige Inputparameter eignet sich das Vasicek-Modell besonders fur theoretische Uber- legungen. ^[14]

Im weiteren Verlauf der Arbeit soil das erweiterte Vasicek-Modell dazu dienen, ein Gesamtbankportfolio zu simulieren, das aus Sub-Portfolios verschiedener Branchen zusammengesetzt wird. Diese Kreditportfolios werden im Abschnitt 4 der Arbeit eingefuhrt und die Wahl der eingehenden Parameter erlautert. Das Ri- siko des Gesamtportfolios soil uber die im erweiterten Vasicek-Modell bekannte analytische Verteilungsfunktion bestimmt werden. Innerhalb des Gliederungs- punktes 4 erfolgt zudem die Bestimmung der Risikobeitrage der Sub-Portfolios am Gesamtrisiko mithilfe von zwei verschiedenen Konzepten. Im Anschluss er­folgt eine Gegenuberstellung der Ergebnisse beider Methoden.

Kapitel 5 hat eine emeute Berechnung der Risikobeitrage der einzelnen Kredit- portfolios zum Inhalt. Anders als zuvor wird hierjedoch von der tatsachlich schie- fen Verteilung der Kredite abstrahiert und eine Normalverteilung unterstellt. Aus diesem Grund lassen sich hier bekannte Methoden zur Messung anderer Risiken, wie z.B. der aus der Messung von Marktpreisrisiken bekannte Varianz-Kovarianz- Ansatz, anwenden.

Im letzten Abschnitt 6 der Arbeit wird der angesprochenen Benchmark und eine Analyse der in den vorangegangenen Kapiteln bestimmten Risikobeitrage durch- gefuhrt. Mit diesem Vergleich soil anschlieBend die Frage beantwortet werden, inwieweit sich das erweiterte Vasicek-Modell zur Bestimmung von Risikobeitra- gen eignet und ob moglicherweise eine Verbesserung gegenuber den herkommli- chen Methoden feststellbar ist.

2. Theoretische Grundlagen

2.1. Charakterisierung von Kreditrisiken

Das Eingehen von Geschaften fuhrt in der Regel zu einer Ungewissheit uber zu- kunftige Ertrage aus eben diesen Geschaften. Dies kann zum Einen durch einen nicht ausreichenden Informationsstand der Bank bedingt sein, zum Anderen kon- nen sich zufallig verandernde, wertbeeinflussende GroBen zu einem Abweichen der 1st - von den Soil -GroBen fuhren. Diese Abweichung wird vereinfachend als potentieller Verlust oder Risiko charakterisiert.^[15] Wird der Risikobegriff in seinem weiteren Sinne betrachtet, sind auch positive Abweichungen Bestandteil dieser Definition.^[16] Fur die Betrachtung von Kreditrisiken ist diese erweiterte Betrach- tungsweise jedoch kaum sinnvoll, da das Risiko nur in einer negativen Abwei­chung bestehen kann.

In Abhangigkeit der jeweiligen Ursachen, lassen sich die Risiken eines Kreditin-

stituts in verschiedene Kategorien einteilen:^[17]

- Marktrisiko
- Operationelles Risiko
- Kreditrisiko

Naturlich bestehen die Aufgaben eines Risikomanagements darin, alle Risiken zu messen und durch Steuerung der Risiken dafur zu sorgen, dass ausreichend (oko- nomisches) Kapital fur etwaige Verluste vorgehalten wird. Die Hohe des Kapital- puffers wird dabei furjede Risikokategorie separat ermittelt.^[18]

Im Rahmen dieser Arbeit findet eine Untersuchung eines Kreditportfoliomodells statt, sodass die betrachtete Risikokategorie ausschlieBlich das Kreditrisiko um- fasst. Eine weitergehende Erlauterung der beiden genannten Kategorien „Marktri- siko“ und „operationelles Risiko“ findet daher im Folgenden nicht statt.

Der Begriff des Kreditrisikos unterliegt keiner einheitlichen Definition, sondern wird in einem verschieden weiten Verstandnis verwendet. Im engeren Sinne um- fasst es das Ausfallrisiko (Default Risk), also das Risiko, dass ein Anleiheemittent oder Kreditschuldner nicht in der Lage ist seinen Zahlungsverpflichtungen in Form von Zins- und/oder Tilgungszahlungen nachzukommen.^[19] Anleihen unter- scheiden sich von Kreditaufnahmen prinzipiell darin, dass Anleihen offentlich ausgegeben werden, sodass jeder Investor dem Emittenten (Fremd-) Kapital zur Verfugung stellen kann.^[20] Der Begriff Ausfall beinhaltet mehrere Arten von Kre- ditereignissen, wie z.B. Totalausfalle, nicht fristgerecht geleistete Zahlungen und Restrukturierungen der Zahlungsverpflichtungen des Kreditnehmers.^[21]

Allgemein lasst sich das Ausfallrisiko durch Multiplikation der Ausfallwahr- scheinlichkeit eines Kreditnehmers mit dem vom Ausfall bedrohten Volumen des Kredits bestimmen. Man spricht bei der Ausfallwahrscheinlichkeit auch von Probability of Default (PD)^[22]. Dessen Hohe hangt von mehreren Parametern, wie z.B. der Bonitat des Kreditnehmers oder der Entwicklung der betrachteten Bran- che des Kreditnehmers, ab.^[23] Wird die Ausfallwahrscheinlichkeit nun mit dem moglichen Verlust aus einem Kreditgeschaft multipliziert, erhalt man den zu er- wartenden Verlust, auch als Expected Loss (EL) bezeichnet:^[24]

EL = p* EAD * LGD (1)

mit: LGD = 1 — RR

Das Exposure at Default (EAD) beschreibt die Hohe der Forderungen zum Zeit- punkt des Kreditausfalls, wahrend der Loss Given Default (LGD) den prozentua- len Anted des ausstehenden Kreditvolumens darstellt, der zu tatsachlichen Verlus- ten fuhrt.^[25] Rechnerisch ist der Loss Given Default das Komplement der Ruckzah- lungsquote eines Kredits. Betragt die in der Literatur oftmals als Recovery Rate (RR) bezeichnete Ruckzahlungsquote bei einem Ausfall z.B. 35%, so entspricht dies einem LGD von 65%.^[26] Mit anderen Worten erleidet ein Kreditgeber bei ei­nem Ausfall des Schuldners in diesem Fall einen Verlust von 65% des Nominal- volumens.

Aufgrund der linearen Eigenschaft der Erwartungswertbildung, lasst sich der er- wartete Verlust eines Portfolios, bestehend aus « Krediten als Summe der erwarte- ten Verluste der einzelnen Kredite bestimmen:^[27]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da der erwartete Verlust allerdings implizit uber die Kreditkonditionen einge- preist ist, stellt der unerwartete Verlust oder Unexpected Loss (UL) das eigentli- che (Ausfall-) Risiko des Kreditgebers dar.^[28] Er gibt an, wie weit der tatsachliche Verlust vom Expected Loss entfernt ist bzw. um wieviel der Verlust den erwarte- ten Verlust ubersteigt. Dabei sind betriebswirtschaftlich nur geringe Abweichun- gen des unerwarteten Verlustes vom Expected Loss akzeptabel.^[29]

Positive Abweichungen vom Mittelwert konnen per se nicht vorkommen und wurden defmitionsgemaB kein Kreditrisiko darstellen. Im Fall eines totalen Aus- falls erleidet der Kreditgeber zwar einen extremen Verlust, kannjedoch seinerseits keine Verbindlichkeiten gegenuber dem Kreditnehmer aufbauen.^[30] Um den aus unerwarteten Verlusten entstehenden Risiken vorzubeugen, sind Kreditinstitute angehalten Ruckstellungen in Form des okonomischen Kapitals zu bilden.^[31]

Aus statistischer Sicht ist der Unexpected Loss ein MaB der Streuung um den er- warteten Verlust. Fur einen einzelnen Kredit ist er wie folgt definiert:^[32]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Neben dem Kreditrisiko im engeren Sinne existiert das Kreditrisiko in seiner wei- teren Variante, dem Bonitatsrisiko (Downgrade Risk). Es zeichnet sich durch die Moglichkeit aus, dass Finanztitel wie z.B. Anleihen durch eine Herabstufung des Kreditnehmerratings an Wert verlieren. Diese bonitatsbedingte Marktwertande- rung ist auf die Veranderungen der fur die Bewertung einer konkreten Anleihe maBgeblichen Zinsstrukturkurve zuruckzufuhren. Verschlechtert sich beispiels- weise das Rating einer ursprunglich mit Rating AA versehenen Anleihe, steigt der Bewertungszinssatz und der Marktwert sinkt.^[33] Das durch eine Herabstufung er- hohte Risiko auBert sich in der Erhohung des Risikozuschlags (Risikopramie) im Vergleich zu der Rendite einer risikolosen Anleihe. Damit zahlt der Emittent ei­nen Zinsaufschlag, den sogenannten Credit Spread, auf eine vergleichbare, jedoch ohne Risiko behaftete Anleihe.^[34]

Der Begriff Kreditrisiko umfasst mit dem Ausfall- und dem Bonitatsrisiko nicht nur das klassische Kreditgeschaft, sondem bezieht sich daneben auf alle Bankge- schafte, die eine Forderung gegenuber einem Dritten begrunden. Risiken aus sol- chen Handelsgeschaften entstehen insbesondere durch Derivate, die Over The Counter (OTC), also nicht an einer Borse gehandelt werden.^[35]

Besonderheiten ergeben sich bei der Quantifizierung von Kreditrisiken dadurch, dass die Verteilung der Kreditausfalle, also deren Verlustverteilung keiner Nor- malverteilung folgt. Eine Approximation der tatsachlichen Verteilung durch die Normalverteilung, wie dies z.B. bei der Modellierung von Marktrisiken der Fall ist, kann daher nicht vorgenommen werden. Vielmehr weist die Verteilung von Kreditrisiken eine Asymmetrie auf.^[36] Sie ist durch eine deutliche rechts-Schiefe und einem breiteren rechten Rand der Wahrscheinlichkeitsmasse, den so genann- ten „fat tails“ gekennzeichnet. Vergleicht man dies mit einer Normalverteilung mit gleichem Erwartungswert, ist die Wahrscheinlichkeit eines extremen Verlus- tes hoher.^[37] In Abbildung 1 wird beispielhaft die typische rechts-schiefe Form einer Portfolioverlustverteilung gezeigt:

Abbildung 1: typische Portfolioverlustverteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Martin/Reitz/Wehn (2006), S. 116.

Erklaren lasst sich die Asymmetrie von Kreditrisikoverteilungen damit, dass Risi- ken aus der Kreditvergabe zwar mit einer geringen Ausfallwahrscheinlichkeit ein- treten, jedoch hohe Verluste verursachen. Auf der anderen Seite lassen sich diese Verluste nur schwer mit Gewinnen anderer Positionen auffangen, da deren Hohe durch den vereinbarten Zinssatz begrenzt ist.^[38]

Ein wesentlicher Teilaspekt einer bankbetrieblichen Risikopolitik ist letztlich die Messung der in einer Bank auftretenden Risiken zu deren systematischer Analyse und koordinierten Steuerung.^[39] Im folgenden Abschnitt werden nun die theoreti- schen Anforderungen an MaBe vorgestellt, mit denen die Quantifizierung von Risiken grundsatzlich moglich ist.

2.2. Risikomafte

Hintergrund der Risikomessung ist die Ermittlung der notwendigen Kapitaldecke, die zur Unterlegung von riskanten Positionen notwendig ist.^[40] Ein RisikomaB ist eine Kennzahl, mit deren Hilfe mathematische Informationen z.B. aus der Ver- lustverteilung eines Portfolios zu aussagekraftigen Zahlen verdichtet werden sol- len. Ein RisikomaB sollte, wie jedes andere MaB, gewisse theoretische Anforde­rungen erfullen.^[41] Dazu veroffentlichten Artzner et. al. einen viel beachteten Arti- kel, in dem sie vier zu erfullende Axiome vorstellten.^[42] Ein RisikomaB wird dann als koharent bezeichnet, wenn alle Bedingungen kumulativ erfullt sind. Bezeich- nen X, Y Zufallsvariablen und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den risikofreien Zins, so ist ein RisikomaB R ge- nau dann koharent, wenn folgendes gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unter Subadditivitat wird hier das Prinzip verstanden, dass das Risiko eines Kre- ditportfolios niemals groBer sein kann als die Summe der Risiken der im Portfolio enthaltenen Kredite. Das Axiom der Subadditivitat spiegelt also den Effekt eines diversifizierten Portfolios wider. Positive Homogenitat zeigt, wie sich das Risiko erhoht, wenn eine Position mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] multipliziert wird. In diesem Fall erhoht sich auch das Gesamtrisiko um denselben Faktor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]^[43] oder anders ausgedruckt muss fur eine Risikoposition, die um den Faktor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhoht wird auch eine Erhohung der da- fur notigen Kapitalunterlegung um denselben Faktor erfolgen. Zu beachten ist allerdings, dass die Bedingung der positiven Homogenitat sich auf Faktoren gro- Ber Null beschrankt, da z.B. eine Short-Position -X kein negatives Risiko auf- weist und ebenfalls mit Kapital unterlegt werden muss.^[44]

Unter Monotonie wird verstanden, dass fur den potentiellen Verlust eines Portfo­lios, der kleiner ist als der eines weiteren Portfolios auch eine geringere Kapital- unterlegung notwendig ist. 1st das Risiko z.B. fur eine Position X groBer als das einer weiteren Position Y, so muss ein Kreditinstitut fur diese weniger okonomi- sches Kapital bereitstellen. Das letzte Axiom der Translationsinvarianz fordert, dass sich das Gesamtrisiko linear um einen Betrag x verringem muss, wenn dieser mit dem risikofreien Zins angelegt wird und damit als sicher betrachtet werden kann.^[45] Daraus folgt, dass auch der Kapitalbedarf fur die betrachtete Risikopositi- on um den Betrag x verringert wird.

Unerwartete Verluste treten aufgrund der hohen Schiefe von Portfolioverlustverteilungen zwar nur mit geringer Wahrscheinlichkeit auf, sind in ihrer Hohe jedoch immens. Daher werden im Kreditrisikocontrolling MaBe beno- tigt, die eine schwere rechte Flanke der Verlustverteilung erfassen und quantifizie- ren konnen.^[46]

Es existieren verschiedene Ansatze Risiko mathematisch zu quantifizieren. Wird unter Risiko die Wertschwankung von Finanztiteln verstanden, lasst sich die Standardabweichung als RisikomaB verwenden. Sie gibt an, wie hoch die durch- schnittliche Abweichung der Werte von ihrem Mittelwert ist. Neben negativen werden dabei auch positive Abweichungen betrachtet. Der Nachteil besteht darin, dass RisikomaBe, die ausschlieBlich auf der Standardabweichung basieren die asymmetrische Verteilung von Kreditverlusten unberucksichtigt lassen. Durch das Einbeziehen von hoheren statistischen Momenten kann dieser Fehler jedoch kor- rigiert werden. Verwendet wird die Standardabweichung als RisikomaB ublicher- weise zur Bestimmung von Versicherungspramien.^[47]

Eine weitere Moglichkeit das Risiko zu quantifizieren besteht darin, RisikomaBe zu verwenden, die das Risiko als Geldbetrag identifizieren, der bei einem tatsach- lichen Eintreten des Risikos verloren werden kann. Ein solches stellt der Value at Risk dar, der in der Praxis das am weitesten verbreitete und in dieser Arbeit ver- wendete RisikomaB ist.

2.3. Value at Risk

Schon bevor Artzner et. al. die bereits beschriebenen Koharenzaxiome fur Risi- komaBe vorstellten, hat sich der VaR zur Messung von Marktrisiken durchgesetzt. Das VaR-Konzept wurde auf die Kreditrisikomessung erweitert und stellt (noch) den aufsichtsrechtlich anerkannten Standard zur Risikomessung in Kreditinstitu- ten dar.^[48] Da bei der Quantifizierung von Marktrisiken zum Teil andere Methoden Anwendung finden, existiert im Kontext der Kreditrisikomessung auch der Be- griff Credit Value at Risk. Im Rahmen dieser Arbeit erfolgt eine ausnahmslose Betrachtung von Kreditrisiken, sodass der Zusatz „Credit“ nicht gebraucht wird und stattdessen der BegriffValue at Risk und. VaR als Synonym verwendet wird.

Der VaR ist ein sogenanntes Downside-RisikomaB, da er ausschlieBlich negative Abweichungen von Zielwerten eines Portfolios, also z.B. mogliche Verluste aus Kreditgeschaften messen kann. ^[49] Er kann verbal als Verlust definiert werden, der bei einer betrachteten Haltedauer und einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit 1—k nicht uberschritten wird. Ein Kreditinstitut ist angehalten fur den betrachte­ten Zeitraum mindestens Kapital in Hohe des gemessenen VaR vorzuhalten, wenn das Eigenkapital nicht angegriffen werden soil.^[50] Damit entspricht der VaR grundsatzlich dem Betrag an okonomischem Kapital, den ein Kreditinstitut fur eine Risikoposition vorzuhalten hat.^[51] Nimmt man an, dass ein Kreditinstitut nur uber Eigenkapital in Hohe des VaR verfugt, ergibt sich daraus, dass dieses Institut mit einer Wahrscheinlichkeit von k insolvent wird.^[52]

Ublicherweise wird der VaR zu einem Wahrscheinlichkeitsniveau (Konfidenzniveau) von 1—[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = 95% oder 99% betrachtet. Ohne die Berucksichti- gung von Haltedauer und der Wahrscheinlichkeit besitzt er keine Aussagekraft, da diese wesentlichen Einfluss auf dessen Hohe haben.^[53] Die Haltedauer ist als Zeit- spanne definiert, die bis zur Liquidation der beobachteten Anlageposition vergeht, wahrend das Konfidenzniveau die Wahrscheinlichkeit angibt mit der der tatsachli- che Verlust kleiner dem VaR ist. Beide GroBen konnen auch als Indikator fur die Risikoneigung eines Kreditinstituts interpretiert werden. ^[54]

Zu beachten ist, dass der mit dem VaR gemessene Verlust immer in Bezug zu einem Referenzwert, z.B. dem Erwartungswert, betrachtet wird. Formal ist der VaR fur einen Referenzwert x0 zum Quantil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] definiert als:^[55]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei druckt der VaR nichts anderes als das (negative) [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-Quantil der Portfolioverlustverteilung aus.[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnet die Inverse der Verteilungsfunktion der Zufallsvariable X und der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] das [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-Quantil der Verteilungsfunkti­on [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Im Unterschied zur Verteilungsfunktion ist die auch als Quantilsfunktion bekannte Inverse linksseitig stetig.^[56]

Die folgende Abbildung 2 soil das Prinzip des VaR graphisch veranschaulichen. Gezeigt wird eine beliebige Dichtefunktion von Portfoliowerten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und der VaR bei einem Quantil von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] = 1%:

Abbildung 2: graphische Darstellung des Value at Risk

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Entworfen nach: Baule (2004), S. 18.

[...]

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^[1] John Maynard Keynes (1982).

^[2] Vgl. Deutsche Bank (2011), S. 127.

^[3] Vgl. Baule (2004), S. 1.

^[4] Vgl. Pehle (2005), S.201.

^[5] Vgl. Wimmer (2004), S. 247.

^[6] Vgl. Bunte et. al. (2009), S. 639.

^[7] Vgl. Huschens (2006), S. 169.

^[8] Vgl. Durr/Iwan/Schlottmann (2007), S. 24.

^[9] Auf Starken und Schwachen des Value at Risk wird im Rahmen des entsprechenden Kapitels ausfuhrlich eingegangen.

^[10] Vgl. Becker (2007), S. 130.

^[11] Vgl. Christians (2006), S. 236.

^[12] Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2012), im Internet:
http://www.bis.org/publ/bcbs219.pdf, S. 3.

^[13] Vgl. Brandtner (2012), S. 50.

^[14] Vgl. Baule (2004), S. 29.

^[15] Vgl. Martin/Reitz/Wehn (2006), S. 1.

^[16] Vgl.Muller(2003), S. 199.

^[17] Eine klare Trennung der Risikokategorien ist jedoch schwer moglich. Vgl. Martin/Reitz/Wehn (2006), S. 2.

^[18] Vgl. Grundke (2008), S. 1.

^[19] Vgl. Albrecht (2005), S. 26.

^[20] Vgl. FAZ.NET-Borsenlexikon, im Internet: http://boersenlexikon,faz.net/anleihe.htm. Die nur sehr geringen Unterschiede zwischen Kredit und Anleihe werden im Rahmen dieser Arbeit nachfolgend vernachlassigt.

^[21] Vgl. Decker (2008), S. 400f.

^[22] Die Probability of Default (PD) wird haufig auch nur mit p deklariert. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird daher die Variable^ stellvertretend fur die Ausfallwahrscheinlichkeit verwendet.

^[23] Vgl. Wolke (2008), S. 157f.

^[24] Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 23.

^[25] Vgl. Schmeisser (2010), S. 225.

^[26] Vgl. Wolke (2008), S. 158.

^[27] Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 24.

^[28] Vgl. Thamm (2009), S. 5.

^[29] Vgl. Becker (2007), S. 131.

^[30] Vgl. Bilek (2010), S. 84.

^[31] Vgl. Luscher- Marty (2007), S. 1.33.

^[32] Vgl. Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006), S. 24.

^[33] Vgl. Wiedemann (2004), S. 139f.

^[34] Vgl. Martin/Reitz/Wehn (2006), S. 3.

^[35] Vgl. StraBberger (2002), S. 28.

^[36] Vgl. Wiedemann (2004), S. 145.

^[37] Vgl. Luscher-Marty (2007), S. 1.34.

^[38] Vgl. Rudolph et. al. (2012), S. 7.

^[39] Vgl. Dolker (2006), S. 88.

^[40] Vgl. Baule (2004), S. 20.

^[41] Vgl. Puzanova (2010), S.48.

^[42] Vgl. Artzner et. al. (1999), S. 209f.

^[43] Vgl. Puzanova (2010), S. 49.

^[44] Vgl. Baule (2004), S. 20.

^[45] Vgl. Brandtner (2012), S. 193.

^[46] Vgl. Puzanova (2010), S. 49.

^[47] Vgl. Kriele/Wolf (2012), S. 19-21.

^[48] Vgl. Puzanova (2010), S. 50. Auf den vom Basel Committee on Banking Supervision zukunftig geforderten Ubergang vom Value at Risk zum Expected Shortfall als RisikomaB wurde bereits in der Einleitung eingegangen.

^[49] Vgl. Zepp (2007), S. 59.

^[50] Vgl. Kriele/Wolf (2012), S. 22.

^[51] Vgl. Christians (2006), S.219.

^[52] Vgl. Brandtner (2012), S. 42.

^[53] Vgl. StraBberger (2002), S. 60.

^[54] Vgl. Zepp (2007), S. 60.

^[55] Vgl. Baule (2004), S. 17.

^[56] Vgl. Puzanova (2010), S. 50.