Exponentialverteilung - Mathematik mit Software


Hausarbeit, 2010

35 Seiten, Note: 1,0


Leseprobe

Inhalt

Einleitung

1 Eigenschaften der Exponentialverteilung
1.1 Definition
1.2 Dichte- und Verteilungsfunktion
1.3 Die Konstante A
1.4 Median
1.5 Erwartungswert
1.6 Gedachtnislosigkeit

2 Beziehung zur geometrischen Verteilung

2.1 Vergleich der Simulationen in Fathom
2.1.1 Geometrisch verteilt: Warten bis zur nachsten Sechs
2.1.2 Exponentialverteilt: Warten auf den nachsten Anruf

3 Vergleich von Theorie und Simulation exponentialverteilter Zufallsgrofien
3.1 Lebensdauer eines Funkweckers
3.1.1 Theoretische Losung
3.1.2 Simulation in Fathom
3.2 Lebensdauer einer Gluhlampe
3.2.1 Theoretische Losung
3.2.2 Simulation in Fathom

4 Die Exponentialverteilung im Unterricht: Ein Bezug zum Lehrplan

Literaturverzeichnis

Einleitung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ein mathematisches Mittel zur Beschreibung von Zufallsprozessen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgrofie ist eine Funktion, die jedem Wert einer Zufallsgrofie X eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.[1] Die Wahrscheinlichkeitsverteilung w einer Zufallsgrofie X ist demnach auf der Wertemenge der Zufallsgrofie X definiert.[2] Mithilfe einer Tabelle oder einem Grafen, wie z. B. einem Histogramm, kann man die Verteilung einer Zufallsgrofie angeben.[3]

Auch die Exponentialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung uber der Menge der positiven reellen Zahlen. Der Graf der Exponentialverteilung ist in der Form einer Exponentialfunktion gegeben.[4]

Das Modell der Exponentialverteilung wird vorrangig fur die Darstellung von zufalligen Zeitintervallen benutzt. Bekannte Sachverhalte dafur sind Lebensdauern, wie z. B. die Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall, die Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geraten oder auch die Zeit zwischen zwei Telefonanrufen.

Die Exponentialverteilung ist also eine typische Lebensdauerverteilung, da die Lebensdauer von elektronischen Bauteilen meistens annahernd exponentialverteilt ist. Oft ist die tatsachliche Verteilung nicht exakt eine Exponentialverteilung, sie wird aber zur Vereinfachung unterstellt.[5]

Im ersten Kapitel dieser Arbeit werden zunachst die Definition der Exponentialverteilung prasentiert und im Folgenden die wichtigsten Eigenschaften dargelegt und erklart. Besonders hervorgehoben wird dabei der Erwartungswert der Exponentialverteilung, indem dessen ausfuhrliche Herleitung erfolgt. Im zweiten Kapitel wird das Verhaltnis zur geometrischen Verteilung erklart und mithilfe von Fathom untersucht. Im dritten Kapitel werden Aufgaben um exponentialverteilte Zufallsgrofien theoretisch gelost und diese Losung dann mit den Simulations- und Losungsmoglichkeiten in Fathom verglichen. Zum Schluss der Arbeit wird ein Bezug zum Lehrplan hergestellt und Uberlegungen zur Behandlung des Themas im Unterricht angestellt.

1 Eigenschaften der Exponentialverteilung

1.1 Definition

Die Exponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung uber der Menge der positiven reellen Zahlen und durch eine Exponentialfunktion gegeben.[6] [7] Eine stetige Zufallsgrofie X heifit exponentialverteilt mit dem konstanten positiven reellen Parameter

1.2 Dichte- und Verteilungsfunktion

Stetige Zufallsgrofien konnen im Gegensatz zu diskreten Zufallsgrofien beliebige Werte in einem Intervall annehmen, das heifit sie haben in jedem Intervall a < X < b unendlich viele Auspragungen.[8] Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsgrofie wie der Exponentialverteilung wird durch eine Dichtefunktion beschrieben. Fur die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgrofie mussen bestimmte Eigenschaften erfullt sein:

(1) Fur alle x e E gilt: f (x) > 0.

Die Dichtefunktion f(x) kann nur positive Zahlen annehmen.

(2) P(a < X < b) = f(x)dx.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgrofie X Werte zwischen a und b annimmt, entspricht der Dichte des Integrals zwischen diesen Grenzen a und b.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Integral des gesamten Definitionsbereichs der Funktion muss immer gleich eins sein. Daraus lasst sich folgern, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgrofie stetig heifit, wenn es eine geeignete Dichtefunktion mit den Eigenschaften (1) bis (3) gibt.[9]

Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ergibt sich durch das Ableiten der Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung.[10] Die Verteilungsfunktion der

Exponentialverteilung ist:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][11]

Beim Ableiten von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] muss fur den Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]die Kettenregel angewendet werden. Die Kettenregel lautet: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten][12] [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist also die aufiere und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die innere Funktion. In diesem Fall ist die aufiere Funktion[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Ableitung lautet[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] da die Ableitung von[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]wieder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist, was sich ebenfalls durch die Kettenregel nachweisen lasst.

Die innere Funktion ist[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und ihre Ableitung nach einfachen Ableitungsregeln[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Die Anwendung der Kettenregel ergibt:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Da der Faktor 1 beim Ableiten wegfallt, ergibt sich fur

die Dichtefunktion wie in 2.1. bereits angegeben:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

In der folgenden Grafik sind Dichtefunktionen der Exponentialverteilung mit unterschiedlichen Werten fur 1 dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]


[1] Vgl. Elemente der Mathematik: Leistungskurs Stochastik mit Orientierungswissen Lineare Algebra/ Analytische Geometrie. Hrsg von H. Griesel, H. Postel, F. Suhr unter Mitwrkung von A. Gundlach. Hannover: Schroedel Verlag 2003. S.85

[2] Vgl. Mathematik Stochastik Orientierungswissen Analytische Geometrie. Hrsg. von Prof. Dr. Jahnke. Berlin: Cornelsen Verlag 2004. S.30

[3] Vgl. Elemente der Mathematik. Schroedel Verlag 2003. S.85

[4] Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung (zuletzt eingesehen am 05.09.10 um 20.05 Uhr)

[5] Vgl. Ebd.

[6] Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

[7] Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

[8] Vgl. http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Statistik:_Stetige_Zufallsvariablen (zuletzt eingesehen am 14.09.10 um 21.33 Uhr)

[9] Vgl. Elemente der Mathematik. Schroedel Verlag 2003. S.85

[10] Vgl. Mathematik Stochastik Orientierungswissen Analytische Geometrie. Cornelsen Verlag 2004. S.158

[11] Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

[12] Vgl. Das grofie Tafelwerk interaktiv. Formelsammlung fur die Sekundarstufen I und II. Zusammengestellt und bearbeitet von M. Felsch, K. Martin, W. Pfeil u.a. Berlin: Cornelsen Verlag 2003. S.54

Ende der Leseprobe aus 35 Seiten

Details

Titel
Exponentialverteilung - Mathematik mit Software
Hochschule
Universität Kassel
Veranstaltung
Mathematik mit Software
Note
1,0
Autor
Jahr
2010
Seiten
35
Katalognummer
V206826
ISBN (eBook)
9783656339267
ISBN (Buch)
9783656339601
Dateigröße
876 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
Exponentialverteilung, Mathematik Software, Fathom, Geometrische Verteilung
Arbeit zitieren
Bianca Kramer (Autor), 2010, Exponentialverteilung - Mathematik mit Software, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/206826

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