In diesem Seminar geht es um die mathematische Modellierung und Optimierung von Windkraftanlagen bzw. Windrädern. Dazu wird es notwendig sein einführend auf die Mechanik einzugehen. Die Mechanik handelt von der Dynamik der Teilchen, starren Körpern oder auch kontinuierlichen Medien. Die Mechanik hat durch die Mechanik Newtons eine enorme Rolle für die Mathematik, Technik und Naturwissenschaften zugesprochen bekommen. Die Entwicklung von Differentialgleichungen wurde durch die Behandlung der Mechanik angeregt. Heutzutage ist der Einfluss sogar auf die Gruppendarstellung, Geometrie und Topologie nachweisbar, wobei sich diese Entwicklungen wieder auf die anderen Wissenschaften auswirk(t)en. Für dieses Seminar interessante Formulierungen der Mechanik sind einerseits die durch Lagrange und andererseits die durch Hamilton. Diese sind umfassender als die Formulierung der Mechanik Newtons, da sie auch Feldtheorien und Zwangsbedingungen berücksichtigen. Dabei unterliegen diese zwei Formulierungen unterschiedlicher Betrachtungweisen der Mechanik. Während die Hamiltonsche Mechanik unmittelbar auf dem Energiekonzept beruht und eng in Verbindung mit der Quantenmechanik und allgemeinen Relativitätstheorie steht, ist die Lagrangesche Mechanik auf Variationsprinzipien begründet, die direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt.
Diese Variationsprinzipien sind Koordinatensystemunabhängig. Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit reellen Funktionalen, deren Argumente Funktionen sind. Diese können etwa Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionale, also solche, für die das Funktional ein Maximum, ein Minimum oder einen Sattelpunkt annimmt. Es gibt zwei Arten von Variationsprinzipien. Einerseits gibt es die Differentialprinzipien, zu denen das D' Alambertsche Prinzip zu zählen ist. Andererseits existieren auch Integralprinzipien. Es soll in den folgenden Kapiteln vor allem darum gehen, dass eine Einführung in die Mechanik und einige Anwendungsbeispiele gegeben werden
sollen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Potentiale und konservative Kraftfelder
3 Generalisierte Koordinaten
4 Freiheitsgrade und Zwangsbedingungen
5 Prinzip der kleinsten Wirkung ⇒ Euler- Lagrange- Gleichungen
6 Prinzip der kleinsten Wirkung ⇐ Euler- Lagrange- Gleichungen
7 Hamiltonsche Gleichungen
8 Anwendung 1: Lagrangesche Mechanik auf Rn,n = 1, 2, 3
8.1 Hinweis: Translationsinvarianzen und Homogenit¨at in der Zeit
9 Anwendung 2: Lagrangesche Mechanik auf (R3)N
9.1 Schwerpunktgeschwindigkeitserhaltung
10 Ubungen
10.1 Beispiel: Aufgabe 1 - Das mathematische Pendel
10.2 L¨osung
10.3 Aufgabe 2 - Das aufrechte Pendel
10.4 L¨osung
10.5 Aufgabe 3 - Kugel am rotierendem Rohr
10.6 L¨osung
10.7 Aufgabe 4 - Zwei durch Stangen verbundene Kl¨otze
10.8 L¨osung
10.9 Aufgabe 5 - Die Enegieerhaltung im freien Fall
10.10L¨osung
10.11Aufgabe 6 - Die Energieerhaltung im freien Fall - mathematisch vereinfacht
10.12L¨osung
Zielsetzung & Themen
Das primäre Ziel dieser Arbeit ist die Einführung in die mathematische Beschreibung mechanischer Systeme durch fortgeschrittene Formulierungen, insbesondere die Lagrangesche und Hamiltonsche Mechanik, sowie deren Anwendung auf verschiedene physikalische Problemstellungen.
- Mathematische Modellierung durch Lagrange- und Hamilton-Funktionen.
- Untersuchung von Variationsprinzipien zur Herleitung von Bewegungsgleichungen.
- Analyse von Erhaltungsgrößen in konservativen Systemen.
- Praktische Anwendung auf Punktteilchensysteme und das N-Teilchen-Problem.
Auszug aus dem Buch
3 Generalisierte Koordinaten
Mechanische Systeme werden beschrieben durch Koordinaten. Kartesische Koordinaten bieten dabei allerdings meistens keine sinnvolle Lösung. Angebrachter ist die Verwendung von bereits angesprochenen generalisierten Koordinaten qi. Diese mussen nicht unbedingt die Dimension einer Länge haben. Die zeitliche Anderung der Koordinaten ˙ qi bezeichnet man als generalisierte Geschwindigkeiten. Wenn man nun zu jedem Punkt seine Koordinate und seine Geschwindigkeit kennt, ist das System vollständig beschrieben. Man erhält ebenso viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade vorliegen.
Es existiert immer eine Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und den generalisierten Koordinaten. r1 = r1(q1,...,qn, t), ..., rN = rN (q1,...,qn, t). Zum besseren Verständnis soll ein Beispiel angeführt werden: Die Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten bei festen Radius ρ sieht wie folgt aus:
x(ρ, φ, θ, t) = ρ sin(φ(t)) cos(θ(t))
y(ρ, φ, θ, t) = ρ sin(φ(t)) sin(θ(t))
z(ρ, φ, θ, t) = ρ cos(φ(t))
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einführung motiviert die Notwendigkeit der Mechanik für die mathematische Modellierung und führt in die Lagrangesche sowie Hamiltonsche Mechanik ein.
2 Potentiale und konservative Kraftfelder: Das Kapitel definiert konservative Kraftfelder über Potentialfunktionen und erläutert deren Bedeutung in der physikalischen Feldbeschreibung.
3 Generalisierte Koordinaten: Hier wird der Übergang von kartesischen zu generalisierten Koordinaten zur flexibleren Beschreibung mechanischer Systeme eingeführt.
4 Freiheitsgrade und Zwangsbedingungen: Es wird erklärt, wie Zwangsbedingungen die Anzahl der Freiheitsgrade in einem physikalischen System reduzieren.
5 Prinzip der kleinsten Wirkung ⇒ Euler- Lagrange- Gleichungen: Dieses Kapitel leitet das Hamiltonsche Prinzip der stationären Wirkung her und führt die Euler-Lagrange-Gleichungen ein.
6 Prinzip der kleinsten Wirkung ⇐ Euler- Lagrange- Gleichungen: Hier wird gezeigt, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen äquivalent zum Hamiltonschen Prinzip sind.
7 Hamiltonsche Gleichungen: Das Kapitel führt die Hamilton-Funktion mittels Legendre-Transformation ein und formuliert die zugehörigen Bewegungsgleichungen.
8 Anwendung 1: Lagrangesche Mechanik auf Rn,n = 1, 2, 3: Dieser Abschnitt demonstriert die Anwendung der Lagrangeschen Mechanik auf ein Punktteilchen in einem Feld.
9 Anwendung 2: Lagrangesche Mechanik auf (R3)N: Es wird die Mechanik von N Punktteilchen mit wechselseitigem Potential untersucht, einschließlich der Erhaltungssätze.
10 Ubungen: Dieser Teil enthält verschiedene Anwendungsbeispiele, wie das mathematische Pendel oder den freien Fall, zur Vertiefung des erlernten Stoffs.
Schlüsselwörter
Lagrange-Mechanik, Hamiltonsche Mechanik, Euler-Lagrange-Gleichungen, Variationsprinzip, Generalisierte Koordinaten, Freiheitsgrade, Zwangsbedingungen, Konservative Kraftfelder, Erhaltungssätze, Kinetische Energie, Potentielle Energie, Wirkungsintegral, Legendre-Transformation, Impulserhaltung, Drehimpulserhaltung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Modellierung mechanischer Systeme, ausgehend von den Prinzipien der klassischen Mechanik bis hin zur Lagrange- und Hamilton-Formulierung.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind Variationsprinzipien, die Beschreibung mechanischer Bewegungen durch generalisierte Koordinaten sowie die Analyse von Energie- und Impulserhaltung in physikalischen Systemen.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Das primäre Ziel ist die Herleitung und Anwendung der Bewegungsgleichungen nach Lagrange und Hamilton, um komplexe physikalische Probleme systematisch lösen zu können.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es werden mathematische Methoden der Variationsrechnung und der analytischen Mechanik verwendet, um Bewegungsgleichungen aus Lagrange-Funktionen und Hamilton-Funktionen herzuleiten.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil umfasst die theoretische Herleitung der Euler-Lagrange- und Hamilton-Gleichungen, die Betrachtung von Zwangsbedingungen sowie diverse Anwendungsbeispiele wie Pendelsysteme und Mehrkörperprobleme.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Lagrange-Mechanik, Hamilton-Mechanik, Wirkungsprinzip, Erhaltungssätze und generalisierte Koordinaten.
Wie unterscheiden sich die Lagrange- und Hamilton-Mechanik?
Die Lagrangesche Mechanik basiert primär auf Variationsprinzipien in Konfigurationsräumen, während die Hamiltonsche Mechanik auf dem Energiekonzept und der Verwendung von Impulsen im Phasenraum beruht.
Warum sind Zwangsbedingungen für mechanische Systeme wichtig?
Zwangsbedingungen schränken die Bewegungsfreiheit von Teilchen ein, wodurch sich die Anzahl der benötigten generalisierten Koordinaten zur vollständigen Beschreibung des Systems reduziert.
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- Felix Kasten (Autor), 2011, Euler-Lagrange-Gleichungen in der angewandten Analysis, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/209474
