Numerische Integration. Ausarbeitung zum numerischen Praktikum

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Vorbetrachtungen
2.1 Zur Gauß-Quadratur
2.1.1 Gauß- Legendre- Quadratur
2.1.2 Legendre- Polynome
2.2 Zu den Anfangswertproblemen
2.2.1 Zum Runge- Kutta Verfahren
2.2.2 Simpson- Regel
2.2.3 Zur MATLAB- Routine 45

3 Implementierungen
3.1 Analytische Lösung
3.2 Einfachen Gauß- Quadratur
3.3 Gauß- Legendre- Quadratur
3.3.1 Erläuterung zu lgwt.m
3.4 Klassisches, vierstufiges Runge- Kutta- Verfahren
3.5 Simpsonregel

4 Vergleich der Verfahren
4.1 Beispiel 1
4.2 Weitere gewählte Beispiele
4.2.1 Beispiel 2
4.2.2 Beispiel 3
4.2.3 Beispiele für Berechnung von gewöhnlichen Differentialgleichungen

5 Fazit

6 Schlussfolgerungen

1 Einleitung

In diesem Praktikumsbericht sollen theoretische Grundlagen der numerischen Integration auf- gezeigt werden, die maßgeblich an der Lösung der Aufgabe beteiligt sind. Hierfür ist es von Bedeutung, grob auf die Verfahren für die numerische Integration einzugehen und anschließend zu erläutern, wie man mit Hilfe weniger Umformungen des Integrals in ein Anfangswertpro- blem dieses mittels des Runge- Kutta Verfahrens lösen kann. In diesem Zusammenhang soll auch die MATLAB- Routine 45 beschrieben werden. An die Vorbetrachtungen schließt sich die Erklärung der Implementierung an. Dies soll aber nicht nur die Darstellung des Programm codes beinhalten, sondern auch auf Schwierigkeiten, die bei der Bearbeitung aufgetreten sind, eingehen. Die Gauß¹ - Quadratur wird zum einen in einfacher Form, zum anderen mittels der Legendre² - Polynome durchgeführt. Die so entstehenden Werte werden zusammen mit dem Ergebnis des implementierten klassischen Runge³ - Kutta⁴ - Verfahrens mit dem analytischen Wert und dem Wert der MATLAB- Routine 45 verglichen.

Es soll also ein Vergleich der Verfahren erfolgen, in dem dann die verschiedenen Methoden und die aus ihnen gewonnenen Ergebnisse, insbesondere mit der analytischen Lösung, verglichen werden. Abschließend wird eine Schlussfolgerung aus dem Praktikum gezogen. Hierbei sollen persönliche Eindrücke erläutert werden.

Die Numerischen Integrationsverfahren, auch Quadraturverfahren genannt, dienen dazu, In- tegrale von Funktionen, an deren Stammfunktion man nur unter enormen Aufwand gelangt, mit einer vorgegebenen Genauigkeit zu approximieren. Dies erfolgt oft durch Substitution viel einfacherer Funktionen. Die Genauigkeit richtet sich nach Art des Verfahrens. Im Vergleich werden die Verfahren, die implementiert wurden, unter anderem nach diesem Kriterium disku- tiert.

Von Vorteil ist es, wenn man solche Methoden für simple Funktionsbeispiele testet und mit der analytischen Lösung vergleicht. In Folge dessen, kann man auftretende, große Abweichungen verbessern, wie es zum Beispiel bei der Quadratur mit der einfachen Gauß- Formel der Fall ist. Die gegebene Funktion, auch Runge-Funktion genannt, ist daher gut geeignet für solch einen Vergleich, denn die analytische Lösung ist ohne großen Aufwand berechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Darstellung des ersten Beispiels

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Abbildung 2: Darstellung des zweiten Beispiels

Beispiel 3:

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Zudem werden auch Differentialgleichungen berechnet, um explizit den Vergleich zwischen 45 und dem Runge- Kutta- Verfahren zu ermöglichen.

Beispiel 4:

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mit dem Anfangswert 0 = 2. Hierbei ist 3 gesucht. Das Ergebnis lautet: 3 = 3 , 510109314302464.

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Abbildung 3: Darstellung des dritten Beispiels

2 Vorbetrachtungen

Es gilt, die einzelnen Verfahren, die in der Aufgabe angesprochen wurden, näher zu erläutern. Zur Veranschaulichung wird das gegebene Beispiel genutzt. Es ist eine reellwertige Funktion gegeben. Gesucht ist ein Näherungswert für

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Mittels verschiedener Methoden kann man dieses Integral näherungsweise berechnen. Den Fehler einer Methode erhält man folgendermaßen:

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mit der Quadraturformel ( ) und dem Fehlerfunktional ( ). Ziel ist es, dass ( ) gegen 0 geht. Also gilt dann:

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Daran erkennt man das Prinzip der Quadraturverfahren. Wie oben erwähnt, wird die schwierig zu integrierende Funktion durch eine einfachere Integrandenfunktion ersetzt. Dies geschieht in Abhängigkeit von dem jeweiligen Verfahrens. Es gibt neben elementaren Methoden, wie Rechteckregel, Trapezregel und Mittelpunktregel, auch das so genannte Gauß- Quadraturverfahren. Letzteres soll im Folgenden erklärt werden.

2.1 Zur Gauß-Quadratur

Die Gauß- Formeln haben die Form ( ) = zugehörigen Gewichten .[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten],mitdenStützstellen undden Die einfachste Gauß- Formel setzt sich also aus einer äquidistanten Zerlegung des Intervalls als Stützstellen und einfacher Gewichte zusammen.

Man kann Gauß- Formeln mit beliebiger Anzahl von Stützstellen konstruieren. Das dabei ent- stehende Gleichungssystem ist stets lösbar. Auf diese Art kann man Formeln mit beliebiger Anzahl von Stützstellen aufstellen. Für die Gauß- Formeln ( ) gilt folgende Fehlerdarstel- lung:

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Die Legendre- Polynome erfüllen die Rekursionsformel:

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Ebenso gilt die Orthogonalitätsbedingung mit , ∈ ℕ0:

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Das -te Legendre- Polynom besitzt im Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nur einfache, reelle Nullstellen. Werden diese als Stützstellen gewählt, so gilt für die Quadraturformel:

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mit den Stützstellen . Diese entsprechen den einfachen Nullstellen des jeweiligen Legendre- Polynoms. Die Formel exakt für alle Polynome mit einem Grad ≤ 2 + 1. Der Genauig- keitsgrad beträgt also = 2 + 1. Die auftretenden Gewichte fallen stets positiv aus. Das wirkt sich in der Rechnung numerisch günstig aus, da keine Auslöschung auftreten kann. Die Koeffizienten , auch als Integrationsgewichte bezeichnet, sind für = 1 , ..., durch folgende Gleichung gegeben:

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Sofern die n Stützstellen bekannt sind, kann man auch ein lineares Gleichungssystem für die n Gewichte zu den n Stützstellen lösen. Die Legendre- Polynome lassen sich folgendermaßen veranschaulichen:

Dieser Abbildung liegen die ersten vier Legendre- Polynome zugrunde: 0 = 1

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Mittels der Rekursionsformel für die Legendre- Polynome kann dies beliebig erweitert werden.

Die Gauß- Formeln für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] lauten:

(), wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine (unbekannte) Zwischenstelle ist. ( ) besitzt also die Fehlerordnung ².

2.1.1 Gauß- Legendre- Quadratur

Zur Diskussion dieser Methode muss beachtet werden, dass die Gauß- Legendre- Quadratur im Intervall [-1,1] definiert ist. Dieses wird auf abgeschlossene Intervalle [a,b] verallgemeinern, also muss das Intervall [-1,1] auf [a,b] transformiert werden. Dies erfolgt so:

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Dann kann man die Gauß- Legendre- Quadratur für ein Integral im Intervall [ , ] auf beliebi- ge Funktionen anwenden. Für ein einfacheres Nachvollziehen der Gauß- Legendre- Quadratur wird im Folgenden aber weiterhin das Intervall [-1,1] betrachtet. Die Stützstellen der Gauß- Formeln entsprechen hier den Nullstellen des so genannten -ten Legendre- Polynoms.

2.1.2 Legendre- Polynome

Nun werden die Legendre- Polynome näher betrachtet. Die Legendre- Polynome sind orthogonale Polynome. Wie bereits erwähnt, sind die Stützstellen bzw. Knoten der Gauß- Legendreschen Quadraturformeln im Integrationsbereich [-1,1] die Nullstellen der Legendre- Polynome (). Genau dann ist die Quadratur optimal. Diese Polynome erfüllen die Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ Carl Friedrich Gauß, 1777 - 1855, deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker

² Adrien- Marie Legendre, 1752 - 1833, französischer Mathematiker

³ Carl Runge, 1856 - 1927, deutscher Mathematiker

⁴ Wilhelm Kutta, 1867 - 1944, deutscher Mathematiker