Probleme der Entwicklung grundlegender Begriffe der Integralrechnung

Belegarbeit für das Hauptseminar in der Mathematikdidaktik


Seminararbeit, 2011
28 Seiten

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Historische Entwicklung des Integralbegriffs

3. Wissen und Können zum Integralbegriff vor und nach der Behandlung in der Sekundarstufe II

4. Zusammenhang wichtiger Begriffe - Begriffssystem

5. Aspekte des Integralbegriffs

6. Erarbeitungsmöglichkeiten und Zugänge zum Integralbegriff
a. Problematik 1 - Badewanne
b. Problematik 2 - Wasserverbrauch
c. Problematik 3 - Fahrtenschreiber
d. Problematik 4 - Geschlechterwachstum
e. Andere Anwendungsproblematiken

7. Darstellungsmöglichkeiten des Integralbegriffes durch neue Medien

1. Einleitung

Der Integralbegriff beschäftigt den Menschen schon seit langer Zeit, noch vor dem des Differentials. Die heutige Integralrechnung bildet zusammen mit der Differentialrechnung die Grundlage der Analysis als Teilgebiet der Mathematik. In Abgrenzung zu der Differentialrechnung, in der es darum geht, zu einer gegebenen Funktion eine Ableitung zu bilden und um die Fragen wie man zur Ableitung gelangt und unter welchen Voraussetzungen diese existiert und die Frage nach der lokalen Änderungsrate, betrachtet die Integralrechnung die Problematiken umgekehrt. Das Integrieren tritt also als „Umkehrung“ des Differenzierens auf. Allerdings tritt sie oft auch im Zusammenhang mit Flächeninhaltsbestimmungen auf. Man benutzt den Begriff wenn man die Fläche unter einem Funktionsgraphen und bei der Berechnung der Fläche des Kreises, also allgemein von krummlinig begrenzten Flächen. Nicht nur in der Flächenberechnung sondern auch in der Volumenberechnung ist dieser Begriff präsent. So findet er Anwendung bei Volumenberechnungen von Rotationskörpern, bspw. von Zylindern, Kegeln und Kugeln. Diesen Begriff sieht man sich insgesamt in vielen Anwendungsbereichen gegenüber.

So folgt, dass der Integralbegriff in die Schulbildung an Gymnasien aufgenommen wurde. Daher ist dieser Begriff für die Fachdidaktik der Wissenschaft Mathematik von enormer Bedeutung.

Diese Arbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit dem Begriff des Integrals im Mathematikunterricht. Es wird vorerst ein kurzer historischer Überblick über die Entwicklung des Integralbegriffes gegeben. Neben dieser wird insbesondere auf die formalen und inhaltlichen Aspekte und kurz auf das Wissen und Können zu diesem Begriff vor und nach der Behandlung in der Sekundarstufe II eingegangen. Darüber hinaus sollen im Speziellen die Erarbeitungsmöglichkeiten des Integralbegriffes dargelegt werden, um darauf basierend Schlussfolgerungen für den eigenen Unterricht zu ermöglichen. Abschließend sollen einige Darstellungsmöglichkeiten mit neuen Medien vorgestellt werden.

2. Historische Entwicklung des Integralbegriffs

Wie bereits erwähnt ist die Flächenberechnung seit der Antike ein betrachtetes Problem. Zunächst wurden Berechnungen für einfache, geradlinig begrenzte Flächen auf Rechteckflächen und Dreiecksflächen zurückgeführt. Es stellte sich aber heraus, dass die Flächeninhaltsbestimmung krummlinig begrenzter Flächen ein interessanteres Problem darstellt. Dies wurde zu Beginn lediglich über Approximationen und Grenzwertbestimmungen realisiert. Der um 460 vor Christus geborene Hippokrates (ca. 460 v. Chr. - ca. 370 v. Chr.) versuchte die Fläche seiner sogenannten Möndchen zu berechnen.

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Damit gelingt die „Quadratur“, also Flächenberechnung, der Möndchen. In dem gleichen Zeitraum etwa (500 bis 400 Jahre vor Christus) entwickelte Eudoxos von Knidos (ca. 395 v. Chr. - ca. 342 v. Chr.) mit Antiphon (480 v. Chr. - 411 v. Chr.) die Exhaustionsmethode. Die Idee wurde auf Flächen transferiert. Der später geborene Archimedes (ca. 287 v. Chr. - 212 v. Chr.) hat versucht die Fläche einer Parabel über Aufteilung in Segmente zu berechnen. Diese Methode bezeichnet man heute als Parabelsegmentmethode des Archimedes oder auch Exhaustionsmethode. Einerseits zerlegte Archimedes die Fläche in verschiedene Segmente, die dann in der Summe eine gute Approximation der Fläche bringen sollten, andererseits sagt man ihm auch nach, dass er die Fläche unter der Parabel über Rechtecke abgeschätzt hat.

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Diese Methode wurde dann bis tief in das Mittelalter hinein genutzt. Die numerischen Integrationsregeln, wie Rechteckregel und Trapezregel, oder auch Keplersche Fassregel wurden bereits von Johannes Kepler (1571 - 1630) bei der Berechnung der Laufbahn vom Planeten Mars benutzt. 1615 veröffentlichte er dann seine Keplersche Fassregel. Im 17. Jahrhundert versprach Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1647) mit dem Prinzip von Cavalieri, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle zur Grundfläche parallelen ebenen Schnitte in entsprechenden Höhen den gleichen Flächeninhalt haben, Veränderung. Dies wurde auch auf Flächen angewandt, bei denen dann Strecken betrachtet werden. Dieses Prinzip findet also auch in der Integralrechnung Anwendung.

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Die Differenz der Integrale entspricht also dem Integral der Differenz. Dazu bietet sich eine Veranschaulichung an.

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Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton (1642- 1726) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) Kalküle zur Differentialrechnung aufzustellen. So entdeckten sie den Fundamentalsatz der Analysis. Leibniz führte auch das Integralzeichen „langes s“ ein. Von diesem Zeitpunkt an, bei dem eine höhere Abstraktionsebene erreicht wurde, spricht man von der Analysis. Der Begriff Integral geht auf Johann Bernoulli(1667 - 1748) im Jahre 1690 zurück.

Im 19. Jahrhundert erfuhr die Analysis eine Stabilisierung. 1823 entwickelte Augustin Louis Cauchy(1789 - 1857) erstmals einen schlüssigen Integralbegriff. Cauchy definierte das Integral für stetige Funktionen. Cauchy nutzte erstmals zur Definition des Integrals den Grenzwertbegriff (Linkssummen). Erst später wurde der Begriffe Riemann- Integral (über Ober- und Untersumme) eingeführt. Im 20. Jahrhundert kam der Begriff des Lebesgue- Integrals von Henri Lebesgue (1875 - 1941) auf und löste weitgehend die durch Cauchy und Riemann (1826 - 1866) geprägten Integralbegriffe ab. Innerhalb kurzer Zeit entstand um den Begriff des Lebegue- Integrals einer der Basen der zu dieser Zeit neu entstehenden Funktionalanalysis. Besonders in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Physik kam der mit diesem Begriff verbundenen Maßtheorie eine bedeutungsvolle Rolle zu. Dies führte dann zu einer enormen Menge an Überlegungen zur Mathematik, auf der die heutige Wissenschaft aufbaut.

3. Wissen und Können zum Integralbegriff vor und nach der Behandlung in der Sekundarstufe II

In diesem Zusammenhang ist es angebracht den Begriff des Integrals in den Rahmenplan einzuordnen. Hierbei ist es wichtig, dass stark mit der Quelle /6/ gearbeitet wurde. Innerhalb eines Kurshalbjahres, in dem die Analysis behandelt wird, wird mit der Differentialrechnung die Grundlage geschaffen, die Integralrechnung zu erarbeiten. So wird die lokale Änderungsrate einer Funktion thematisiert und real und geometrisch interpretiert.

Übersicht über Hauptprozesse der Entwicklung des fachspezifischen Wissens und Könnens zu Funktionen (vgl. /7/, /8/, /9/ und /10/)

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Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind Begriffe, die in der Integralrechnung gebraucht werden. Allerdings bietet sich nicht nur aus diesen Gründen ein zur Historie konträrer Weg an. Die Differentialrechnung ist stärker an Kalküle angelehnt und somit für den Anfang leichter verständlich. Über das Tangentenproblem werden Ableitungen sehr schnell zugänglich gemacht ohne von der Ableitung zu sprechen (siehe dazu Referate „Analysis I“ und „Analysis II“). Ausgenommen dieser Argumente wird der Ableitungsbegriff früh in den Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie verwendet, daher bietet sich ebenfalls diese Reihenfolge an. Die Integralrechnung verfolgt das Ziel, bisher aufgetretenen Defizite auszugleichen und/oder stärken weiterhin auszubilden bzw. weiterzuentwickeln. Die Lernenden sollen sich mit komplexen Aufgaben selbstständig befassen und diese lösen. So soll eine Rekonstruktion eines Bestandes aus Änderungsraten in Anwendungssituationen als Modellierung und als anschaulicher Grenzprozess erfolgen. Zudem wird eine Flächenbestimmung als Grenzprozess zum Beispiel über Ober- und Untersumme dargelegt. Es wird das Ziel verfolgt, bestimmte Integrale von linearen Funktionen und Potenzfunktionen schnell zugänglich zu machen. Es sollen diesbezüglich bestimmte Eigenschaften wie Linearität und Homogenität des bestimmten Integrals erörtert werden. Letztendlich soll der Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung (im Folgenden: HDI) erarbeitet und verstanden werden. Im Speziellen werden, Stammfunktionen und Integrale von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion, Berechnungen von Flächen unter oder zwischen Funktionsgraphen in einfachen Anwendungskontexten und Rekonstruktion eines Bestandes aus Änderungsraten thematisiert. Der Leistungskurs hat das Bestreben, eine geometrisch- anschauliche Begründung des HDI zu erarbeiten. Zusätzlich erfolgt eine Erweiterung der Bildung von Stammfunktionen und Integralen von Logarithmus- und trigonometrischen Funktionen. Zudem werden Rotationsvolumina um die Abszisse berechnet. Es kann auch tiefer ins Fach eingedrungen werden. In diesem Sinne, solange Zeit vorhanden ist, kann man die Substitutionsregel als Umkehrung der Kettenregel und die partielle Integration als Umkehrung der Produktregel behandeln. Es erfolgt also eine Verbindung zwischen Ableitungsregeln und Regeln zur Bestimmung der Stammfunktion, das Aufleiten. Des Weiteren kann eine Diskussion über Beschränktheit und Unbeschränktheit des uneigentlichen Integrals erfolgen. Zudem werden auch numerische Integrationsmöglichkeiten wie zum Beispiel Trapezregel vorgestellt.

Es liegt also bereits bestimmtes Wissen vor der Behandlung des eigentlichen Begriffs des Integrals vor. Darunter zählen dann die Flächenberechnungen der Dreiecke und Vierecke und auch zusammengesetzte Flächen. Die Volumenberechnung von Prismen, Kegeln, Kugeln. Es wurden bereits Flächen und Körper zerlegt und zusammengesetzt. Es wurden auch bereits Rotationskörper wie Zylinder, Kegel, Kugel vorgestellt und behandelt bzw. zum Unterrichtsgegenstand gemacht. Dies ist aus der Sekundarstufe I resultierend. Das Resultat aus Sekundarstufe II ist: Wissen und Können zum Begriff des Grenzwertes, Summenzeichen, Begriff des Intervalls und entsprechende bzw. mit entsprechenden Intervallgrenzen verbunden Intervallarten, einfaches Differenzieren im Sinne der Bildung der Ableitung und im Rekonstruieren von Funktionsgleichungen, bzw. finden von Funktionsgleichungen als Umkehraufgabe zum Ableiten (Festigung des Ableitens).

Stellt sich nun die Frage, was eigentlich erreicht werden soll. Dies soll über verschiedene Niveaustufen anschaulich zusammengefasst werden.

Sicheres Wissen und Können:

Die Schülerinnen und Schüler sollen jederzeit und ohne Reaktivierung wissen, dass ein bestimmtes Integral in der Mathematik als gemeinsamer Grenzwert zweier Folgen von Summen von Teilprodukten (Ober- und Unter-summen) erklärt wird.

Die Lernenden sind sich bewusst, dass das Integral der Funktion in einem Intervall geometrisch als Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse aufgefasst werden kann, wenn der Graph einer Funktion in einem Intervall oberhalb der x- Achse liegt, und dass das Integral der Funktion f den aufsummierten Gesamtbestand der Größe G in dem Integrationsintervall angibt, wenn eine Funktion f das Änderungsverhalten einer Größe G in Bezug auf die auf der x-Achse dargestellten Größe in Anwendungssituationen beschreibt. Die Art der Größe G kann durch Multiplikation der beiden auf der y- und x-Achse dargestellten Größen ermittelt werden.

Des Weiteren Beherrschen die Heranwachsenden das Bestimmen einer Stammfunktion und realisieren, dass dies eine Umkehrung des Differenzierens ist. Zusätzlich sind die Schülerinnen und Schüler befähigt Stammfunktionen einfacher Potenzfunktionen zu bilden bzw. zu bestimmen. Dabei können diese die Schreibweise für das bestimmte Integral benutzen.

Zusätzlich können die Schülerinnen und Schüler den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung auf einfache inner- und außermathematische Aufgabenstellungen anwenden. Die Lernenden beherrschen einfache Integrationsregeln, wie Summen- , Faktorregel und partielle Integrationsregel. Zudem sollen die Schülerinnen und Schüler das Volumen eines Rotationskörpers um die x- Achse realisieren und identifizieren. Reaktivierbares Wissen und Können:

Die Schülerinnen und Schüler kennen, nach hinreichender Reaktivierung, Zusammenhänge zwischen Ableitung, Ableitungsfunktion, Integral, Integralfunktion und Stammfunktion. Auch die Flächeninhaltsberechnung bzw. das Verfahren zur Bestimmung des Flächeninhalts zwischen Funktionsgraphen sollte dann wieder angewendet werden können (auch zusammengesetzte Flächen). Analog auch das Verfahren zur Bestimmung des Volumens von Rotationskörpern (auch um die y- Achse). In Anwendungsaufgaben bzw. im Anwendungskontext können die bestimmten Integrale mit negativen und positiven Werten interpretiert werden. Sachaufgaben, die die geometrische Bedeutung des Integrals und seine Bedeutung als aufsummierten Bestand einer Größe betreffen, sollten nach Reaktivierung gelöst werden können.

Exemplarisches Wissen und Können:

Die Schülerinnen und Schüler verinnerlichten bestimmte Herangehensweisen an die Integralrechnung, wie das Prinzip der Grenzwertbetrachtung von Ober- und Untersummen. Die Integralrechnung wird lediglich in der Schule angerissen und hat weiterhin viele Anwendungsmöglichkeiten. Dies wird unter anderem durch eine Vielzahl von Anwendungsaufgaben zur Übung und Festigung realisiert. Dabei kann auch eine Berechnung einer Bogenlänge oder einer Mantelfläche als zusätzliche Beispiele angeführt werden. Wichtig bei der Bestimmung Bogenlänge einer Kurve ist, dass diese nicht mit einer Fläche interpretiert werden kann.

Ein Beispiel dazu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4. Zusammenhang wichtiger Begriffe - Begriffssystem

Es gilt die Definitionen folgender Begriffe darzulegen: Integralfunktion,

Flächeninhaltsfunktion, Stammfunktion, bestimmtes und unbestimmtes Integral und uneigentliches Integral. Anfangs sollen die verschiedenen Definitionen angeführt werden, die im Anschluss in einen Zusammenhang gestellt werden.

Definition: (Integralfunktion) (vgl. /11/)

Für eine stetige und integrierbare Funktion f(t) stellt die Funktion

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die Funktion des orientierten Flächeninhaltes dar, den f(t) mit der x- Achse zwischen a und x (a < x) einschließt. Man bezeichnet sie als Integralfunktion. Die Funktionswerte der Integralfunktionen heißen Integrale.

Wird die Integralfunktion nur auf positive Funktionen angewendet, so entspricht sie der Flächeninhaltsfunktion.

Definition: (Flächeninhaltsfunktion) (vgl. /12/)

Gegeben sei die Funktion f als Randfunktion, sie begrenzt die Fläche. f sei im Intervall [a;x] definiert. Dann gilt: Für x > a ist

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der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f über dem Intervall [a;x]. A0(x) nennt man Flächeninhaltsfunktion zur Stelle x = 0.

Letztlich gibt die Integralfunktion zu jeder Stelle x ein bestimmtes Integral aus.

Definition: (bestimmtes Integral)

Das bestimmte Integral, auch Riemann- Integral genannt, einer Funktion f in den Grenzen von x = a bis x = b ist der folgende Grenzwert, falls dieser existiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

Ende der Leseprobe aus 28 Seiten

Details

Titel
Probleme der Entwicklung grundlegender Begriffe der Integralrechnung
Untertitel
Belegarbeit für das Hauptseminar in der Mathematikdidaktik
Hochschule
Universität Rostock  (Institut für Mathematik)
Veranstaltung
Hauptseminar - Didaktik der Mathematik
Autor
Jahr
2011
Seiten
28
Katalognummer
V209480
ISBN (eBook)
9783656371151
ISBN (Buch)
9783656371878
Dateigröße
3704 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
probleme, entwicklung, begriffe, integralrechnung, belegarbeit, hauptseminar, mathematikdidaktik
Arbeit zitieren
Felix Kasten (Autor), 2011, Probleme der Entwicklung grundlegender Begriffe der Integralrechnung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/209480

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