Die Fibonacci-Zahlen. Über die Fibonaccifolge, den goldenen Schnitt und deren Auftreten in Natur und Wirtschaft

Inhalt

1. Einleitung

2. Leonardo Fibonacci – Biographie

3. Die Fibonacci-Folge

4. Eigenschaften der Fibonacci-Folge
4.1. Satz 1
4.2. Satz 2
4.3. Die Formel von Binet
4.4. Fibonaccizahlen mit negativen Indizes
4.5. Satz 3
4.6. Der goldene Schnitt

5. Anwendungen
5.1. Vererbung von X-Chromosomen
5.2. Fibonacci in der Natur
5.3. Fibonacci Trading

6. Anhang
6.1. Quellen
6.2. Abbildungen
6.3. Beweise

1. Einleitung

Die Fibonacci-Folge:

Sie ist eine der ältesten Folgen der Menschheit. Benannt wurde sie zwar nach Leonardo Fibonacci, der sie 1227 beschrieb, doch bekannt war sie schon in der Antike um 100 v.Chr. – im asiatischen Raum sogar schon früher. Seitdem beschäftigt sie Mathematiker wie auch Nicht-Mathematiker mit ihren zahllosen interessanten Eigenschaften und Anwendungsgebieten. So ist die Folge mittlerweile schon fast zum Kult geworden, sodass vier Mal im Jahr der „The Fibonacci Quaterly“, herausgegeben von der „Fibonacci Association“, erscheint. Huberta Lausch spricht sogar von der „verborgenen Schönheit [der Folge und] ihren vielfältigen Verflechtungen mit vielen Teilgebieten der Mathematik“[1]. Leider kann die folgende Arbeit nur einen kleinen Teil dieses „Faszinosums Fibonacci“ beleuchten, doch werden die grundlegenden Eigenschaften aufgezeigt und dargestellt. Auch die Anwendung der Fibonacci-Folge im täglichen Leben, vor allem in der Natur, macht einen großen Teil der Arbeit aus. Unter anderem werden Schlüsse von der Fibonacci-Folge auf Gebiete wie die Vererbungslehre, die Botanik und auch die Aktienanalyse gezogen.

2. Leonardo Fibonacci – Biographie

Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt, zählt, unter anderem dank der Entdeckung der nach ihm benannten Fibonacci-Folge, zu den bedeutendsten Mathematikern des Mittelalters.

Leonardo wurde in den Quellen mit unterschiedlichen Namen benannt. Bekannt ist aber, dass er, wie die anderen männlichen Mitglieder seiner Familie den Namen seines Großvaters Bonaccio („der Gütige“) als Patronym[2] trug. Infolge dessen wurde er auch als figlio de Bonaccio („Sohn des Bonaccio“) bezeichnet, woraus später durch Kontraktion der Name Fibonacci entstand.

Geboren wurde Fibonacci um 1180 in Pisa als einer von zwei Söhnen des Guglielmo Bonacci. Als sein Vater um 1192 als Notar in die Niederlassung der Pisaner Kaufmannschaft nach Bougie gerufen wurde, nahm dieser seinen Sohn Leonardo mit, sodass dieser dort im Rechnen unterrichtet wurde. Er lernte das Rechnen mit den novem figurae indorum[3], was er im Nachhinein als sehr positiv bewertete und zu deren Verbreitung in Europa er maßgeblich beitrug.Später reiste Fibonacci vor allem im Mittelmehrraum sehr viel. Auf Studienreisen besuchte er Handelsorte in Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien, Südfrankreich und Konstantinopel.Fibonacci verfasste einige Werke über die Mathematik. Das bekannteste ist sein Liber abacci[4], in dem er 1202[5] seine gesamten gesammelten Erkenntnisse zusammenfasst. Im zwölften Kapitel dieses Buches findet sich auch die berühmte Kaninchenaufgabe – der einzige Anwendungsfall der Fibonacci-Folge – die in dieser Arbeit später noch einmal angesprochen wird.Die letzte schriftliche Erwähnung des Leonardo Fibonacci findet sich im Jahre 12414 in einem Dokument der Kommune Pisa, sodass dieses Datum , vorausgesetzt es ist korrekt, als frühestes mögliches Todesdatum angenommen werden kann. [1]

3. Die Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge tauchte zum ersten Mal im zwölften Kapitel des Liber abacci auf. Eine Aufgabe dort lautet:

„Ein Mann hielt ein Paar Kaninchen an einem Ort, der ringsum von einer Mauer umgeben war, um herauszufinden, wieviele Paare daraus in einem Jahr entstünden. Dabei ist es ihre Natur, jeden Monat ein neues Paar auf die Welt zu bringen, und sie gebären erstmals im zweiten Monat nach ihrer Geburt. Wieviele Kaninchenpaare entstehen im Verlauf eines Jahres?“ [6][3]

Zunächst muss erwähnt werden, dass die Kaninchen weder sterben oder fliehen, noch dass ihre Zeugungsfähigkeit im Laufe der Zeit eingeschränkt wird. Des Weiteren wird erklärt, dass das erste Paar schon nach dem ersten Monat ein zweites Paar gebiert, welches dann im zweiten Monat aber noch nicht geschlechtsreif ist, sodass am Ende des zweiten Monats drei Paare vorhanden sind. Im dritten Monat bekommt das zweite Paar, genau wie das erste, Junge, sodass zusammen mit dem noch unreifen Paar aus Monat zwei nun insgesamt 5 Paare vorhanden sind; und so weiter. Abbildung 1 (s. Anhang) veranschaulicht den Sachverhalt.Mathematisch lässt sich das Problem folgendermaßen darstellen (gibt die Anzahl der Paare zu Beginn des n-ten Monats an):Am Anfang waren noch keine Kaninchen vorhanden und zu Beginn des ersten Monats besagtes erste Paar. Es gilt also:

Die Anzahl der Kaninchen zu Beginn eines Monats lässt sich berechnen aus der Summe der Kaninchen, die im Monat davor schon vorhanden waren und den neu hinzugekommenen Kaninchen. Diese entspricht der Anzahl der geschlechtsreifen Kaninchen, welche wiederum der Anzahl der Kaninchen zwei Monate vorher entspricht, da die neugeborenen Kaninchen einen Monat brauchen um Junge bekommen zu können. Es folgt:

Diese rekursive Folge nennt man Fibonacci-Folge.

Durch Substitution von durch beziehungsweise erhält man alternativ auch

Für die Fibonacci-Folge (1) ergibt sich folgende Wertetabelle: (: Anzahl der Paare nach n Monaten)

Die Lösung der Kaninchenaufgabe ist, da genau mit Beginn des 13ten Monats ein volles Jahr verstrichen ist. [4 S.2/3]

4. Eigenschaften der Fibonacci-Folge

4.1. Satz 1

Eine sehr interessante Beziehung zwischen Fibonaccizahlen, die sich durch die vollständige Induktion leicht beweisen lässt, zeigt folgender Satz:

Beweis:

durch vollständige Induktion nach m.

Induktionsanfang:

Der Induktionsanfang wird für m=1 und m=2 gezeigt. Dass er für m=0 ( und ) gilt, ist offensichtlich.

was beides laut Rekursionsformel (1a) und (1b) der Fibonacci-Folge für alle n∈ℕ gilt.

Induktionsvoraussetzung:

Es gilt für ein m∈ℕ und für :

Induktionsschritt:

Durch Addition ergibt sich:

Damit ist die Behauptung für und somit für alle m∈N bewiesen. □ [6 S.9]

4.2. Satz 2

Es soll die Summe der Quadrate der ersten n Fibonaccizahlen errechnet werden. Es gilt:

Beweis:

Es gilt laut Rekursionsformel (1b) für . Fürhingegen gilt. Setzt man beides in ein, so erhält man[7]:

4.3. Die Formel von Binet

Zwar lassen sich Fibonaccizahlen durch Sätze wie Satz 1 berechnen, allerdings nur mithilfe vorhergehender Fibonaccizahlen. Möchte man sehr große Fibonaccizahlen berechnen ist dies mithilfe der Rekursion sehr aufwendig. Deshalb wird stattdessen eine Formel benötigt, die die n-te Fibonaccizahl nicht in Abhängigkeit der vorhergehenden Fibonaccizahlen, sondern nur in Abhängigkeit von n angibt. Es wird also eine explizite Definition für die Fibonacci-Folge gesucht. Diese Formel fand 1843 der Franzose Jacues Philippe Marie Binet (1786-1856).

Herleitung

Da die Fibonacci-Folge, wie man auf Seite 4 sieht, sehr schnell anwächst, wird eine exponentielle Zunahme angenommen. Der Ansatz lautet also, dass für das n-te Folgenglied fn gilt:

wobei λ eine unbekannte reelle oder komplexe[8] Zahl ist. Setzt man dies in die Gleichung (1b) ein so erhält man:

Division durch ergibt:

Diese sogenannte charakteristische Gleichung der Fibonacci-Folge besitzt laut p-q-Formel die Lösungen und.

Es bestehen also zwei Folgen {an} und {bn} mit

, die die Rekursion (1b) erfüllen. Des Weiteren gilt diese aber, solange {an} und {bn} (1b) erfüllen, auch für jede Folge {cn} mit[9]

Da die Anfangswerte der Fibonacci-Folge mit und bekannt sind lässt sich das lineare Gleichungssystem

aufstellen und nach und lösen. Durch Einsetzen erhält man die Formel von Binet:

Oft wird und eingesetzt, sodass man erhält:

[...]