Diese Arbeit behandelt die Kalkulation von Prämien bezogen auf das Versicherungswesen - ein Thema von großer Bedeutung. Einerseits muss sichergestellt werden, dass die Versicherungsunternehmen durch hinreichend hohe Prämien in der Lage sind, ihre Leistungsversprechen gegenüber den Versicherungsnehmern im Rahmen der Versicherungsverträge mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einzuhalten. Andererseits sollte die Kalkulation von Prämien “fair” erfolgen, so dass jeder Versicherungsnehmer gemäß des Risikos seiner zu versichernden zufälligen zukünftigen Schadenhöhen bewertet wird und die Prämie nicht unangemessen oder ungerechtfertigt hoch festgesetzt wird. Hierzu werden wir im Folgenden von einem Versicherungsunternehmen ausgehen, welches ein oder mehrere Risiken versichert und für jedes Risiko als auch einen Bestand von Risiken eine Prämie bestimmen will.
Zunächst werden wir in Kapitel 2 Prämienprinzipien und einige andere wichtige Begriffe mathematisch präzisieren und im Anschluss gewünschte Eigenschaften von Prämienprinzipien kennenlernen. Schließlich werden wir zwei grundlegende Prämienprinzipien vorstellen und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersuchen.
In Kapitel 3 betrachten wir explizite Prämienprinzipien, die dadurch charakterisiert sind, dass sie für jedes Risiko die Prämie explizit durch eine Funktion der Erwartungswerte bestimmter Funktionen des Risikos festsetzen. Wir werden hierbei viele verschiedene Prämienprinzipien und ihre Eigenschaften kennenlernen.
In Kapitel 4 befassen wir uns mit dem Zusammenhang von Prämienprinzipien und Verlustfunktionen. Wir werden sehen, wie sich einige der bis dahin vorgestellten Prämienprinzipien durch das Minimieren einer Verlustfunktion begründen lassen.
In Kapitel 5 beschäftigen wir uns mit Nutzenfunktionen und deren Anwendung im Nullnutzenprinzip, um Prämien festzusetzen. Mithilfe einiger Definitionen und Sätze werden wir das Nullnutzen-Prinzip hinsichtlich einer gewünschten Eigenschaft untersuchen und im Zusammenhang mit Nutzenfunktionen das Arrow-Pratt-Maß betrachten.
Schließlich behandelt Kapitel 6 die Aufteilung der Prämie, es wird nun ein Bestand von Risiken betrachtet. Hierzu werden wir weitere Eigenschaften von Prämienprinzipien kennenlernen, wobei der Ausgleich im Kollektiv äußerst wünschenswert ist. Wir werden beispielhaft sehen, wie sich die Prämie für einen Bestand auf die einzelnen Risiken aufteilen lässt und dieses Vorgehen im Zuge des Kovarianz-Prinzips verallgemeinern.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Prämienprinzipien
2.1 Eigenschaften von Prämienprinzipien
2.2 Das Nettoprämien-Prinzip
2.3 Das Perzentil-Prinzip
3 Explizite Prämienprinzipien
3.1 Das Erwartungswert-Prinzip
3.2 Das Varianz-Prinzip
3.3 Das Semivarianz-Prinzip
3.4 Das Standardabweichung-Prinzip
3.5 Das Semistandardabweichung-Prinzip
3.6 Das Mittelwert-Prinzip
3.7 Das Esscher-Prinzip
3.8 Das Karlsruhe-Prinzip
4 Prämien und Verlustfunktionen
4.1 Das Nettoprämien-Prinzip
4.2 Das Erwartungswert-Prinzip
4.3 Das Mittelwert-Prinzip
4.4 Das Esscher-Prinzip
4.5 Erfahrungstarifierung
5 Prämien und Nutzenfunktionen
5.1 Arrow-Pratt-Maß
6 Die Aufteilung der Prämie
6.1 Ausgleich im Kollektiv
6.2 Additive Prämienprinzipien
6.3 Subadditive Prämienprinzipien
6.4 Das Kovarianz-Prinzip
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit befasst sich mit der mathematischen Kalkulation von Prämien im Schadenversicherungswesen durch die Anwendung verschiedener Prämienprinzipien. Das Ziel ist es, Methoden zu analysieren, mit denen Versicherungsunternehmen faire Risikoprämien festsetzen können, ohne die Stabilität der Leistungsversprechen zu gefährden.
- Mathematische Definition und Eigenschaften von Prämienprinzipien
- Analyse expliziter Prämienprinzipien wie dem Erwartungswert- oder Varianz-Prinzip
- Zusammenhang zwischen Prämienprinzipien und Verlustfunktionen
- Anwendung von Nutzenfunktionen und dem Nullnutzen-Prinzip
- Untersuchung der Aufteilung von Gesamtprämien auf Kollektive und Bestände
Auszug aus dem Buch
3.2 Das Varianz-Prinzip
Definition 3.3. Sei LH := {X ∈ L2(R+)|P({X > E[X] + γVar(X)}) > 0} für γ ∈ R+.
Die Abbildung H : LH −→ R+ mit H(X) := E[X] + γVar(X) heißt dann Varianz-Prinzip zum Parameter γ.
Der folgende Satz zeigt, dass wir so ein Prämienprinzip definiert haben, es jedoch keine der gewünschten Eigenschaften erfüllt.
Satz 3.4. Das Varianz-Prinzip ist ein Prämienprinzip. Es ist weder proportional (und damit auch nicht positiv homogen) noch isoton bezüglich der stochastischen Ordnung (und damit auch nicht isoton bezüglich der stop-loss Ordnung)
Beweis. Zunächst zeigen wir, dass die Bedingungen für ein Prämienprinzip erfüllt sind: Seien X, Y ∈ LH beliebig und γ ∈ R+.
(i) Aus PX = PY folgt E[X] = E[Y ] sowie Var(X) = Var(Y ), also auch E[X] + γVar(X) = E[Y ] + γVar(Y ) und damit H(X) = H(Y ).
(ii) Da Var(X) ≥ 0 für alle X ∈ LH gilt E[X] ≤ E[X] + γVar(X) = H(X).
(iii) Da X ∈ LH gilt P({X > H(X)}) = P({X > E[X] + γVar(X)}) > 0.
Zur Nichtproportionalität: Sei c ∈ (0, 1) mit cX ∈ LH . Dann gilt: H(cX) = E[cX] + γVar(cX) = cE[X] + γc2Var(X) = c(E[X] + γcVar(X)) = c(E[X] + γVar(X) = cH(X).
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Die Einleitung erläutert die Bedeutung der Prämienkalkulation in der Schadenversicherung und definiert den Rahmen für die nachfolgenden Analysen verschiedener Prämienkonzepte.
2 Prämienprinzipien: Dieses Kapitel führt mathematische Grundlagen ein und definiert Bedingungen sowie wünschenswerte Eigenschaften, die ein sinnvolles Prämienprinzip erfüllen sollte.
3 Explizite Prämienprinzipien: Es werden verschiedene Familien von Prämienprinzipien untersucht, die die Prämie explizit als Funktion von Momenten des Risikos definieren.
4 Prämien und Verlustfunktionen: Hier wird der Zusammenhang hergestellt, wie sich bestimmte Prämienprinzipien durch die Minimierung einer Verlustfunktion mathematisch begründen lassen.
5 Prämien und Nutzenfunktionen: Dieses Kapitel behandelt das Nullnutzen-Prinzip und untersucht Nutzenfunktionen sowie das absolute Arrow-Pratt-Risikoaversionsmaß.
6 Die Aufteilung der Prämie: Es wird analysiert, wie sich Gesamtprämien für einen Bestand von Risiken auf einzelne Bestandteile verteilen lassen, insbesondere unter Berücksichtigung des Risikoausgleichs im Kollektiv.
Schlüsselwörter
Prämienprinzip, Risikoprämie, Nettoprämie, Sicherheitszuschlag, Schadenversicherung, Erwartungswert-Prinzip, Varianz-Prinzip, Verlustfunktion, Nutzenfunktion, Nullnutzen-Prinzip, Arrow-Pratt-Maß, Risikoausgleich, Kollektiv, Stochastische Ordnung, Stop-loss Ordnung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der mathematischen Herleitung und Untersuchung von Methoden, sogenannte Prämienprinzipien, zur Kalkulation von Versicherungsprämien in der Schadenversicherung.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen umfassen die mathematische Definition von Prämien, die Analyse expliziter Prinzipien (wie Varianz- oder Erwartungswert-Prinzip), die verknüpfte Nutzung von Verlust- und Nutzenfunktionen sowie die Verteilung von Prämien in Versicherungsbeständen.
Was ist das primäre Ziel oder die Forschungsfrage?
Ziel ist es, die mathematischen Grundlagen für eine "faire" Prämienkalkulation zu legen, die sowohl die Stabilität des Versicherungsunternehmens sichert als auch das individuelle Risiko des Versicherungsnehmers angemessen berücksichtigt.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Die Arbeit stützt sich primär auf versicherungsmathematische Methoden, insbesondere die stochastische Modellierung, die Verwendung von Nutzen- und Verlustfunktionen sowie die Analyse der stochastischen Ordnung von Risiken.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Definition von Prämienprinzipien, die Untersuchung expliziter und auf Verlustfunktionen basierender Prinzipien, die Anwendung von Nutzenfunktionen (Nullnutzen-Prinzip) und schließlich die Methodik zur Aufteilung von Prämien auf Risikokollektive.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Zu den Kernbegriffen zählen Prämienprinzip, Risikoprämie, Sicherheitszuschlag, Schadenversicherung, Nullnutzen-Prinzip, Arrow-Pratt-Maß und Risikoausgleich.
Was besagt das "no-arbitrage" Kriterium in dieser Arbeit?
Das no-arbitrage Kriterium (Forderung (iii) an ein Prämienprinzip) stellt sicher, dass das Versicherungsunternehmen keinen risikolosen Gewinn erzielen kann, indem es fordert, dass die Schadenhöhe mit einer positiven Wahrscheinlichkeit über der festgelegten Prämie liegen muss.
Warum ist das "Karlsruhe-Prinzip" ein Spezialfall?
Das Karlsruhe-Prinzip ist ein Spezialfall des Esscher-Prinzips, der entsteht, wenn die Funktion g(x) als Potenzfunktion x^k mit einem Parameter k definiert wird.
Was ist die Grundidee des "Kovarianz-Prinzips"?
Das Kovarianz-Prinzip ermöglicht es, die Gesamtprämie eines Bestandes basierend auf dem Beitrag der einzelnen Risiken zur Gesamtkovarianz zu zerlegen, was eine verursachungsgerechtere Aufteilung der Sicherheitszuschläge in abhängigen Risikostrukturen erlaubt.
- Quote paper
- Christoph Tiemann (Author), 2012, Kalkulation von Prämien, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/213882
