Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften


Bachelorarbeit, 2012
39 Seiten, Note: 1,7
Yakub Nase (Autor)

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Vorwort

2. Einführung und Klassifizierung von Differentialgleichungen
2.1. Stetige Verzinsung und ein einfaches Populationsmodell
2.2. Die Logistische-Differentialgleichung und die Weltpopulation
2.3. Klassifizierungen von Differentialgleichungen
2.3.1. Gewöhnlich und partielle Differentialgleichungen
2.3.2. Ordnung von Differentialgleichungen
2.3.3. Lineare und nicht-lineare Differentialgleichungen
2.3.4. Homogene und inhomogene Differentialgleichungen

3. Differentialgleichungen erster Ordnung
3.1. Trennung der Variablen
3.2. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung – Variation der Konstanten
3.3. Elastizitäten sowie Eindeutigkeit und Existenz von Lösungen
3.4. Nicht-lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
3.4.1. Exakte Differentialgleichungen erster Ordnung
3.4.2. Integrierender Faktor

4. Differentialgleichungen n-ter Ordnung
4.1. Charakteristische Gleichung – homogener Fall
4.2. Spezielle Lösung – inhomogener Fall
4.3. Angebot, Nachfrage und der Preis

5. Differentialgleichungssysteme

6. Das Konjunkturmodell von Goodwin - Die Lotka-Volterra-Gleichungen
6.1. Modellannahmen
6.2. Herleitung des Differentialgleichungssystems
6.3. Analyse des Modells

7. Nachwort

I. Anhang
Populationsprognosen
Formelsammlung
Mengen
Differentiations- und Integrationsregeln

II. Literaturverzeichnis

1. Vorwort

„Keinerlei Glaubwürdigkeit ist in jenen Wissenschaften, die sich der mathematischen Wissenschaften nicht bedienen oder keine Verbindung zu ihnen haben“.[1]

Frei nach diesem Zitat genießt mathematisches Modellieren von einfachen und komplexen ökonomischen Sachverhalten in den Wirtschaftswissenschaften eine enorme Bedeutung. Bei der Modellierung von dynamischen Systemen –also wenn die Änderungsrate einer Größe von der Größe selbst abhängig ist – sind Differentialgleichungen, oft mit DGL abgekürzt, unentbehrlich. So kommen in vielen ökonomischen Modellen, insbesondere im Zusammenhang mit Produktions- und Nutzenfunktionen, Wachstums- und Marktprozessen, Differentialgleichungen vor. Im Allgemeinen werden Gleichungen in denen Funktionen als Unbekannte gemeinsam mit ihrer Ableitung vorkommen Differentialgleichungen genannt.

Diese Bachelorarbeit thematisiert „gewöhnliche Differentialgleichungen“ mit Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften und baut dabei auf Kenntnissen aus den Vorlesungen Mathematik 1 und 2 für Wirtschaftswissenschaftler der Universität Hamburg auf. Zum erleichterten Verständniss findet sich im Anhang eine kleine Formelsammlung.

Durch die Harmonisierung von Theorie und Praxis wird in dieser Ausarbeitung das Ziel verfolgt Lösungsansätze und Erkennungsmerkmale für Differential-gleichungen sowie ihre Herleitung und ihr Verhalten exemplarisch darzustellen.

Da das Themengebiet der Differentialgleichungen sehr umfangreich ist, erhebt diese Bachelorarbeit nicht den Anspruch alle Fassetten zu beleuchten. Es wird ein Fokus auf Formen und Methoden gesetzt um ausgewählte Modelle näher betrachten zu können. Sollte der Beweis eines Satzes, bzw. Lemmas von besonderer Bedeutung für das Verständnis sein, wird dieser explizit bewiesen.

Als Einstieg in die Thematik werden die stetige Verzinsung anhand einer Differentialgleichung hergeleitet und zwei Populationsmodelle betrachtet. Nach Einführung von einigen Klassifizierungen werden Lösungsansätze für Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung, gefolgt vom „Goodwin-Modell zur Erklärung von Konjunkturschwankungen“ – musterhaft für Differentialgleichungssysteme – erarbeitet und analysiert.

2. Einführung und Klassifizierung von Differentialgleichungen

DGL sind also - wie bereits im Vorwort erwähnt - Gleichungen in denen sich die Unbekannten als Funktionen darstellen und ebenfalls deren Ableitungen auftauchen. In vielen DGL wird die Zeit [ ] als Variable angenommen. Daher soll in dieser Ausarbeitung, sofern nicht anders definiert, als Variable und als Funktion von angenommen werden. Im weiteren Verlauf wird aus Vereinfachungsgründen anstelle von geschrieben,[2] es sei denn die Abhängigkeit ist von besonderer Bedeutung - mit dieser Konvention sollen dem Leser bestimmte Abhängigkeiten verdeutlicht werden.

2.1. Stetige Verzinsung und ein einfaches Populationsmodell

Als erstes Beispiel wird das Konzept der stetigen Verzinsung näher betrachtet.

Sei das festverzinslich angelegte Kapital zum Zeitpunkt und ∆y der Zins-Zuwachs für einen Zeitraum mit einem Jahreszinssatz von . Dann gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei stellt den anteiligen Zins für den Zeitraum dar.

Zur Verdeutlichung der Gleichung (2.1) wird ein kleines Zahlenbeispiel dargelegt. Wenn heute 1.000,-€ [ ] zu einem Zinssatz von 5% p.a. [ ] angelegt und die Zinsen halbjährlich gezahlt werden, resultiert nach einem halben Jahr folgende Zinszahlung [ ]:

Durch Division von (2.1) mit entsteht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Gleichung (2.2) stellt eine Differenzengleichung[3] dar und ist für ein Modell für die unterjährige Verzinsung. Für immer kleinere Zeiträume der Zinsauszahlung folgt gemäß (2.2):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[ ]. beliebig, kann schnell als Lösung von (2.3) verifiziert werden.

Äquivalent lässt sich auch ein einfaches Populationsmodell ohne Zu- und Abwanderung darstellen.

Dabei stellt die Population zum Zeitpunkt die Änderungsrate der Population und (als konstant angenommen) die Differenz von Geburten- und Sterberate dar. Die Änderungsrate ist somit proportional zur Population.

Zur Überprüfung des Modells werden nun statistische Daten herangezogen:

Im Jahre 1961 [ ] belief sich die Weltbevölkerung auf geschätzte 3,06 Milliarden Menschen [ ] bei einer Zuwachsrate von 2% [ ]. Daraus folgt die DGL

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit und

Wird nun der Term (2.4) durch dividiert, etwas nachlässig mit multipliziert und mit einem unbestimmten Integral erweitert – dieses Vorgehen wird im Abschnitt 3.1. näher beschrieben – folgt daraus:

Dabei stellt die Summe beider Integrationskonstanten dar, welche noch aus dem Anfangswert zu bestimmen ist. Durch Erweiterung der beiden Seiten mit der Exponentialfunktion entsteht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieses Modell ist die Grundlage für das „Malthus-Gesetz“.[4]

Aus der Anfangsbedingung folgt

Wenn nun als „Zeitpunkt null“ für (2.5) betrachtet wird entsteht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun können beliebige Jahreszahlen zur Überprüfung der Funktion (2.6) herangezogen werden.

Nach Angaben der UN betrug die Weltbevölkerung im Jahr 1980 in etwa 4,453 Milliarden Menschen. Das Bevölkerungsmodell (2.6) liefert

Somit liegt die Abweichung bei lediglich ca. 20 Millionen Menschen.

Für das Jahr 2015 gibt das Modell eine Weltpopulation von ca. 9 Milliarden Menschen an. Die UN prognostiziert im Gegensatz dazu eine Weltbevölkerung von ca. 7,35 Milliarden Menschen.[5]

Nach dem Modell aus (2.6) würde die Weltbevölkerung bis ins Unendliche exponentiell anwachsen. Da Ressourcen wie Trinkwasser, Nahrung und Lebensraum knapp sind, scheint dies jedoch wenig plausibel.

Zusammenfassend betrachtet bietet dieses Modell sehr gute Prognosen für Populationen die sich noch nicht der „natürlichen“ Kapazitätsgrenze genährt haben – bzw. für Modelle in denen keine Kapazitäts-Hemmnisse auftauchen, wie etwa bei der stetigen Verzinsung.

2.2. Die Logistische-Differentialgleichung und die Weltpopulation

In vielen Fällen existieren begrenzte Ressourcen, bzw. Kapazitäts-Hemmnisse. Bezogen auf Populationen entsteht beispielsweise Konkurrenz zwischen den Individuen. Diese Konkurrenz stellt langfristig eine nicht überschreitbare obere Schranke dar. Durch Miteinbeziehung einer solchen Schranke in das eben hergeleitete Populationsmodell, entsteht die sogenannte logistische DGL.

Gesucht ist eine streng monotone Funktion, die gegen eine Schranke konvergiert.[6] Im letzten Abschnitt wurde ein Populationswachstum aus der DGL hergeleitet. Wenn nun die obere Grenze darstellt, so ist die vorhandene Rest-Kapazität zum Zeitpunkt gegeben durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im exponentiellen Wachstum war die Änderungsrate der Population [ ] proportional zur aktuellen Populationsgröße – wie in (2.4) beschrieben. Nun ist sie zusätzlich proportional zur vorhandenen Restkapazität (2.7). Daraus folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese DGL wurde erstmals durch den belgischen Mathematiker Pierre-François Verhulst erstellt und trägt daher auch den Namen „Verhulst-Gleichung“.

Das Vorgehen von Verhulst war jedoch ein Anderes als das eben vorgestellte.

Er nahm die DGL (2.4) und teilte p in seine Einzelteile auf – mit als Geburtenrate und als Sterberate:

Bis zu diesem Punkt ist die DGL dieselbe wie in (2.4). Verhulst ersetzte nun aber den Term mit um die Entwicklung großer Populationen – und den daraus entstehenden Konkurrenzkampf - besser modellieren zu können. Somit folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die DGL (2.9) ist dieselbe DGL wie (2.8) mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sei die Lösung von (2.8) und (2.9) gegeben durch:7

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Überprüfung der Lösung (2.11) werden statistische Daten, sowie Prognosen der UN herangezogen.

Laut CIA lag die Erdbevölkerung im Juli 2012 bei ca. 7,02 Milliarden Menschen mit einer Zuwachsrate von 1,096%.[8] gibt den aktuellen Populationszuwachs wieder. Wird dieser Wert durch die Populationsgröße geteilt, so ergibt sich die Zuwachsrate. Aus diesen Informationen folgt nach (2.8):

Wenn nun für die Populationskapazität ein Wert von 10,5 Milliarden Menschen angenommen wird,[9] ergeben Umformungen:

Im Anhang[10] finden sich für den Zeitraum 1960 – 2100 die anhand dieses Modells ermittelten Populationszahlen.

Während die Prognosen erstaunliche Übereinstimmung mit den Prognosen der UN haben, ist der Vergleich mit historischen Daten jedoch weniger befriedigend. Letzteres ist wohl auf die Tatsache zurückzuführen, dass sich mit steigendem technologischem Fortschritt auch die Kapazitätsgrenze verändert. So konnten die Ressourcen der Erde z.B. in den 1960er Jahren nicht so effizient genutzt werden wie heute. Näheres Verständnis des logistischen Wachstums liefert die Erkenntnis, dass bis zum Erreichen der Hälfte der Kapazitätsgrenze das Wachstum beschleunigt ist und erst dann abgebremst wird.[11]

Für einen graphischen Vergleich seien nun die historischen Daten und die Zahlen aus dem Modell (2.11) in Abbildung 1. gegenübergestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.

Bei einer hohen Kapazitätsgrenze ist das Wachstum demnach länger beschleunigt, wodurch die Abweichung zu den historischen Daten erklärt werden kann.

Bei der Betrachtung einzelner Staaten oder anderen logistischen Wachstumsmodellen – auf die hier nicht weiter eingegangen wird – liefert das Modell ebenfalls erstaunlich präzise Werte.[12]

Bisher wurde der Umgang mit DGL und Verifizierungen von Modellen thematisiert. Zur besseren Orientierung werden nun einige Klassifizierungen von DGL betrachtet, bevor im nächsten Kapitel Lösungsmethoden erarbeitet werden.

2.3. Klassifizierungen von Differentialgleichungen

2.3.1. Gewöhnlich und partielle Differentialgleichungen

Hängt die gesuchte Funktion lediglich von einer Veränderlichen ab, so wird die DGL gewöhnlich genannt. Sind jedoch mehrere Variablen maßgebend für die Funktion [z.B. ], so spricht man von einer partiellen DGL – da partielles Differenzieren notwendig wird.[13] Im Rahmen dieser Ausarbeitung werden lediglich gewöhnliche DGL betrachtet.

2.3.2. Ordnung von Differentialgleichungen

Die Ordnung einer DGL wird durch die höchste vorkommende Ableitung bestimmt.[14] So hat z.B. die DGL die Ordnung drei.

2.3.3. Lineare und nicht-lineare Differentialgleichungen

Eine DGL ist linear, wenn die Unbekannten lediglich mittels linearer Operatoren miteinander verknüpft sind, ansonsten ist sie nicht-linear. Lineare Operatoren sind Additionen und Multiplikationen mit Konstanten – wobei bei DGL auch die Multiplikation mit Variablen erlaubt ist.[15] Eine lineare DGL n-ter Ordnung kann also immer in die Form

gebracht werden. Zur Verdeutlichung werden zwei Beispiele angeführt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(2.12) ist linear und (2.13) nicht-linear.

2.3.4. Homogene und inhomogene Differentialgleichungen

Sei eine beliebige DGL der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gegeben, mit Für den Fall heißt die DGL homogen, ansonsten inhomogen. Dabei impliziert der Ausdruck , dass kein Term ohne y, bzw. einer ihrer Ableitungen auf der linken Seite von (2.14) vorkommt.[16]

Im Folgenden werden noch einige weitere Klassifizierungen auftauchen. Das gesamte Spektrum der unterschiedlichen Klassifizierungen – wie mit unter stochastische (partielle) Differentialgleichungen, auf welche das berühmte Black-Sholes-Modell aus der Finanzwirtschaft zurückzuführen ist[17] – wird hier allerdings nicht gänzlich betrachtet.

3. Differentialgleichungen erster Ordnung

Eine DGL erste Ordnung hat im Allgemeinen die Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten18

mit

Auch wenn die Problematik von DGL erster Ordnung zunächst von einfacher Natur scheint, gibt es nicht zu jeder DGL eine in geschlossener Form[19] darstellbare Lösung. Somit gibt es auch kein allgemeingültiges Verfahren zum Lösen von DGL in geschlossener Form. Für Lösbarkeiten und Lösungsansätze werden nun einige Sonderformen betrachtet.

3.1. Trennung der Variablen

Eine DGL erster Ordnung, die auf die Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit zwei stetige Funktionen und gebracht werden kann heißt separierbar.[20] Für separierbare DGL lässt sich ein einfacher Lösbarkeitssatz herleiten.

Satz 1

Eine DGL der Form (3.2) ist lösbar, falls die unbestimmten Integrale

lösbar sind.[21]

Beweis:

Sei (3.2) gegeben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn nun der Term (3.3) durch geteilt und etwas nachlässig mit multipliziert wird entsteht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Erweiterung von (3.4) mit einem unbestimmten Integral folgt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sollten beide Integrale in (3.5) lösbar sein, so kann in expliziter oder impliziter Form[22] angegeben werden.

Aus diesem Satz ist ersichtlich, dass die Schwierigkeit beim Lösen von DGL oftmals im Integrieren liegt. Da nicht jede Funktion in geschlossener Form integrierbar ist[23] lässt sich auch nicht für jede DGL eine Lösung in geschlossener Form darstellen.

Bei der Erarbeitung des einfachen Populationsmodells im letzten Kapitel wurde die Technik aus dem Beweis von Satz 1 angewendet. Zur Verdeutlichung wird jetzt die bereits eingeführte logistische Differenzialgleichung gelöst.

[...]


[1] Leonardo da Vinci.

[2] Diese Konvention bezieht sich auch auf andere Funktionen.

[3] Vgl. Opitz & Klein (2011), S. 591 ff. für mehr Informationen über Differenzengleichungen.

[4] Vgl. Braun (1991), S. 33 ff.

[5] Vgl. I. Anhang Populationsprognosen.

[6] Näheres zur Konvergenz ist u. a. in Forster (2011a), S. 30 zu finden.

[7] Vgl. Heuser (1991), S. 22 f. Diese Lösung wird im Abschnitt 3.1. hergeleitet.

[8] Vgl. https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/xx.html - Zugriff am 03.10.2012.

[9] Dieser Wert wurde aus den Prognosen in der Medium-Variante der UN geschätzt – vgl. I. Anhang – Populationsprognosen.

[10] I. Anhang – Populationsprognosen.

[11] Somit ist bei ein Wendepunkt - vgl. Braun (1991), S. 37 f.

[12] Beispiele sind u. a. in Braun (1991), S. 38 ff. zu finden.

[13] Vgl. Heuser (1991), S. 41.

[14] Vgl. Chiang, Wainwright & Nitsch (2011), S. 310.

[15] Vgl. Beckmann & Künzi (1984), S. 1 und S. 147 ff.

[16] Vgl. Opitz & Klein (2011), S. 611 f. und Forster (2011b), S. 159 .

[17] Das Originalmodell ist zu finden in Fischer Black, Myron Scholes: The Pricing of Options and Corporate Liabilities. In: Journal of Political Economy. 81, 3, 1973, S. 637 ff.

[18] Vgl. Forster (2011b), S. 135.

[19] Ein Ausdruck ist in „geschlossener Form“, wenn er in endlich viele bekannte Funktionen (z.B. Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen) geschrieben werden kann.

[20] Vgl. Forster (2011b), S. 137 f.

[21] Vgl. Opitz & Klein (2011), S. 604.

[22] „Explizite Form“ meint, dass die Lösung von (19) in der Form y =h(t) angegeben werden kann. Sollte dies nicht möglich sein, so spricht man von einer „impliziten Form“.

[23] Vgl. Sydsaeder & Hammond (2009), S. 353.

Ende der Leseprobe aus 39 Seiten

Details

Titel
Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften
Hochschule
Universität Hamburg  (Lehrstuhl BWL)
Note
1,7
Autor
Jahr
2012
Seiten
39
Katalognummer
V215230
ISBN (eBook)
9783656432616
ISBN (Buch)
9783656435815
Dateigröße
708 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
gewöhnliche, differentialgleichungen, anwendungen, wirtschaftswissenschaften
Arbeit zitieren
Yakub Nase (Autor), 2012, Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/215230

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