„Keinerlei Glaubwürdigkeit ist in jenen Wissenschaften, die sich der
mathematischen Wissenschaften nicht bedienen oder keine Verbindung zu ihnen
haben“. (Leonardo da Vinci)
Frei nach diesem Zitat genießt mathematisches Modellieren von einfachen und
komplexen ökonomischen Sachverhalten in den Wirtschaftswissenschaften eine
enorme Bedeutung. Bei der Modellierung von dynamischen Systemen –also wenn
die Änderungsrate einer Größe von der Größe selbst abhängig ist – sind
Differentialgleichungen, oft mit DGL abgekürzt, unentbehrlich. So kommen in
vielen ökonomischen Modellen, insbesondere im Zusammenhang mit Produktionsund
Nutzenfunktionen, Wachstums- und Marktprozessen, Differentialgleichungen
vor. Im Allgemeinen werden Gleichungen in denen Funktionen als Unbekannte
gemeinsam mit ihrer Ableitung vorkommen Differentialgleichungen genannt.
Diese Bachelorarbeit thematisiert „gewöhnliche Differentialgleichungen“ mit
Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften und baut dabei auf Kenntnissen
aus den Vorlesungen Mathematik 1 und 2 für Wirtschaftswissenschaftler der
Universität Hamburg auf. Zum erleichterten Verständniss findet sich im Anhang
eine kleine Formelsammlung.
Durch die Harmonisierung von Theorie und Praxis wird in dieser Ausarbeitung das
Ziel verfolgt Lösungsansätze und Erkennungsmerkmale für Differentialgleichungen
sowie ihre Herleitung und ihr Verhalten exemplarisch darzustellen.
Da das Themengebiet der Differentialgleichungen sehr umfangreich ist, erhebt
diese Bachelorarbeit nicht den Anspruch alle Fassetten zu beleuchten. Es wird ein
Fokus auf Formen und Methoden gesetzt um ausgewählte Modelle näher
betrachten zu können. Sollte der Beweis eines Satzes, bzw. Lemmas von
besonderer Bedeutung für das Verständnis sein, wird dieser explizit bewiesen.
Als Einstieg in die Thematik werden die stetige Verzinsung anhand einer
Differentialgleichung hergeleitet und zwei Populationsmodelle betrachtet. Nach
Einführung von einigen Klassifizierungen werden Lösungsansätze für
Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung, gefolgt vom „Goodwin-
Modell zur Erklärung von Konjunkturschwankungen“ – musterhaft für
Differentialgleichungssysteme – erarbeitet und analysiert.
Inhaltsverzeichnis
1. Vorwort
2. Einführung und Klassifizierung von Differentialgleichungen
2.1. Stetige Verzinsung und ein einfaches Populationsmodell
2.2. Die Logistische-Differentialgleichung und die Weltpopulation
2.3. Klassifizierungen von Differentialgleichungen
2.3.1. Gewöhnlich und partielle Differentialgleichungen
2.3.2. Ordnung von Differentialgleichungen
2.3.3. Lineare und nicht-lineare Differentialgleichungen
2.3.4. Homogene und inhomogene Differentialgleichungen
3. Differentialgleichungen erster Ordnung
3.1. Trennung der Variablen
3.2. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung – Variation der Konstanten
3.3. Elastizitäten sowie Eindeutigkeit und Existenz von Lösungen
3.4. Nicht-lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
3.4.1. Exakte Differentialgleichungen erster Ordnung
3.4.2. Integrierender Faktor
4. Differentialgleichungen n-ter Ordnung
4.1. Charakteristische Gleichung – homogener Fall
4.2. Spezielle Lösung – inhomogener Fall
4.3. Angebot, Nachfrage und der Preis
5. Differentialgleichungssysteme
6. Das Konjunkturmodell von Goodwin - Die Lotka-Volterra-Gleichungen
6.1. Modellannahmen
6.2. Herleitung des Differentialgleichungssystems
6.3. Analyse des Modells
7. Nachwort
Zielsetzung & Themen
Diese Bachelorarbeit verfolgt das Ziel, Lösungsansätze und Erkennungsmerkmale für gewöhnliche Differentialgleichungen zu systematisieren und deren Anwendung in ökonomischen Modellen exemplarisch darzustellen. Dabei wird der Fokus auf die Herleitung mathematischer Zusammenhänge und deren wirtschaftswissenschaftliche Interpretation gelegt.
- Grundlagen und Klassifizierung dynamischer Systeme
- Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung
- Analyse ökonomischer Prozesse wie Zinsrechnung und Bevölkerungsmodelle
- Modellierung von Marktgleichgewichten und Konjunkturzyklen mittels Differentialgleichungssystemen
Auszug aus dem Buch
2.1. Stetige Verzinsung und ein einfaches Populationsmodell
Als erstes Beispiel wird das Konzept der stetigen Verzinsung näher betrachtet. Sei y das festverzinslich angelegte Kapital zum Zeitpunkt t und Δy der Zins-Zuwachs für einen Zeitraum Δt mit einem Jahreszinssatz von p. Dann gilt: Δy = Δt * p * y (2.1). Dabei stellt Δt * p den anteiligen Zins für der Zeitraum Δt dar.
Zur Verdeutlichung der Gleichung 2.1 wird ein kleines Zahlenbeispiel dargelegt. Wenn heute 1.000,-€ [y] zu einem Zinssatz von 5% p.a. [p] angelegt und die Zinsen halbjährlich gezahlt werden, resultiert nach einem halben Jahr folgende Zinszahlung [Δy]: Δy = 1/2 * 0,05 * 1.000 = 25,- €.
Durch Division von (2.1) mit Δt entsteht: Δy/Δt = p * y (2.2). Die Gleichung (2.2) stellt eine Differenzengleichung dar und ist für Δt < 1 ein Modell für die unterjährige Verzinsung. Für immer kleinere Zeiträume der Zinsauszahlung folgt gemäß 2.2: lim Δt->0 Δy/Δt = dy/dt = y' = p * y (2.3). def bedeutet "nach Definition". C * e^pt, C ∈ R beliebig, kann schnell als Lösung von (2.3) verifiziert werden.
Zusammenfassung der Kapitel
1. Vorwort: Das Kapitel erläutert die Bedeutung mathematischer Modellierung für ökonomische Fragestellungen und definiert den Rahmen der Bachelorarbeit.
2. Einführung und Klassifizierung von Differentialgleichungen: Hier werden grundlegende Konzepte wie stetige Verzinsung und logistisches Wachstum eingeführt sowie eine erste Einordnung der Modelltypen vorgenommen.
3. Differentialgleichungen erster Ordnung: Dieses Kapitel behandelt formale Lösungsverfahren wie die Trennung der Variablen und die Variation der Konstanten sowie die theoretische Fundierung durch Existenz- und Eindeutigkeitssätze.
4. Differentialgleichungen n-ter Ordnung: Der Fokus liegt hier auf linearen Gleichungen mit konstanten Koeffizienten und deren Lösung über charakteristische Gleichungen, angewandt auf Angebots- und Nachfragemodelle.
5. Differentialgleichungssysteme: Es wird definiert, wie simultane ökonomische Sachverhalte durch DGL-Systeme abgebildet werden können.
6. Das Konjunkturmodell von Goodwin - Die Lotka-Volterra-Gleichungen: Eine detaillierte Analyse der Konjunkturzyklen mittels eines Räuber-Beute-Modells bildet den Abschluss der inhaltlichen Arbeit.
7. Nachwort: Das Fazit fasst die Ergebnisse zusammen und hebt die interdisziplinäre Relevanz der behandelten Methoden hervor.
Schlüsselwörter
Differentialgleichung, DGL, mathematische Modellierung, Wirtschaftswissenschaften, stetige Verzinsung, logistisches Wachstum, Differentialgleichungssysteme, Goodwin-Modell, Lotka-Volterra, Konjunkturtheorie, Variation der Konstanten, Charakteristische Gleichung, Preisbildung, Wachstumsrate, Lohnquote
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Bachelorarbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Anwendung gewöhnlicher Differentialgleichungen zur mathematischen Modellierung ökonomischer Prozesse.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Schwerpunkte sind unter anderem Wachstumsmodelle, Marktgleichgewichte bei Angebot und Nachfrage sowie Konjunkturzyklen.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Ziel ist es, Lösungsansätze für verschiedene Klassen von Differentialgleichungen zu erarbeiten und deren Verhalten in wirtschaftlichen Kontexten beispielhaft zu analysieren.
Welche wissenschaftlichen Methoden finden Anwendung?
Die Arbeit nutzt analytische Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen erster und n-ter Ordnung, Methoden zur Bestimmung partikulärer Lösungen sowie die qualitative Analyse von DGL-Systemen.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die Lösungsmethodik für DGL erster und höherer Ordnung sowie die Anwendung dieser Methoden auf konkrete Wirtschaftsmodelle wie das Goodwin-Konjunkturmodell.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren das Dokument?
Wichtige Begriffe sind Differentialgleichung (DGL), mathematische Modellierung, ökonomische Dynamik, Lotka-Volterra und Konjunkturmodelle.
Was besagt die logistische Differentialgleichung in diesem Zusammenhang?
Sie beschreibt ein Populationswachstum, das durch begrenzte Ressourcen oder Kapazitätsgrenzen gehemmt wird.
Wie wird das Goodwin-Modell in der Arbeit analysiert?
Das Modell wird als DGL-System interpretiert, das die Interaktion zwischen Lohnquote und Beschäftigungsquote mittels einer Räuber-Beute-Dynamik erklärt.
- Quote paper
- Yakub Nase (Author), 2012, Gewöhnliche Differentialgleichungen mit Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/215230
