Theoretische und experimentelle Behandlung der Gesetze, Größen und Phänomene der Rotation fester Körper und Vergleich mit Translation

Inhaltsverzeichnis

A Bedeutung der Rotationsgesetze im Alltag

B Theoretische und experimentelle Behandlung der Rotation fester Körper
1. Theoretische Behandlung wichtiger Größen, Gesetze und Phänomene der Rotation und Vergleich mit linearer Bewegung
1.1 Winkel und Strecke
1.2 Winkelgeschwindigkeit als Vektor
1.3 Winkelbeschleunigung
1.4 Beziehung zwischen Drehmoment, Winkelbeschleunigung und Trägheitsmoment
1.4.1 Drehschwingungen als Möglichkeit zur Messung von Trägheitsmomenten
1.4.2 Besonderheiten der Trägheitsmomente flacher Körper
1.4.3 Der Satz von Steiner
1.4.4 Trägheitsmomente ausgewählter Körper konstanter Dichte
1.4.4.1 Trägheitsmoment eines Zylinders (Achse parallel zur Höhe)
1.4.4.2 Trägheitsmoment eines Zylinder (Achse senkrecht zur Höhe)
1.4.4.3 Trägheitsmoment einer Kugel
1.4.4.4 Trägheitsmoment eines Quaders
1.5 Kinetische Energie der Rotation
1.6 Drehimpuls
1.7 Kreisel und seine Bewegungen
1.7.1 Nutation des kräftefreien Kreisels
1.7.2 Präzession des schweren Kreisels
2. Versuche
2.1 Messung von Trägheitsmomenten mit Hilfe von Drehschwingungen
2.1.1 Trägheitsmoment einer runden Holzscheibe
2.1.2 Nachweis der Beziehung zwischen den Trägheitsmomenten eines flachen Körpers
2.1.3 Experimenteller Nachweis des Satzes von Steiner
2.2 Aufzeichnung eines t-ω-Diagramms bei konstantem Drehmoment
2.3 Sichtbarmachung der momentanen Drehachse und der Impulsachse eines nutierenden Kreisels
2.4 Präzessionsdauer eines Kreisels
2.5 Drehmoment auf eine rotierende schiefe Scheibe

C Ausblicke

Literaturverzeichnis

A Bedeutung der Rotationsgesetze im Alltag

Die Bewegungen eines starren Körpers lassen sich einteilen in Translations- und Rotationsbewegungen, die sich in manchen Fällen auch überlagern. Beim Spielen mit einem Kinderkreisel, beim Karusellfahren auf dem Spielplatz oder beim Fahrradfahren werden für jeden Mensch schon im Kindesalter die Gesetze der Rotation erfahrbar. Während im Schulunterricht die Translation recht ausführlich besprochen wird, ist die theoretische Behandlung der Rotation eher kurz gehalten. Dabei sind die Rotationsgesetze genauso allgegenwärtig wie die der Translation. Täglich sieht man sich drehende Räder von Fahrzeugen oder hört das Brummen und Surren der rotierenden Anker bzw. Wellen von Motoren, ohne sich Gedanken darüber zu machen, welche theoretischen Überlegungen bei deren Konstruktion eine Rolle gespielt haben. In meiner Facharbeit möchte ich daher einen Überblick über die wesentlichen Grundlagen, Phänomene und Gesetze der Rotationsbewegung geben und diese experimentell überprüfen. Besondere Bedeutung werde ich im Folgenden den Analogien beimessen, die sich zwischen den Gesetzen der Translation und denen der Rotation ergeben.

B Theoretische und experimentelle Behandlung der Rotation fester Körper

- 1. Theoretische Behandlung wichtiger Größen, Gesetze und Phänomene der Rotation und Vergleich mit linearer Bewegung

- 1.1 Winkel und Strecke (Vgl. Tipler S.225 f, Pitka u. Autoren S. 78 ff.)

Während sich bei einer Translationsbewegung eines Körpers der Ort jedes Teilchens des Körpers um die Strecke x verändert, ist die Ortsänderung der Teilchen des Körpers bei einer Rotation in Abhängigkeit vom Abstand zur Drehachse unterschiedlich, so dass es sinnvoller ist, statt der Ortsänderung der Teilchen den Winkel anzugeben, um den der Körper gedreht wurde und der für alle Teilchen der selbe ist. Da sowohl Winkel als auch Weg die Größe der Rotation bzw. Translation angeben, kann man sagen, dass sich Winkel und Weg in gewisser Weise entsprechen. Im Gegensatz zum Weg aber ist der Winkel keine Vektorgröße. Dies sieht man z. B. daran, dass Drehungen im Raum im Gegensatz zu Vektoren nicht kommutativ, also in der Reihenfolge nicht vertauschbar sind. Nur für infinitesimal kleine Winkel ist die Reihenfolge der Drehungen egal. In diesem Fall haben die Drehwinkel auch etwas Vektorartiges. Dies ist für das folgende Kapitel von Bedeutung.

- 1.2 Winkelgeschwindigkeit als Vektor (Vgl. Pitka u. Autoren S. 78 ff.)

Da die Geschwindigkeit die infinitesimale Änderung des Orts pro Zeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist, wird ihr Gegenstück bezüglich der Rotation durch die Änderung des Winkels pro Zeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten dargestellt, also durch die Winkelgeschwindigkeit. Da hier nur infinitesimal kleine Winkel dj vorkommen, lässt sich die Winkelgeschwindigkeit aus den in 1.1 genannten Gründen als Vektor behandeln. Da bei der Rotation eines Gegenstandes die Parallelen zur Drehachse als einzige körperfeste Geraden ihre Richtung in einem raumfesten Bezugssystem beibehalten, ist die Richtung des Vektors der Winkelgeschwindigkeit zweckmäßigerweise parallel zur Drehachse festgelegt. Für die endgültige Richtung des Vektors verwendet man üblicherweise die sogenannte Rechte-Hand-Regel: Wenn man die Drehachse mit den Fingern der rechten Hand so umfasst, dass die Finger die Bewegungsrichtung der Teilchen des rotierenden Körpers beschreiben, und den Daumen parallel zur Achse abspreizt, dann zeigt der Vektor der Drehgeschwindigkeit in die Richtung des Daumens (S. Skizze 1.2a!).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Skizze 1.2a (Tipler, S.256)

Wenn eine Bewegung aus zwei verschiedenen überlagerten Bewegungen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten um verschiedene Achsen besteht, lässt sich die Bewegung als Winkelgeschwindigkeitsvektor beschreiben, dessen Richtung und Betrag durch das Ergebnis der Vektoraddition von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten festgelegt sind. Als Beispiel wird der Fall eines Rades mit dem Radius r betrachtet, das mit konstanter Umlaufgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn des Radius R rollt (Siehe Skizze 1.2b !).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Skizze bewegt sich das Rad gerade auf den Betrachter zu. Daher zeigt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, der Vektor der Winkelgeschwindigkeit um die Hochachse, nach unten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, der Vektor der Drehung um die Radachse, nach rechts. Richtung und Betrag der resultierenden Gesamtwinkelgeschwindigkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten lassen sich nun einfach z. B. aus dem Verhältnis der beiden Radien und der Zeitdauer T für einen Umlauf um die Hochachse durch Addition der beiden Vektorkomponenten berechnen. Dann ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Für ωx gilt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten , da das Rad mit dem Umfang 2πr sich in der Zeit T Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenmal drehen muss, um die Strecke 2πR zurückzulegen. Der Betrag der resultierenden Winkelgeschwindigkeit ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten . Der Winkel zwischen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und der Horizontalen berechnet sich zu Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten . Der Vektor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Gesamtwinkelgeschwindigkeit bewegt sich auf einem Kegelmantel mit der Spitze P, dessen Grundflächenbegrenzung durch die Menge aller Punkte B beschrieben wird, an denen das Rad die Unterlage berührt.

- 1.3 Winkelbeschleunigung (Vgl. Tipler, S. 227)

Analog zur Beschleunigung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bei geraden Bewegungen, die angibt, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert, gibt es bei der Rotation eine Entsprechung , nämlich die Winkelbeschleunigung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Sie gibt die Änderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeit an und ist daher die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten . Die Winkelbeschleunigung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eines Teilchens ist über die Beziehung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (G 1.3)

mit dem Abstand r des Teilchens von Drehachse und der Beschleunigung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in tangentialer Richtung verbunden. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist eine Vektorgröße, deren Richtung ähnlich wie die der Winkelgeschwindigkeit durch die Rechte-Hand-Regel entlang der Drehachse gegeben ist, wobei die Finger in Richtung der Geschwindigkeitsänderung zeigen.

- 1.4 Beziehung zwischen Drehmoment, Winkelbeschleunigung und Trägheitsmoment (Vgl Tipler S. 230 f., S.256, Bergmann/Schaefer S.83 ff., Feynman u. Autoren S.291 f.)

Der Kraft F, die einen Körper beschleunigen kann, entspricht das Drehmoment M. Das Drehmoment ist, wie eine Kraft auch, ein Vektor. Seine Richtung ist ebenso wie die Richtung der vorherigen Vektorgrößen, durch die Rechte-Hand-Regel gegeben, und zwar in der Art, dass der parallel zur Achse abgespreizte Daumen in die Richtung des Vektors zeigt, wenn die Finger in die Richtung zeigen, in die das Drehmoment zu drehen versucht.

Während bei einer geraden Bewegung nach dem Zweiten Newtonschen Gesetz F=m∙a gilt, sollen im Folgenden nun entsprechende Beziehungen für Drehmoment und Winkelbeschleunigung bezüglich der Rotationsbewegung hergeleitet werden.

Dazu betrachtet man einen um eine Achse drehbaren Körper der Masse m, den man sich in n infinitesimal kleine Teilchen der jeweiligen Masse mi und des jeweiligen Abstands ri von der Drehachse unterteilt denkt. Wenn auf diesen Körper ein Drehmoment M mit Vektorrichtung entlang der Achse wirkt, dann erfährt jedes Teilchen die selbe Winkelbeschleunigung α und eine Beschleunigung in tangentialer Richtung für die nach (G 1.3) jeweils gilt ai=riα . Für diese Beschleunigung muss auf die Teilchen jeweils eine Kraft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wirken, was einem jeweiligen Drehmoment

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

entspricht. Da sich das gesamte Drehmoment M aus der Summe aller Mi zusammensetzt, ergibt sich die Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (G 1.4.2).

Bei n→∞ geht der Term Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in das Integral Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten über. Da dieses Integral für jeden Körper bezüglich einer bestimmten Achse eine Konstante ist, bekommt es eine eigene Abkürzung J mit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (G 1.4.3),

so dass man G 1.4.2 auch in der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

schreiben kann. Die Winkelbeschleunigung ist also proportional zum Drehmoment. Diese Formel entspricht daher dem Zweiten Newtonschen Gesetz F=m∙a. Der Proportionalitätsfaktor J in G 1.4.4 gibt an, wie stark sich ein Körper einer Änderung der Winkelgeschwindigkeit widersetzt und entspricht daher der trägen Masse, die dafür verantwortlich ist, dass sich ein Körper einer Geschwindigkeitsänderung widersetzt . Daher wird die Größe J auch Trägheitsmoment genannt. Im Gegensatz zur Masse, die eine skalare Größe ist, ist das Trägheitsmoment eine gerichtete Größe, denn sie hängt von der Richtung der Achse ab, um die der Körper gedreht wird. Unter allen denkbaren Achsen durch den Schwerpunkt eines Körpers gibt es im Allgemeinen drei aufeinander jeweils senkrechte Achsen, um die der Körper rotieren kann, ohne auf die jeweilige Drehachse Drehmomente auszuüben. Dies liegt daran, dass um diese Achsen die Masse so verteilt ist, dass sich die auf die einzelnen Massenelemente wirkenden Kräfte intern gegenseitig aufheben. Dies ist z. B. immer bei den Symmetrieachsen eines Körpers der Fall. Ein Körper muss aber nicht symmetrisch zur Rotationsachse sein, um momentenfrei rotieren zu können. Die Achsen, um die eine momentenfreie Rotation möglich ist, sind die Achsen des größten und des kleinsten Trägheitsmoments sowie die zu diesen Achsen senkrechte Achse, für die das zugehörige Trägheitsmoment einen Betrag zwischen größtem und kleinstem Trägheitsmoment annimmt. Die Achsen der momentenfreien Rotation nennt man die drei Hauptträgheitsachsen. Eine Rotation um eine andere als die Hauptträgheitsachsen hat das Bestreben, in eine Rotation um die Achse des größten Trägheitsmoments überzugehen, wenn nicht z. B. durch Achslager ein entsprechendes Gegendrehmoment auf den Körper ausgeübt wird. Eine Rotation, bei der keine äußeren Kräfte auf die Drehachse wirken, ist nur um die Achsen des größten oder des kleinsten Trägheitsmoments stabil. Dies ist z. B. bei einem durch die Luft geworfenen rotierenden Körper der Fall. Eine Rotation um die Achse des mittleren Trägheitsmoments geht dann schon durch kleinere Störungen in eine Rotation um die Achse des größten Trägheitsmoments über. (Eine Rotation um die Achse des kleinsten Trägheitsmoments tut dies erst bei einer recht starken Störung). Obwohl ein Körper im Allgemeinen drei Hauptträgheitsachsen hat, gibt es Spezialfälle von Körpern, bei denen das Trägheitsmoment nur zwei Extremwerte besitzt (z. B. Zylinder ) oder für alle Achsenrichtungen konstant ist. Letzteres ist bei Kugeln der Fall, aber auch bei anderen völlig regelmäßigen Körper wie Würfeln oder Tetraedern sowie bei Zylindern mit einem bestimmten Verhältnis von Radius zu Höhe.

- 1.4.1 Drehschwingungen als Möglichkeit zur Messung von Trägheitsmomenten (Vgl. Bergmann/Schaefer S.147, Tipler S. 399)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Skizze 1.4.1

Analog zum Federpendel aus einer Masse, die an einer Schraubenfeder hängt und Schwingungen ausführt, kann man einen Körper an einer Spiralfeder befestigen und ihn nach einer kurzen Auslenkung aus der Ruhelage Drehschwingungen ausführen lassen (S. Skizze 1.4.1 und Foto 1!). Diese lassen sich ähnlich wie lineare Schwingungen behandeln. Während bei Schraubenfedern die Länge der Auslenkung aus der Ruhelage proportional zur Kraft und zur Beschleunigung ist, ist bei auf Torsion belasteten Spiralfedern der Winkel der Auslenkung proportional zum Drehmoment und damit zur Winkelbeschleunigung des damit verbundenen Körpers. Als Federkonstante einer Spiralfeder gibt man daher das Drehmoment pro Verdrillungswinkel an. Um die Schwingungsdauer auszurechnen geht man wie bei den bekannten linearen Schwingungen vor. Man stellt die Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten¹

Durch Einsetzen in G 1.4.1 erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Messung von T und D ergibt sich somit eine Möglichkeit zur experimentellen Feststellung des Trägheitsmoments eines Körpers.

[...]

¹.In diesem Kapitel ist ω ausnahmsweise nicht die Winkelgeschwindigkeit des Körpers, sondern die Kreisfrequenz der Schwingung.