Credit Spreads und implizite Ausfallwahrscheinlichkeit

Inhaltsangabe

II. Abbildungs- und Tabellenverzeichnis

1. Einleitung

2. Credit Spreads und implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten
2.1. Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten
2.2. Rahmenbedingungen der Untersuchung
2.3. Die fundamentale Beziehung
2.4. Die implizite Überlebenswahrscheinlichkeit
2.5. Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeiten und implizite Hazard Rates
2.6. Beziehungen zu Forward Spreads

3. Recovery Modelling

4. Building Blocks für die Bewertung von Kreditderivaten

5. Bewertung mit den Building Blocks
5.1. Ausfallgefährdeter Fixed - Coupon Bond
5.2. Ausfallgefährdeter Floater
5.3. Produkte im Markt für Kreditderivate
5.4. Credit Default Swaps
5.5. Forward Start CDSs
5.6. Default Digital Swaps
5.7. Asset Swap Packages

6. Zusammenfassung

Literaturverzeichnis

II. Abbildungs- und Tabellenverzeichnis

Abbildung 1: Building Blocks und die Knoten in denen sie auszahlen

Abbildung 2: Die wichtigsten Kreditderivate

Abbildung 3: Credit Default Swap

Abbildung 4: Asset Swap

1. Einleitung

Ein Kreditderivat ist ein Finanzkontrakt, dessen Wert sich von einem anderen ableitet, dessen Höhe von einem Kreditrisiko abhängt^[1]

Kreditderivate sind Finanzkontrakte, die Kreditrisiken isolieren und in unterschiedlicher Form handelbar machen. In diesem Zusammenhang geht es im Folgenden um die Bewertung des Kreditrisikos, welches einem Kreditderivat zugrunde liegt.

In den folgenden Ausführungen werden Bondpreise eines ausfallgefährdeten Schuldners mit Preisen von ähnlichen ausfallrisikofreien Instrumenten verglichen, dabei wird auf das Ausfallrisiko des Schuldners Bezug genommen. Diese Analyse führt zu einer Fristigkeitsstruktur von Credit Spreads^[2]. Da der Preis eines Kreditderivates prinzipiell dem Credit Spread entspricht, dient die Fristigkeitsstruktur von Credit Spreads der Bewertung von Kreditderivaten. Der Credit Spread ergibt sich aus der Differenz zwischen einem risikolosen und einem risikobehafteten Aktivum.

Im ersten Teil unserer Arbeit betrachten wir den einfachen Fall von ausfallrisikofreien und ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds. Die Preise dieser Bonds enthalten alle benötigten Informationen, vorausgesetzt, dass die ausfallgefährdeten Bonds bei Ausfall Zero Recovery aufweisen. Diese Bonds sind in der Realität nicht beobachtbar. Aus diesem Grund wählen wir eine andere Vorgehensweise und zwar in die entgegengesetzte Richtung: wir konstruieren eine Methode, um einen Modellpreis für wirklich gehandelte Assets wie ausfallgefährdete Coupon-Bonds oder Credit Default Swaps für eine gegebene Fristigkeitsstruktur von ausfallgefährdeten Zero-Bonds, zu ermitteln. Dann drehen wir die Preisbeziehung um, damit wir die Fristigkeitsstruktur von ausfallgefährdeten ZeroBonds erhalten, welche Modellpreise abwerfen, die den beobachteten Marktpreisen entsprechen. Diese Fristigkeitsstruktur entspricht dann der impliziten Fristigkeitsstruktur des Ausfallrisikos^[3].

Im zweiten Teil wird auf die Recovery Modellierung eingegangen. Es existieren mehrere unterschiedliche Ansätze, die das Ziel haben solch eine Recovery zu modellieren. Wir gehen jedoch nur kurz auf diese Ansätze ein und konzentrieren uns vielmehr auf die grundlegende und ausführliche Darstellung des Auszahlungswertes, welcher bei einem Ausfall gezahlt wird.

Im dritten Teil geht es um Building Blocks für die Bewertung von Kreditderivaten. Hierzu wird zuerst das so genannte “Baummodell“ besprochen. Dies ist eine Darstellung von Building Blocks, den Umweltzuständen und den Zeitpunkten der Auszahlung. Nachdem das Grundlegendste aufgezeigt wurde, werden wir die Preisbildung der Building Blocks erörtern. Zum Abschluss dieses Kapitels, werden wir noch kurz auf das Recovery-Modell für Kalibrierungswertpapiere eingehen.

Der letzte Teil ist der Bewertung von Kalibrierungswertpapieren mit der Building Blocks Methode gewidmet. Unter der Verwendung unserer Ergebnisse aus den vorherigen Kapiteln, werden die Modellpreise eines Fixed-Coupon-Bonds und eines ausfallgefährdeten Floaters ermittelt. Zudem gehen wir kurz auf die drei wichtigsten Produktgruppen im Markt für Kreditderivate ein: Total Return Swap, Credit Spread Derivate und Credit Default Swaps und bewerten abschließend dazu noch weitere Kreditderivate.

Am Ende dieser Arbeit werden wir die wichtigsten Ergebnisse nochmals zusammenfassen.

2. Credit Spreads und implizite Ausfallwahrscheinlichkeiten

Der Credit Spread ist ein Kreditrisikomaß, das zukunftsgerichtete Erwartungen über die Ausfallwahrscheinlichkeit und über die Recovery Rate bei Kreditausfall enthält. Wörtlich übersetzt bedeutet Spread Differenz bzw. Aufschlag. Allgemein bezeichnet ein Spread eine absolute Renditedifferenz zwischen zwei Nominalzinssätzen oder Renditen^[4].

Unter einem Credit Spread versteht man genauer die Differenz zwischen der Rendite einer ausfallrisikobehafteten Anleihe und der Rendite einer quasi-risikolosen Benchmark, wobei die Annahme ansonsten gleicher Konditionen und gleicher Laufzeit gelten soll. Der Credit Spread wird auch oftmals als Differenz der Rendite einer ausfallrisikobehafteten Anleihe und einem entsprechendem Referenzzinssatz definiert (z.B. LIBOR)^[5].

Das Risiko der Veränderung der Bonität eines Schuldners (Bonitätsänderungsrisiko) spiegelt sich in der Veränderung des Credit Spread wider^[6]. Das Credit Spread Risiko beschreibt folglich das Risiko einer Änderung der Bonität des Emittenten, d.h. das Risiko einer Veränderung des Credit Spread^[7].

2.1. Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten

Die Analyse diese Abschnittes findet in einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtrierung/Filtration statt, dieser wird oftmals als gefilterter Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß, dem Martingalmaß Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Wir nehmen an, dass die Filtration Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die üblichen Bedingungen erfüllt^[8].

2.2. Rahmenbedingungen der Untersuchung

Für die Analyse benötigen wir die folgende Notation.

Definition 1 Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(a) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: Wahrscheinlichkeitsraum, der die möglichen Umweltzustände beinhaltet
(b) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: Filtration/Filtrierung, welche die Informationsstruktur des Aufbaus repräsentiert^[9]
(c) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: Information zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erhältlich
(d) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß, Martingalmaß; Martingal bezeichnet einen Prozess, dessen erwarteter zukünftiger Wert, bedingt durch die Vergangenheit, seinem gegenwärtigen Wert entspricht^[10].

Bei der Anwendung des risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaßes sind folgende Punkte zu beachten:

(a) Der Preis eines fairen oder marktgerechten Preises von komplexen Finanzprodukten ist unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß besonders leicht, weil sich unter diesem Maß der Marktpreis eines Produktes einfach als Erwartungswert der diskontierten Zahlungsströme ergibt. Ist Vollständigkeit der Märkte gegeben, d.h. dass jede synthetische und vom Zufall abhängende Auszahlung eines hierzu geschaffenen Finanzproduktes durch bereits vorhandene Finanzinstrumente mit einer selbstfinanzierenden Portfoliostrategie dupliziert werden kann, und ist der Markt arbitragefrei, gibt es ein eindeutiges risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (Martingalmaß). Es wird Martingalmaß genannt, weil unter diesem Maß der diskontierte Preisprozess eines beliebigen Finanzproduktes ein Martingal ist, d.h. die mathematische Struktur einer zu jeden Zeit fairen Wette aufweist.

(b) Das risikoneutrale Martingalmaß Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist lediglich eine Hilfskonstruktion und trifft keine Aussagen über reale Wahrscheinlichkeiten.

(c) Das risikoneutrale Maß ist dadurch gekennzeichnet, dass alle am Markt beobachteten Preise und Auszahlungen wie faire Spiele erscheinen, d.h. der Einsatz bzw. Preis entspricht dem mittleren erwarteten Gewinn des Spiels. Diese Eigenschaft wird genutzt, um aus den beobachteten Preisen und Erlösen von Finanzprodukten das risikoneutrale Maß zu synthetisieren.

Das risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsmaß darf hier nicht mit der Annahme von Risikoneutralität gleichgesetzt werden. Falls wir im Folgenden von Wahrscheinlichkeiten sprechen, sind damit Zustandspreise gemeint. Bei konstanten Zinssätzen entspricht die Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten tatsächlich dem Preis des Wertpapiers, welches Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenauszahlt, falls Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eintrifft. Sind die Zinssätze stochastisch, ist der Preis dieses Contingent Claims Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[11].

Definition 2

(a) 1 Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bezeichnet die Indikatorfunktion von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, für alle Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, falls Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nimmt sie den Wert 1 an, ansonsten nimmt sie den Wert Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten an, da 1Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

(b) Der Zeitpunkt des Ausfalls der Anleihe wird mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bezeichnet; die Überlebensindikatorfunktion wird mit I(t) bezeichnet:

I(t) = 1 Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten =Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(c) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist der Preis eines ausfallrisikofreien Zero-Coupon-Bonds zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, der bei Fälligkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eine Geldeinheit auszahlt^[12].

(d) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten(Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenist der Preis eines ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds wenn Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Zero-Coupon-Bond ist ein Bond, der keinen Coupon oder Zinszahlung über die Laufzeit aufweist. Er wird zu einem Eingangspreis gekauft und der Zins bestimmt sich nach der Auszahlung am Ende der Laufzeit. Die Beziehung zwischen Zero-Coupon-Bond Preisen und ihren Laufzeiten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, nennt man Fristigkeitsstruktur von Zero-Coupon-Bond Preisen und diese impliziert die Fristigkeitsstruktur der Zinssätze^[13].

Um Arbitrage auszuschließen, müssen ausfallgefährdete Zero-Coupon-Bonds immer weniger wert sein als ausfallrisikofreie Zero-Coupon-Bonds der gleichen Fälligkeit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Außerdem sind die Bond Preise eine abnehmende, nicht-negative Funktion der Fälligkeit, beginnend bei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Annahme 1

- Informationen: Zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, sind die ausfallgefährdeten und ausfallrisikofreien Preise der Zero-Coupon-Bonds aller Fälligkeiten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bekannt.
- Fehlende Arbitragemöglichkeiten: die Bondpreise sind arbitragefrei.
- Zero Recovery: die ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds haben keine Rückgewinnung bei Ausfall. Daher schreiben wir den Preis des ausfallgefährdeten Bonds mit Fälligkeit T als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Überlebensindikatorfunktion wird weggelassen für den Fall, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten feststeht^[14].

Annahme 2 (Unabhängigkeit)

Unter dem Martingalmaß Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt Unabhängigkeit von Ausfällen und der Dynamik des ausfallrisikofreien Zinssatzes; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten sind unabhängig unter (Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Unabhängigkeit bezieht sich auch auf die abgeleiteten Größen unter Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[15].

2.3. Die fundamentale Beziehung

Arbitragemöglichkeiten sind ausgeschlossen, wenn es ein risikoneutrales Wahrscheinlichkeitsmaß (auch Martingalmaß) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gibt.^[16] Bei Geltung von Arbitragefreiheit ist der Wert eines jeden marktfähigen Derivats gleich dem Erwartungswert der abgezinsten Auszahlungen unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß.

Der Preis des ausfallrisikofreien Zero-Coupon-Bonds beträgt unter dem Martingalmaß:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

r(t): die Short Rate r(t) dient der Diskontierung der finalen Auszahlung von 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten: stetig verzinster Diskontfaktor über Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Auszahlung eines ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds beträgt nur für den Fall 1, dass der Schuldner nicht bis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ausgefallen ist:

AuszahlungAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten1Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Preis des ausfallgefährdeten Zero-Coupon-Bonds ist somit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund der Unabhängigkeitsannahme (s. Seite 10) gilt Unabhängigkeit des Diskontfaktors Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (der ausfallrisikofreien Zinsdynamik) und des Ausfallereignisses Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenunter Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten .^[17] Ein Produkt der Erwartungen entsteht, wenn wir die oben genannte Annahme für anwenden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der diskontierte Erwartungswert der Auszahlung entspricht dem Preis des ausfallrisikofreien Zero-Coupon-Bonds, daher können wir auch schreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Den zweiten Term betreffend können wir folgende Umformung vornehmen: an die Stelle der Überlebensindikatorfunktion setzen wir die Auszahlung. Inhaltlich besagt die Überlebensindikatorfunktion, dass bei Überleben des Schuldners zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, eine Auszahlung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten stattfindet; dadurch erhalten wir:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Formulierung des letzten Absatzes macht deutlich, dass für eine Auszahlung das Überleben des Schuldners notwendig ist, daher kann der Erwartungswert der Überlebensindikatorfunktion als implizite Überlebenswahrscheinlichkeit gedeutet werden. Daraus ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.4. Die implizite Überlebenswahrscheinlichkeit

Gleichung nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten aufgelöst ergibt die implizite Überlebenswahrscheinlichkeit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die implizite Überlebenswahrscheinlichkeit wird durch das Verhältnis zwischen dem Preis des ausfallgefährdeten und des ausfallrisikofreien Zero-Coupon-Bonds dargestellt^[18].

Dies bedeutet, dass bei Vorhandensein der Zero-Coupon-Bond Preise für alle Fälligkeiten, die impliziten Überlebenswahrscheinlichkeiten für alle Fälligkeiten abgeleitet werden können. Daraus kann man die Fristigkeitsstruktur der Überlebenswahrscheinlichkeiten ableiten, was nichts anderes ist als die komplementäre Verteilungsfunktion des Ausfallzeitpunktes^[19].

Die implizite Ausfallwahrscheinlichkeit über Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bezeichnet. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten müssen in der Summe Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergeben, da der Schuldner entweder ausfallen oder überleben kann. Die implizite Ausfallwahrscheinlichkeit ergibt sich dann als Residualgröße:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten rechtsseitig differenzierbar in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, erhält man für die implizite Dichte des Ausfallzeitpunktes:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Ableitung der Verteilungsfunktion ergibt die Dichtefunktion^[20]. Wir nehmen dabei an, dass die Funktion eine Unstetigkeitsstelle aufweist und dort nicht differenzierbar ist. Deswegen nähern wir uns der Unstetigkeitsstelle von rechts. Man spricht hierbei von einer rechtsseitigen Ableitung^[21].

Eigenschaften der impliziten Überlebenswahrscheinlichkeit

(a) Im Anfangszeitpunkt ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenbei 1, d.h. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Dies bedeutet umgekehrt, zum Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten für die implizite Ausfallwahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(b) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenist positiv und fallend in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Zum einen können Wahrscheinlichkeiten keinen negativen Wert annehmen und zum anderen steigt in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die komplementäre Ausfallwahrscheinlichkeit (siehe Gleichung ), was zum Sinken der Überlebenswahrscheinlichkeit führt

(c) Geht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gegen unendlich ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, d.h. zu einem zukünftigen Zeitpunkt wird fast sicher ein Ausfall eintreten: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(d) Normalerweise ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenstetig in seinem zweiten Argument, d.h. stetig in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Bei Auftreten eines besonderen Ereignisses, macht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenin Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalteneinen Sprung nach unten. Das Ereignis ruft eine positive Ausfallwahrscheinlichkeit zu diesem Zeitpunkt hervor, wobei die implizite Überlebenswahrscheinlichkeit sinkt. Ein diskreter Sprung der Überlebenswahrscheinlichkeiten kann z.B. durch folgende Ereignisse hervorgerufen werden: Kupon- oder Rückzahlungstermin, wenn unklar ist, ob der Schuldner die Zahlung leisten wird oder nicht.

Die implizite Überlebenswahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenist als Funktion ihres ersten Argumentes anzusehen, daher wird sie sich über die Zeit hinweg verändern; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist ein stochastischer Prozess. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenändert sich, falls sich Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten zu Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ändert. Dies kann aus zweierlei Gründen geschehen^[22]:

(a) Bei Nicht-Auftreten eines Ausfalls im Zeitintervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten muss die implizite Überlebenswahrscheinlichkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenaktualisiert werden. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenenthielt bereits die Möglichkeit des Ausfalls in Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und muss bei Nicht-Auftreten einem Update unterliegen, die Überlebenswahrscheinlichkeit steigt. Es soll dann gelten: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltensolange kein Ausfall eintritt.

(b) Zusätzliche ausfallrelevante Informationen treffen ein. Diese Informationen können sich positiv oder negativ auf Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenauswirken, die Richtung ist nicht bekannt, ansonsten wäre die Information bereits in den Preisen verarbeitet und somit auch nicht neu.

2.5. Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeiten und implizite Hazard Rates

Die Herleitung von impliziten Überlebenswahrscheinlichkeiten weisen neben dem Vorteil, dass sie zum besseren Verständnis des in der Fristigkeitsstruktur von ausfallgefährdeten Bond Preisen implizite Ausfallrisiko beitragen, die folgenden Nachteile auf:

(a) Implizite Überlebenswahrscheinlichkeiten überlappen: wir fügen nun einen weiteren Zeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ein und gehen davon aus, dass Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt. In diesem Fall bezieht sich sowohl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als auch Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten auf das Ausfallrisiko des Intervalls Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

(b) Bei Änderung der Überlebenswahrscheinlichkeit muss geprüft werden, inwiefern diese aus dem oben beschriebenen Aktualisierungseffekt resultiert. Dies dient dazu, eine Änderung des Ausfallrisikos festzustellen und gegebenenfalls die Höhe der Änderung festzumachen.

(c) Implizite Überlebenswahrscheinlichkeit sind abhängig von der Länge des betrachteten Zeitintervalls ^[23] .

Aus diesen Gründen empfiehlt sich die Herleitung der bedingten Überlebenswahrscheinlichkeit. Allgemein versteht man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit folgendes: wir nehmen zwei Ereignisse (A und B) an. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses B hängt vom Eintreten eines anderen Ereignisses A ab. Man bezeichnet nun mit der bedingten Wahrscheinlichkeit diejenige Wahrscheinlichkeit von B unter der Voraussetzung, dass A vorher eingetreten ist bzw. gleichzeitig mit B eintritt. Das Eintreten des Ereignisses A ist sozusagen die Bedingung.^[24]

Definition 3 (Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit)

Daher ergibt sich die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit wie folgt: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt Für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit für das Intervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten vom Betrachtungszeitpunkt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenaus gesehen. Es handelt sich um die Wahrscheinlichkeit, dass im Intervall Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kein Ausfall eintritt, vorausgesetzt, dass bis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten kein Ausfall aufgetreten ist. Die Bedingung in diesem Fall ist kein Ausfall bis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Gleichung lässt sich auch wie folgt schreiben:

[...]

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^[1] vgl. Das (1998) S.7ff. / für andere Definitionen s. Whittaker (1996) S. 595

^[2] vgl. Schönbucher (2003) S.51

^[3] vgl. Schönbucher (2003) S. 52f.

^[4] vgl. Grill/Gramlich/Eller, S. 142

^[5] vgl. Burghof (2000) S. 651

^[6] vgl. Burghof (2000) S. 648

^[7] vgl. Burghof (2000) S. 651

^[8] vgl. Jacod and Shiryaev (1988) S.2

^[9] vgl. Duffie (1998) S.5

^[10] vgl. Baxter (1996) S.223

^[11] vgl. Schönbucher (2003) S. 52

^[12] vgl. Burghof (2000) S. 529

^[13] vgl. Jarrow (1995) S. 23

^[14] vgl. Schönbucher (2003) S. 53

^[15] vgl. Burghof (2000) S. 580

^[16] vgl. Duffie (1999) S. 2

^[17] vgl. Burghof (2000) S. 585

^[18] vgl. Burghof (2000) S. 581

^[19] vgl. Burghof (2000) S. 580

^[20] vgl. Bleymüller (1998) S.41

^[21] vgl. Schwarze (1996) S. 15

^[22] vgl. Schönbucher (2003) S. 55

^[23] vgl. Schönbucher (2003) S.56

^[24] vgl. Bleymüller (1998) S.33