Beschreibung einer Unterrichtseinheit zur Konstruktion eines Ellipsoid-Modells

Gliederung

1. Vorbemerkungen

2. Sachanalyse

3. Das didaktische Gesamtkonzept

4. Eine optimale Stundeneinteilung

5. Unterrichtsentwurf einer konkreten Unterrichtsstunde

6. Literatur

1. Vorbemerkungen

1.1. Zielstellung

Das Ziel dieser Unterrichtseinheit ist es, zu wissen, wie eine Ellipse konstruiert wird, wo sie vorkommt und wie daraus ein Ellipsoid wird. Weiter soll ein selbstüberlegtes Modell des Ellipsoids konstruiert und gebastelt werden.

1.2. Voraussetzungen

Wir wollen diese Unterrichtseinheit an die Behandlung des Kreises der Klasse 6 oder 7 ansetzen, d.h. funktionale Zusammenhänge sind hier noch nicht zu betrachten.

1.3. Grobstruktur der Unterrichtseinheit

Wir wollen von einer etwas ungewöhnlichen Konstruktion eines Kreises zu der einer Ellipse übergehen und diese noch als schrägen Kegelschnitt darstellen. Nachdem dann die wichtigsten Eigenschaften einer Ellipse besprochen wurden, werden wir den Ellipsoid als Körper der rotierenden Ellipse einführen und versuchen ein Modell zu entwickeln und dann letztendlich zu basteln.

2. Sachanalyse

2.1. Die Ellipse

Eine Ellipse lässt sich als Schrägbild eines Kreises darstellen. Da solche Schrägbilder mithilfe von Parallelprojektionen aus Kreisen entstehen, erhält man die folgende Definition.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Definition 1^[1]:

Als Ellipse bezeichnet man jede Parallelprojektion eines Kreises.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei einer axialen Stauchung oder Streckung eines Kreises entsteht ebenso eine Ellipse. Die Ellipse hier kann als das Bild eines Kreises mit dem Radius a oder als das Bild eines Kreises mit dem Radius b aufgefasst werden. Dies liefert die folgende Ellipsenkonstruktion:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man zeichnet einen Strahl vom Mittelpunkt der beiden Kreise. Nun zeichnet man durch den Schnittpunkt dieses Strahls mit dem kleinen Kreis eine Horizontale und durch den mit dem großen Kreis eine Vertikale.

Der Schnittpunkt dieser Horizontalen und Vertikalen ist dann ein Punkt der Ellipse. Hieraus entsteht die nächste Definition einer Ellipse.

Definition 21:

Eine Ellipse ist das Bild eines Kreises bei einer affinen Abbildung.

Wird ein Kreiszylinder von einer Ebene geschnitten, die nicht parallel zur Achse des Zylinder ist, so entsteht eine Ellipse als Schnittebene. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ebenso erhält man eine Ellipse (oder auch eine Hyperbel oder Parabel) als Schnittebene, wenn man einen Kreiskegel mit einer Ebene schneidet, die nicht durch die Kegelspitze geht. Diese Schnittebenen nennt man daher Kegelschnitte.

Im Folgenden möchte ich noch drei weitere Definitionsmöglichkeiten zur Ellipse angeben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2. Der Ellipsoid

Der Ellipsoid ist ein Rotationskörper, der entsteht, wenn eine Ellipse um eine ihrer Achsen rotiert. Die Schnittebene durch einen Ellipsoid ist dann wiederum eine Ellipse oder im Spezialfall ein Kreis.^[5]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3. Das didaktische Gesamtkonzept

3.2. Einführung der Ellipse als Kegelschnitt

Da die Unterrichtseinheit an die Behandlung des Kreises anschließen soll, ist eine Wiederholung sinnvoll. Man kann nun diskutieren, wo so ein Kreis überall vorkommt und dann auch darauf zusprechen kommen, was entsteht, wenn man einen Kegel parallel zur Grundfläche schneidet. Ein Kreis entsteht. Mit Hilfe des Computerprogramms „WinFunktion“ und/ oder anhand anschaulicher Modelle lassen wir die Kinder nun ausprobieren, was entsteht, wenn der Kegel schräg geschnitten wird. Wir kommen so auf die Ellipse und können anfangen darüber zu diskutieren.

3.1. Die Alternative – Einführung vom Kreis zur Ellipse über die Gärtnerkonstruktion

Eine zweite Einführungsmöglichkeit ist die Einführung der Ellipse über die Gärtnerkonstruktion vom Kreis ausgehend. Selbst, wenn wir diese nicht als Einführung wählen sollten, sollte diese Sequenz doch später als eine Ergänzung mit eingefügt werden.

Wie oben erwähnt, soll diese Unterrichtseinheit an die Behandlung des Kreises anschließen. Daher wollen wir bei der Einführung der Ellipse, die ja Voraussetzung für den Ellipsoiden ist, vom Kreis über gehen. Überwiegend werden wir diese Unterrichtseinheit in Gruppenarbeit und -gesprächen durchführen.

Bisher haben die SchülerInnen nur gelernt, einen Kreis mithilfe eines Zirkels zu zeichnen. In dieser Teilsequenz möchten wir aber eine eher ungewöhnliche Methode demonstrieren, wie man einen Kreis ohne Zirkel, z.B. in ältester Zeit, wo es solche Hilfsmittel noch nicht gab, zeichnen kann. Wir werden dazu eine Gruppendiskussion anregen und die einzelnen (hoffentlich kreativen) Vorschläge der SchülerInnen auch durch sie ausprobieren lassen. Sollte bis zu einem bestimmten Zeitpunkt, der je nach Zeitressourcen vorher bestimmt werden sollte, noch nicht der für uns entscheidende Vorschlag kommen, so werden wir die Diskussion mit eben diesen unserem Vorschlag beenden. Unser Vorschlag lautet wie folgt:

Man nehme zwei Stifte, Nadeln o.ä., an denen man je ein Ende eines Fadens bindet. Diese beiden „Halterungen“ setzt oder befestigt man nun an ein und dem selben Punkt an der Tafel. Nun tut man ein Stück Kreide in die Schlaufe, die ja durch den Faden entstanden ist und zeichnet einmal nach oben und einmal nach unten einen Halbkreis, indem man einfach den Faden straff mit der Kreide von links über oben/ unten nach rechts zieht.

Somit haben wir mit den einfachsten Bedingungen einen Kreis gezeichnet und lassen dies nun von den Schülern selbst (an der Tafel oder bei großen Klassen im Heft) ausprobieren. Nun kommt die alles entscheidende Frage: „Was kann man denn auf diese Weise noch alles zeichnen?“ Wieder werden wir verschiedene SchülerInnen-Antworten abwarten (so welche kommen). Entweder aufgrund einer kreativen SchülerInnenleistung oder mit Anstoß unsererseits werden wir fragen, was passiert, wenn ich genauso zeichne, aber die „Halterungen“ nicht im selben Punkt, sondern an zwei verschiedenen Punkten anbringe. Wir werden es einfach versuchen und ein sonderbares Bild erhalten. Es wird das Bild eines gestreckten oder gestauchten Kreises sein.

Nun sind wieder die SchülerInnen gefragt, die uns sagen sollen, was das sein soll, was wir da kreiert haben. Vielleicht kennt ja der ein oder andere schon diese Form, weiß, wo sie vorkommt oder sogar, wie sie heißt. Auf jeden Fall werden wir hier wieder diskutieren, hin und wieder einige Anstöße bringen und fließend zur nächsten Sequenz übergehen (wenn auch vielleicht nicht in der selben Unterrichtsstunde)

[...]

^[1] Vgl: SCHEID, Seite 134

^[2] Vgl: SCHEID, Seite 135 f.

^[3] Vgl: SCHEID, Seite 136

^[4] Vgl: SCHEID, Seite 136 f.

^[5] Vgl: BRONSTEIN, Seite 227 ff.