Zahlensysteme und ihre Anwendung

Inhaltsverzeichnis

1 Vorwort

2 Die Herkunft der Zahlen
2.1 Was bedeutet z¨ahlen ?
2.1.1 Tiere k¨onnen Mengen erfassen
2.1.2 Das Erfassen von Mengen beim Mensch
2.2 Die ersten Darstellungen von Zahlen
2.2.1 Der K¨orper als Hilfsmittel
2.2.2 Die Natur als Werkzeug
2.2.3 Der Schritt zur wirklichen Z¨ahlkompetenz
Die Entstehung der Zahlw¨orter
Die F¨ahigkeit des Vergleichs und der Einordnung

3 Die Grundlagen der Zahldarstellung

4 Additionssysteme
4.1 Definition
4.2 Umwandlung ins Dezimalsystem und umgekehrt
4.3 Rechenoperationen
4.3.1 Die Addition
4.3.2 Die Subtraktion
4.3.3 Die Multiplikation
4.3.4 Die Division
4.3.5 H¨ohere Rechenoperationen
4.4 Beispiele aus der Realit¨at
4.4.1 Das Un¨arsystem
Umrechnung Un¨ar-Dezimal
Umrechnung Dezimal-Un¨ar
Rechenoperationen
Verwendung in der Vergangenheit
Die Verwendung heute
4.4.2 Die R¨omischen Zahlen
Definition und Regeln
Umrechnung in das Dezimalsystem
Umrechnung vom Dezimalsystem
Rechenoperationen
Zahlen gr¨oßer 3999 (MMMCMXCIX)
Anwendungen heute
4.5 Die Nachteile des additiven Prinzips

5 Stellenwertsysteme
5.1 Die Regeln und Definition
5.1.1 Das Prinzip der Bu¨ndelung
5.1.2 Entdeckung der Null
5.2 Beweis zur Eindeutigkeit der Bu¨ndelung
5.3 Das Dezimalsystem
5.3.1 Entwicklung
5.3.2 Definition
5.4 Das Dualsystem
5.4.1 Die Definition
5.4.2 Umrechnung ins Dezimalsystem
5.4.3 Umrechnung vom Dezimalsystem
5.4.4 Rechenoperationen
Die Addition
Die Subtraktion
Die Multiplikation
Die Division
5.4.5 Spezielle Rechenoperationen
Die Invertierung
Das bin¨are Oder und exklusive Oder
Das bin¨are Und
5.5 Das Hexadezimalsystem
5.5.1 Definition
5.5.2 Umrechnung ins Dezimalsystem
5.5.3 Umrechnung vom Dezimalsystem
5.5.4 Die Umrechnung ins und vom Dualsystem
5.6 Das Dualsystem im Einsatz
5.6.1 Was bedeutet digital?
5.6.2 Codierung und Decodierung
5.6.3 Beispiel der Codierung von Zeichen und Texten am Computer in C++

6 Schlusswort

Literaturverzeichnis

1 Vorwort

Das 21. Jahrhundert... T¨aglich wird der Mensch u¨berflutet von Informationen und Ein- dru¨cken, wichtigen wie unwichtigen. Neuentwicklungen und Erfolge sind heute noch ak- tuell, und morgen oftmals schon wieder u¨berholt und veraltet. Immer tiefer dringt das Verst¨andnis des Menschen in das Universum, in die Natur, allgemein in unsere Welt ein. Zunehmend vielschichtiger werden unsere Vorstellungen von Raum, Zeit und Wirklichkeit. Im wachsenden Umfang komplexer werden unsere Entwicklungen und unsere technischen Standards. Daher ist es nicht verwunderlich, dass viele Menschen die Orientierung ver- lieren und durch den Dschungel an Fachw¨ortern, Erkl¨arungen und Theorien nicht mehr durchblicken. Meine Person ist dabei u¨berhaupt nicht ausgenommen. Aus diesem Grund versuche ich t¨aglich ein Stu¨ck mehr unserer Welt und der Entwicklungen in ihr zu ver-

stehen. Der Schlu¨ssel dazu, denke ich, ist die Mathematik, denn schon Einstein erkannte, dass «nach unserer bisherigen Erfahrung [...] wir zum Vertrauen berechtigt [sind], dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist». Aufgrund dessen ist

es sinnvoll die Mathematik als Quelle der Erkenntnis und des Verst¨andnis fu¨r diese, unsere Welt zu sehen. Aber nicht nur das Universum, sondern auch technische Errungenschaften, die Geschichte der Menschheit und der t¨agliche Zugewinn an Erkenntnis und Wissen von Kindern ist im Spiegel der Mathematik zu sehen.

Besonderen Stellenwert in der Mathematik nehmen die Zahlen ein. Sie sind ein allt¨ag- liches Werkzeug, dass zum Z¨ahlen, zur Angabe von Preisen, Gr¨oßen und Mengen, fu¨r R¨atselspiele und vieles mehr eingesetzt wird. Selbst Kindergartenkinder besitzen schon elementare Kenntnisse im Bereich Zahlen und Z¨ahlen und setzen diese auch aktiv ein. Tats¨achlich sind sie so allt¨aglich und verwurzelt, dass nur selten die Frage der Herkunft, Entwicklung und Weiterentwicklung gestellt wird. Sicher noch seltener wird nach Alterna- tivdarstellungen gefragt. Ein Antwortversuch soll diese Arbeit bieten. Es wird im Kapitel 2 gezeigt, wie Zahlen entdeckt wurden, und welche Voraussetzungen und Problemstellun- gen die Menschen zu dieser Zeit dazu veranlassten, das Z¨ahlen zu beginnen. Es wird sich herausstellen, dass sich eben diese Entwicklung bei Kindern heute in komprimierter Form vollzieht. Das Kapitel 4 erkl¨art abstrakt und konkret, wie erste Notationen von Zahlen aussahen und funktionierten, und welche Verbesserungen und Nachteile an diesen Vorge-

hensweisen zu unseren modernen Zahlen fu¨hrten, die in Kapitel 5 vorgestellt werden. Ich sehe die Beantwortung dieser Fragen als Schlu¨sselfragen zum Verst¨andnis unserer heutigen Zeit. Dieses Wissen fungiert als Spiegel zwischen Vergangenheit und Gegenwart, zwischen Natur und Technik und erm¨oglicht einen faszinierenden Einblick in scheinbar einfache, allt¨agliche Dinge wie unsere Zahlen.

2 Die Herkunft der Zahlen

2.1 Was bedeutet z¨ahlen ?

Eine sehr h¨aufige Anwendung von Zahlen ist ihre Zuhilfenahme zum Z¨ahlen. Tats¨achlich aber sind Zahlen aus der Notwendigkeit der Darstellung der M¨achtigkeit einer Menge entstanden. Geschichtlich chronologisch gab es diesen Vorgang vor den Zahlen. Zu Beginn der Entstehung der Zahlen und ihrer Darstellung stand also nicht die Zahl selbst, sondern

- aus heutiger Sicht - eine praxisbezogene Anwendung von Zahlen.

2.1.1 Tiere k¨onnen Mengen erfassen

Ein bekanntes, geflu¨geltes Wort besagt: «Von nichts kommt nichts». Diese Aussage l¨asst sich auch auf unser Zahlenverst¨andnis anwenden. Eine m¨ogliche Formulierung w¨are: «K¨on- nen Menschen schon immer z¨ahlen ? Woher kommt diese F¨ahigkeit ?». Um diese beiden Fragen kl¨aren zu k¨onnen, muss eine Ebene tiefer als der Mensch selbst ist angesetzt wer- den. Konkret soll gekl¨art werden, ob Zahlen und das damit verbundene Z¨ahlen eine vom Mensch alleine erbrachte Ged¨achtnisleistung oder eine von der Evolution begu¨nstigte Ent- wicklung ist. Die Kl¨arung dieser Fragestellung besch¨aftigte bereits viele Wissenschaftler, die u¨berpru¨ft haben, ob es neben dem Menschen auch andere Lebewesen (Tiere) gibt, die Mengen wahrnehmen und die M¨achtigkeit derer von anderen unterscheiden k¨onnen.

Die Behauptung, Tiere k¨onnten rechnen, wird seit Menschengedenken von Ausstellern auf Jahrm¨arkten aufgestellt und demonstriert. Ein besonders prominentes Beispiel vom Be- ginn des letzten Jahrhunderts, welches gleichzeitig auch den Beginn der Erforschung der

Z¨ahl- und Rechenf¨ahigkeit bei Tieren darstellt, war ein Hengst namens «der kluge Hans».

Dieses Pferd war angeblich nicht nur in der Lage zu z¨ahlen, sondern auch zu rechnen und u¨bermittelte dem Besitzer, wie auch dem erstaunten Publikum die Ergebnisse durch Klopfen mit den Hufen. Der Psychologe Oskar Pfungst vermutete hinter diesen F¨ahig- keiten eine T¨auschung und untersuchte das Verhalten des Pferdes wissenschaftlich. Die

Idee dahinter war, das Tier mit Fragen zu pru¨fen, fu¨r die die anwesenden Menschen eine falsche L¨osung erhalten hatten. Das von Pfungst vermutete Resultat trat ein, das Pferd lieferte falsche L¨osungen. Daraus folgerte er, dass die L¨osung direkt mit den Anwesenden zusammenh¨angen mu¨sse. Die simple L¨osung ver¨offentlichte Pfungst in seinem Werk «Das

Pferd des Herrn von Osten». Immer dann, wenn das Pferd die richtige L¨osung geklopft hatte, erkannte das Pferd aufgrund unbewusster Reaktionen der Anwesenden, dass es mit

dem klopfen aufzuh¨oren habe. [Luk08, S. 1f]

Diese Anekdote zeigt eine grunds¨atzliche Problematik bei der Erforschung der F¨ahigkeit des Mengenbegriffs. Eine Beeinflussung muss ausgeschlossen werden. Der Optimalfall w¨are die Beobachtung eines Z¨ahlvorgangs in der freien Wildbahn, da dort auch eine antrainierte F¨ahigkeit, wie beim «klugen Hans» praktisch ausgeschlossen w¨are.

In der Praxis ist das jedoch nur schwer umsetzbar, daher ist die Forschergruppe um den Professor Ju¨rgen Tautz von der Wu¨rzburger Beegroup einen anderen Weg gegangen. Die Gruppe trainierte Bienen, indem sie optisch unterschiedlich gestaltete Tafeln aufstellten. Auf den Tafeln, hinter denen sich mehr Futter befand, waren stets zwei Objekte abgebil- det. Auf den anderen immer nur eins. Um zu vermeiden, dass sich die Bienen das Muster merkten, wechselten die Wissenschaftler die Anordnung, Art und Farbe der abgebildeten Objekte sowie der Schilder. Schon nach kurzer Zeit waren die Bienen in der Lage, die Tafeln mit zwei Objekten zu identifizieren, um so an eine maximale Menge an Futter zu kommen. Identische Versuche wurden mit Bienen durchgefu¨hrt, die auf drei und vier Ob- jekte auf den Tafeln trainiert waren. Auch diese Versuche ergaben das gleiche Ergebnis, die Bienen flogen in der Vielzahl der F¨alle zur entsprechenden Tafel. Erst, als die Biologen die Bienen auf fu¨nf Objekte fu¨r eine Tafel als Anzeichen fu¨r eine gute Futterquelle trainie- ren wollten, stellte sich heraus, dass die Bienen nun Probleme mit der Unterscheidung zu Tafeln mit einer ¨ahnlichen Zahl an Objekten hatten. Es wurde offenbar eine biologische Grenze erreicht. Daraus folgt, dass Bienen nur Mengen bis einschließlich vier Elemente unterscheiden k¨onnen. [Emm09]

Mithilfe dieser Studien wurde gezeigt, dass die Wahrnehmung von Mengen keineswegs eine menschliche F¨ahigkeit oder eine F¨ahigkeit hoch entwickelter Spezies ist. Selbst Insekten, in diesem Fall Bienen, sind dazu in der Lage, obwohl sie nicht u¨ber ein Gehirn, sondern nur u¨ber ein Strickleiternervensystem mit Unter- und Oberschlundganglion verfu¨gen. [AWL04,

s. v. Bauchmark]

Auch bei h¨oher entwickelten Tieren wurde die F¨ahigkeit Mengen wahrzunehmen und zu unterscheiden beobachtet und untersucht. Dabei hat sich gezeigt, dass auch V¨ogel, Ele- fanten, Hunde und viele andere Tiere dazu in der Lage sind, eine bestimmte Anzahl wahrzunehmen. Erstaunlich ist jedoch, dass sich die Auspra¨gung der F¨ahigkeit zwischen verschiedenen Arten teilweise stark unterscheidet. So gibt es Arten, die nur sehr klei-

ne Mengen voneinander unterscheiden k¨onnen. Andere hingegen schaffen teils mehr als sechs Elemente. U¨ bereinstimmend hat sich jedoch gezeigt, dass mit steigender Anzahl von Elementen und geringerem Unterschied die F¨ahigkeit stark nachl¨asst. [Geo89, S.21f]

Der franz¨osische Autor und Mathematiker Georges Ifrah bezeichnet diese F¨ahigkeit als

«Zahlengefu¨hl» [Geo89, S.21], da zu richtigem Z¨ahlen die F¨ahigkeiten des Begreifens und der Abstraktion notwendig sind. Unter Abstraktion versteht man, dass sich der Z¨ahlende u¨ber die absolute Anzahl im Klaren ist und nicht nur vorhandene Mengen vergleicht. Beide F¨ahigkeiten sind jedoch bei gew¨ohnlichen Tieren nicht vorhanden. Eindeutig bewiesen ist

dies jedoch nicht, da die genauen Vorg¨ange im Gehirn bei Tieren nicht vollst¨andig erforscht sind.[Vie00]

Zusammenfassend l¨asst sich aussagen, dass sich im Laufe der Evolution ein rudiment¨ares Verst¨andnis fu¨r kleine Mengen bei einer Vielzahl von Tieren entwickelt hat.

2.1.2 Das Erfassen von Mengen beim Mensch

Da der Mensch streng biologisch gesehen auch ein Tier ist [AWL04, s. v. Mensch], lassen

sich die Erkenntnisse aus dem Tierreich

u¨bertragen und erm¨oglichen so die Schlussfol-

gerung, dass auch fru¨he Menschen lediglich u¨ber ein Zahlengefu¨hl verfu¨gten, welches im Laufe der Geschichte zum heutigen Stand der Zahlen oder allgemeiner zur Mathematik fu¨hrte.

Es muss also angenommen werden, dass sich Urmenschen nicht des abstrakten Zahlen- begriffs bewusst waren. Daher muss auch noch heute beim Menschen, aber auch bei den Menschenaffen das Vorhandensein eines Zahlengefu¨hls nachgewiesen werden k¨onnen. Dar- aus ergeben sich zwei prinzipielle M¨oglichkeiten, die darauf basieren den Menschen im

«Urzustand» zu untersuchen. Die eine ist die Untersuchung mit Hilfe von Kindern, die

andere die Untersuchung anhand «primitiver Ureinwohner». Bevor dies geschehen kann, muss zuvor jedoch der Umfang des menschlichen Zahlengefu¨hls bestimmt werden.

Eine Bestimmung dieses Umfangs kann leicht selbstst¨andig experimentell nachvollzogen werden. Die Idee ist, die Zahl der Striche in jedem Block auf einen Blick zu erkennen, ohne sie zu z¨ahlen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildun g 2.1: Erfassung von Mengen, ohne zu Z¨ahlen, eigene Quelle

Die drei Bl¨ocke in der ersten Zeile lassen ohne Weiteres die Wahrnehmung der Anzahl an Strichen auf einen Blick zu. Konkret eins, zwei und vier. Versucht man selbiges in der zweiten und dritten Zeile, so wird man feststellen, dass man sie erst z¨ahlen muss. Deutlich erkennbar wird dies, wenn die Zeiten verglichen werden, die man ben¨otigt um die Zahl zu bestimmen. Auch ist fu¨r die zweite und dritte Zeile eine leichte Augenbewegung notwendig, um die Striche in kleinere Bl¨ocke, meist zweier und dreier Bl¨ocke einzuteilen.

Der Einwand, man k¨onne doch auf dem Wu¨rfel die Augenzahl fu¨nf oder sechs auch auf einen Blick erkennen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildun g 2.2: die zwei h¨ochsten Augenzahlen eines Wu¨rfels, eigene Quelle

Das ist aber nicht ganz korrekt, denn durch die spezielle Positionierung der Punkte in zwei Dreier, beziehungsweise in zwei Zweier und eine Gruppe Einer wird eine Identifizierung stark vereinfacht. Sie erfordert jedoch bei fehlender Erfahrung, das heißt bei jemandem, der das Muster nicht sofort mit fu¨nf oder sechs assoziiert, dass er erst kurz rechnen muss.

Besonders bei Kindern ist daher das Umsetzen der Augenzahl «Fu¨nf» oder «Sechs» sehr

schwer.

Daraus l¨asst sich schließen, dass das Zahlengefu¨hl oder die Zahlenwahrnehmung des Men- schen nur bis einschließlich vier funktioniert. [Geo89, S.26] Alle gr¨oßeren Mengen mu¨ssen erst gez¨ahlt werden und k¨onnen auch nicht auf einen Blick erfasst werden.

Manche Menschen «primitiver Urv¨olker» setzen noch heute ausschließlich auf ihr ange- borenes Zahlengefu¨hl. Eine direkte Folge daraus ist, dass sich auch in ihrem Wortschatz nur Ausdru¨cke fu¨r die ersten vier «Ziffern» finden. Als Beispiel soll hier die Sprache der australischen Aranda herangezogen werden. Sie besitzen lediglich die Worte «ninta» fu¨r eins und «tara» fu¨r zwei. Die Worte fu¨r drei und vier werden aus den Worten fu¨r eins

und zwei zusammengesetzt. So wird der Ausdruck fu¨r drei aus zwei-und-eins gebildet:

«tara-mi-ninta». Analog dazu wird vier aus zwei-und-zwei gebildet: «tara-ma-tara». Alles weitere wird als «viel» oder «eine Menge» bezeichnet.[Zim08, S.32].

Neben «primitiven Urv¨olkern» ergaben auch Untersuchungen mit Babys, dass auch diese bereits u¨ber einen Zahlensinn verfu¨gen. Hierbei wurden die Gehirnaktivit¨aten der S¨aug- linge gemessen. Sie konnten schon nach der Geburt Mengen mit wenigen Elementen un- terscheiden. [OD07, S.15]

Abschließend l¨asst sich aussagen, dass der Zahlensinn von Menschen nicht ausgepr¨agter vorhanden ist, als bei Tieren. Dennoch geh¨oren heute Zahlen weit jenseits der vier zu un- serem normalen Alltag. Eine spezielle Entwicklung muss sich also im Laufe der Geschichte vollzogen haben, die eine U¨ berwindung dieser Grenze erm¨oglichte, beziehungsweise jungen

Menschen heute immer noch erm¨oglicht. Diese U¨ berwindung soll im n¨achsten Abschnitt

n¨aher erl¨autert werden.

2.2 Die ersten Darstellungen von Zahlen

Die vier stellt, wie im letzten Unterkapitel gezeigt, eine natu¨rliche Grenze dar. Um der Notwendigkeit der Bestimmung gr¨oßerer Mengen gerecht zu werden, musste der Mensch, erg¨anzend zu seinem Zahlensinn, Hilfsmittel schaffen, mit denen er gr¨oßere Zahlen «er-

fassen» konnte. Unter Hilfsmitteln werden sogenannte Hilfsmengen verstanden, die helfen

«die zu erfassende Menge [zu] reproduzier[en].» [Mac05, S.2]

Eine paarweise Zuordnung dieser Art wird als «Bijektion» [Geo89, S.35] bezeichnet. Ma- thematisch definiert sich eine Bijektion als eine Abbildung, dessen Elemente der Bildmenge genau ein Urbild besitzen. [SB10, S.26]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2.3: Bijektion geometrisch dargestellt, eigene Quelle

Paradoxerweise ist auch bei der Bildung von Hilfsmengen noch kein abstrakter Zahlenbe- griff notwendig, das heißt die Bildung und Verwendung von Hilfsmengen setzt noch nicht die F¨ahigkeit des Z¨ahlens voraus. Vielmehr k¨onnen mit Hilfsmengen relative Anzahlver-

gleiche durchgefu¨hrt werden, sodass u¨berpru¨ft werden kann, ob die Hilfsmenge mit der eigentlichen Menge in der Realit¨at u¨bereinstimmt. Die absolute Anzahl kann mit diesem Verfahren aber noch nicht bestimmt werden. [Mac05, S.2]

2.2.1 Der K¨orper als Hilfsmittel

Eine sehr naheliegende Hilfsmenge ist der menschliche K¨orper selbst, da er «immer ver- fu¨gbar» ist. Die Verwendung dieser Hilfsmenge entstand mit hoher Wahrscheinlichkeit

aus der Notwendigkeit heraus, gr¨oßere Mengen erfassen zu k¨onnen, da auch die sozialen Strukturen der Menschen immer komplexer und vielschichtiger wurden.

Eine m¨ogliche Notwendigkeit ist die Nahrungsversorgung. Angenommen ein J¨ager der Vorzeit m¨ochte fu¨r seine Sippe Hasen jagen. Er besitzt nicht die F¨ahigkeit zu z¨ahlen, jedoch muss er sicherstellen k¨onnen, dass die Zahl der gejagten Hasen fu¨r die Sippe ausreicht. Ein m¨oglicher Ansatz ist, vor dem Aufbruch zur Jagd jedem Mitglied der Sippe ein K¨orperteil zuzuordnen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildun g 2.4: Ein J¨ager verwendet seinen K¨orper als Hilfsmenge, Quelle [Mac05, S.2]

Um dies zu tun, legt er erst fu¨r sich eine Reihenfolge fest. In diesem Beispiel beginnt der J¨ager mit seiner rechten Hand, geht u¨ber zur linken und bezieht erst den rechten und dann den linken Fuß mit ein. Um nun die M¨achtigkeit der Hilfsmenge zu bestimmen ordnet er

jedem Mitglied seiner Sippe einen Finger oder eine Zehe zu. Das K¨orperteil, das er dem letzten Mitglied zugeordnet hat, muss er sich merken oder am K¨orper direkt markieren. Auf der Jagd kann er immer u¨berpru¨fen, ob er schon genug Hasen erlegt hat, indem er jedem bereits gefangenen Hasen wieder der Reihe nach einen Finger beziehungsweise eine Zehe zuordnet. Ist er bei der Zuordnung bei dem Finger oder bei der Zehe angelangt, zu der er auch mit den Mitgliedern der Sippe gekommen ist, so hat er genu¨gend Hasen erlegt und kann nach Hause gehen.

In diesem Beispiel werden zwei Zuordnungen vorgenommen. Die erste ist die Abbildung der Menschen auf die Gliedmaßen des J¨agers. Die zweite ist die Abbildung der Hasen auf die Gliedmaßen. So kann sichergestellt werden, dass jedem Mitglied der Sippe ein Hase zugeordnet werden kann, ohne dass der J¨ager abstrakt z¨ahlen k¨onnen muss.

Diese k¨orperbezogene Z¨ahlweise wurde unter anderem bei Ureinwohnern in Ozeanien (z.B. Papua Neuguinea, Murray-Inseln) entdeckt. Je nach Region und Notwendigkeit unter- scheidet sich die Reihenfolge und die gew¨ahlten Stellen am K¨orper. So werden oftmals auch die Augen, Ohren, Mund Nase, Knie, Ellenbogen und weitere auff¨allige Stellen am

K¨orper eingesetzt um weiter «z¨ahlen» zu k¨onnen. [Geo89, S.31]

Die Verwendung des K¨orpers als Hilfsmenge wird auch heute unter anderem von Klein- kindern noch angewendet. Meistens werden hierbei nur die H¨ande verwendet, um eine Anzahl ausdru¨cken zu k¨onnen. H¨aufig wird die Frage nach dem Alter mit dem Zeigen einer entsprechenden Fingerzahl beantwortet. Ebenfalls k¨onnen Kleinkinder so die Zahl der Kinder verdeutlichen, die sich fu¨r ein gemeinsames Spiel gefunden haben.

2.2.2 Die Natur als Werkzeug

Der K¨orper besitzt einige entscheidende Nachteile. Zu nennen ist hierbei das Problem, dass die Zahl der markanten Stellen am menschlichen K¨orper beschr¨ankt ist. Damit ein- hergehend ist das Problem der Reihenfolge, mit der die Stellen am K¨orper abzuz¨ahlen sind. Ein weiteres Problem ist das langfristige Festhalten der Anzahl, denn Markierungen an entsprechenden Stellen am K¨orper stellen keine dauerhafte Merkhilfe dar, da sich diese unter Umst¨anden im Laufe der Zeit l¨osen oder abnutzen.

Um diese Probleme und Einschr¨ankungen zu

u¨berwinden mussten andere Hilfsmengen

herangezogen werden. Diese Hilfsmengen waren nicht mehr Teile des menschlichen K¨orpers sondern wurden aus der Umgebung, der Natur genommen. M¨ogliche Gegenst¨ande waren Steine, Muscheln, Knochen, St¨ocke und Fru¨chte, um nur einige zu nennen.[Geo89, S.28] Die ¨altesten Fundstu¨cke von Hilfsmengen aus der Natur sind auf ein Alter von 20.000 bis

30.000 Jahre datiert. [Neu05, S.2]

Die Verwendung als Hilfsmenge erfolgt analog zum obigen Beispiel mit dem J¨ager. Anders im Vergleich dazu ist, dass die Objekte der Hilfsmenge alle identisch sind. Als Beispiel sollen St¨ocke verwendet werden. Der J¨ager ordnet jedem Mitglied der Sippe einen Stock zu. Die St¨ocke nimmt er auf die Jagd mit und verwendet diese als Vergleichsmenge fu¨r die Anzahl der zu erlegenden Hasen. Der Unterschied ist nun, dass er sich nicht mehr auf sein Ged¨achtnis oder auf Markierungen verlassen muss, sondern lediglich auf die St¨ocke. Die anderen oben genannten Objekte k¨onnen in der selbigen Weise eingesetzt werden.

2.2.3 Der Schritt zur wirklichen Z¨ahlkompetenz

In den bisherigen Abschnitten war es immer so, dass die Bestimmung der M¨achtigkeit nie absolut war. Um auf das Beispiel des J¨agers zuru¨ckzukommen, bedeutet dies, dass dieser stets die korrekte Anzahl an Hasen nach Hause bringen konnte, aber unter der absoluten Zahl an sich, konnte er sich jedoch nichts vorstellen, da die Hilfsmenge immer noch an die reale Menge gebunden ist. Um die Hilfsmenge von der Realit¨at zu l¨osen, musste erst noch ein Prozess einsetzen, den man mit dem Wort Abstraktion beschreiben kann. Eine abstrakte Vorstellung einer Menge ist jedoch nur m¨oglich, wenn sie mit einem konkreten Begriff assoziiert werden kann. Heute ist dies ganz allt¨aglich, man denke an das Wort

«neun». Sofort wird man eine bestimmte Menge damit verbinden und wissen wo diese

Zahl mengenm¨aßig einzuordnen ist. Somit sind genau zwei Aspekte entscheidend:

- Ein (abstraktes) Zahlwort
- Die F¨ahigkeit des Vergleichs und der Einordnung

Die Entstehung der Zahlw¨orter

Wieder soll hierbei das erste Beispiel des J¨agers herangezogen werden. In diesem benutzt er seine Gliedmaßen um sich die Zahl zu merken. Untersuchungen legen nahe, dass das

«Z¨ahlen» mit den Fingern und Zehen ein sehr beliebter Ansatz war Mengen n¨aher zu

bestimmen. Daher waren die ersten Zahlworte, die wohl auch der J¨ager benutzt hat, die Namen oder Positionen der Gliedmaßen. Dies ist naheliegend, da die Reihenfolge der Gliedmaßen wie oben beschrieben festgelegt wurde, sodass jeder Finger, aber auch jede Zehe eindeutig einer Zahl zugeordnet werden kann. Im Zuge der Vereinfachung der Kommunikation stellt dies eine erhebliche Erleichterung dar, da einem anderen Mitglied

der Sippe die Zahl der Mitglieder, u¨ber eine einfache Angabe wie: «die dritte Zehe von

links», mitgeteilt werden konnte. Dieses andere Mitglied wusste nun, wie viele Mitglieder die Sippe hat.[Men79, S.45f]

Belegen l¨asst sich dies mit Untersuchungen an heutigen Zahlw¨ortern, indem ihre urspru¨ng- liche Bedeutung n¨aher betrachtet wird. Das Problem der meisten Sprachen ist, dass sich diese im Lauf der Geschichte stark weiterentwickelt haben, sodass die urspru¨ngliche Be- deutung der Zahlw¨orter nicht mehr nachvollzogen werden kann. Daher muss auf weniger

weiterentwickelte Sprachen eingeborener V¨olker zuru¨ckgegriffen werden. Karl Menninger greift in seinem Buch «Zahlwort und Ziffer» ein Beispiel aus der Sprache der amerikani-

schen Dene-Dindje Indianer auf, die folgende Zahlw¨orter verwenden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch dieses Beispiel und zahlreiche mehr kann gezeigt werden, dass sich die Entwicklung der Zahlw¨orter in einigen Teilen der Welt so zugetragen hat. Es ist durchaus m¨oglich, dass unsere Zahlw¨orter aus ¨ahnlicher Quelle entstammen, aber aus Gru¨nden der Pragmatik im Laufe der Zeit vereinfacht und aus ihrem urspru¨nglichen Kontext herausgel¨ost wurden, sodass ihr Ursprung heute nicht mehr nachvollzogen werden kann. [Men79, S.43 - 49]

Die F¨ahigkeit des Vergleichs und der Einordnung

Die beiden Begriffe Vergleich und Einordnung verlangen, dass sich die Zahlen in einer wohl geordneten aufsteigenden Reihenfolge befinden. Nur wenn die Reihenfolge festgelegt ist, k¨onnen auch Vergleiche zweier oder mehrerer abstrakter Zahlen erfolgen, die in Bezug zur Realit¨at stehen k¨onnen, aber nicht zwingend mu¨ssen. Die Einordnung verh¨alt sich

¨ahnlich. Nur dann, wenn die F¨ahigkeit zum Vergleich gegeben ist, dann ist auch eine Einordnung in die aufsteigende Zahlenfolge m¨oglich. Aus den beiden bereits genannten Begriffen resultiert ein mit beiden eng verknu¨pfter Begriff, der bereits mit der Forderung

nach einer aufsteigenden Reihenfolge impliziert wurde. Eine Reihenfolge ergibt sich durch das Prinzip der Rekursion. Der Artikel «Definition» in der deutschsprachigen Wikipedia gibt unter zum Begriff «rekursive Definition» folgendes an:

In der rekursiven Definition - auch induktive Definition genannt - wird mit ”

der Nennung der einfachsten Gegenst¨ande begonnen, die dem Definiendum

angeh¨oren. Dann wird ein Verfahren angegeben, mit dessen Hilfe man die weiteren Gegenst¨ande erzeugen kann.“ [o.V12a]

Nach der Definition wird ein Ausgangspunkt (Definiendum) ben¨otigt. Bei der Zahlenreihe die eins. Zus¨atzlich wird ein Verfahren ben¨otigt, um alle anderen Zahlen zu erzeugen. Das Verfahren in diesem Fall ist die Addition der Zahl eins zur vorherigen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Verst¨andnis der Rekursion ist nur auf dem ersten Blick trivial. U¨ bertragen auf die Kompetenz des Z¨ahlens ist dieser Schritt entscheidend, da mehrere elementare Erkennt- nisse darauf basieren. Einerseits die oben bereits genannten, Vergleich und Einordnung, andererseits aber auch, dass sich die Reihe der Zahlen beliebig fortsetzen l¨asst, ohne dass die Zahlen an eine Limitierung durch die Realit¨at gebunden w¨aren. Um dies zu begreifen, muss eine wichtige Voraussetzung erfu¨llt sein, die Erkenntnis, dass Zahlen abstrakt sind, dass sie von der Realit¨at losgel¨ost sind und nicht unbedingt von den zu z¨ahlenden Objek- ten abh¨angen. Vielmehr existieren sie auch ohne die Objekte, beziehungsweise es k¨onnen auch nicht real existierende Mengen gez¨ahlt werden. Die Angabe der Anzahl an Objek- ten in der gez¨ahlten Menge wird mit den, im Abschnitt 2.2.3 gezeigten entstandenen, Zahlw¨ortern angegeben. Der Mensch konnte von nun an z¨ahlen.

3 Die Grundlagen der Zahldar- stellung

Bevor in den n¨achsten Kapiteln die verschiedenen Gruppen von Zahlensystemen mit Bei- spielen gezeigt werden, soll zun¨achst in diesem Kapitel eine theoretische Einfu¨hrung in die Zahlensysteme und den damit verbundenen Begriffen erfolgen.

Grundlegend fu¨r das Verst¨andnis der Darstellung von Zahlen ist der Unterschied zwischen abstrakter Zahl und konkreter Zahldarstellung. Daher soll mit der Definition beider Be-

griffe begonnen werden. Eine Zahl ist «ein einzelnes abstraktes Objekt» [Rei12, S.4]. Das

bedeutet, dass jede Zahl genau ein Mal existiert und nicht sinnlich, sondern nur mit dem Verstand erfasst werden kann. [Rei12, S.4]

Eine Zahldarstellung, also etwas sichtbares, zum Beispiel auf Papier, ist «eine mehrfach

realisierbare konkrete Repr¨asentation einer Zahl durch Symbole».[Rei12, S.4]. Sie kann nach dieser Definition auf unterschiedliche Weise dargestellt werden und ist somit auch

mit den Sinnen wahrnehmbar. [Rei12, S.4]

Zahlensysteme besch¨aftigen sich demnach mit der konkreten Zahldarstellung, da sie im allgemeinen eine visuell erfassbare Abbildung von abstrakten Zahlen darstellen. Formal wird ein Zahlensystem wie folgt definiert:

[Bei Zahlensystemen handelt es sich] um eine Methode zur Darstellung von ”

Zahlen, wobei eine Zahl einer Folge von Ziffern nach den Regeln des jeweiligen

Zahlensystems ist.“ [Neu05, S.2]

Nach der Definition verfu¨gt jedes Zahlensystem u¨ber zwei Eigenschaften, die sich je nach Zahlensystem unterscheiden. Erstens einen Zeichenvorrat, das ist die Menge aller m¨og- lichen Ziffern, aus denen Zahlen aufgebaut werden k¨onnen. Im Dezimalsystem sind dies die Ziffern von 0 bis 9. Zweitens werden Regeln zur Bildung von Zahlen ben¨otigt. Diese Regeln legen fest, wie die Zahl aufgebaut zu sein hat und wie sie gelesen werden muss. Das Pendant in der Sprache wird als Grammatik bezeichnet.

Grunds¨atzlich wird zwischen drei verschiedenen Arten oder Gruppen von Zahlensyste- men unterschieden, die sich aufgrund vergleichbarer oder gemeinsamer abstrakter Regeln klassifizieren lassen.

- Additionssysteme
- Stellenwertsysteme oder auch Positionssysteme
- Hybridsysteme

Die ersten beiden Gruppen werden in den Kapiteln 4 und 5 n¨aher betrachtet, indem sie n¨aher erl¨autert und mit Beispielen versehen werden. Die dritte Gruppe, eine Mischform aus den ersten beiden, wird nicht Gegenstand dieser Arbeit sein.

4 Additionssysteme

Nachdem der Mensch gelernt hatte abstrakt zu z¨ahlen, wurden auch die Verfahrensweisen immer besser, um Zahlen konkret darstellen zu k¨onnen. Dabei waren die ersten bekannten Zahlensysteme die, die heute den Additionssystemen zugeordnet werden.

4.1 Definition

Zu Beginn soll als erstes der Begriff Additionssystem definiert werden:

In einem Additionssystem ergibt sich die Zahl als Summe der Werte der ”

verschiedenen Symbole (Ziffern). Dabei spielt die Position der einzelnen Sym-

bole (Ziffern) keine Rolle fu¨r deren Wert.“ [Har08, S.3]

Das bedeutet, dass in einem Additionssystem verschiedene Symbole mit einem bestimm- ten Wert festgelegt werden. Alle Zahlen werden aus der Menge der festgelegten Symbole gebildet, indem jedes Symbol, vom gr¨oßten Wert bis hin zum kleinsten so oft wiederholt wird, dass sich die Zahl durch Addition der Werte jedes Symbols ergibt. Es handelt sich bildlich ausgedru¨ckt um eine Weiterentwicklung, der nun abstrakten Hilfsmenge.

4.2 Umwandlung ins Dezimalsystem und umgekehrt

Gegeben sei die Menge der Zahlsymbole mit der jeweiligen Zuordnung eines Wertes.

[...]