Eine wichtige Aufgabe in der Ökonomie besteht darin, volks- und betriebswirtschaftliche Sachverhalte anhand von geeigneten Modellen zu modellieren. Viele dieser Problemstellungen unterliegen dabei einer zeitlichen Struktur. So umfasst beispielsweise der Anlagehorizont eines Investments i. d. R. mehrere Perioden, in dem das Portfolio kontinuierlich an innere und äußere Rahmenbedingungen angepasst werden muss.1 Bedingt durch den zeitlichen Anpassungsprozess ist es daher nicht möglich, mithilfe der üblichen 1-Perioden-Standardmodelle eine präzise Lösung zu erhalten. Qualifizierter erweist sich dagegen die Verwendung von Mehrperioden-Modellen, welche über die Methoden der dynamischen Optimierung gelöst werden. Da diese jedoch eine weit komplexere Lösungstheorie beanspruchen, wird in Lehre und Praxis weiterhin auf die statischen Modelle zurückgegriffen.
Ziel dieser Arbeit ist, es die zeitliche Problematik aufzugreifen und am Beispiel eines intertemporalen Investmentportfolios die dynamische Programmierung als konstruktive Lösungsmethode mehrperiodiger-Modelle vorzustellen. Um ein Investmentportfolio möglichst realitätsnah zu modellieren, erfordert es aber auch die Kenntnis komplexer stochastischer Finanzmarktmodelle. Um zu Beginn die Lösungstheorie der dynamischen Programmierung in den Vordergrund zu stellen, erachtet es sich als sinnvoll von vereinfachten Annahmen auszugehen. Kapitel 2 beschäftigt sich daher ausschließlich mit der Optimierung risikoloser Portfolios. D. h. auf dem Markt werden nur Null-Kupon-Anleihen (Zerobonds) mit festem Endwert betrachtet. Anschließend werden in Kapitel 3 die finanztheoretischen Grundlagen hergeleitet und die Optimierung anhand eines risikobehafteten Portfolios erarbeitet.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Portfolio-Optimierung unter Sicherheit
2.1 Grundlagen
2.1.1 Das Investmentportfolio
2.1.2 Modelltypen
2.1.2.1 Das 1-Perioden Haushaltsmodell
2.1.2.2 n-Periodenmodell - diskret
2.1.2.3 n-Periodenmodell - stetig
2.2 Verfahren der Optimierung
2.2.1 Statische Optimierung
2.2.2 Dynamische Optimierung
2.2.2.1 Dynamische Programmierung I - zeitdiskret
2.2.2.2 Dynamisiche Programmierung II - zeitstetig
3 Portfolio-Optimierung unter Unsicherheit
3.1 Modellanforderungen zur Durchführung der stochastischen dynamischen Programmierung
3.1.1 Stochastische Finanzmarkt-Theorie
3.1.2 Markov-Entscheidungsprozesse
3.2 Modell der stochastischen dynamischen Programmierung
3.2.1 Anpassung der Nebenbedingung
3.2.2 Anpassung der Zielfunktion
3.2.3 Das stochastische Portfolio-Optimierungsmodell
3.2.4 Dynamische Programmierung III - stochastisch
4 Unendlicher Zeithorizont
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit zielt darauf ab, die Eignung der dynamischen Programmierung als Methode zur intertemporalen Optimierung von Investmentportfolios aufzuzeigen und dabei den Übergang von deterministischen zu stochastischen Modellen methodisch darzulegen.
- Intertemporale Portfolio-Optimierung
- Vergleich statischer und dynamischer Optimierungsverfahren
- Modellierung unter Unsicherheit mittels stochastischer Prozesse
- Anwendung des Bellman-Prinzips
- Optimierung bei unendlichem Zeithorizont
Auszug aus dem Buch
2.2.2 Dynamische Optimierung
Die dynamische Optimierung untergliedert das Ausgangsproblem in Teilaspekte und löst diese sequenziell. Dies hat zur Folge, dass die Lebensdauer eines Investmentportfolios an das Zeitintervall 𝕋n (diskrete dynamische Optimierung) bzw. 𝕋s (stetige dynamische Programmierung) gekoppelt ist. Im Gegensatz zum statischen Fall, wird die Lösung nun durch einen optimalen Zustandspfad bzw. Steuerungsvektor w(t), c(t) beschrieben. Da, wie bereits angedeutet, das Vermögen eine Funktion des Konsums ist, d. h. w = w(c), erfolgt die Optimierung somit indirekt über die Berechnung des Steuerungspfades c. Eine effiziente Lösungsmethode stellt hierbei die dynamische Programmierung dar. Diese wurde erstmalig im Jahre 1953 von dem amerikanischen Mathematiker Richard BELLMAN formuliert und fußt auf dem Prinzip, das ein optimaler Steuerungspfad die Eigenschaft besitzt, dass unabhängig vom Anfangszustand und der vorausgegangen Entscheidungen, die verbleibenden Entscheidungen eine optimale Lösung bilden müssen. D. h. der optimale Steuerungspfad c* setzt sich aus n optimalen Teilpfaden zusammen.
Nachstehend wird die Portfolio Optimierung mittels der dynamischen Programmierung sowohl zeitdiskret als auch zeitstetig durchgeführt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung führt in die Notwendigkeit der Verwendung von Mehrperioden-Modellen in der ökonomischen Modellierung ein und grenzt das Ziel der Arbeit, die dynamische Programmierung als Lösungsmethode für Investmentportfolios vorzustellen, ab.
2 Portfolio-Optimierung unter Sicherheit: Dieses Kapitel erarbeitet die theoretischen Grundlagen des Haushaltsmodells und stellt die Vorteile der dynamischen gegenüber der statischen Optimierung anhand von deterministischen Modellen dar.
3 Portfolio-Optimierung unter Unsicherheit: Hier wird der theoretische Rahmen um stochastische Prozesse erweitert, wobei die Anforderungen an ein stochastisches Finanzmarktmodell und die Anwendung der stochastischen dynamischen Programmierung erläutert werden.
4 Unendlicher Zeithorizont: Dieses Kapitel zeigt auf, wie durch die Annahme eines unendlichen Zeithorizonts die mathematische Lösung der resultierenden Differentialgleichungen vereinfacht werden kann.
Schlüsselwörter
Dynamische Programmierung, Portfolio-Optimierung, Investmentportfolio, Intertemporale Nutzenfunktion, Stochastische Finanzmarkt-Theorie, Markov-Entscheidungsprozesse, Bellman-Prinzip, Zustandsvariable, Steuerungsvariable, Geometrische Brownsche Bewegung, Zerobonds, Zeitdiskret, Zeitstetig, Unendlicher Zeithorizont, Optimale Allokation
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit befasst sich mit der Optimierung von Investmentportfolios unter Anwendung der dynamischen Programmierung, um zeitliche Anpassungsprozesse realitätsnah abzubilden.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind die mathematische Modellierung von Investitionsentscheidungen, der Vergleich statischer und dynamischer Ansätze sowie die Handhabung von Unsicherheit in Finanzmärkten.
Was ist das primäre Ziel der Forschungsarbeit?
Das Ziel ist es, die dynamische Programmierung als konstruktive Lösungsmethode für mehrperiodige Investmentmodelle vorzustellen und deren Anwendung von deterministischen auf stochastische Bedingungen zu erweitern.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird die Methode der dynamischen Programmierung nach Richard Bellman verwendet, ergänzt durch stochastische Kalküle wie die geometrische Brownsche Bewegung und die Lösung von Differentialgleichungen.
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil behandelt zunächst die Portfolio-Optimierung unter Sicherheit in verschiedenen Zeitintervallen (diskret/stetig) und führt anschließend die Komplexität der Unsicherheit durch stochastische Finanzmarktmodelle ein.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Wichtige Begriffe sind Portfolio-Optimierung, dynamische Programmierung, stochastische Prozesse, Bellman-Prinzip, Zustandsvariablen und der unendliche Zeithorizont.
Warum wird das statische 1-Periodenmodell als unzureichend angesehen?
Da das 1-Periodenmodell keine strukturellen Veränderungen im Zeitverlauf zulässt, ist es für längerfristige Anlagen, bei denen eine kontinuierliche Anpassung an Marktgegebenheiten notwendig ist, weitestgehend ungeeignet.
Welchen Vorteil bietet die Annahme eines unendlichen Zeithorizonts?
Die Annahme des unendlichen Zeithorizonts vereinfacht die mathematische Lösung, indem die Notwendigkeit entfällt, a priori einen optimalen Endwert für das Portfolio festzulegen, und führt zu einer Vereinfachung der partiellen in eine gewöhnliche Differentialgleichung.
- Arbeit zitieren
- Markus Scholl (Autor:in), 2013, Optimierung von Investmentportfolios mittels dynamischer Programmierung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/262739
