Die Hesse´sche Normalenform. Herleitung und Anwendung

Elaboración , 2012 , 8 Páginas , Calificación: 15 Punkte

Didáctica - Matemática

In dieser Ausarbeitung wird die Herleitung und Anwendung der Hesse´schen Normalenform anhand von selbst erstellten Bildern und Beispielaufgaben mit Lösungen anschaulich und verständlich erklärt.

Jasmin Lang

Mathematik/2012

Hesse`sche Normalenform

ev. Seminar Blaubeuren

Abgabetermin: 21. 09. 2012

Termin der GFS: 25. 09. 2012

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Inhaltsverzeichnis

A. Ludwig Otto Hesse

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B. Die Hesse`sche Normalenform

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1. Definition

3

2. Herleitung und Beweis

4

3. Abstandsberechung

5

3. 1. Punkt ­ Ebene in Normalenform

5

3. 2. Punkt ­ Ebene in Koordinatenform

6

3. 3. Ebene ­ Ebene in Koordinatenform

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Literaturverzeichnis

8

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A. Ludwig Otto Hesse

Ludwig Otto Hesse wurde am 22. April 1811 in Königsberg (Preußen)

geboren. Er studierte von 18321837 Mathematik und Physik an der

AlbertusUniversität Königsberg. 1837 bestand er das Oberlehrer

examen für Mathematik und Physik. Er unterrichtete 183841 Physik

und Chemie an der Gewerbeschule Königsberg. 1840 promovierte

Hesse und habilitierte sich an der Universität Königsberg. Dort wur

de er 1845 zum außerordentlichen Professor ernannt. 1855 erhielt

er eine ordentliche Professur in Halle, wechselte jedoch 1856 nach

Heidelberg. Er nahm 1868 die mathematische Professur an dem neu errichteten Münchener

Polytechnikum an. 1869 wurde er zum außerordentlichen Mitglied der Bayerischen Akade

mie der Wissenschaften gewählt, der 1871 eine Ehrenmitgliedschaft in der Londoner Ma

thematical Society folgte. Am 4. August 1874 starb Hesse in München.

Hesses Arbeiten erstrecken sich hauptsächlich über die Gebiete der Algebra, Analysis und

Geometrie. Er führte zum Beispiel die HesseMatrix und die Hesse`sche Normalenform ein,

die im Folgenden näher erläutert wird. (nach: LENSE, Josef (1972): Neue Deutsche Biogra

phie 9. S. 21 f.; MARSUPILCOATL (2012): Otto Hesse.)

B. Die Hesse`sche Normalenform

1. Definition

Die Hesse`sche Normalenform ist eine Sonderform der Normalenform E: ( )

0.

Eine Ebenengleichung E: ( )

0 mit dem Normleneinheitsvektor , dem Norma

lenvektor der Länge 1, wird Hesse`sche Normalenform genannt.

Ist die Ebenenform als Koordinatenform E:

+

+

angegeben, kann auch

hier der Normalenvektor

durch einen Normleneinheitsvektor

ersetzt werden:

.

(nach: BAUM, Manfred et al. (2009): Lambacher Schweizer. S. 283 f.)

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4

2. Herleitung und Beweis

Behauptung: In Fig. 1 gilt für den Abstand zwischen

der Ebene E und Punkt R:

( )

.

Im Folgenden wird bewiesen, dass man mit der Hes

se`schen Normalenform E: ( )

0 den Ab

stand zwischen einem Punkt R und einer Ebene E

errechnen kann.

Die Vektoren und sind die Ortsvektoren der Punk

te P und R (s. Fig. 2). Durch sie lässt sich der Vektor

beschreiben:

Dadurch ergibt sich:

Nun kann man den Vektor

weiter unterteilen in

den Vektor

und

(s. Fig. 3). Durch diese Unter

teilung erhält man:

Da

0, bleibt:

Da

in dieselbe Richtung zeigt wie

und |

|

1,

ist hier

|

|

. Daraus ergibt sich:

|

|

ist ein Einheitsvektor, also gilt:

1.

Daraus folgt:

|

| 1

, also:

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Häufig gestellte Fragen

Wer war der Namensgeber der Hesse'schen Normalenform?

Die mathematische Formel ist nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse benannt.

Wofür wird die Hesse'sche Normalenform verwendet?

Sie dient in der analytischen Geometrie vor allem zur Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Ebenen oder zwischen zwei parallelen Ebenen.

Was ist der Unterschied zur Koordinatenform?

Während die Koordinatenform eine Ebene allgemein beschreibt, nutzt die Hesse'sche Normalenform einen normierten Normalenvektor (Länge 1), um Abstände direkt ablesbar zu machen.

Wie wird die Formel hergeleitet?

Die Ausarbeitung enthält eine schrittweise Herleitung und einen Beweis, wie man von der allgemeinen Normalenform zur Hesse'schen Form gelangt.

Gibt es Beispiele für die Anwendung?

Ja, die Arbeit enthält Beispielaufgaben mit Lösungen für die Abstandsberechnung Punkt-Ebene in Normalen- und Koordinatenform sowie für Ebene-Ebene.

• Calificación: 15 Punkte
• Autor: Jasmin Lang (Autor)
• Año de publicación: 2012
• Páginas: 8
• No. de catálogo: V264066
• ISBN (Ebook): 9783656533634
• ISBN (Libro): 9783656537434
• Idioma: Alemán
• Etiqueta: hesse´sche, normalenform, herleitung, anwendung