In dieser Ausarbeitung wird die Herleitung und Anwendung der Hesse´schen Normalenform anhand von selbst erstellten Bildern und Beispielaufgaben mit Lösungen anschaulich und verständlich erklärt.
Jasmin Lang
Mathematik/2012
Hesse`sche Normalenform
ev. Seminar Blaubeuren
Abgabetermin: 21. 09. 2012
Termin der GFS: 25. 09. 2012
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Inhaltsverzeichnis
A. Ludwig Otto Hesse
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B. Die Hesse`sche Normalenform
3
1. Definition
3
2. Herleitung und Beweis
4
3. Abstandsberechung
5
3. 1. Punkt Ebene in Normalenform
5
3. 2. Punkt Ebene in Koordinatenform
6
3. 3. Ebene Ebene in Koordinatenform
7
Literaturverzeichnis
8
3
A. Ludwig Otto Hesse
Ludwig Otto Hesse wurde am 22. April 1811 in Königsberg (Preußen)
geboren. Er studierte von 18321837 Mathematik und Physik an der
AlbertusUniversität Königsberg. 1837 bestand er das Oberlehrer
examen für Mathematik und Physik. Er unterrichtete 183841 Physik
und Chemie an der Gewerbeschule Königsberg. 1840 promovierte
Hesse und habilitierte sich an der Universität Königsberg. Dort wur
de er 1845 zum außerordentlichen Professor ernannt. 1855 erhielt
er eine ordentliche Professur in Halle, wechselte jedoch 1856 nach
Heidelberg. Er nahm 1868 die mathematische Professur an dem neu errichteten Münchener
Polytechnikum an. 1869 wurde er zum außerordentlichen Mitglied der Bayerischen Akade
mie der Wissenschaften gewählt, der 1871 eine Ehrenmitgliedschaft in der Londoner Ma
thematical Society folgte. Am 4. August 1874 starb Hesse in München.
Hesses Arbeiten erstrecken sich hauptsächlich über die Gebiete der Algebra, Analysis und
Geometrie. Er führte zum Beispiel die HesseMatrix und die Hesse`sche Normalenform ein,
die im Folgenden näher erläutert wird. (nach: LENSE, Josef (1972): Neue Deutsche Biogra
phie 9. S. 21 f.; MARSUPILCOATL (2012): Otto Hesse.)
B. Die Hesse`sche Normalenform
1. Definition
Die Hesse`sche Normalenform ist eine Sonderform der Normalenform E: ( )
0.
Eine Ebenengleichung E: ( )
0 mit dem Normleneinheitsvektor , dem Norma
lenvektor der Länge 1, wird Hesse`sche Normalenform genannt.
Ist die Ebenenform als Koordinatenform E:
+
+
angegeben, kann auch
hier der Normalenvektor
durch einen Normleneinheitsvektor
ersetzt werden:
.
(nach: BAUM, Manfred et al. (2009): Lambacher Schweizer. S. 283 f.)
4
2. Herleitung und Beweis
Behauptung: In Fig. 1 gilt für den Abstand zwischen
der Ebene E und Punkt R:
( )
.
Im Folgenden wird bewiesen, dass man mit der Hes
se`schen Normalenform E: ( )
0 den Ab
stand zwischen einem Punkt R und einer Ebene E
errechnen kann.
Die Vektoren und sind die Ortsvektoren der Punk
te P und R (s. Fig. 2). Durch sie lässt sich der Vektor
beschreiben:
Dadurch ergibt sich:
Nun kann man den Vektor
weiter unterteilen in
den Vektor
und
(s. Fig. 3). Durch diese Unter
teilung erhält man:
Da
0, bleibt:
Da
in dieselbe Richtung zeigt wie
und |
|
1,
ist hier
|
|
. Daraus ergibt sich:
|
|
ist ein Einheitsvektor, also gilt:
1.
Daraus folgt:
|
| 1
, also:
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Ende der Leseprobe aus 8 Seiten
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- Arbeit zitieren
- Jasmin Lang (Autor:in), 2012, Die Hesse´sche Normalenform. Herleitung und Anwendung, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/264066
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