In dieser Ausarbeitung wird die Herleitung und Anwendung der Hesse´schen Normalenform anhand von selbst erstellten Bildern und Beispielaufgaben mit Lösungen anschaulich und verständlich erklärt.
Inhaltsverzeichnis
A. Ludwig Otto Hesse
B. Die Hesse`sche Normalenform
1. Definition
2. Herleitung und Beweis
3. Abstandsberechung
3. 1. Punkt – Ebene in Normalenform
3. 2. Punkt – Ebene in Koordinatenform
3. 3. Ebene – Ebene in Koordinatenform
Zielsetzung und Themen
Die vorliegende Arbeit setzt sich zum Ziel, die mathematische Bedeutung und praktische Anwendung der Hesse'schen Normalenform zu erläutern, ihre theoretische Herleitung zu beweisen und verschiedene Verfahren zur Abstandsberechnung in der analytischen Geometrie aufzuzeigen.
- Biografischer Abriss über Ludwig Otto Hesse
- Definition der Hesse'schen Normalenform
- Mathematische Herleitung und Beweisführung
- Methoden zur Berechnung von Abständen (Punkt-Ebene)
- Vergleich und Berechnung paralleler Ebenen
Auszug aus dem Buch
2. Herleitung und Beweis
Behauptung: In Fig. 1 gilt für den Abstand zwischen der Ebene E und Punkt R: (r-p) ∙ n0 = d.
Im Folgenden wird bewiesen, dass man mit der Hesse`schen Normalenform E: (x-p) ∙ n0 = 0 den Abstand zwischen einem Punkt R und einer Ebene E errechnen kann.
Die Vektoren p und r sind die Ortsvektoren der Punkte P und R (s. Fig. 2). Durch sie lässt sich der Vektor PR beschreiben: r-p = PR.
Dadurch ergibt sich: PR ∙ n0 = d.
Nun kann man den Vektor PR weiter unterteilen in den Vektor PF und FR (s. Fig. 3). Durch diese Unterteilung erhält man: (PF + FR) ∙ n0 = d. PF ∙ n0 + FR ∙ n0 = d.
Da PF ∙ n0 = 0, bleibt: FR ∙ n0 = d.
Da FR in dieselbe Richtung zeigt wie n0 und |n0| = 1, ist hier FR = |FR| ∙ n0. Daraus ergibt sich: |FR| ∙ n0 ∙ n0 = d.
n0 ist ein Einheitsvektor, also gilt: n0 ∙ n0 = 1.
Daraus folgt: |FR| ∙ 1, also: d = d.
Zusammenfassung der Kapitel
A. Ludwig Otto Hesse: Ein kurzer biografischer Abriss über das Leben und Wirken des Mathematikers Ludwig Otto Hesse.
B. Die Hesse`sche Normalenform: Einführung in die Definition der Normalenform und die mathematische Transformation zur Hesse'schen Normalenform.
1. Definition: Erläuterung der formalen mathematischen Voraussetzungen, um eine Ebenengleichung in die Hesse'sche Normalenform zu überführen.
2. Herleitung und Beweis: Schrittweise mathematische Herleitung der Abstandsformel zwischen einem Punkt und einer Ebene unter Nutzung von Vektoren.
3. Abstandsberechung: Praktische Anwendung der Formeln an verschiedenen geometrischen Beispielen.
3. 1. Punkt – Ebene in Normalenform: Anwendung der Formel zur Bestimmung des Abstands zwischen einem Punkt und einer in Normalenform gegebenen Ebene.
3. 2. Punkt – Ebene in Koordinatenform: Durchführung der Abstandsberechnung bei einer in Koordinatenform vorliegenden Ebenengleichung.
3. 3. Ebene – Ebene in Koordinatenform: Untersuchung zur Parallelität zweier Ebenen und Berechnung des Abstands zwischen diesen.
Schlüsselwörter
Hesse'sche Normalenform, Ludwig Otto Hesse, Analytische Geometrie, Ebenengleichung, Normalenvektor, Normaleinheitsvektor, Abstandsformel, Ortsvektoren, Koordinatenform, Normalenform, Vektorrechnung, Distanzberechnung, Parallele Ebenen, Mathematische Beweise, Punkt-Ebene-Abstand.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit behandelt die mathematische Theorie und praktische Anwendung der Hesse'schen Normalenform zur Berechnung von Abständen im dreidimensionalen Raum.
Was sind die zentralen Themenfelder der Publikation?
Die Schwerpunkte liegen auf der Biografie von Ludwig Otto Hesse, der Definition der Normalenform sowie der konkreten Abstandsberechnung zwischen Punkten und Ebenen.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist die verständliche Herleitung der Hesse'schen Normalenform und deren Anwendung als Werkzeug zur Bestimmung geometrischer Abstände.
Welche wissenschaftliche Methode wird in der Arbeit verwendet?
Es wird eine mathematisch-deduktive Methode angewandt, bei der ausgehend von Definitionen Beweise hergeleitet und diese in Anwendungsbeispielen verifiziert werden.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Im Hauptteil werden neben dem mathematischen Beweis verschiedene Szenarien wie die Berechnung des Abstands Punkt-Ebene sowie Ebene-Ebene detailliert vorgerechnet.
Welche Begriffe charakterisieren die Arbeit am stärksten?
Die Arbeit wird maßgeblich durch die Begriffe Normalenvektor, Einheitsvektor, Abstandsberechnung und Koordinatenform geprägt.
Wie wird der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen berechnet?
Hierzu wird zunächst der Normalenvektor auf seine Vielfachheit geprüft und anschließend der Abstand eines beliebigen Punktes einer Ebene zur anderen Ebene berechnet.
Warum ist die Unterscheidung zwischen Koordinatenform und Normalenform wichtig?
Die Darstellung beeinflusst den Rechenweg, da zur Anwendung der Hesse'schen Normalenform bei der Koordinatenform zunächst eine spezifische Division durch den Betrag des Normalenvektors erfolgen muss.
- Citation du texte
- Jasmin Lang (Auteur), 2012, Die Hesse´sche Normalenform. Herleitung und Anwendung, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/264066
