Data Envelopment Analysis. Effizienzanalyse auf Basis von Unternehmensbilanzdaten

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungs- und Akronymverzeichnis

Danksagungen

1. Einleitung und Zielsetzung
1.1 Vorgehensweise

2. Einführung in die Problematik
2.1 Grundlagen der lineare Programmierung
2.1.1 Berechnung optimaler Lösungen
2.2 Der Technologiemengen- und Effizienzbegriff
2.2.1 Die klassische Effizienzberechnung
2.3 Der Benchmark-Begriff
2.3.1 Das Vorgehensmodell dieser Arbeit

3. Die Data Envelopment Analysis
3.1 Das Charnes-Cooper-Rhodes-Modell
3.1.1 Annahmen des Charnes-Cooper-Rhodes-Modells
3.2 Das Banker-Charnes-Cooper-Modell
3.3 Vor- und Nachteile der Data Envelopment Analysis
3.4 Anwendung der Data Envelopment Analysis auf das Universitätsbeispiel

4. Quellen- und Vorgehensbeschreibung
4.1 Beschreibung des genutzten Datenbestandes
4.2 Systematischer Zugriff auf den Datenbestand

5. Effizienzanalyse
5.1 Zieldefinition und Voranalyse
5.2 Quantitatives Benchmarking
5.2.1 Anforderungen an die Methodenparameter
5.2.2 Selektion geeigneter Methodenparameter
5.2.3 Kriterien zur Datenbereinigung
5.2.4 Beobachtungsbeschreibung und Methodenanwendung
5.3 Ergebnisvisualisierung

6. Fazit
6.1 Kritische Würdigung
6.2 Ausblick

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Darstellung des Beispiels zur Produktionsprogrammplanung

Abbildung 2: Effizienzvergleich beider Beispieluniversitäten

Abbildung 3: Vorgehensmodell der Effizienzanalyse dieser Arbeit

Abbildung 4: Ausgabe von R für das Universitätsbeispiel

Abbildung 5: Darstellung des Datensatzes durch „UltraEdit“

Abbildung 6: Ergebnisausschnitt der SQL-Beispielabfrage in „Base 3“

Abbildung 7: Box-Plots des Personal- und Materialaufwandes der beiden Branchen „Herstellung von Handwerkzeugen“ und „Herstellung von Büro- und Ladenmöbeln“

Abbildung 8: Box-Plots der Sachanalagen und des bereinigten Umsatzes der beiden Branchen „Herstellung von Handwerkzeugen“ und „Herstellung von Büro- und Ladenmöbeln“

Abbildung 9: Box-Plots der CCR-Effizienzwerte der betrachteten drei Wirtschaftszweige…

Abbildung 10: Box-Plots der BCC-Effizienzwerte der betrachteten drei Wirtschaftszweige…

Abbildung 11: Histogramme der CCR- und BCC-Effizienzwerte der Branche „Herstellung von Handwerk-zeugen“

Abbildung 12: Histogramme der CCR- und BCC-Effizienzwerte der Branche „Herstellung von Büro- und Ladenmöbeln“

Abbildung 13: Histogramme der CCR- und BCC-Effizienzwerte der Telekommunikationsbranche

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Fiktives Universitätsbeispiel

Tabelle 2: Die CCR- und BCC-Effizienzen der Beispieluniversitäten

Tabelle 3: Die in dieser Arbeit untersuchte Branchen

Tabelle 4: Überblick über die DEA-Parameterwahl in der Literatur

Tabelle 5: Drei Kennzahlen des Personal- und Materialaufwandes der drei betrachteten Branchen

Tabelle 6: Drei Kennzahlen der Sachanalagen und des bereinigten Umsatzes der drei betrachteten Branchen

Tabelle 7: Das untere und obere Quartil und der Median der Telekommunikationsbranche

Tabelle 8: Bereinigter Umsatz pro Personalaufwand der drei betrachteten Wirtschaftszweige

Tabelle 9: Anzahl der „Best Performer“ je Branche und die durchschnittlichen Effizienzen..

Abkürzungs- und Akronymverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Danksagungen

Ich bedanke mich bei Prof. Dr. Andreas Behr, der mir in einer kleinen Studentengruppe wichtige Grundlagen zur Data Envelopment Analysis erläutert und mir damit den Einstieg in dieses komplexe Thema erleichtert hat. Fernerhin ermöglichte er es mir diese Arbeit zu einem Zeitpunkt zu beginnen, an dem ich bereits kaum noch andere Verpflichtungen seitens meiner Universität zu erfüllen hatte, sodass ich genügend Zeit für die notwendige Recherche und die Analyse fand. In dieser Zeit stand er mir stets mit Ratschlägen und Hilfestellungen zur Verfügung. Vielen herzlichen Dank!

1. Einleitung und Zielsetzung

In Diskussionen zu wirtschaftlichen Fragestellungen sind der Begriff „Effizienz“ und die Frage, wie man die eigene Effizienz ermitteln kann, nahezu allgegenwärtig^[1]. Dabei gibt es zahlreiche Gründe für all diese Diskussionen: In Phasen, in denen Unternehmen wirtschaftliche Probleme zu bewältigen haben, scheint die Rationalisierung ein wichtiger Lösungsansatz zu sein^[2]. In anderen Fällen sind beispielsweise die Produktionskosten in der Vergangenheit bereits sehr stark gesenkt worden, sodass Effizienzsteigerungen die einzig verbleibende Möglichkeit zur weiteren Optimierung zu sein scheint^[3]. Ein andersgearteter Beweggrund liegt hingegen aus Sicht eines regulierenden Staates im Falle von ausbleibenden oder nur eingeschränkt wirkenden Marktkräften vor. Steinmann nennt u.a. natürliche Monopole und den Umgang mit öffentlichen Gütern als Beispiele, in denen staatliches Eingreifen sinnvoll sein kann, wobei die Akteure dazu angeregt werden sollen, ihre Ziele in einer effizienten Art und Weise zu erreichen. Allerdings fehlen dem Regulierer Kenntnisse darüber, unter welchen Bedingungen z.B. das betrachtete Unternehmen als effizient anzusehen ist, sodass es auch in diesem Fall signifikant ist, mithilfe von geeigneten Methoden Effizienzwerte zu ermitteln^[4].

Es ist allerdings keineswegs trivial, die angesprochenen Effizienzwerte zu bestimmen. Kennzahlensysteme der Kostenrechnung oder des Controllings sind beispielsweise nur bedingt als Effizienzindikatoren geeignet, da diese nur einen sehr engen Teil der Unternehmensaktivitäten erfassen. Zwecks Vergleichbarkeit müssen weitreichende Anforderungen wie die Nutzung derselben Technologie bei den Vergleichspartnern erfüllt sein^[5]. Aus solchen und ähnlichen Überlegungen betrachten viele Autoren die Wahl einer geeigneten Methode zur Effizienzermittlung als ein bedeutsames Problem^[6].

Die Data Envelopment Analysis (DEA) wird von Dyckhoff und Allen als eine Methode angesehen, zu der es „…eigentlich keine befriedigenden Alternativen für die Effizienzmessung gibt“, was die Autoren dadurch begründen, dass sich diese Methode in der Praxis bewährt habe^[7]. Unabhängig davon, ob die DEA als alternativlos bezeichnet werden kann, hat sie zahlreiche Vorteile wie beispielsweise die Tatsache, dass sie jedes betrachtete Unternehmen nicht an einem beliebigen als optimal angesehenen Unternehmen misst, sondern nur an solchen, die wegen ihres Input/Output-Verhältnisses als vergleichbar angesehen werden können^[8]. Doch auch die große Anzahl an verfügbarer Software zur Unterstützung des Anwenders trägt sicherlich zur Relevanz der DEA bei^[9].

Wegen dieser weitreichenden Bedeutung der DEA und ihren zahlreichen Potenzialen wird sie in dieser Bachelorarbeit dazu genutzt, um die Effizienz von Unternehmen jeweils innerhalb ihrer Branche zu ermitteln und die Effizienzverteilungen in diesen Branchen miteinander zu vergleichen.

1.1 Vorgehensweise

Wie bereits aus der Einleitung deutlich wurde, behandelt diese Bachelorarbeit die Data Envelopment Analysis und deren Anwendung zum Benchmarking von Wirtschaftsunternehmen unterschiedlicher Branchen.

Doch bevor die DEA dargestellt werden kann, müssen zuerst die notwendigen Grundlagen geschaffen werden. Diesbezüglich ordnet Hoffmann die DEA in die lineare Programmierung, die Produktionstheorie und das Benchmarking ein^[10].

So werden zuerst das Verfahren der linearen Programmierung und das Benchmarking beschrieben: So ist die DEA aus mathematischer Perspektive ein Problem der Linearen Programmierung und erfordert deren Algorithmen zur Effizienzberechnung^[11]. Das Benchmarking wird aus dem Grunde beschrieben, da dies häufig das Hauptanliegen des Anwenders der DEA darstellt. Zugleich wird erläutert, was in dieser Bachelorarbeit als Produktion verstanden wird und wann eine solche Produktion im Sinne der DEA als effizient gilt.

Nachdem das notwendige Grundlagenwissen vermittelt wurde, wird die DEA oder genauer gesagt das Charnes-Cooper-Rhodes-Modell (CCR-Modell) und das Banker-Charnes-Cooper-Modell (BCC-Modell), die grundlegenden Modelle der DEA^[12], ausführlich dargestellt und deren Relevanz verdeutlicht. Außerdem werden beide Modelle auf ein fiktives Beispiel angewandt und das Ergebnis erläutert, damit auch die Anwendungen der Modelle möglichst transparent werden.

Auf dem Grundlagenteil aufbauend werden die Bilanzdaten von Unternehmen dreier unterschiedlicher Branchen auf deren Effizienz untersucht. Dazu werden zuerst diese drei unterschiedlichen Branchen nach bestimmten Kriterien ausgewählt. Daraufhin werden begründet Bilanzpositionen ausgewählt, die den Input und Output der betrachteten Unternehmen repräsentieren. Mittels dieser Position erfolgt nun eine Effizienzanalyse mithilfe der DEA, wobei die Programmiersprache „R“^[13] zur eigentlichen Berechnung herangezogen wird. Dabei wird sowohl auf das CCR-Modell als auch auf das BCC-Modell zurückgegriffen und die Ergebnisse jeweils verglichen.

Die zu diesem Zweck notwendige Vorgehensweise wird ebenfalls detailliert geschildert werden, da der Umgang mit dermaßen umfangreichen Datensätzen nicht trivial ist.

Zum Schluss werden die Untersuchungsergebnisse graphisch aufgearbeitet und als Grundlage für den Vergleich der betrachteten Branchen genutzt.

Diese Arbeit basiert, wie bereits implizit erwähnt wurde, auf einer ausführlichen Literaturrecherche und beinhaltet zudem eine analytische Komponente.

Die soeben skizzierte Vorgehensweise wurde im Vorfeld dieser Arbeit mit Prof. Dr. Behr abgestimmt und stellt somit zugleich die Aufgabenstellung dieser Arbeit dar.

2. Einführung in die Problematik

Zum Verständnis der DEA und der sachgerechten Interpretationen der Ergebnisse ist ein bestimmtes Grundlagenwissen erforderlich. Zum einen basiert die DEA auf der linearen Programmierung, sodass zuerst ein kurzer Einblick in dieses Gebiet gegeben wird. Im Anschluss erfolgt die Darstellung des Begriffes der Technologiemenge und des Effizienzbegriffes und damit zwei weitere wichtige Grundlagen der DEA. Zudem wird ein fiktives Beispiel dargestellt, um den Effizienzbegriff daran zu verdeutlichen und die Probleme aufzuzeigen, die entstehen, wenn die Effizienz auf herkömmliche Weise errechnet wird. Dieses Beispiel wird in den folgenden Kapiteln erneut aufgegriffen, um anhand dessen zu zeigen, wie die DEA diese Probleme adressiert. Zum Schluss werden die Grundgedanken des Benchmarkings vermittelt und ein Vorgehensmodell aufgestellt, das die Basis für die eigentliche Effizienzuntersuchung des fünften Kapitels darstellt.

2.1 Grundlagen der lineare Programmierung

Die lineare Programmierung^[14] (LP) ist ein Teilgebiet der Mathematik, das in der Unternehmensforschung und im Operations Research eingesetzt wird^[15]. Zudem wird die LP zur Lösung betrieblicher Probleme in der Produktion, in der Logistik und in vielen weiteren Bereichen genutzt. Das Hauptanliegen besteht darin, eine lineare Zielfunktion unter bestimmten, ebenfalls linearen, Restriktionen zu optimieren^[16]. Die mit der LP erstellten Modelle haben stets genau ein Ziel bzw. genau eine Zielfunktion. Die Besonderheit besteht darin, dass die Restriktionen nicht unbedingt in Gleichungsform, sondern auch als Ungleichungen vorliegen können, weswegen Tietze der LP eine hohe Realitätsnähe zuspricht^[17]. Das Adjektiv „linear“ bedeutet dabei, dass die gesuchten Variablen sowohl in den Gleichungen als auch in den Ungleichungen höchstens in der ersten Potenz vorkommen können.

Optimierung bedeutet in diesem Kontext, dass aus den meist unendlich vielen zulässigen Lösungen diejenigen zu bestimmen sind, die dieses Ziel am besten erreichen. Dabei werden Maximierungs- oder Minimierungsprobleme gelöst^[18].

Die allgemeine mathematische Notation lässt sich gemäß Chiang auch drei Arten angeben: komplett ausgeschrieben, mithilfe von Summenzeichen und in der Matrixnotation.^[19]

An dieser Stelle werden die erste und die letzte Notation aufgeführt, da sie den genutzten DEA-Notationen gleichen. Die Notationen sind hierbei von Luderer und Würker übernommen worden^[20]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei beiden Notationen steht das -Zeichen für den „≤“, „≥“ oder „=“ Operator und kann dabei in jeder Restriktionszeile eine andere Bedeutung haben.

In der komplett ausgeschriebenen Notation gibt es n Entscheidungsvariablen und m Restriktionen. Gemäß Mayer und Weber werden die aus der Aufgabenstellung hervorgehenden Konstanten als Zielfunktionskoeffizienten bezeichnet^[21], die angeben, welchen Beitrag die Entscheidungsvariablen zur Zielerreichung haben^[22]. Die Zielfunktion der Matrixschreibweise ist dermaßen aufgebaut, dass die Skalarmultiplikation der beiden Vektoren und den Ausdruck der ausgeschriebenen Notation ergeben: und .

Die einzelnen Restriktionen der komplett ausgeschriebenen Notation beinhalten wiederum die oben genannten Entscheidungsvariablen sowie die Koeffizienten mit i = 1,2,…,m und j =1,2,…,n, die beispielsweise in Produktionskontext angeben, wie hoch der Beitrag des i-ten Produktionsfaktors zur j-ten Produkt ist. In diesem Kontext symbolisieren die fernerhin beispielsweise Kapazitätsbeschränkungen^[23]. Die letzten Ungleichungen werden dabei als „Nichtnegativitätsbedingungen“ bezeichnet^[24]. In der Matrixnotation ist eine -Matrix, die sämtliche - Koeffizienten enthält. Auch die Kapazitätsbeschränkungen werden nun als Vektor notiert.

Nachdem nun die formale Notation dargestellt wurde, wird auf die Lösung solcher linearen Programme eingegangen. Luderer und Würker unterscheiden diesbezüglich zwischen zulässigen und optimalen Lösungen. Erstere ist ein Vektor , der sämtliche Restriktionen erfüllt. Eine optimale Lösung ist ebenfalls eine zulässige Lösung, wobei jedoch im Falle einer Maximierung und im Falle einer Minimierung gelten muss^[25].

Zwecks Anschaulichkeit wird nun ein konkretes Beispiel aus der Produktionsprogrammplanung dargestellt und die bisher dargestellten und einige weitere Begriffe auf dessen Grundlage verdeutlicht. Dieses Beispiel basiert auf lediglich zwei Entscheidungsvariablen, weil nur solche linearen Programme grafisch zu lösen sind^[26].

Ein Unternehmen stellt zwei Arten hochwertiger Türgriffe her, die das Unternehmen intern als „Typ 1“ und „Typ 2“ bezeichnet. Die Deckungsbeiträge pro Türgriff betragen 30€ für Typ 1 und 80€ für Typ 2. Der Deckungsbeitrag soll für die betrachtete Planungsperiode von 5 Werktagen maximiert werden. Zur Herstellung dieser Güter werden zwei Maschinen benötigt: eine Stanzmaschine und eine Lackiermaschine. Erstere Maschine steht für die Türgriffproduktion 1440 Minuten lang zur Verfügung und benötigt für Typ 1 9 Minuten und Typ 2 8 Minuten. Die Lackiermaschine kann in dieser Planungsperiode 3780 Minuten genutzt werden und benötigt 27 Minuten für den Türgriff vom Typ 1 und 12 Minuten für Typ 2. Aus Erfahrungen weiß das Unternehmen zudem, dass es nicht möglich ist, mehr als 170 Stück von Typ 1 und 90 Stück vom Typ 2 abzusetzen. In diesem Kontext soll nun das optimale Produktionsprogramm geplant werden.

Das zugehörige lineare Programm hat dabei folgende Gestalt:

Restriktionen

In diesem Beispiel haben die beiden Zielfunktionskoeffizienten die Werte der Deckungsbeiträge und verdeutlichen dabei den Beitrag der Anzahl der produzierten Türgriffe und zum Gesamtdeckungsbeitrag. Die Koeffizienten geben hierbei an, wie lange welcher Türgriff die betrachtete Maschine beansprucht. Die Kapazitätsbeschränkungen entsprechen den Betriebszeiten der Maschinen oder den Höchstabsatzmengen im Falle der Absatzrestriktionen. Die Nichtnegativitätsbedingungen sind der Tatsache geschuldet, dass es nicht möglich ist eine negative Anzahl an Türgriffen zu fertigen. Ungeachtet der Tatsache, dass es nicht möglich ist beispielsweise 3,75 Türgriffe von Typ 2 zu fertigen, ist diese sogenannte Ganzzahligkeitsanforderung im Kontext der linearen Optimierung nicht erfüllbar^[27], sodass eventuell eine Ergebnisinterpretation notwendig werden kann.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Darstellung des Beispiels zur Produktionsprogrammplanung

Quelle: eigene Darstellung

In der grafischen Darstellung des Planungsproblems (Abbildung 1) wurden die Nichtnegativitätsbedingungen zwecks Übersichtlichkeit nicht dargestellt. Diese liegen aber auf den beiden Koordinatenachsen. Die Zielfunktion wird gemäß Holland und Holland eingezeichnet, indem sie zuerst gleich einer beliebigen Zahl (hier 2400) gesetzt wird^[28]. Der farblich hervorgehobene Bereich beinhaltet dabei sämtliche zulässigen Lösungen des Problems. Die optimale Lösung ergibt sich durch Parallelverschiebung der Zielfunktion nach „rechts oben“, sodass die Zielfunktion durch den Schnittpunkt der Absatzrestriktion und der Restriktion der Stanzmaschine verläuft. Dieser Punkt hat die Koordinaten und und der resultierende optimale Deckungsbetrag den Wert 30*80+80*90=9600[€], welcher sich durch das Einsetzen der Koordinaten in die Zielfunktion ergibt. Es sei zudem noch gesagt, dass lineare Programme nicht immer eine eindeutige Lösung besitzen und manchmal auch gänzlich unlösbar sind. So gäbe es in diesem Beispiel dann unendlich viele optimale Lösungen, wenn die Restriktion der Stanzmaschine parallel zur Zielfunktion verlaufen würde und somit einen gemeinsamen Bereich mit der Zielfunktion hätte. Keine Lösung gäbe es, wenn man die beiden Maschinenrestriktionen und die horizontale Absatzrestriktion weglassen würde und sich die Zielfunktion beliebig weit verschieben lassen würde^[29].

2.1.1 Berechnung optimaler Lösungen

Wenn eine grafische Lösung nicht möglich oder nicht erwünscht ist, werden lineare Programme häufig mithilfe des Simplex-Algorithmus gelöst. Dieser hat den wichtigen Vorteil immer zu einer Lösung zu führen^[30]. Da dieser Algorithmus in zahlreichen Lehrbüchern zu den Themen „Wirtschaftsmathematik“, „Lineare Optimierung“ und „Operations Research“ ausführlich beschrieben ist, sollen an dieser Stelle eine Darstellung der Grundgedanken und eine Anwendung am Beispiel genügen.

So ist der Simplex-Algorithmus nicht direkt auf ein Ungleichungssystem, das in einer der im vorherigen Abschnitt beschriebenen Formen vorliegt, anwendbar. Diese müssen gemäß Zimmermann und Stache nämlich zuerst in Gleichungsform umgewandelt werden^[31]. Luderer und Würker zeigen zudem, dass sich beliebige Ungleichungssysteme in diese Form überführen lassen und geben hierzu ein Vorgehensmodell an^[32]: So werden zum Beispiel die erwähnten Ungleichungen durch Einführungen von nichtnegativen Schlupfvariablen zu Gleichungen umgeformt. Das Beispiel des vorherigen Abschnittes würde dem erwähnten Vorgehensmodell zufolge folgendermaßen darzustellen sein:

Restriktionen

Wobei gilt

Nach der Umformung sind die ursprünglich gesuchten Variablen und nicht mehr Teil des Gleichungssystems, sodass nach der Anwendung des Simplex-Algorithmus die Werte für und in die beiden unteren Gleichungen zur Berechnung von und eingesetzt werden müssen.

Nachdem nun das mathematische Problem in einer geeigneten Form vorliegt, kann der eigentliche Algorithmus angewandt werden. Entsprechend der Beschreibung von Hamacher und Klamroth würde der Algorithmus die Ecken des Bereiches, in denen sich alle zulässigen Lösungen befinden, untersuchen. Dabei ist unter dem Begriff der „Ecke“ der Schnittpunkt zwischen zwei Begrenzungen des Lösungspolygons gemeint.^[33] Von einer gefundenen Ecke geht der Algorithmus nur dann zur nächsten Ecke über, wenn der Punkt den Zielfunktionswert erhöht oder zumindest gleich lässt. Da es stets endlich viele Eckpunkte gibt, ist auch der Algorithmus endlich^[34].

Übertragen auf Abbildung 1 würde der Algorithmus die zu den Ecken gehörenden Koordinaten sozusagen in die Zielfunktion einsetzen, bei jeder Iteration dabei eine Ecke wählen, deren Funktionswert mindestens genauso groß ist die der Funktionswert der vorhergegangenen Iteration und irgendwann bei der Ecke mit den Koordinaten (80, 90) terminieren, da diese den höchstmöglichen Funktionswert produziert.

Doch es gibt auch die Möglichkeit die optimale Lösung eines vorliegenden Problems auf einfachere Weise zu bestimmen, indem das vorliegende Ungleichungssystem zuerst mithilfe von einfachen Transformationsregeln umgeformt wird. Das entstehende Ungleichungssystem ist daraufhin unter Umständen einfacher zu lösen. Diese Grundidee wird im Kontext von linearer Programmierung als Dualität bezeichnet und wird, wie später deutlich wird, auch im Kontext der DEA angewandt. Um die beiden Ungleichungssysteme voneinander zu unterscheiden wird das ursprünglich gebildete System als primales Ungleichungssystem bezeichnet und deren Transformation als duale Ungleichungssystem. Eine „Rückumformung“ ist dabei stets möglich^[35]. Zudem zeigen die beiden Autoren Luderer und Würker, dass die Funktionswerte des primalen und dualen Systems gleich sind und dass es möglich ist, durch verhältnismäßig einfache Umformungen von der Lösung des dualen Ungleichungssystems auf die Lösung des Ursprungsproblems zu gelangen^[36].

2.2 Der Technologiemengen- und Effizienzbegriff

Nachdem nun die mathematischen Grundlagen der DEA dargestellt wurden, werden nun der Technologiemengen- und Effizienzbegriff der DEA verdeutlicht.

Die mithilfe der DEA durchgeführten Beurteilungen basieren auf einer Technologiemenge^[37]. Diese Menge enthält sämtliche möglichen Produktionen, die man mit einem gegebenen technischen Wissensstand realisieren kann^[38]. Generell ist unter dem Begriff der Produktion ein Kombinationsprozess zu verstehen, der Input (z.B. Arbeit, Werkstoffe, Betriebsmittel) in Output (z.B. Sachgüter, Dienstleistungen) umwandelt^[39]. Jede einzelne Produktion wird dabei durch einen Produktionspunkt ( ,…, ; ,…, ) im Koordinatensystem repräsentiert, wobei jedes x die Menge des zugehörigen Inputs und jedes y die Outputmenge darstellt^[40]. Von der eigentlichen technischen Produktion wird hierbei abstrahiert^[41]. Dabei ist die komplette Technologiemenge wegen der Endlichkeit der Menge der betrachteten Unternehmen in der Praxis unbekannt, sodass nur die Möglichkeit besteht, eine relative Technologiemenge zu bilden. Diese unterscheidet sich durch die Tatsache, dass sie sich nicht aus allen möglichen Produktionspunkten, sondern aus den beobachteten Produktionspunkten zusammensetzt und daher auch endlich ist^[42].

Wie in der Einleitung dieser Arbeit bereits deutlich wurde, besteht häufig das Interesse, unterschiedliche aber grundsätzlich vergleichbare Produktionen miteinander zu vergleichen. Die Effizienz als „… Gegenüberstellung von Zielerträgen und den zur Erreichung dieser Ziele erforderlichen Mittel“^[43] ermöglicht solche Vergleiche, wobei die Produktionsinputs die Mittel und die Outputs die Ziele darstellen. Häufig wird im Kontext des Effizienzbegriffes der Begriffe „Produktivität“ genannt. Produktivität ist eine Spezialisierung der Effizienz und beschränkt die Effizienz auf realen Input und Output^[44]. Signifikant ist in diesem Kontext die Unterscheidung zwischen der totalen und partiellen (Faktor-)Produktivität. Die partielle (Faktor-)Produktivität betrachtet die Produktivität lediglich eines einzelnen Produktionsfaktors, während die totale Produktivität alle Inputs und alle Outputs in die Betrachtung aufnimmt. Letztere Produktivitätsart kommt dabei im Falle der DEA zum Einsatz^[45].

Weiterhin ist zur DEA zu sagen, dass diese das Effizienzkonzept von Pareto und Koopmans aufgreift, die Pareto-Koopmans-Effizienz bezeichnet wird^[46]. Demnach ist eine Produktion dann als effizient zu bezeichnen, wenn es nicht möglich ist, denn Output einer Produktion zu erhöhen, ohne dabei auch den Input zu steigern oder den Input zu senken, ohne dass dabei ebenfalls der Output verringert wird^[47]. Oder mit anderen Worten: Eine Produktion gilt dann als effizient gegenüber einer Anderen, wenn sie in allen Faktoren mindestens genauso gut ist wie die Andere und in mindestens einem Faktor besser^[48]. Implizit wurde dadurch gesagt, dass die Intention der Effizienz stets darin besteht, Inputs möglichst zu minimieren und Outputs zu maximieren. Diese effizienten Produktionen als Teilmenge der Technologiemenge befinden sich dabei am Rand der Technologiemenge^[49].

Wegen der bereits erwähnten Problematik, dass in der Praxis meistens mit relativen Technologiemengen gearbeitet wird, ist auch lediglich eine relative Effizienzbestimmung möglich, da es beispielsweise denkbar ist, dass keins der betrachteten Unternehmen wirklich effizient arbeitet^[50].

2.2.1 Die klassische Effizienzberechnung

Nachdem nun auf einer sehr abstrakten Ebene der Effizienzbegriff vermittelt wurde, wird nun anhand eines abstrakten Beispiels dargestellt, wie die Effizienz ursprünglich und damit ohne die Nutzung der DEA berechnet wurde.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Fiktives Universitätsbeispiel

Tabelle 1 zeigt sämtliche Universitäten^[51] eines fiktiven Bundeslandes. Alle Universitäten bekommen als „Inputs“ Professoren und wissenschaftliche Mitarbeiter^[52]. Den „Output“ bilden Bachelor- und Masterabsolventen des betrachteten Jahres. Es wird zwecks Anschaulichkeit davon abstrahiert, dass Universitäten auch weitere Inputs wie z.B. finanzielle Mittel erhalten und zudem Outputs wie Forschungsergebnisse produzieren.

Gemäß Cooper et al. wird Effizienz gewöhnlich als Quotient aus Output und Input definiert^[53]. Demzufolge gilt für die partielle Faktorproduktivitäten, die Professoren als „Input“ und Bachelorabsolventen als „Output“ betrachten, für die Universitäten drei und vier^[54]:

Demzufolge ist die dritte Universität effizienter als die Vierte, da sie den höheren Effizienzwert hat. Abbildung 1 verdeutlicht diesen Sachverhalt. Die dortige Gerade ist eine homogene lineare Funktion, die durch den Produktionspunkt (180; 21000) verläuft und somit die Steigung besitzt, die der Effizienz der dritten Universität entspricht. Diese Funktion bildet den im vorherigen Abschnitt erwähnten effizienten Rand der aus den beiden Universitäten bestehenden Technologiemenge^[55]. Auch der Produktionspunkt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Effizienzvergleich beider Beispieluniversitäten

Quelle: eigene Darstellung

der vierten Universität (190; 2100) ist eingezeichnet, der unterhalb der linearen

Funktion liegt. So wird nun deutlich, dass es angesichts der „Produktion“ der dritten Universität möglich wäre, dass die vierte Universität dieselbe Anzahl an Bachelorabsolventen mit weniger Professoren oder bei gleichbleibender Professorenanzahl

Bachelorabsolventen und damit 1167 mehr „produziert“. Aus diesen Überlegungen ist die vierte Universität nicht effizient^[56].

[...]

---

^[1] Siehe Wilken (2007), S. 52

^[2] Siehe Stiglmayr (2004), S. iii

^[3] Siehe Wilken (2007), S. V

^[4] Siehe Steinmann (2002), S. 2

^[5] Siehe Hoffmann (2006), S. 52

^[6] Siehe u.a. Riechmann und Rodgarkia-Dara (2006), S. 205

^[7] Siehe Dyckhoff und Allen, S. 2

^[8] Siehe Hoffmann (2006), S. 52

^[9] Siehe Ray (2004), S. 1

^[10] Siehe Hoffmann (2006), S. 51

^[11] Siehe Hoffmann (2006), S. 12

^[12] Siehe Ray (2004), S. 1

^[13] R ist eine unter der „General Public License“ angebotene freie Programmiersprache für statistische Berechnungen und Grafiken, die unter folgender Internetadresse heruntergeladen werden kann: http://www.r-project.org/. Zur Berechnung der DEA-Effizienzen wird das R-Package „Benchmarking“ in der Version „0.19“ genutzt, dass von Peter Bogetoft und Lars Otto entwickelt wurde. Das Package kann entweder direkt aus R heraus installiert werden oder unter folgender Internetadresse manuell heruntergeladen werden: http://mirrors.softliste.de/cran/web/packages/Benchmarking/index.html. Unter dieser Adresse befindet sich auch eine kurze Beschreibung dieses Packages im pdf-Format. Eine umfassende Beschreibung ist als Buch von den beiden genannten Autoren erschienen: Benchmarking with DEA, SFA, and R; Springer-Verlag, Berlin; 1. Auflage (2010)

^[14] Auch lineare Optimierung genannt. Siehe Unger und Dempe (2010), S. 1. Korte und Vygen hingegen bezeichnen hingen Instanzen eines linearen Problems als lineares Programm (2008, S. 55)

^[15] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 199

^[16] Siehe Mayer und Weber (2007), S. 169

^[17] Siehe Tietze (2005), S. 499

^[18] Siehe Luderer und Würker (2001), S. 199-200

^[19] Siehe Chiang (1984), S. 661

^[20] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 202-203

^[21] Siehe Mayer und Weber (2007), S. 169

^[22] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 202

^[23] Siehe Zimmermann und Stache (2001), S. 50-51

^[24] Siehe Nordmann (2002), S. 9

^[25] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 204

^[26] Siehe Holland und Holland (2008), S. 209

^[27] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 203

^[28] Siehe Holland und Holland (2008), S. 215

^[29] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 218-219

^[30] Siehe Zimmermann und Stache (2001), S. 48

^[31] Siehe Zimmermann und Stache (2001), S. 51

^[32] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 221-226

^[33] Siehe Hamacher und Klamroth (2006), S. 11

^[34] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 231

^[35] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 255

^[36] Siehe Luderer und Würker (2003), S. 257- S. 258

^[37] Siehe Wilken (2007), S. 11

^[38] Siehe Cantner et al. (2007), S. 3

^[39] Siehe Bloech et al. (2004), S. 4

^[40] Siehe Dyckhoff (1994), S. 49

^[41] Siehe Steinmann (2002), S. 7

^[42] Siehe Wilken (2007), S. 11

^[43] Siehe Cantner et al. (2007), S. 3

^[44] Siehe Cantner et al. (2007), S. 3

^[45] Siehe Cooper et al. (2007), S. 1 und S. 14

^[46] Siehe Wilken (2007), S. 2 und S. 11

^[47] Siehe Steinmann (2002), S. 1

^[48] Siehe Kleine (2002), S. 20

^[49] Siehe Wilken (2007), S. 12

^[50] Siehe Allen (2002), S. 43

^[51] Bezeichnet mit „Uni 1“ bis „Uni 6“

^[52] Bezeichnet mit Wiss. MA.

^[53] Siehe Cooper et al. (2007), S. 1

^[54] Die anderen Universitäten werden vorerst nicht betrachtet

^[55] Siehe auch Cooper et al. (2007), S. 3

^[56] Gemäß Cooper et al. (2007, S. 4) erfordert ein solches Vorgehen die Annahme konstanter Skalenerträge, unter der eine z.B. eine Verdopplung des Inputs auch den Output verdoppelt wird (Zweifel und Heller 1997, S. 105)