Prozent- und Zinsrechnung. Mathematik 8. Klasse Realschule

Unterrichtsentwurf

Lerngruppe: 8a

Fach: Mathematik

Thema der Unterrichtseinheit:

Prozent- und Zinsrechnung

Ziel der Unterrichtseinheit:

Die Schülerinnen und Schüler kennen die Prozent- und Zinsrechnung, berechnen die jeweiligen drei Grundgrößen und erstellen Balken-, Streifen- und Kreisdiagramme, rechnen mit dem vermehrten und verminderten Prozentwert, berechnen Tages- und Monatszinsen und wenden diese in Sachaufgaben an.

Thema der Stunde:

Das „Rechendreieck“ bei der Zinsrechnung mit Jahreszinsen

Inhaltsbezogener Kompetenzbereich:

Zahlen und Operationen: Die Schülerinnen und Schüler verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht. (vgl. KC, S. 27)

Prozessbezogener Kompetenzbereich:

Kommunizieren: Die Schülerinnen und Schüler erläutern ihren Mitschülerinnen und Mitschülern ihre Überlegungen, die zur Lösung geführt haben. (vgl. KC, S. 20)

Zielsetzung der Stunde:

Die Schülerinnen und Schüler kennen die Formeln zur Berechnung von Jahreszinsen und können sie auf einfache (Sach-)Aufgaben anwenden, indem sie sich das „Rechendreieck“ in Partnerarbeit selbst erarbeiten und Übungsaufgaben bearbeiten.

Inhaltsbezogene Teilschritte zur Kompetenzerweiterung:

Die Schülerinnen und Schüler,...

- ...festigen ihr Wissen aus der letzten Stunde, indem sie die Begriffe „Kapital“; „Zinsen“, und „Zinssatz“ den gegebenen Größen eines Textes zuordnen.
- …kennen das „Rechendreieck“ der Zinsrechnung, indem sie die Analogie zur Prozentrechnung nutzen und in einer Partnerarbeit sich das „Rechendreieck“ durch Überlegungen erarbeiten.
- ...kennen die Formeln der Zinsrechnung, indem sie das „Rechendreieck“ nutzen und auf einfach (Sach-)Aufgaben anwenden.
- ...ordnen die Zinsrechnung als spezielle Anwendung der Prozentrechnung ein, indem sie Analogien zwischen den jeweiligen „Rechendreiecken“ und Formeln nutzen.

Prozessbezogene Teilschritte zur Kompetenzerweiterung:

Die Schülerinnen und Schüler,...

- ...überprüfen ihre Ergebnisse aus den Zuordnungen, indem sie sie mit ihrem Sitznachbarn vergleichen und ihre Lösungen erläutern. (Kommunikationskompetenz)
- …in Partnerarbeit finden sie das „Rechendreieck“ zur Zinsrechnung. (Sozialkompetenz)

Stellung der Stunde in der Einheit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Lerngruppe und Rahmenbedingungen

2. Sachanalyse

Um absolute Größenverhältnisse vergleichbar zu machen und zu veranschaulichen, werden häufig Prozentangaben in Anspruch genommen. Dabei werden die Größen ins Verhältnis gesetzt mit einem einheitlichen Bezugswert (Vergleichzahl 100). Prozentangaben werden durch das Symbol „%“ gekennzeichnet. Als Grundwert G bezeichnet immer die in absoluten Zahlen ausgedrückte Gesamtmenge. Mit W ist der Prozentwert gemeint, welcher den absoluten Anteil von einer Menge darstellt. Das Verhältnis von W zu G entspricht dem Prozentsatz p%. Es gilt folgende

Grundgleichung der Prozentrechnung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Umformen der Grundgleichung erhält man die Gleichungen zur Berechnung des

Prozentwerts und des Grundwerts. W = G * p% = G * p und G = W

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine der wesentlichen Anwendungen der Prozentrechnung ist die Zinsrechnung, welche sich nur auf das Rechnen mit Geldwerten bezieht. Aus diesem Grunde können die Begriffe und die Formeln der Zinsrechnung der Prozentrechnung zugeordnet werden.

Prozentrechnung: Grundwert G Prozentsatz p% Prozentwert W W = G*p%

Zinsrechnung: Kapital K Zinssatz p% Zinsen Z Z = K*p%

Die Zinsrechnung erweitert die Prozentrechnung um den Zeitfaktor. In den genannten Berechnungen bezieht sich der Zinssatz p immer auf den Zeitraum eines Jahres, abgekürzt p.a..¹

3. Didaktische Reduktion

In der 7.Klasse haben die SuS das „Rechendreieck“ zur Prozentrechnung kennengelernt, welches das Herleiten der drei Formeln vereinfacht. Zur Erleichterung bei der Umstellung der Formeln, wurde das „Rechendreieck“ zur Wiederholung der Prozentrechnung in den letzten Stunden genutzt. Anwendbar ist es auch auf die Zinsrechnung mit Jahreszinsen und sieht folgendermaßen aus:

Durch das Zuhalten des gesuchten Wertes, lässt sich die jeweilige Formel erkennen. Der Querstrich stellt einen Bruchstrich dar. Die senkrechte Linie ein Multiplikationszeichen. Zu Beachten ist hierbei, dass die Zinsen Z immer oben stehen.

Der Zeitfaktor in der Zinsrechnung soll diese Stunde nicht behandelt werden, sondern ausschließlich die Berechnung von Jahreszinsen, damit die SuS eine Grundlage für weitere Verfahren zu schaffen.

4. Didaktischer Begründungszusammenhang

Die Prozent- und Zinsrechnung ist eines der bedeutendsten mathematischen Themen für die Lebenswelt der SuS. Dazu zählen nicht nur zukünftige berufliche Bereiche wie den der Finanzmathematik, sondern vor allem die Bereiche des alltäglichen Lebens der SuS, in denen sie mit Prozenten und Zinsen konfrontiert werden. Sei es ein Sparkonto, auf das man Zinsen bekommt, eine Ratenzahlung bei einem Auto, Sonderangebote in Einkaufsläden, ein Schaubild in einer Zeitschrift, die man liest, oder in einer anderen Form. In all diesen alltäglichen Situationen muss man sich mit Prozenten und Zinsen auseinandersetzen. Daher ist es besonders bei diesem Bildungsinhalt wichtig nicht die innermathematischen Formalismen in den Vordergrund zu stellen, sondern ihn vor allem mit praxisorientierten Anwendungsbeispielen und Modellierung zu verdeutlichen.² Prozent- und Zinsrechnung sind innermathematisch relevant, da sie eng mit der Bruchrechnung verknüpft sind. Außerdem sind sie auch für Berechnung von Dreisatz und proportionalen Zuordnungen sehr bedeutsam.

Im Kerncurriculum des Faches Mathematik lässt sich die Prozent- und Zinsrechnung in den Kompetenzbereich Zahlen und Operationen einordnen: Die Kompetenz, die Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht zu verwenden, ist hier verankert (vgl. KC, S. 27). Da im zukünftigen Mathematikunterricht das Thema Zinseszins behandelt wird, ist die Prozent- und Zinsrechnung eine notwendige Grundlage. Besonders die Behandlung der Formeln und deren Anwendung sind elementar für die weitere Auseinandersetzung mit dem Thema Zinsrechnung.

5. Aufgabenanalyse

Da das Verfahren der Zinsrechnung mit Jahreszinsen in dieser Stunde eingeführt wird, soll bei den Aufgaben das Lösen der Formeln und somit das Üben im Vordergrund stehen. Übungen sind unerlässlich für das Sichern des Gelernten und zum Vernetzen von Wissen. Auch Vollrath betont die Notwendigkeit des Übens: „Die Beherrschung von Verfahren ist nur durch Üben zu erreichen. Komplexe Verfahren sind schrittweise zu erarbeiten: Erst wenn ein Schritt beherrscht wird, darf man zum Nächsten übergehen.“³ Daher wird die Zinsrechnung auf dem Arbeitsblatt in verschiedenen Kontexten behandelt, womit gleichzeitig der Schwierigkeitsgrad steigt.

In den geschlossenen Aufgaben 1 und 2 steht das Üben und Festigen der Algorithmen zur Berechnung der drei Grundgrößen der Zinsrechnung im Mittelpunkt. „Derartige Aufgaben ermöglichen es den SuS, in vertrauten Bahnen Fähigkeiten und Fertigkeiten zu trainieren und so auf dieser Basis auch mathematische Kompetenzen“⁴, wie Rechen- und Verfahrensfertigkeiten, zu erwerben.Da hier zum ersten Mal die Zinsrechnung angewandt wird, sind die Aufgaben dem Anforderungsbereichs I angepasst. Besonders Aufgabe 1 konzentriert sich ausschließlich auf die Anwendung des Rechendreiecks und der Formeln. Sie enthält keine überflüssigen Angaben und die SuS müssen keine Informationen aus Textaufgaben herausarbeiten. Als Hilfestellung dient hier die Form der Tabelle. Für diese Aufgabe müssen die SuS das „Rechendreieck“ sowie die Formeln der Zinsrechnung beherrschen. Um Aufgabe 2 zu bearbeiten ist außerdem die Kenntnis über die Begriffe der Zinsrechnung notwendig, da diese und die dazugehörigen Werte erst einmal aus der Aussage herausgesucht werden müssen. Eine Hilfestellung in 2 findet durch die Aufgaben a-c statt durch die Angabe des gesuchten Wertes.

Die Nachhaltigkeit des Erübten ist allerdings keineswegs gewährleistet, wenn das Erlernte allein mechanisch-rezepthaft angewendet wird, daher wird die Zinsrechnung in Aufgabe 3 und 4 in einen anderen Kontext eingebunden. Das Anwenden in unterschiedlichen Kontexten hat das Ziel, Fertigkeiten zu flexibiliseren und Kenntnisse zu vernetzen. Zentral ist hier nun das Anwenden der Zinsrechnung auf Sachaufgaben. In Aufgabe 3 müssen die SuS erst einmal die Informationen aus dem Text heraussuchen, um sie dann mittels der Zinsrechnung zu lösen. Die Schwierigkeit hierbei besteht darin, dass die Begriffe „Kapital“ und „Zinsen“ nicht explizit genannt werden.

[...]

¹ vgl. Rolles: Duden Mathematik. Basiswissen Schule.

² vgl. Dedlmar et al. Schnittpunkt Mathematik 8. Mathematik für Realschulen Niedersachsen. Serviceband

³ vgl. Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Spektrum. S. 250.

⁴ Blum: Bildungsstandards Mathematik: konkret. S.178.