Grundkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaften

Inhalt

Aufgabe 1: Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 2: Lösen elementarer Gleichungen

Aufgabe 3: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen

Aufgabe 4: Rekonstruktion von Funktionstermen
Musterlösung Aufgabe 1.
Musterlösung Aufgabe 2.
Musterlösung Aufgabe 3.
Musterlösung Aufgabe 4.

Aufgabe 1: Lineare Gleichungssysteme

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit folgender Gestalt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(a) Handelt es sich bei diesem Gleichungssystem um ein homogenes oder ein inhomogenes Gleichungssystem. Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Geben Sie eine Lösung des gegeben LGS an, ohne Berechnungen durchzuführen. Erläutern Sie, inwiefern die Erkenntnisse aus Aufgabenteil (a) für diese Lösung von Bedeutung sind.
(c) Überführen Sie das gegebene LGS in Matrixform und überprüfen Sie, ob weitere Lösungen für dieses Gleichungssystem existieren. Geben Sie ggf. alle Lösungen an!
(d) Bezeichnen wir die unter (c) bestimmte Matrix als A, so kann das gegebene LGS geschrieben werden als: mit. Nehmen Sie nun an, der Vektor b verändere sich zu. Für welchen Wert von Alpha ist das LGS lösbar bzw. für welche Werte ist es unlösbar.

Aufgabe 2: Lösen elementarer Gleichungen

Lösen Sie die folgenden Gleichungen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgabe 3: Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen

Betrachten wir die folgende abschnittweise definierte Funktion

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgabe 4: Rekonstruktion von Funktionstermen

Gegeben Sei die folgende Funktionsvorschrift:

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Bestimmen Sie die Parameter a und b derart, dass die Funktionsvorschrift die Funktions-vorschrift zu untenstehendem Graphen ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Musterlösung Aufgabe 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[1]

Das nun vorliegende LGS besitzt nur noch drei Gleichungen aber weiterhin vier Variablen. Aus diesem Grund hat das LGS einen Freiheitsgrad. Dies bedeutet, dass eine Variable auch in der Lösungsmenge variabel bleibt. Es wird dazu sinnvoller Weise jene Variable ausgewählt, welche in allen drei verbleibenden Gleichungen enthalten ist. Demnach wird die Variable

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[2]

Das LGS kann ausschließlich dann lösbar sein, wenn die letzte Zeile (Zeile IV) im umgeformten LGS (1.2) eine Nullzeile ist [Rangkriterium]. Die Frage ist demnach, welchen Wert muss der Parameter

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Dies geschieht hier ausschließlich aus Gründen der Nachvollziehbarkeit der Bestimmung der Lösungsmenge. In Klausuren muss dieser Schritt i.d.R. nicht durchgeführt werden.

^[2] Dies war laut Aufgabenstellung jedoch nicht gefragt. Der Lösungsweg ist deshalb nicht angegeben.