Exemplarische Untersuchung von Abbildungen in Mathematikschulbüchern der Grundschule

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

TEIL A: HINFÜHRUNG ZUM FORSCHUNGSTHEMA
1 Einleitung
2 Theoretischer Hintergrund und Konzeptspezifikation
2.1 Abgrenzung von Sachbildern zu anderen Anschauungsmitteln
2.2 Vorstellungen - oder das Bild im Kopf
2.2.1 Mentale Vorstellungen
2.2.2 Mathematische Grundvorstellungen zur Multiplikation
3 Bisherige Befunde und deren Bedeutung für die eigene Untersuchung

TEIL B: UNTERSUCHUNG DER FORSCHUNGSFRAGE Wie unterstützen Sachbilder mit multiplikativen Strukturen bei den Lernenden die Entwicklung von Vorstellungen zur Multiplikation?
4 Darstellung des Untersuchungsdesigns
4.1 Hypothesen und deren Operationalisierung
4.2 Erhebungsmethoden und Ablauf der Datenerhebung
4.3 Auswahl der Sachbilder
4.4 Beschreibung der Stichprobe
4.5 Datenerfassung und -auswertung
5 Darstellung und Interpretation der Untersuchungsergebnisse
5.1 Die Wirkung verschiedener Eigenschaften der Sachbilder
5.1.1 Die Bedeutung der räumlich-simultanen Darstellung
5.1.2 Die gestalterische Komplexität der Sachbilder
5.1.3 Die Deutlichkeit von Handlungsabläufen
5.1.4 Der Unterschied zwischen Multiplikator und Multiplikand
5.2 Das Übersetzen der bildlichen Darstellung in andere Repräsentationsebenen
5.2.1 Verbale Beschreibungen und Rechengeschichten
5.2.2 Handelnde Umsetzung mit unstrukturiertem Material
5.2.3 Nennung passender Terme - Zur Ein- und Mehrdeutigkeit der Sachbilder
5.2.4 Der flexible Wechsel zwischen den Repräsentationsebenen
5.3 Zusammenfassende Interpretation der Untersuchungsergebnisse im Hinblick auf die Forschungshypothesen

TEIL C: ABSCHLIESSENDE GEDANKEN ZUR UNTERSUCHUNG
6 Resümee und Ausblick
6.1 Methodische Schwächen der Untersuchung
6.2 Offene Fragen für die weitere Forschung
6.3 Fazit und Kommentar zur Stellung von Sachbildern im Mathematikunterricht

Literatur- und Quellenverzeichnis

Anhang

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildungsverzeichnis

Abb.1: Beispielbild zur Mehrdeutigkeit von Sachbildern

Abb. 2: Dynamische und statische bildliche Darstellung der Multiplikation

Abb. 3: Möglichkeiten für eine statisch-dynamische Bildpaarung, Teil 1

Abb. 4: Möglichkeiten für eine statisch-dynamische Bildpaarung, Teil 2

Abb. 5: Distraktoren für den ersten Teil des Interviews

Abb. 6: Verwendete Sachbilder für den zweiten Teil des Interviews

Abb. 7: Handlungsdarstellung in einer Bildfolge

Abb. 8: Plättchengruppen bilden die multiplikative Struktur der Sachbilder ab

Abb. 9: Plättchenfelder bilden die multiplikative Struktur der Sachbilder ab

Abb. 10: Symbolische Lösung beim Legen der Plättchen

Abb. 11: Plättchen repräsentieren eine erkannte Additionsaufgabe

Abb. 12: Unterschiedliche Abstraktionsstufen in Carinas Materiallösungen

Abb. 13: Zusätzliche Bildeigenschaften für mögliche weitere Untersuchungen

TEIL A: HINFÜHRUNG ZUM FORSCHUNGSTHEMA

1 Einleitung

In der Mathematik als Wissenschaft der Muster, Strukturen und Beziehungen nimmt der Anschauungsprozess¹ eine besondere Stellung ein. Bei den Inhalten handelt es sich meist nicht um konkrete Objekte. Sie sind vielmehr abstrakter Natur. Daher bedarf es vermittelnder Medien, den Anschauungs- oder Veranschaulichungsmitteln, um mit den Schülern² über die abstrakten Inhalte und Begriffe sprechen und nachdenken zu können. Beispiele solcher vermittelnder Medien sind der Zahlenstrahl, Plättchenfelder, die Hun- dertertafel sowie Bilder konkreter Sachsituationen (vgl. SÖBBEKE, 2008: 2; STEIN- BRING, 1994: 16).

Mit den Sachbildern im Speziellen ergibt sich ein interessanter Forschungsgegenstand. Sie finden sich zahlreich in Mathematikschulbüchern und haben mit ihren bunten Farben die Aufgabe, Kinder für die Beschäftigung mit der Mathematik zu motivieren. Sie neh- men darüber hinaus aber eine noch wichtigere Funktion im Rahmen des Anschauungs- prozesses ein. Zahlen werden als Anzahlen empirischer Dinge dargestellt und mathe- matische Operationen beispielsweise durch Aktionen des Hinzufügens, Wegnehmens, Vermehrens, Aufteilens oder Verteilens abgebildet (vgl. KRAUTHAUSEN, SCHERER, 2007: 83). Sie zeigen das auf bildlicher Ebene, was Sachaufgaben auf verbal- symbolischer Ebene beschreiben. Durch ihren konkreten Alltagsbezug bieten sie Kin- dern scheinbar einen direkten Zugang zu mathematischen Operationen.

Die Frage, ob dieser Zugang für Grundschüler so eindeutig und unmittelbar ist, soll Inhalt dieser Arbeit sein. Exemplarisch werden dabei Sachbilder zur Operation der Multiplikation untersucht. Welche Vorstellungen entwickeln die Schüler zu diesen bildlichen Darstellungen und der darin veranschaulichten multiplikativen Struktur?

In über 30 Interviews befragte die Verfasserin Grundschüler zu verschiedenen Sachbil- dern. Im Rahmen dieser Befragungen waren die Kinder gefordert, sich auf unterschied- lichen Ebenen mit den Bildern zu beschäftigen. Verbale Beschreibungen des Bildinhal- tes, die handelnde Umsetzung mit Material, die Nennung passender Terme und die be- gründete Beurteilung der Veranschaulichungsqualität waren Themen der Gespräche mit den Schülern. Besonders die Unterscheidung zwischen Darstellungen zur statischen sowie zur dynamischen Komponente der Multiplikation stellt schließlich den Leitfaden für die Auswertung der Untersuchungsergebnisse dar.

Die vorliegende Arbeit soll auch den komplexen Lernprozess der Verfasserin dokumen- tieren, der mit der Konzeption, Durchführung und Auswertung dieser Untersuchung ver- bunden war: angefangen bei der Idee für die Forschungsfrage, die aus der Neugier für verschiedene Formen der Veranschaulichung im Mathematikunterricht geboren wurde, über die Formulierung eigener Forschungshypothesen sowie über die Sammlung und Strukturierung vieler Primärdaten, bis hin zu einer selbstkritischen Auseinandersetzung mit der Aussagekraft und den methodischen Schwächen der Untersuchung.

2 Theoretischer Hintergrund und Konzeptspezifikation

2.1 Abgrenzung von Sachbildern zu anderen Anschauungsmitteln

Als „Vermittler zwischen Zahlzeichen und Erfahrungswelt“ (STEINBRING, 1994: 9) exis- tieren verschiedene Hilfsmittel, die in ihrer Nutzung jedoch unterschiedlich gewichtet werden. KRAUTHAUSEN und SCHERER differenzieren zwischen Veranschaulichungs- und Anschauungsmitteln. Erstere werden hauptsächlich vom Lehrer eingesetzt, um be- stimmte mathematische Ideen oder Konzepte zu illustrieren. Sie sollen arithmetische Zusammenhänge möglichst konkret darstellen und den Schülern das Lernen und Ver- stehen vereinfachen. Auch Sachbilder können in diese Kategorie eingeordnet werden. Dagegen sind Anschauungsmittel als Werkzeuge oder Darstellungen mathematischer Ideen für die Hand der Schüler zur Rekonstruktion mathematischen Verstehens vorge- sehen. Rechenrahmen, Rechenkette oder Hunderterfeld sind Beispiele dafür (vgl. KRAUTHAUSEN, SCHERER, 2007: 242).

Beide Arten der Hilfsmittel finden sich in bildlicher Form in Mathematikschulbüchern. Bei den Darstellungen der Anschauungsmittel besteht allerdings oft eine Verbindung zu den realen Hilfsmitteln, deren Abbild sie sind. Sachbilder stehen dagegen für sich allein und sollen durch ihren Bezug zur realen Lebenswelt mathematische Beziehungen veranschaulichen. Von Interesse für die hier vorgestellte Studie sind lediglich die bildlichen Darstellungen alltäglicher Sachsituationen.

Trotz der Konzentration auf die Sachbilder soll von Anfang an aber auch betont werden, dass diese Form der Veranschaulichung im Rahmen eines anschaulichen Mathematikunterrichts nur einen Baustein verschiedener Maßnahmen darstellen kann. So kritisieren einige Autoren sogar den zu starken Fokus auf die Bilder, während die selbst ausgeführten Handlungen vernachlässigt würden (vgl. BÖNIG, 1995: 47f; FLOER, 1995: 21; RADATZ, 1993: 4ff; SCHIPPER, 1995: 16).

Die Sachbilder lassen sich im Gefüge der Repräsentations- oder Darstellungsebenen nach Bruner³ der ikonischen Ebene zuordnen. Während auf der enaktiven Ebene ge- stellte Probleme durch äußere Handlungen probierend gelöst werden, stellt die bildhafte Darstellung bereits durch die zweidimensionale Vereinfachung eine erste Stufe der Abs- traktion dar. Diese Abstraktion steigert sich entsprechend noch stärker auf der symboli- schen Ebene (vgl. EICHLER, 2008: 13). Der flexible Wechsel zwischen allen drei Ebe- nen macht dabei erfolgreiches Mathematiklernen aus (vgl. BÖTTINGER, 2007: 30, EICHLER, 2008: 13, JANSEN, 2006: 44f). Auf der ikonischen Ebene können Sachbilder demnach Ausgangspunkt, Zwischenergebnis oder Ziel weiterer Aktivitäten sein.

2.2 Vorstellungen - oder das Bild im Kopf

2.2.1 Mentale Vorstellungen

Aus Sicht der Mathematikdidaktiker sollen die im vorhergehenden Kapitel dargestellten Arbeitsmittel und Veranschaulichungen dazu beitragen, dass die Schüler klare und trag- fähige mentale Vorstellungsbilder zu mathematischen Inhalten konstruieren und aus- bauen (vgl. KRAUTHAUSEN, SCHERER, 2007: 246). Nach LORENZ (1992) stellt die Vorstellung:

„eine Form geistiger Handlung dar, die in der Hauptsache eine (Re-)Konstruktion ist. Es kann eine nahe Repräsentation dessen darstellen, was vorher (irgendwann) einmal gesehen wurde, oder auch eine lose, unstrukturierte Form besitzen wie etwa bei Tagträumen und Fantasien. In jedem Fall ist es kein Duplikat der Wirklichkeit, kein exaktes Abbild dessen, was wahrgenommen wurde.“ (LORENZ, 1992: 45)

Auf der Basis dieses theoretischen Konstrukts beschreibt LORENZ verschiedene Ei- genschaften von Vorstellungsbildern: Zum einen sind diese aus Wissen aufgebaut, d.h. in den Vorstellungsbildern wird das subjektiv verfügbare Wissen zum vorgestellten Ob- jekt oder Sachverhalt aus dem Gedächtnis aktiviert und bildlich aktualisiert. Weiterhin sind Vorstellungsbilder vage. Sie sind konkret genug, um die Struktur der dargestellten Aufgabe in seinen wesentlichen Teilen abzubilden. Gleichzeitig sind sie aber vage ge- nug, um auch für andere Aufgaben des gleichen mathematischen Sachverhalts dienen zu können. Vorstellungsbilder sind selten numerisch, sondern eher bildlicher Natur. Außerdem sind Vorstellungsbilder idiosynkratisch, d.h. bei jedem Schüler unterschied- lich. Schließlich besitzen Vorstellungsbilder als Repräsentationen, auf denen kognitive Strukturen aufbauen, auch Symbolfunktion. So kann, ähnlich wie mit mathematischen Zeichen, auch mit Vorstellungsbildern mental operiert werden (vgl. ebenda: 46ff).

Vor allem das visuelle mentale Operieren mit den Anschauungsbildern ist für den Ma- thematikunterricht wichtig, „da sich im Umgang mit den Vorstellungsbildern als Symbo- len Erkenntnisse erlangen und Strukturen bilden lassen“ (ebenda: 51, Hervorhebung im Original). Zum mentalen Operieren müssen die Schüler die vorgestellten Bilder verän- dern und die arithmetischen Operationen anhand der Vorstellungen ausführen sowie die Rechenergebnisse ablesen können (vgl. GERSTER, 1994, zitiert nach KLAUDT, 2005: 18; LORENZ, 1992: 184). In diesem Zusammenhang wird die Fähigkeit, sich etwas vor- stellen oder bildhaft denken zu können, auch als Vorstufe bzw. Voraussetzung für den mathematischen Begriffserwerb, d.h. den Aufbau eines Beziehungsnetzes, genannt (vgl. BÖNIG, 1995: 41; LORENZ, 1992: 50).

Um die Verbindung zum vorhergehenden Kapitel noch einmal herzustellen, lässt sich auch hier erkennen, dass Schüler lernen müssen, die verschiedenen Darstellungsarten (oder Repräsentationsebenen) miteinander zu verbinden, um tragfähige Vorstellungsbilder aufzubauen (vgl. JANSEN, 2006: 45). In dieser Hinsicht sollen Sachbilder als eine mögliche Form der ikonischen Darstellung den Impuls für die Bildung solcher Vorstellungen geben. Inwieweit Kinder in der Lage sind, mit diesem Impuls umzugehen, ihn in die anderen Darstellungsebenen zu übersetzen und vor allem wie die Bilder selbst dazu beitragen, soll in dieser Arbeit ansatzweise geklärt werden.

2.2.2 Mathematische Grundvorstellungen zur Multiplikation

Ein und dieselbe Multiplikationsaufgabe, wie 3 2 = 6, kann je nach Sachsituation unter- schiedlich interpretiert werden. So kann ein Kind beim Wäscheaufhängen dreimal hin- tereinander in den Beutel mit Wäscheklammern fassen und dabei jedes Mal zwei Klammern herausholen. Die gleiche Handlung wird im Zeitablauf also mehrmals wieder- holt (zeitlich-sukzessiver Aspekt bzw. dynamische Komponente). Als Ergebnis die- ser Handlung hängen drei Wäschestücke mit jeweils zwei Klammern an der Wäschelei- ne. Die Aufgabenstellung und das Produkt können hier aufgrund der räumlichen Anord- nung auf einen Blick bestimmt werden (r ä umlich-simultaner Aspekt bzw. statische Komponente). So besteht ein direkter Zusammenhang zwischen diesen beiden Grund- vorstellungen. Mathematisch handelt es sich um die mehrfache Vereinigung gleich- mächtiger Mengen bzw. auf der Zahlenebene um die wiederholte Addition gleicher Summanden. Die erste Zahl gibt als Operator (auch Multiplikator genannt) an, wie oft die Handlung zu wiederholen ist. Die zweite Zahl (Multiplikand) steht für den Summanden, der mehrfach zu addieren ist (vgl. GRASSMANN, 2010: 36f; PADBERG, 2011: 128ff, RADATZ (et.al.), 1998: 82).

Darüber hinaus kann ein Kind morgens auch die Auswahl zwischen drei T-Shirts und zwei Hosen haben. Es überlegt, wie viele Möglichkeiten es gibt, sich unterschiedlich zu kleiden (kombinatorischer Aspekt). Ebenso können Klassen einer Schule Vergleiche anstellen und dabei feststellen, dass die eine Klasse zwei schwarze Fische im Aquarium hat, wogegen es bei einer anderen Klasse dreimal so viele sind (Vergleichsaspekt). Schließlich ist es auch möglich, zu überlegen, wie viel drei Kilo Äpfel kosten, wenn ein Kilo zwei Euro kostet (direkte Proportionalit ä t) (vgl. ebenda).

Zur Erarbeitung der Multiplikation sind der zeitlich-sukzessive sowie der räumlich- simultane Aspekt am besten geeignet. Jedoch sollten Kinder im Laufe des Mathematik- unterrichts auch vielfältige Erfahrungen mit den weiteren Grundvorstellungen der Multi- plikation machen, damit sie ein tragfähiges Verständnis dieser Operation entwickeln und vernetztes Denken gefördert wird (vgl. GRASSMANN, 2010: 37; PADBERG, 2011: 134).

Wie die Recherche in zahlreichen Mathematikschulbüchern zur Vorbereitung dieser Un- tersuchung zeigte, lassen sich aber fast ausschließlich bildliche Darstellungen der ers- ten beiden genannten Grundvorstellungen finden.⁴ Dabei dominiert der räumlich- simultane Aspekt. Sehr selten finden sich Abbildungen von Handlungen oder Bildfolgen, die wiederholte Handlungen verdeutlichen. Aufgrund des Zusammenhangs zwischen statischer und dynamischer Grundvorstellung und deren Häufigkeit in den Schulbüchern konzentriert sich die hier vorgestellte Untersuchung auch auf diese beiden Aspekte der Multiplikation.

3 Bisherige Befunde und deren Bedeutung für die eigene Untersuchung

Untersuchungen zu Bildern in Schulbüchern im Allgemeinen finden sich recht zahlreich. Jedoch betrachten diese die bildlichen Darstellungen vor allem aus geschichtswissen- schaftlicher Perspektive, um Gesellschaftsbilder o.ä. herauszuarbeiten (vgl. EHLERS, 2010; HEINZE, MATTHES, 2010). Auch wenn der Einfluss von Bildern in Schulbüchern auf die Verarbeitungsprozesse von Lerninhalten erforscht wird, geschieht dies oft in Be- zug auf Bilder, die in Lehr- oder Instruktionstexte eingebettet sind (vgl. DREWNIAK, KUNZ, 1992; LEWALTER, 1997; PEECK, 1993). Speziell zum Einsatz bildlicher Darstel-lungen zum Zweck der Veranschaulichung mathematischer Operationen existieren nur wenige Untersuchungen.

VOIGT ging der Frage unterschiedlicher Deutungen von Sachbildern aus Lehrer- und Schülersicht nach. Im Rahmen von Unter-richtsbeobachtungen in einer ersten Klasse über ein Schuljahr sowie Befragungen der Kinder außerhalb des Unterrichts stellte er ei- ne grundsätzliche Mehrdeutigkeit von Sach- bildern fest. In der veröffentlichten Fallstudie nutzt er ein Beispielbild, das einen Zoowärter und einen Affen zeigt (siehe Abb. 1). Die Kin- der leiteten im Unterrichtsgespräch verschie- dene Terme mit durchaus plausiblen Begrün- dungen ab: Außer dem von den Schulbuchau- toren beabsichtigen Term (5 - 2 = 3), noch 3 + 2 = 5 (Summe der Bananen, Umkehrauf- gabe von 5 - 2), 1 + 1 = 2 (der Wärter und der Affe zusammen), 3 - 2 = 1 (der Wärter hat eine Banane mehr als der Affe), 5 - 4 = 1 (eine Banane mehr als Hände, daher rutscht die mittlere Banane dem Wärter gleich zwischen den Händen weg) (vgl. VOIGT, 1993: 148f).

Abb.1: Beispielbild zur Mehrdeutig- keit von Sachbildern

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: EICHLER, EIDT, MELCHIOR, 2003: 43

Als Fazit stellt VOIGT fest, dass diese Mehrdeutigkeit zum einen wichtig sei, um ver- schiedene Aspekte mathematischer Operationen zu thematisieren. Aber es existiere auch ein „Verständigungsproblem“ (ebenda: 156) zwischen Lehrern und Schülern. Ers- tere denken eher in einem mathematischen Zusammenhang und sehen das Bild als dessen Repräsentation. Dagegen verstehen Schüler aufgrund ihrer primär lebensweltli- chen Erfahrungen das Bild oft konkreter, dinglicher und vielfältiger (vgl. ebenda: 156).

Auch im Rahmen der eigenen Studie soll die Mehrdeutigkeit von Bildern nicht negativ betrachtet werden. Vielmehr ist es wichtig, sich ihrer bewusst zu sein. Dies wird auch in der Formulierung der Forschungshypothesen deutlich (siehe Kap. 4.1, S.16f). Die in der Studie von VOIGT angewandte Methodik der langfristigen Unterrichtsbeobachtung ist durch den engen Rahmen der Erstellung einer Masterarbeit allerdings nicht praktikabel und kann daher nicht als Vorbild dienen.

SCHIPPER und HÜLSHOFF untersuchten, ob Veranschaulichungsmittel im Anfangsun- terricht so anschaulich sind, dass sie für alle Kinder eine Hilfe sind oder ob die Hilfsmit- tel zusätzlichen Lernstoff darstellen. Dazu sahen 109 Kinder der ersten Klasse ver- schiedene bildliche Veranschaulichungen zur Addition sowie Subtraktion und mussten die passende Rechenaufgabe zu jedem Bild aufschreiben (siehe Anlage 1, S.65). Die Ergebnisse zeigten, dass die Anzahl der richtigen Lösungen vor allem davon abhing, ob die Darstellung so oder in ähnlicher Form im Unterricht behandelt wurde. Nur bei diesen Darstellungen lag der Anteil richtiger Lösungen höher als 50 Prozent. Daher wurde die Schlussfolgerung gezogen, dass Veranschaulichungen einerseits erlernt werden können, aber auch erlernt werden müssen (vgl. SCHIPPER, HÜLSHOFF, 1984: 55f).

Grundsätzlich erscheint die Präsentation von bildlichen Veranschaulichungshilfen mit der begleitenden Aufgabe, einen passenden Term zu nennen, als geeigneter Methodenbaustein für die eigene Untersuchung.⁵ Jedoch soll nicht von einer einzigen passenden Aufgabe ausgegangen werden, wie es in der hier dargestellten Studie der Fall war. Weitere Schülerlösungen werden in ihrer Entfernung zum intendierten Term, und nicht einfach als ‚falsch‘, beschrieben.

Eine weitere Problematik in der Studie von SCHIPPER und HÜLSHOFF liegt darin, dass abstrakte Anschauungsmittel nicht von Darstellungen konkreter Sachsituation getrennt wurden. Nur in einer Fußnote wird bemerkt, dass Darstellungen mit Alltagssituationen von den Bildern, die didaktisches Material zeigen, unterschieden werden müssen. Erste- re seien nahezu selbstverständlich (vgl. ebenda: 56). Wie die Ergebnisse von VOIGT (vgl. 1993: 148f) zeigten, muss dies allerdings auch nicht zwangsläufig der Fall sein.

Zum Verständnis der Multiplikation führten BEATTYS und MAHER Interviews mit 48 Schülern der Klassen 4 bis 6 durch. Dabei zeigten sie jedem Schüler Bilder, die verschiedene Repräsentationsmöglichkeiten der Multiplikation abdeckten (siehe Anlage 1, S.66). Die Schüler sollten die Bilder auswählen, die sie als geeignet erachteten, der zweiten Klasse die Multiplikation zu erklären. Außerdem sollten sie ihre Auswahl begründen. Die Schülerantworten waren weitgehend altersunabhängig. Insgesamt bevorzugten sie Bilddarstellungen, die den Aspekt der Mengenvereinigung betonten (vgl. BEATTYS, MAHER, 1989, zitiert in BÖNIG, 1995: 64f).

Diese Studie als Vorbild genommen, befragte BÖNIG 32 Schüler der vierten Klasse und ließ sie bildliche Veranschaulichungen zur Division auswählen, die sie für die Einführung der Operation in der zweiten Klasse verwenden würden (siehe Anlage 1, S.67). Die Schüler mussten ihre Auswahl begründen, fanden dabei meist von selbst einen passen- den Term und wurden gegebenenfalls auch nach der Akzeptanz alternativer Terme ge- fragt. Auch diese Studie war vor allem danach ausgelegt, das allgemeine Grundver- ständnis multiplikativer Strukturen zu testen und nicht primär die Eigenschaften der ver- wendeten Bilder zu untersuchen. Die Kinder nannten die Bilder F und A am häufigsten.

Bild F zeigt eine Marktfrau beim Aufteilen von Obst o.ä., Bild A eine Ausgangsmenge in Form einzelner Tulpen und zwei entstandene Tulpensträuße als Teilmengen. Neben weiteren Ergebnissen der Einzelfallbeschreibungen, die für den Schwerpunkt der eige- nen Untersuchung von geringerem Interesse sind, fiel die Begründung eines Jungen zum Bild F auf. Für den befragten Schüler war dieses Bild insofern überlegen, als dass es die Handlung entsprechend der Rechenoperation andeutete (vgl. BÖNIG, 1993: 29ff).

Da sich diese Methodik anscheinend in den beiden genannten Studien bewährt hat, soll auch in der eigenen Studie eine ähnliche Aufgabenstellung genutzt werden. Allerdings wurde auch in beiden Untersuchungen nicht zwischen abstrakten Anschauungsmitteln bzw. didaktischen Hilfsmitteln, wie dem Zahlenstrahl, und den konkreteren Darstellungen von Sachsituationen unterschieden.

In einer Folgestudie präsentierte BÖNIG Schülern einer vierten Klasse verschiedene Bilder, die entweder die Aufgabe 12 : 4 oder die Aufgabe 3 4 zeigten (siehe Anlage 1, S.68). Die Schüler mussten die Bilder heraussuchen, die denselben Term veranschaulichten. Ähnlich wie in der Vorgängerstudie wurde hier ein Bild (Bild I) am einheitlichsten interpretiert, das eine Handlung verdeutlicht, nämlich das schrittweise Heranbringen von Limonadenkästen (vgl. BÖNIG, 1995: 119ff).

Wie sich in den beiden zuletzt vorgestellten Untersuchungen gezeigt hat, scheinen bildliche Darstellungen, die eine Handlung zeigen, von Vorteil bei der Deutung dargestellter Operationen und Terme. Diese Feststellung wird sich wiederum in der Formulierung eigener Forschungshypothesen niederschlagen (siehe Kap. 4.1, S.16f).

Zwei Untersuchungen, die im Vergleich zu den bisher beschriebenen Studien einen um- gekehrten Weg nutzten, stammen von RADATZ (1990) und RUWISCH (2008). Beide testeten die Vorstellungen bzw. das Verständnis zu mathematischen Operationen und ließen Kinder u.a. zu Termen Bilder zeichnen. RADATZ stellte dabei fest, dass leis- tungsstarke Schüler häufiger Bildgeschichten und Mengenoperationen malten, während die Bilder von leistungsschwachen Schülern vermehrt aus Übertragungen in andere Symbole bestanden. Er folgerte daraus, dass starke Rechner besser zwischen den ein- zelnen Repräsentationsebenen hin und zurück übersetzen können. Für schwächere Schüler stellen dagegen Ziffern und Gleichungen eine Art „Geheimcode“ (RADATZ, 1990: 8) dar, mit dem sie kontext- und vorstellungsfrei umgehen. Die Rückübersetzung der symbolischen in die zeichnerische oder handelnde Ebene fällt ihnen schwer (vgl. ebenda: 7f). Darüber hinaus stellte RUWISCH zu dieser Fähigkeit in ihrer Untersuchung vor allem Klassenunterschiede fest, was den Einfluss des Mathematikunterricht verdeut- licht (vgl. RUWISCH, 2008: 4ff). Im Untersuchungsdesign müssen also auch Leistungs- unterschiede der Schüler und mögliche Effekte auf deren Umgang mit den Sachbildern berücksichtigt werden. Zudem ist es wichtig, eventuelle Einflüsse des Unterrichts mit einzubeziehen.

In diesem Zusammenhang ist auch eine Befragung von Grundschullehrern interessant, in der untersucht wurde, welche Funktionen Veranschaulichungen in Schulbüchern im eigenen Unterricht übernehmen. Für 40 Prozent der befragten Lehrer waren die Veran- schaulichungen Anlässe für Gespräche mit den Kindern, 34 Prozent nahmen sie als Stütze für die Lehrererklärungen und 26 Prozent nutzten sie als konkrete Handlungsan- reize (vgl. SCHIPPER, 1995: 16). So bietet sich diese Fragestellung auch für die eigene Untersuchung an, um die Mathematiklehrer der interviewten Kinder zu befragen. Es kann angenommen werden, dass sich die befragten Kinder an die Nutzung der Sachbil- der, die durch den Lehrer im Unterricht besonders gefördert wird, gewöhnt haben und daher entsprechend mit den Bildern umgehen.

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass bereits der Versuch unternommen wurde, die Nutzung bildlicher Anschauungsmittel bzw. Veranschaulichungshilfen durch Schüler in Form abgeleiteter Terme zu untersuchen (vgl. VOIGT, 1993; SCHIPPER, HÜLSHOFF, 1984). Zum Teil fehlte aber eine Systematik bzw. traten methodische Schwächen auf. Die hier vorgestellte empirische Studie stützt sich auf die bisherigen Ergebnisse, will aber die erforderliche Systematik herstellen und sich speziell auf die Abbildungen kon- kreter Sachsituation konzentrieren. Darüber hinaus wurden insbesondere die Art der bildlichen Veranschaulichungshilfen bzw. ihre spezifischen Eigenschaften noch nicht systematisch untersucht. Die Ergebnisse von BÖNIG (1993, 1995) deuten darauf hin, dass es dabei Unterschiede gibt. Diese Frage soll einen weiteren Schwerpunkt der ei- genen Untersuchung darstellen.

TEIL B: UNTERSUCHUNG DER FORSCHUNGSFRAGE

Wie unterstützen Sachbilder mit multiplikativen Strukturen bei den Lernenden die Entwicklung von Vorstellungen zur Multiplikation?

4 Darstellung des Untersuchungsdesigns

4.1 Hypothesen und deren Operationalisierung

Die Unterrichtsbeobachtungen von VOIGT (1993) zeigten, dass Grundschüler sehr un- terschiedliche Terme in Sachbildern sehen (siehe Kap. 3, S.11). Auch LORENZ (1992) hat bereits, ausgehend vom theoretischen Konstrukt, die Eigenheit von Vorstellungsbil- dern als eine konstituierende Eigenschaft dieser mentalen Repräsentationen beschrie- ben (siehe Kap. 2.2.1, S.8f). Daher lautet die erste Hypothese für die folgende Untersu- chung:

H1: Sachbilder mit multiplikativen Strukturen führen bei den Schülern nicht zu einheitlichen Vorstellungen zur Multiplikation.

Weiterhin weisen Ergebnisse aus den Befragungen von BÖNIG (1993, 1995) darauf hin, dass Veranschaulichungen, die eine Handlung abbilden, in der Eindeutigkeit bzw. im Nutzen für die Darstellung mathematischer Operationen den eher statischen Bildern überlegen sein können. Die somit deutlich gewordene Unterscheidung der Bilder kann mit den dynamischen und statischen Grundvorstellungen der Multiplikation in Beziehung gesetzt werden (siehe Kap.2.2.2, S.9f sowie Abb.2).

Abb. 2: Dynamische und statische bildliche Darstellung der Multiplikation⁶

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: EICHLER, EIDT, MELCHIOR, 2000: 41; eigene Darstellung

Auch die Forderungen der Mathematikdidaktiker, den Unterricht handlungsorientiert zu gestalten und die Kinder selbst Handlungen ausführen zu lassen (vgl. BÖNIG, 1995: 47; RADATZ, 1993: 20f), können dahingehend interpretiert werden, dass Abbildungen von Handlungen hilfreicher sind. Es kann angenommen werden, dass es den Kindern leich- ter fällt, ausgehend von Handlungsdarstellungen selbst die Handlung auszuführen. So stellt die Untersuchung dieser zweiten Hypothese einen weiteren Schwerpunkt dar:

H2: Sachbilder mit dynamischen Operationsdarstellungen sind für die Aus- bildung von Vorstellungen zur Multiplikation förderlicher als statische Darstellungen.

Werden diese beiden Hypothesen operationalisiert, ergeben sich im Rahmen des Veranschaulichungsprozesses mathematischer Operationen die Sachbilder als unab- hängige Variable (UV) und die entwickelten Vorstellungen als abhängige Variable (AV).

Die Sachbilder wurden in dieser Untersuchung hinsichtlich ihrer statischen (UV 1) bzw. dynamischen (UV 2) Eigenschaft variiert. Dazu wurden Sachbilder aus Mathematikschulbüchern verwendet, die je eine der beiden Eigenschaften erfüllen. Damit ein direkter Vergleich von statischen und dynamischen Veranschaulichungen möglich ist, zeichnete die Verfasserin zu jedem Bild ein dynamisches bzw. statisches Äquivalent (zur Auswahl der Bilder siehe Kap. 4.3, S.20ff).

Die Operationalisierung von Vorstellungen gestaltet sich dagegen schwieriger, da men- tale Repräsentationen nie eins zu eins in zugänglichen Formen nach außen transportiert werden können. Der Versuch wurde jedoch in Ansätzen unternommen. Dazu sollten die teilnehmenden Schüler ihre Vorstellungen verbal beschreiben (AV 1), in Handlungen übersetzen (AV 2) sowie zum Schluss einen oder mehrere passende Terme aus dem Bild ableiten (AV 3).

Die verbalen Beschreibungen sahen so aus, dass die Kinder ihren ersten Eindruck zum Bild äußern, beschreiben, was sie auf dem Bild sehen und sich zusätzlich eine kurze Geschichte passend zur Abbildung ausdenken sollten. Außerdem soltlen sie zusätzlich zu einigen Bildern auch begründen, warum diese gut oder weniger gut zur Veranschau- lichung der Multiplikation geeignet sind. Handelnd wurden die befragten Kinder aktiv, indem sie das, was sie auf dem Bild sahen, mit unstrukturiertem Material in Form von Plättchen darstellten. Zur Beurteilung der generierten Terme wurde bereits in Kapitel 3 ausgeführt, dass es keine Vorgabe eines einzigen ‚richtigen‘ Terms gibt, sondern des- sen Entfernung vom intendierten Term aus dem Schulbuch beurteilt wird (siehe S.12).

Mit Bezug zu Kapitel 2.1 (siehe S.7f) wird hier deutlich, dass verschiedene Überset- zungsformen zwischen den einzelnen Repräsentationsebenen berücksichtigt werden. Ausgehend von der ikonischen Ebene demonstrierten die Kinder auf der enaktiven Ebe- ne anhand der Plättchen den mathematischen Gehalt. Ebenso übertrugen sie die bildli- che Darstellung mittels sprachlicher Beschreibungen auf die verbal-symbolische Ebene sowie mittels Termen auf die nonverbal-symbolische Ebene.

4.2 Erhebungsmethoden und Ablauf der Datenerhebung

Bei dieser Studie handelt es sich um eine Querschnittsuntersuchung⁷. Im Gegensatz dazu wäre eine Längsschnitterhebung durch den engen zeitlichen Rahmen der Erstellung der Masterarbeit nicht praktikabel.

Der Kern der Studie besteht aus einem materialgestützten Leitfadeninterview mit Grundschülern, in dem den Kindern verschiedene Sachbilder präsentiert wurden. Ange- regt durch die Frage- und Aufgabenstellungen beschäftigten sie sich mit den Bildern.

Bei dieser Art des Interviews wird ein Leitfaden mit offen formulierten Fragen zu Grunde gelegt, auf die der Befragte frei antworten kann. Der Leitfaden dient als Orientierung, muss je nach Interviewsituation aber nicht in festgelegter Reihenfolge befolgt werden (vgl. MAYER, 2004: 36). Diese Offenheit bietet vor allem Vorteile für die Untersuchung der mentalen Vorstellungen, die sich schwer standardisiert oder schriftlich erfassen lassen. Der Interviewer aber auch der Befragte können Nachfragen stellen. Angepasst an die Gesprächssituation können zudem ergänzende Impulse genutzt werden, um den Schüler zur Äußerung seiner Vorstellungen anzuregen.

Das Interview bestand aus zwei Teilen (zum Leitfaden siehe Anlage 2, S.69f). Im ersten Abschnitt wurden den Schülern nacheinander sechs Sachbilder gezeigt. Zu jedem Bild sollten sie ihre Vorstellungen in der Form der drei AVs ausdrücken. Folgende Fragen und Aufgaben an die Kinder standen im Mittelpunkt dieses Interviewteils:

-„Was fällt dir als erstes ein, wenn du das Bild anschaust?“ (AV1)
-„Beschreibe bitte, was du auf dem Bild siehst!“ (AV1)
-„Kannst du eine kurze Geschichte zu dem Bild erzählen?“ (AV1)
-„Du siehst hier viele Plättchen. Kannst du mir das, was im Bild gezeigt wird,mit den Plättchen vormachen?“ (AV2)
-„Nenne eine oder mehrere passende Rechenaufgaben!“ (AV3)

Im zweiten Teil des Interviews erhielten die Schüler sechs Sachbilder zur Multiplikation und mussten diejenigen auswählen, die sie für eine Einführung der Operation in der zweiten Klasse am besten geeignet erachten. Außerdem sollten sie ihre Auswahl be- gründen (AV1). Je nach Interviewsituation war es auch möglich, weitere Fragen, bei- spielsweise zum veranschaulichten oder zu einem alternativen Term, zu stellen. Hier leitete der folgende Impuls das Gespräch:

-„Ich möchte der zweiten Klasse die Multiplikation erklären. Dafür möchte ichBilder verwenden. Ich lege gleich sechs Bilder vor dich auf den Tisch. Sucheaus diesen Bildern die aus, die du gut findest, um die Multiplikation zu erklären! Lege das Bild, das du dafür am besten findest, ganz links vor dich hin!Dann kommt das Zweitbeste und so geht es weiter. Ganz rechts von dir liegtdann das Bild, das du dafür am schlechtesten findest.“
-„Warum hast du diese Reihenfolge gewählt?“

Die Reihenfolge, in denen die Bilder den einzelnen Kindern in beiden Interviewteilen präsentiert wurden, wurde so variiert, dass jedes Bild insgesamt an jeder Position unge- fähr gleich häufig vorkam und keine festen Bildabfolgen entstanden. Die Versuchsbe- dingung ‚statisch versus dynamische bildlichen Darstellung‘ wurden nach dem Prinzip des Within-Subject Design⁸ variiert, d.h. jedes Kind erhielt zu einem bzw. einem ähnli- chen Sachverhalt sowohl die statische als auch die dynamische Veranschaulichung.

Für die Interviews sollte eine möglichst heterogene Mischung der Schüler im Hinblick auf ihre mathematischen Leistungen und Kenntnisse realisiert werden. Daher erfüllten die Klassen, aus denen Kinder für die Befragung ausgewählt werden sollten, einen Ma- thematiktest. Als Testinstrument diente eine Sammlung von Aufgaben der Vergleichsar- beiten (VERA) für die dritte Klasse aus den letzten Schuljahren (siehe Anlage 3, S.71). Dieses Instrument wurde ausgewählt, da das Institut für Qualitätsentwicklung im Bil- dungswesen (IQB) die Aufgaben in einer Pilotstudie u.a. bezüglich ihres Schwierigkeits- grades, ihrer Trennschärfe sowie der Gütekriterien empirischer Forschung bereits um- fassend prüfte. Zudem bilden die verschiedenen Aufgaben die Bildungsstandards für den Mathematikunterricht der Grundschule auf unterschiedlichen Kompetenzstufen ab (vgl. IQB, 2008). Allerdings besteht bei diesen schriftlichen Tests meist das Problem, dass die Kinder auch ein gewisses Maß an Lesekompetenz an den Tag legen müssen, um die Aufgabenstellungen erst einmal zu erfassen. Erst im zweiten Schritt können sie dann ihre mathematischen Kenntnisse präsentieren und anwenden. Alternative Formen der Auswahl der Kinder, wie z.B. durch Unterrichtsbeobachtungen oder mithilfe indivi- dueller Diagnoseverfahren, wären jedoch aus Zeitgründen nicht möglich gewesen.

Für den Test im Vorlauf zu den Interviews wurden Aufgaben ausgewählt, die vor allem das Verständnis der vier Grundoperationen erfassen und weniger Aufgaben, die das routinemäße Ausführen von Algorithmen, wie die schriftlichen Rechenverfahren, abbilden. Anhand der Ergebnisse dieses Testes wurden schließlich Schüler aus verschiedenen Leistungsniveaus ausgewählt.

Weiterhin wurden die Mathematiklehrerinnen der teilnehmenden Schüler ergänzend be- fragt, um mögliche Einflussfaktoren durch die unterrichtliche Nutzung von Sachbildern in die Auswertung der Schülerantworten einbeziehen zu können. Da die Schüler im Mittel- punkt der Untersuchung standen, wurde bei den Lehrerinnen die zeitsparende Befra- gungsform mittels standardisiertem Fragebogen genutzt (siehe Anlage 4, S.75ff). Die Lehrerinnen sollten u.a. Angaben zur Funktion von Sachbildern in ihrem Unterricht ma- chen. Auch bewerteten sie genauso wie ihre Schüler einige Sachbilder hinsichtlich ihrer Eignung zur Veranschaulichung der Multiplikation. Dadurch sollte die Art von Bildern ermittelt werden, die von ihnen selbst bevorzugt und daher vermutlich stärker in ihrem Unterricht eingesetzt wird.

Zu den selbst entwickelten Erhebungsinstrumenten ist allerdings noch anzumerken, dass diese vor ihrem Einsatz nicht validiert und bezüglich ihrer Genauigkeit geprüft wer- den konnten.

4.3 Auswahl der Sachbilder

Die Basis der hier genutzten Sachbilder bilden einige ausgewählte Veranschaulichungen aus Mathematikschulbüchern (zum Überblick aller Bilder siehe Anlage 5, S.79ff, zu den entsprechenden Schulbuchseiten siehe Anlage 6, S.82ff). Bei der Auswahl dieser Bilder war es wichtig, alle weiteren Bildeigenschaften auszuklammern, die über die statische bzw. dynamische Darstellung hinausgehen. D.h. Bildeigenschaften, wie zusätzliche sprachliche Ergänzungen in Form von Sprechblasen oder die Tatsache, dass es sich um eine Fotografie anstelle einer Zeichnung handelt, hätten als Störvariablen die Wirkung der Bilder wahrscheinlich zusätzlich beeinflusst.

Um den Unterschied zwischen statischen und dynamischen Darstellungen untersuchen zu können, zeichnete die Verfasserin zu den entnommenen Bildern das jeweilige dyna- mische bzw. statische Äquivalent zum gleichen bzw. zu einem ähnlichen Sachkontext. Grundsätzlich wäre eine direkte Vergleichbarkeit innerhalb eines solchen Bildpaares für die Auswertung am optimalsten. Diese ist am ehesten gegeben, wenn beide Bilder den gleichen Term sowie den gleichen Sachverhalt zeigen. Auch die zeichnerische Gestal- tung sollte möglichst gleich gehalten werden. Bei der Analyse der Schüleräußerungen zu den jeweiligen Bildpaaren ist so die Konzentration auf die untersuchte Bildeigen- schaft möglich. Andere Variablen, wie Interessenpräferenzen der Schüler zu einem ver- änderten Sachkontext, können dadurch nicht wirken. Für die Auswertung des ersten Interviewteils wären eine solche direkte Vergleichbarkeit innerhalb eines Bildpaares und die Ausschaltung möglicher Störvariablen ideal. Allerdings war bereits bei der Planung der Befragung anzunehmen, dass diese Ähnlichkeiten im Verlauf des Interviews auch den Schülern den Rückgriff auf bereits besprochene Bilder ermöglichen würden. Dies hätte wiederum die Auswertung erschwert. Hat ein Kind einen Term aus einem Sachbild abgeleitet, weil die bildliche Darstellung diesen gut veranschaulicht oder weil es sich an das zuvor gesehene, sehr ähnliche Bild erinnert? So musste ein Zwischenweg gewählt werden.

Für diesen Zwischenweg gäbe es zwei Möglichkeiten, ein passendes Gegenstück zu einem Sachbild zu zeichnen: eine Darstellung zu einem anderen Term in Form des gleichen Sachkontextes oder eine Darstellung zu dem gleichen Term in Form eines anderen, aber dennoch sachverwandten Kontext (siehe Abb. 3 und 4). Die Wahl eines sachverwandten Kontextes ist im zweiten Fall wichtig, damit immer noch eine gewisse Vergleichbarkeit gegeben ist. Mögliche Einflüsse durch Interessen der Kinder zu unterschiedlichen Sachfeldern bleiben so in gewissem Maße kontrollierbar.

Abb. 3: Möglichkeiten für eine statisch-dynamische Bildpaarung, Teil 1

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: KÄDING (et.al.), 2004: 82; eigene Darstellungen.

Abb. 4: Möglichkeiten für eine statisch-dynamische Bildpaarung, Teil 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: EICHLER (et.al.), 2004: 55; eigene Darstellungen.

Zwei Probeinterviews mit einem Mädchen und einem Jungen, beide Drittklässler, sollten zeigen, welche Möglichkeit gewählt wird. Die Kinder sahen beide oben genannten Bild- paarungen: eine dynamische Darstellung zu einem anderen Term mit Bezug zum glei- chen Kontext (Bild 5 und die Variante des Bäckers am Backofen, siehe Abb. 4) sowie zu einem weiteren Bild das dynamische Äquivalent zum gleichen Term in einem sachver- wandten Kontext (Bild 2 und die Variante des Sportlers auf dem Sportplatz, siehe Abb. 3, S.21).

In beiden Probeinterviews war in der eigentlichen Befragungssituation nicht zu beobach- ten, dass sich die Kinder in ihren Äußerungen auf die vorher gesehenen Bilder bezogen. Im Anschluss daran zeigte die Verfasserin den Schülern nochmals alle Bilder auf einmal und fragte, ob ihnen Gemeinsamkeiten auffallen. Das befragte Mädchen benannte bei beiden Varianten den Zusammenhang, der Junge lediglich bei dem Bilderpaar zum glei- chen Sachkontext. Somit war eine eindeutige Aussage nicht möglich, bei welcher Bild- paarung es grundsätzlich weniger Einfluss durch das vorher gezeigte Bild gibt. Tendenziell schien aber die Realisierung des gleichen Terms in einem sachverwandten Kontext günstiger, d.h. zumindest für den Jungen weniger ähnlich zu sein. Aus diesem Grund wurde diese Variante für den ersten Teil der Interviews gewählt.

Im ersten Probeinterview hat sich aber gezeigt, dass die Konzentration auf Sachbilder zur Multiplikation im ersten Teil dazu führen würde, dass sich bei den Kindern nach den ersten Sachbildern Erwartungshaltungen zu den weiteren Darstellungen einstellen. Bei- nahe routinemäßig beantwortete das Mädchen die Fragen zu den gezeigten Bildern, nachdem bereits zwei Bilder zur Multiplikation besprochen wurden. Es war zu beobach- ten, dass sie zum Ende, unabhängig der Zusammenhänge innerhalb der Bildpaare, et- was gelangweilt eine Sammlung an Termen nannte. Diese bestand jedes Mal aus den beiden Tauschaufgaben, der additiven Langform sowie den zwei möglichen Divisions- aufgaben als Umkehraufgaben des eigentlichen Terms und seiner Tauschaufgabe. Da- her wurden zusätzlich zwei Distraktoren in den Ablauf integriert: ein Sachbild zur Additi- on sowie eines zur Subtraktion. Im zweiten Probeinterview war dieser erwartungssteu- ernde Einfluss unter den Bildern dadurch auch nicht mehr ganz so deutlich zu registrie- ren. Diese Bilder werden allerdings in der Auswertung keine Berücksichtigung finden.

Abb. 5: Distraktoren für den ersten Teil des Interviews

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: LIPPMANN, MAIER, 2009: 72, WALLIS (et.al.), 2010: 30.

Im zweiten Teil des Interviews sollten die Schüler über die Eignung einiger Bilder zur Veranschaulichung der Multiplikation sprechen. Daher war es hier hilfreich, in dem äqui- valenten Bild den gleichen intendierten Term sowie den gleichen Sachkontext aufzugrei- fen. Dies sollte der Verfasserin bei der Auswertung sowie den Schülern selbst den direk- ten Vergleich ermöglichen. Die folgenden Bildpaare dienten als Grundlage für die Befragung.

Abb. 6: Verwendete Sachbilder für den zweiten Teil des Interviews

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: EICHLER (et.al.), 2004: 55; EICHLER, EIDT, MELCHIOR, 2000: 41; LIPP-MANN, MAIER, NEIßL, 2009: 51; eigene Darstellungen.

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¹ Der Anschauungsbegriff kann als „kognitive Verarbeitung und Integration des (…) Wahrgenommenen in die bereits vorhandenen Denkkategorien und -strukturen" definiert werden (KRAUTHAUSEN, SCHERER, 2007: 243). LORENZ bezieht in seine Definition bereits den bildhaften Charakter des Anschauungsprozes- ses mit ein und definiert ihn mit der „vorstellungsmäßige[n] Produktion oder Reproduktion eines Bildes“ (LORENZ,1992: 41).

² Zur Vereinfachung der Lesbarkeit werden in der vorliegenden Arbeit für beide Geschlechter die Sammelbegriffe ‚Schüler‘ sowie ‚Lehrer‘ verwendet, sofern nicht konkret die interviewten Schülerinnen oder die Lehrerinnen der befragten Kinder gemeint sind.

³ Enaktive (handelnde) Darstellung: Sachverhalte werden durch eigene Handlungen mit konkretem Material „begriffen“. Ikonische (bildliche) Darstellung: Sachverhalte werden durch Bilder oder Grafiken erfasst. Symbolische Darstellung: Sachverhalte werden durch Symbole, wie mathematische Zeichen, verarbeitet. Auch die Sprache gehört zu den Symbolen. (vgl. LAUTER, 1991: 22; ZECH, 2002: 22, 104)

⁴ Dies hängt neben der Bedeutung dieser beiden Aspekte bei der unterrichtlichen Erarbeitung sicher auch mit den Schwierigkeiten zusammen, die anderen Grundvorstellungen in einfacher Form bildlich darzustel- len.

⁵ Wie die folgende Darstellung der Operationalisierung und des Versuchsplan zeigt, wird diese Methodik allerdings noch ausdifferenziert und erweitert.

⁶ In Abb. 2 besteht der dynamische Aspekt im ersten Bild darin, dass angedeutet wird, wie die Verkäuferin 8 Mal hintereinander 4 Zitronen aus dem Korb holt. Die statische Darstellung zeigt das räumlich-struktu- rierte Ergebnis dieser Handlung, welches mit einem Blick erfasst werden kann: es liegen 8 mal 4 Zitronen in der Auslage.

⁷ Bei einer Querschnittsstudie werden die Variablen zu einem einzigen Zeitpunkt erhoben. Wird dagegen eine Sequenz der Variablen zu mehreren aufeinander folgenden Zeitpunkten erfasst, handelt es sich um eine Längsschnittuntersuchung (vgl. DIEKMANN, 2007: 315).

⁸ In diesem Experimentaldesign werden jedem Versuchsteilnehmer alle Varianten der Versuchsvariablen präsentiert (vgl. SHUTTLEWORTH, 2009).