Unbestimmtheit in Mathematik und Physik


Forschungsarbeit, 2014
103 Seiten

Leseprobe

Unbestimmtheit
in
Mathematik und Physik
Urs Böhringer

- 1 -
Deckblatt:
Die gleichfarbig schraffierten Teil-Figuren haben gleiche Flächen.
Zudem haben die beiden grossen, umfassenden Rechtecke, welche man sich als
formveränderlich (durch Verschieben des Kathetenschnittpunktes auf dem
Thaleskreis) vorstellen kann, unabhängig ihrer variablen Formen, immer
denselben, der Fläche des statischen Quadrates entsprechenden, Flächeninhalt.

- 2 -
Philosophischer Horizont:
Die zwei Richtungen.- Versuchen wir den Spiegel an sich zu betrachten, so entdecken
wir endlich nichts als die Dinge auf ihm. Wollen wir die Dinge fassen, so kommen wir
zuletzt auf nichts als den Spiegel.-
Dies ist die allgemeinste Geschichte der Erkenntnis.
Friedrich Nietzsche
Aphorismen
Arbeitsmotto:
Das Zählen, eine Tätigkeit des Verstandes, macht sich an alles, an Göttliches und
Menschliches.
Keine Unterscheidung, auch nicht die geringste, sei sie real oder intentional, gibt es,
die nicht eine gewisse Ähnlichkeit mit der Zerlegung einer Geraden in Teile besässe.
Johannes Kepler,
Anm., 2. Aufl., Mysterium Cosmographicum

- 3 -
Inhaltsübersicht
Einleitung
Teil I: Mathematische Unbestimmtheit
1. Geometrische Grundlagen
1.1. Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras
1.2. Operative Unbestimmtheit hinsichtlich der Grundoperationen
1.3. Darstellung der Satzgruppe des Pythagoras
1.3.1. Geometrische Interpretation von Satz A,B und C
1.3.2. Systematische Gesamtdarstellung
1.3.2.1. Grundlagen
1.3.2.2. Die drei Formen operativer Unbestimmtheit in der Geometrie
1.3.2.3. Zusammenhang der zentralen Streckenrelationen
1.3.3. Das allgemeine rechtwinklige Dreieck
1.4. Der Goldene Schnitt
1.4.1. Das fundamentale Entwicklungsprinzip
1.4.2. Kepler Dreieck
1.5. Geometrische Grundlagen von Satz A, B und C
2. Unbestimmtheit in Geometrie und Algebra
2.1. Operative Unbestimmtheit in der Geometrie
2.2. Operative Unbestimmtheit in der Algebra
2.2.1. Operative Unbestimmtheit für beliebige Zahlenpaare
2.2.2. Operative Unbestimmtheit für bestimmte Zahlenpaare
3. Unbestimmtheit in der Arithmetik
3.1. Definition der Fibonacci- und Lucaszahlen
3.2. Der arithmetische Pythagoras
3.3. Multiplikative Komplementarität
3.4. ,,Additive Komplementarität"
3.5. Zusammenhang multiplikative und ,,additive Komplementarität"
3.6. Entwicklung der Arithmetischen Unbestimmtheit aus Algebraischer
Unbestimmtheit

- 4 -
4. Zusammenfassung operativer Unbestimmtheit
5. Die Komplementaritätsstruktur der Natürlichen-Zahlen
5.1. Konstruktion der Natürlichen-Zahlen
5.2. Bestimmte ,,Streckenteilung" der Natürlichen-Zahlen
5.3. Additive Komplementarität zu ,,0" resp. die Wertigkeit der Zahlen
5.4. Zahlentheoretische Basisstruktur
Anhang zur Mathematik
1. Allgemeine Basisgesetze betreffend ,,"
1.1. Gesetze betreffend Zusammenhang der Potenzen von ,," und der
Fibonaccizahlen
1.2. Gesetze über den Zusammenhang der Potenzen von ,,"
1.3. Entwicklung des G.S. aus den Ur-Zahlen
2. Die Komplementaritätsstruktur des G.S.
3. Schemas 1-4
Teil II: Physikalische Unbestimmtheit
1. Allgemeine operative Unbestimmtheit
1.1. Die drei naturphilosophischen Ur-Gesetze
1.2. Physikalischer Apparat
2. Relationen von Raum und Zeit
2.1. Vakuumlichtgeschwindigkeit als Proportionalitätskonstante
2.2. Die drei naturphilosophischen Ur-Gesetze als Raum-Zeit Relationen
2.3. Mathematisch-physikalische operative Unbestimmtheit
Anhang zur Physik

- 5 -
Einleitung
Die Begriffe ,,Unbestimmtheit" wie auch ,,Komplementarität" wurden durch die
Quantenphysik zu philosophischen Schlagworten schlechthin.
Dass aber ,,Unbestimmtheit" in einem vielleicht mehr allgemeinen Sinne auch in der
Mathematik ihr Unwesen treibt, ist weniger bekannt, obwohl wir alle in unserer
Schulzeit, ohne dass uns dies vielleicht aufgefallen wäre, mit mathematischer
Unbestimmtheit bereits Bekanntschaft machten.
So betrachten wir es als völlig selbstverständlich, dass sich geometrische Sätze auf
unendlich viele, unterschiedliche, bestimmte geometrische Figuren beziehen. Sie
gelten also gleichermassen für die eine als auch für die andere ihnen entsprechende
geometrische Figur, sie müssen also im Vergleich zum Konkretisierungsgrad einer
bestimmten geometrischen Figur noch unbestimmt sein.
In diesem sehr allgemeinen Sinne findet sich allg. mathematische Unbestimmtheit
eigentlich in jeder Gleichung (z.B. ,,a + b = c"), insofern derselbe Zahlenwert sowohl
der linken als auch der rechten Seite einer Gleichung entspricht, also in unserem
Beispiel hinsichtlich seiner Zuordnung zur Operation ,,a + b" oder zum Resultat ,,c"
unbestimmt ist (=allgemeine mathematische Unbestimmtheit).
Zudem sind allgemeine algebraische Gleichungen natürlich auch numerisch noch
unbestimmt, da für die nicht variablen Grössen jeder beliebige Zahlenwert eingesetzt
werden kann.
Dies gilt nicht für die Variable ,,x" einer algebraischen Gleichung (=Lösung), dennoch
können wir anhand dieser Variablen ,,x" unserem bis jetzt zugegeben noch etwas
schwammigen Begriff mathematischer Unbestimmtheit, bezieht sich dieser bislang
doch einfach auf die Allgemeinheit geometrisch-algebraischer Strukturen, etwas
schärfere Konturen verleihen:
Eine lineare Gleichung ,,a + x = b" hat für ,,x" die bestimmte Lösung: ,,x=b-a".
Für quadratische Gleichungen ,,ax
2
+ bx + c=0" gibt es für ,,x" jedoch keine bestimmte
Lösung, da quadratische Gleichungen zwei Lösungen, ,,x
1
"
und ,,x
2
", haben.
D.h. doch aber eigentlich: Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist numerisch
unbestimmt hinsichtlich ,,x
1
"
und ,,x
2
", da sowohl ,,x
1
"
als auch ,,x
2
" Lösung sein kann.
Weiter gilt, ,,
a
a
r
2
", was aber auch wieder heisst, sowohl ,,+a" als auch ,,-a" sind
Lösungen. D.h. die Lösung ist operativ unbestimmt hinsichtlich ,,+" und ,,-".
Man könnte jetzt vielleicht vermuten, dass die oben erwähnten konkreten Beispiele
numerischer resp. operativer Unbestimmtheit Spezialfälle darstellten, ebenso wie das
folgende bekannte Beispiel:
So ist etwa sowohl ,,2 + 2" als auch ,,2 x 2" gleich ,,4".
Die Operationszeichen ,,+" und ,,x" sind austauschbar, d.h. die beiden hier identischen
Operanden sind hinsichtlich Addition und Multiplikation operativ unbestimmt, d.h. sie
ergeben sowohl addiert als auch multipliziert dasselbe Resultat.
Üblicher scheint doch schon derjenige Fall vom Typ ,,2 + 3 = 5" und ,,2 x 3 = 6" zu sein.
Die beiden Operanden ,,2" und ,,3" sind hier operativ bestimmt, d.h. sie ergeben addiert

- 6 -
oder multipliziert unterschiedliche Resultate, was man doch wie gesagt als Normalfall
zu sehen geneigt wäre.
Dem ist jedoch nicht so!
Tatsächlich existieren genauso viele operativ-unbestimmte wie operativ-bestimmte
Paare von Operanden.
Es lässt sich nämlich, hinsichtlich Addition und Multiplikation, jedem operativ
bestimmten Operanden-Paar (A;B) ein weiteres, operativ unbestimmtes Operanden-
Paar (C/A;C/B) zuordnen:
Es sei: A + B = C
C/A + C/B = C/A x C/B
Die Operanden (C/A) und (C/B) sind operativ unbestimmt hinsichtlich Addition und
Multiplikation, d.h. sie ergeben sowohl addiert wie auch multipliziert dasselbe Resultat.
Anhand derselben Gleichung lässt sich nun auch Komplementarität in
mathematischem Sinne beschreiben, welche sich aus der allg. Unbestimmtheit einer
Gleichung (=Identität der Grössen der linken und rechten Seite) ergibt:
A + B = C:
A/C + B/C = 1
Die Grössen der beiden komplementären Relationen heben sich durch ihre additive
Verknüpfung (=additive Komplementarität) wieder in ihrer Bestimmtheit (quantitative
Unbestimmtheit) zu "1" auf.
Zu den beiden additiv komplementären Termen ergibt sich nun je ein weiterer
multiplikativ- komplementärer Term (multiplikative Komplementarität).
A/C x C/A = 1 resp. B/C x C/B = 1
Durch Multiplikation heben sich auch diese Paare von Grössen gegenseitig wieder zu
,,1" auf.
Im Folgenden zeigen wir, wie diese Ur-Komplementaritäten, wie auch operative
Unbestimmtheit , dem vielleicht zentralsten Satz der Mathematik, dem Satz des
Pythagoras, zugrunde liegen.
Ausgehend von der Geometrie verfolgen wir dieses Thema dann weiter innerhalb der
Algebra und Arithmetik, insbesondere bzgl. der Fibonacci- und Lucaszahlen.
Im Teil II zeigen wir wie die klassische Physik inkl. Relativitätstheorie
naturphilosophisch ebenfalls auf diese Ur-Komplementaritäten zurückgeführt
werden kann.
Ausgangspunkt unserer Gedankenreihe soll folgende Figur sein:

- 7 -
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> @
> @
> @
> @
> @
Z
Mm
C
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w
Mm
Lm
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2
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0
2
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2
2
2
Diese Identitäten von Quadrats- und Rechtecksflächen ergeben sich natürlich direkt
oder indirekt aus der Satzgruppe des Pythagoras. Die genaueren Zusammenhänge
obiger Figur sollen im Folgenden systematisch entwickelt werden, wobei wir hierzu
von drei Sätzen A,B und C ausgehen wollen:
p
q
C
0
x
Lm
Lm
Y
Z
Mm
w
Mm
C
0

- 8 -
Teil I: Mathematische Unbestimmtheit
1.Geometrische Grundlagen
1.1. Neuinterpretation der Satzgruppe des Pythagoras
Wir unterscheiden rein mathematisch drei variable Grössen (Lm), (Mm) und (C
0
), und setzen
folgende quantitativen Bezüge:
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> @
> @
> @
>
@
>
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> @
> @
> @
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2
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Mm
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M
M
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Y
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x
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he
geometrisc
die
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Hinblick
im
Aus Satz A) und B) ergibt sich:

- 9 -
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> @
> @
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> @
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> @
1
1
:
1.2
Satz
1
1
:
1.1
Satz
1
1
1
1
Z
w
w
Z
Y
x
x
Y
1
w
Y
x
Z
x
Z
w
Y
1
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1
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w
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Mm
Mm
C
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Lm
Lm
x
Y
D
D
D
D
Weiter ergibt sich aus Satz A), B) und C) folgende Unbestimmtheit:
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2
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Mm
C
Mm
Mm
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Mm
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Lm
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Mm
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1
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1
:
1.3
Satz
1
:
1
sin
cos
1
1
1
1
1
1
2
0
2
2
0
2
2
2
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Y
x
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Mm
C
Lm
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w
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x
Y
x
Z
w
C
Mm
C
Mm
C
Lm
C
Lm
D
D
1.2. Operative Unbestimmtheit hinsichtlich der Grundoperationen
(=geometrisch interpretierte algebraische Unbestimmtheit)
Im folgenden synthetisieren resp. multiplizieren wir die Gleichungen 1.1; 1.2 und 1.3:
w
x
Z
Y
w
Y
Z
Y
x
Z
Y
Z
2
Satz
:
1
x
Y
w
Z
w
Z
w
Z
x
Y
x
Y
1
Y
x
w
Z
w
Z
1
Z
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Y
x
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§
w
Z
x
Y
w
Z
x
Y
tion
Multiplik a
und
Addition
ch
hinsichtli
heit
Unbestimmt
Operative

- 11 -
1.3. Darstellung der Satzgruppe des Pythagoras
1.3.1. Geometrische Interpretation von Satz A, B und C:
Satz A Kathetensatz: Dreieck ABC`: Fläche (=F.). c
o
2
(=Kathetenquadrat) = F. Rechteck AC'EF
,, ABC
``
,, ,, = ,, BGHC
``
Satz B Höhensatz: Dreieck ABC``: F. Lm
2
(=Höhenquadrat) = F. Rechteck CKHC``
,, ABC
`
F. Mm
2
,, = ,, CC
`
EL
S. A),B),C)"Pythagoras": (
(Lm+Mm)
2
(=F. OGMF
)
= Lm
2
(=F.ACLF)+Mm
2
(=F. BGKC)+2LmMm(=F. AOBC+CKML))
­ (4 x LmMm/2(=F. AOB+BGP+QPM+AQF))
= c
o
2
(=F. ABPQ)=
Lm
2
+Mm
2
+2LmMm
-2LmMm
= Lm
2
+Mm
2
C
0
C
0
Satz A: LmY (= R. AC'EF) = MmZ (= R. BGHC``) = c
0
2
(= Q. ABPQ)
Satz:B: Lmx (= R. CC'EL) = Mm
2
(= Q. BGKC) resp. Mm
w (=
R. CKHC` ` )
= Lm
2
(= Q. ACLF)
Satz C: Lm+x=YLm(Lm+x)=Lm
2
+Lmx=LmY; Mm+w=ZMm(Mm+w)=Mm
2
+Mmw=MmZ
Satz A), B) und C): Lm
2
(=Q. ACLF) + Mm
2
(=
Q. BGKC) = c
0
2
(=Q.ABPQ)
Figur 1
Y x H
C``
w Z
M
E
R L
Q P
F K
C`
C
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Mm
Mm
A B
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- 12 -
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Lm
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Mm
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Lm
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Mm
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A B
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- 13 -
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B
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C
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Figur 3
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C``
III w Z
II M
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IV
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Lm
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Lm
x
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Y
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Y
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Z
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Y
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x
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1
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o
o

- 14 -
Figur 4
Spezialfall
Es ergibt sich aus der unmittelbaren Anschauung:
-
Lm=Mm=w=x -
-
Y=Z= 2(Lm; Mm; x; w) -
2
2
1
1
;
2
2
2
2
cos
1
sin
1
cot
1
tan
1
;
2
cos
1
2
sin
1
2
cos
1
2
sin
1
0
0
Mm
Lm
;
D
D
D
D
D
D
D
D
Lm
C
Mm
C
Lm
Mm
w
Z
x
Y
w
Z
x
Y
Y
x
Z
w
Lm
Mm
C
0

- 15 -
1.3.2. Systematische Gesamtdarstellung aufbauend auf Satz A), B) und C):
1.3.2.1. Grundlagen
Gem. Satz A) ergibt sich im weiteren:
Lm
Z
Mm
Y
resp
Y
Z
Mm
Lm
Z
Mm
Y
Lm
C
Mm
Z
C
Z
Mm
Z
C
C
Mm
C
Z
Mm
C
Lm
Y
C
Y
Lm
Y
C
C
Lm
C
Y
Lm
o
o
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§
o
¸¸¹
·
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§
o
.
sin
;
sin
cos
;
cos
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
D
D
Gem. Satz B) gilt:
3
3
2
2
;
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§
¸
¹
·
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©
§
o
Y
Z
Mm
Lm
x
w
Lm
Mm
x
Mm
Lm
w
hieraus ergibt sich im weiteren:
Lm
Mm
w
x
B
Lm
x
Mm
w
Mm
x
Lm
w
Lm
x
Lm
Mm
Mm
x
Lm
Mm
x
Lm
Mm
Mm
Mm
w
Mm
Lm
Lm
w
Mm
Lm
w
Mm
Lm
Lm
ff
:
1
tan
cot
tan
cot
tan
;
tan
cot
;
cot
2
2
2
2
2
2
o
o
¸
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§
o
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§
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§
o
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©
§
D
D
D
D
D
D
D
D
Gem. Satz A) und B) ergibt sich also, (A und B)
ff
:
Y
x
Z
Mm
C
Z
Y
C
Lm
Mm
x
Z
Y
Mm
x
Z
Y
Mm
Z
Y
Y
C
Z
C
C
Lm
C
Mm
Lm
Mm
Z
w
Y
Lm
C
Y
Z
C
Mm
Lm
w
Y
Z
Lm
w
Y
Z
Lm
Y
Z
Z
C
Y
C
C
Mm
C
Lm
Mm
Lm
¸
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§
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§
o
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o
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¹
·
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§
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¹
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§
o
¸
¹
·
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©
§
o
:
resp.
cos
sin
tan
:
resp.
sin
cos
cot
2
0
2
0
0
0
0
0
2
0
2
0
0
0
0
0
D
D
D
D
D
D

- 16 -
2
4
0
2
0
2
0
C
x
Z
w
Y
:
¸
¹
·
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§
o
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·
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·
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§
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§
o
Y
Z
x
Z
w
Y
Y
Mm
Z
Lm
wie auch:
re
insbesonde
C
Z
Y
C
Y
Z
x
Z
w
Y
Y
Mm
Z
Lm
Gemäss Satz C) gilt:
YZ
w
Mm
x
Lm
Z
w
Mm
Y
x
Lm
o
;
Unter zusätzlicher Berücksichtigung von Satz B
ff
) ergibt sich hieraus:
YZ
x
Z
w
Y
YZ
x
w
Mm
w
x
Lm
YZ
x
w
x
Mm
w
x
w
Lm
a
:
C
:
)
ff
Weiter ergibt sich aus Satz A), B) und C):
2
0
2
2
4
0
2
2
2
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
2
2
2
0
2
1
2
2
1
:
)
(
C
Mm
Lm
C
Mm
Lm
C
Mm
C
Mm
C
Lm
C
Lm
Z
Mm
Y
Lm
Z
Mm
Y
Lm
Z
Mm
Y
Lm
Y
x
Z
w
Y
x
Z
Mm
Z
w
Y
x
Z
w
Y
Lm
YZ
x
w
x
Mm
w
x
w
Lm
a
gem. A):
:
ff
A und B)
gem.
o
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§
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§
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§
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§
o

- 17 -
Weiterführend ergibt sich hieraus für die Relationen von Flächen:
x
Z
Mm
x
Z
x
Lm
Z
Y
C
w
Y
w
Mm
w
Y
Lm
resp.
Z
Y
C
C
Mm
Lm
x
Z
x
Lm
w
Y
w
Mm
ch
schliessli
C
Lm
Mm
C
Mm
Lm
C
x
w
x
Mm
w
x
w
Lm
C
x
Z
w
Y
):
(S.
aus
und
C
Mm
Lm
C
x
w
x
Mm
w
x
w
Lm
C
x
Lm
w
Mm
unten):
.
(Satz B; S
aus
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§
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¹
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§
¸
¹
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§
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§
2
2
0
2
2
0
2
0
4
0
2
0
2
0
4
0
4
0
2
0
2
2
2
0
2
0
:
C
Hieraus ergibt sich für die Relationen von Strecken:
Lm
Z
C
Z
Lm
C
Mm
C
Lm
C
Mm
C
C
Y
Mm
Y
0
0
0
0
0
0
Schliesslich ergibt sich als basaler Zusammenhang für Rechtecke und Quadrate:
2
2
0
2
2
0
2
2
Lm
C
Mm
C
w
Z
x
Y
w
x
Z
Y
Lm
Mm
Z
Y
Lm
Z
Mm
Y
Lm
Z
Mm
Y
¸
¹
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§
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¹
·
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§
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¹
·
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©
§
¸
¹
·
¨
©
§

- 18 -
1.3.2.2. Die drei Formen operativer Unbestimmtheit in der Geometrie
Ausgehend von Satz 2 ergibt sich:
0
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
2
2
4
0
2
4
0
2
4
0
2
:
)
(
.
2
2
2
2
2
2
2
x
Z
:
.
Z
Y
x
Z
Y
Z
w
Y
C
Z
C
Y
Z
Y
Y
Z
C
Z
C
Y
Z
Y
Y
Z
C
Z
C
Y
Z
Y
Z
Y
Y
Z
Y
Z
Z
Y
C
Z
Y
C
C
Y
Z
ff
B
und
A
gem
Z
Y
x
Z
x
Z
w
Y
w
Y
Z
Y
w
Y
x
Z
x
Z
w
Y
w
Y
ff
C
gem
Y
Z
Z
Y
:
sich
ergibt
Hieraus
w
Y
Z
Y
x
Z
Y
Z
w
Y
Z
Y
x
Z
Y
Z
o
o
o
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§
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
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§
¸
¹
·
¨
©
§
=Satz 2.1:
2
0
2
2
0
0
sin
1
cos
1
tan
cot
C
Mm
Lm
Mm
C
Lm
C
Lm
Mm
Mm
Lm
o
D
D
D
D
gem. (A und B)
ff
:
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
¸
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§
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§
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§
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¹
·
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§
o
C
Y
C
Z
C
Y
C
Z
C
Y
C
Z
C
Z
C
Y
C
Y
C
Z
D
D
D
D
2
2
2
2
cos
1
sin
1
cos
1
sin
1
:
2
.
2
Satz

- 19 -
Ausgehend von den bis jetzt erarbeiteten Grundlagen, lassen sich nun grundsätzlich drei
Formen mathematisch-operativer Unbestimmtheit beschreiben:
Geometrische Unbestimmtheit:
(Unbestimmtheit hinsichtlich der Zuordnung einer Fläche als Fläche eines Rechtecks oder als
Fläche eines Quadrates. Die Grösse einer Fläche kann sich also sowohl auf ein Rechteck
wie auch auf ein Quadrat beziehen, woraus sich im Weiteren operative Unbestimmtheit einer
Grösse hinsichtlich der Relation von Strecken und der Relation von Quadraten ergibt.)
;
C
Mm
Z
C
Z
Mm
C
Z
m
M
;
C
Lm
Y
C
Y
Lm
C
Y
m
L
;
Mm
Lm
x
Mm
x
Lm
Mm
x
Lm
;
Lm
Mm
w
Lm
w
Mm
Lm
w
Mm
2
sin
2
2
0
2
cos
2
2
0
2
cot
2
tan
2
2
2
:
Quadrat
:
Rechteck
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
¸¸¹
·
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§
o
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§
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§
o
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·
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§
o
Geometrisch interpretierte Algebraische Unbestimmtheit:
(=operative Unbestimmtheit zweier Grössen hinsichtlich Multiplikation und Addition, d.h. zwei
Grössen ergeben sowohl multipliziert als auch addiert denselben Wert.)
D
D
D
D
2
2
2
2
cos
1
sin
1
cos
1
sin
1
:
2
.
2
Satz

- 20 -
Geometrisch interpretierte Arithmetische Unbestimmtheit:
(=operative Unbestimmtheit hinsichtlich Addition und Subtraktion, d.h. ,,+" und ,,-" (als
Operationen) sind in einem Term einer Gleichung austauschbar, ohne dass die
Identitätsbeziehung der Gleichung tangiert würde.)
Es gilt (vgl. Figur 3):
¸
¹
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§
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§
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§
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§
¸
¹
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¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
o
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
,
o
Lm
Mm
Mm
x
Mm
-
Mm
Mm
Lm
Mm
x
Lm
-
Mm
Lm
Mm
Lm
x
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Lm
Mm-x
w
Mm
Lm
Mm
x
Lm
Mm
Lm
Lm
Lm
w
Lm
Lm
Mm
Mm
Lm
Mm
x
Mm
Lm
Mm
Lm
Mm
C
Z
x
Y
Mm
x
Mm
Lm
Mm
Mm
x
Lm
x
Mm
Lm
Mm
x
Lm
Mm
Mm
Mm
Mm
Mm
Mm
Lm
Mm
Mm
Lm
Lm
w
x
w
Lm
Mm
Lm
C
w
Y
w
x
w
Lm
Lm
w
Mm
w
x
w
Lm
w
x
Lm
w
Mm
Lm
w
Mm
Lm
Mm
Mm
Lm
C
Lm
Mm
C
Mm
Lm
C
Z
x
Z
Lm
YZ
Z
x
Z
Lm
C
Z
x
Z
Lm
Z
x
Lm
Z
Mm
C
Z
Mm
1
2
2
:
V
1
2
:
IV
2
:
III
1
2
w
x
:
II
1
2
2
:
I
:
V
IV
:
resp.
:
vgl.
:
)
c
:
III
-
I
:
resp.
:
.
vgl
:
b)
:
V
-
:
resp.
:
.
vgl
:
a)
.)
1
2
2
0
4
2
2
2
2
2
2
2
0
4
2
2
2
2
2
2
0
2
0
2
0
4
0
2
2
2
2
0
Ende der Leseprobe aus 103 Seiten

Details

Titel
Unbestimmtheit in Mathematik und Physik
Autor
Jahr
2014
Seiten
103
Katalognummer
V274684
ISBN (eBook)
9783656676089
ISBN (Buch)
9783656676041
Dateigröße
1220 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
unbestimmtheit, mathematik, physik
Arbeit zitieren
Urs Böhringer (Autor), 2014, Unbestimmtheit in Mathematik und Physik, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/274684

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