Implizite Volatilitäten im Black-Scholes-Modell

Eine theoretische und empirische Betrachtung


Bachelorarbeit, 2014

51 Seiten, Note: 1,3


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Symbolverzeichnis

1 Einleitung

2 Black-Scholes-Modell
2.1 Finanzmathematische Grundlagen
2.1.1 Optionen
2.1.2 Put-Call-Parität
2.1.3 Volatilitäten
2.2 Das Black-Scholes-Modell und seine Annahmen
2.3 Die Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung
2.4 Bewertungsformeln nach Black-Scholes
2.5 Volatilitäts-Smile
2.6 Kritik am Black-Scholes und seine Weiterentwicklungen

3 Implizite Volatilitäten
3.1 Theorie der impliziten Volatilitäten
3.2 Berechnung der Impliziten Volatilität am Beispiel von DAX-Optionen
3.2.1 Prämissen
3.2.2 Vorgehen
3.2.3 Ergebnisse
3.3 Kritische Würdigung

4 Zusammenfassung

5 Anhang
5.1 Darstellung einer Volatilitätsoberfläche
5.2 Verlauf des DAX im Zeitraum vom 15.01.2013 bis
5.3 Darstellung des 12-Monats-Euribors
5.4 Zentrale Momente der Normalverteilung
5.5 Verteilungen mit gleichem Erwartungswert u. unterschiedlicher Varianz
5.6 Quellcode zur implementierten VBA-Funktion
5.7 Verlauf des Volatilitäts-Smile bei unterschiedlichen Restlaufzeiten
5.8 Term Structure der impliziten Volatilität
5.9 Quelle Bundeszentrale für politische Bildung

6 Literaturverzeichnis

Eidesstattliche Erklärung

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1: Volatilitäts-Smile

Abbildung 2: Volatilitäts-Skew

Abbildung 3: Histogramm der täglichen log–Renditen des DAX

Abbildung 4: Quantil-Quantil-Plot der log-Renditen

Abbildung 5: Verlauf der impliziten Volatilität bei 11 Tagen Restlaufzeit

Abbildung 6: Verlauf der impliziten Volatilität bei 165 Tagen Restlaufzeit

Abbildung 7: Term Structure beim Ausübungspreis von

Abbildung 8: Volatilitätsoberfläche

Abbildung 9: Verlauf des DAX im Zeitraum vom 15.01.2013 bis 14

Abbildung 10: 12-Monats-Euribor

Abbildung 11: Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und unterschiedlicher Varianz

Abbildung 12: Verlauf der impliziten Volatilität bei 46 Tagen Restlaufzeit

Abbildung 13: Verlauf der impliziten Volatilität bei 74 Tagen Restlaufzeit

Abbildung 14: Term Structure beim Ausübungspreis von

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1: Einflussfaktoren auf den Optionspreis

Tabelle 2: Berechnung der zentralen Momente anhand der log-Renditen

Tabelle 3: Übersicht über die verwendeten Datensätze

Tabelle 4: Optionen ohne implizite Volatilität

Tabelle 5: Optionen mit ungewöhnlich hoher Volatilität

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1 Einleitung

Seit Beginn des 20. Jahrhunderts hat sich der Handel mit Finanzderivaten schneller entwickelt als der aller anderen Finanzinstrumente.[1] Unter Finanzderivaten werden Anlageformen verstanden, die von einem Basiswert, z.B. einem Wertpapier, Zinssatz, Index oder auch Rohstoff abgeleitet sind. Als Beispiele für Derivate können Optionen, Forwards oder auch Futures genannt werden. Wurden im Jahr 2000 noch Finanzderivate im Volumen von 384,6 Billionen US-Dollar an Terminbörsen gehandelt, war das Handelsvolumen im Jahr 2008 bereits auf 2.200 Billionen US-Dollar gestiegen.[2] Durch diese über die Jahre gestiegene Bedeutung der Finanzderivate und damit der Terminbörsen rückte auch die implizite Volatilität immer stärker ins Blickfeld der Betrachtung. Die implizite Volatilität ist ein Maß, das die aktuell am Markt erwartete Schwankungsbreite eines Basiswertes angibt. Sie wird daher oft auch erwartete Volatilität genannt. Zur Bestimmung der impliziten Volatilität wird in der Praxis unter anderem das Black-Scholes-Modell verwendet.

Das Black-Scholes-Modell geht auf die Wirtschaftswissenschaftler Fisher Black und Myron Samuel Scholes zurück. Nach anfänglicher Ablehnung des Modells durch einige Zeitschriften, veröffentlichten diese im Herbst 1973, unter Zuhilfenahme der Gedanken des Finanzökonomen Robert Carhart Merton, ihren später weltberühmten Artikel „The pricing of options and corporate liabilities“.[3] 24 Jahre später, im Jahr 1997, wurden Merton und Scholes dafür mit dem Nobelpreis in Wirtschaftswissenschaft ausgezeichnet. Black war zu diesem Zeitpunkt leider schon verstorben.

Obwohl eigentlich schon in die Jahre gekommen, erfreut sich das Black-Scholes-Modell auch heute noch großer Beliebtheit und wird verwendet um Optionen zu bewerten. Ein Hauptgrund dafür ist sicher die Einfachheit in der Anwendung.

Die vorliegende Bachelorarbeit untersucht, nach dieser Einleitung, im zweiten Kapitel das Black-Scholes-Modell. Dabei sollen zunächst wichtige finanzmathematische Grundlagen wie Optionen, die Put-Call-Parität und der Begriff der Volatilität näher gebracht werden, bevor im Anschluss das Black-Scholes-Modell erläutert wird. Hierbei wird nach einer kurzen Einleitung mit den Grundannahmen des Modelles begonnen. Im Anschluss daran wird die Black-Scholes-Differentialgleichung über das Mittel der Arbitrage hergeleitet. Danach werden die Bewertungsformeln für die Berechnung europäischer Kauf- sowie Verkaufsoptionen dargestellt. Im vorletzten Teil dieses Kapitels wird der Volatilitäts-Smile, ein Phänomen welches nicht mit dem Black-Scholes-Modell erklärt werden kann aber in der Realität auftritt, erläutert. Den letzten Teil des zweiten Kapitels bildet ein Ausblick auf verschiedene Modelle, die auf dem Black-Scholes-Modell aufbauen und Erweiterungen beschreiben.

In Kapitel drei folgt die Betrachtung der impliziten Volatilität. Nach einer Einführung in die Theorie der impliziten Volatilität, wird dargestellt wie diese über das Black-Scholes-Modell berechnet werden kann. Im zweiten Teil dieses Kapitels folgt der zentrale Teil dieser Arbeit, der empirische Teil. Dabei soll untersucht werden wie die implizite Volatilität über das Black-Scholes-Modell bestimmt werden kann. Als Grundlage sollen dabei Dax-Kaufoptionen dienen, deren Schlusskurse für den Zeitraum vom 01.Dezember 2013 bis 15.Januar 2014 notiert wurden. Nach einer kurzen Vorstellung des DAX und der Dax-Optionen, werden zunächst die Prämissen des Black-Scholes-Modells kritisch betrachtet, bevor im Anschluss die Berechnung der impliziten Volatilitäten erfolgt. Das Vorgehen wird dabei Schritt für Schritt beschrieben. Im Anschluss daran werden die ermittelten Ergebnisse vorgestellt. Den letzten Teil dieses Kapitels bildet die kritische Würdigung der Ergebnisse.

Im vierten Kapitel erfolgt eine abschließende Zusammenfassung der Arbeit und der ermittelten Ergebnisse.

2 Black-Scholes-Modell

2.1 Finanzmathematische Grundlagen

2.1.1 Optionen

Wie bereits in der Einleitung erwähnt, gehören Optionen zur Gruppe der Finanzderivate, welche von einem Basiswert abgeleitet werden. Allerdings unterscheidet sich die Option durch ein wesentliches Merkmal von den Finanzderivaten Futures und Forwards: Futures und Forwards verpflichten ihren Inhaber eine Ware zu kaufen oder zu verkaufen. Die Option hingegen eröffnet ihrem Inhaber lediglich das Recht zu kaufen oder zu verkaufen. Der Inhaber muss dieses Recht nicht ausüben.[4]

Ganz allgemein kann eine Option definiert werden als das Recht einen Basiswert innerhalb eines Zeitraums oder zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem vorher festgelegten Preis zu erwerben oder auch zu verkaufen.
In der Literatur werden außerdem folgende vier Merkmale zur Unter-scheidung von Optionen aufgezählt:[5]

1. Optionstyp: Man unterscheidet Kaufoptionen (Calls) und Verkaufs-optionen (Puts).
2. Zeitpunkt der Ausübung: Die Ausübung der Option ist entweder während der gesamten Laufzeit möglich (amerikanischer Stil) oder nur am Fälligkeitstag (europäischer Stil).
3. Basiswert (underlying): Optionen unterscheiden sich nach dem Gegenstand der dem Vertrag zu Grunde liegt. Es gibt beispielsweise Optionen auf Aktien, Aktienindizes oder auch auf Futures.
4. Art der Lieferung bei Ausübung: Es gibt den Barausgleich (cash settlement) oder auch die physische Lieferung, d.h. der Basiswert wird geliefert.

Der Handel von Optionen findet sowohl außerbörslich, d.h. direkt zwischen den Marktteilnehmern, als auch an Terminbörsen statt. Zu den bekann-testen und vom Handelsvolumen gesehen auch größten Terminbörsen gehören die CME Group in den USA, die Eurex in Deutschland und auch die NSE in Indien.[6]

Als Ausübungspreis (strike) einer Option bezeichnet man den Preis, zu dem der zugrunde liegende Basiswert bei Ausübung gekauft bzw. verkauft wird.[7] Der Optionspreis ist der Preis, den der Käufer einer Option an den Verkäufer zahlen muss. Dieser setzt sich maßgeblich aus zwei Teilen zusammen: dem inneren Wert und dem Zeitwert.[8]

Der innere Wert ergibt sich als Differenz aus dem Ausübungspreis der Option und dem aktuellen Kurs des Basiswertes. Damit ist der innere Wert einer Option gleich dem Betrag, den die Option zu diesem Zeitpunkt einbringen würde. Da der Optionsinhaber nicht verpflichtet ist die Option auszuüben, kann der innere Wert niemals negativ sein.[9] Eine Option ist „im Geld“ („in the money“) wenn ihr innerer Wert positiv ist. Eine Option, bei dem die Differenz aus Ausübungspreis und aktuellem Kurs des Basiswertes eigentlich einen negativen Betrag ergeben würde, wird nicht ausgeübt und hat damit einen inneren Wert von null. Diese Art der Option wird „aus dem Geld“ („out of the money“) genannt. Als dritte Möglichkeit kann eine Option „am Geld“ („at the money“) sein, d.h. der Ausübungspreis entspricht dem Kurs des Basiswertes.[10]

Der zweite Teil des Optionspreises ist der sogenannte Zeitwert. Dieser ergibt sich als Differenz aus dem inneren Wert der Option und dem Optionspreis. Der Zeitwert einer Option ist umso größer je länger die Restlaufzeit dieser Option ist.[11]

Beide Teile des Optionspreises, der innere Wert wie auch der Zeitwert, hängen von insgesamt sechs Faktoren ab, die hier gelistet werden sollen:[12]

1. Aktueller Kurs des Basiswertes
2. Ausübungspreis der Option
3. Restlaufzeit der Option
4. Risikoloser Zinssatz
5. Erwartete Dividendenzahlungen
6. Schwankungsbreite (Volatilität)[13] des Aktienkurses

Der Einfluss der einzelnen Faktoren auf den Optionspreis kann zusammen-gefasst in folgender Tabelle dargestellt werden. Es gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Einflussfaktoren auf den Optionspreis. In der linken Spalte werden untereinander die einzelnen Einflussfaktoren gelistet. In den Spalten Call und Put wird der Einfluss des jeweiligen Faktors auf den Call- bzw. Putpreis dargestellt. Ein Pluszeichen bedeutet, dass eine Erhöhung der Variable eine Erhöhung des Optionspreises zur Folge hat. Im Gegenteil dazu bedeutet ein Minuszeichen, dass eine Erhöhung der Variable eine Verringerung des Optionspreises zur Folge hat. Das Fragezeichen drückt aus, dass der Zusammenhang nicht eindeutig ist. (Entworfen nach: Hull (2012), S. 278.)

2.1.2 Put-Call-Parität

Die Put-Call-Parität beschreibt eine bedeutende Beziehung zwischen den Preisen eines Calls und eines Puts.[14] Zur Gültigkeit der Put-Call-Parität müssen allerdings einige Voraussetzungen erfüllt sein: Zum einen muss gelten, dass nur Optionen europäischer Art betrachtet werden. Weiterhin müssen die betrachteten Kauf- und Verkaufsoptionen den gleichen Basis-wert, den gleichen Ausübungspreis und die gleiche Laufzeit verwenden. Außerdem wird unterstellt, dass bis zur Fälligkeit der Option keine Aus-zahlungen stattfinden und es keine Arbitragemöglichkeiten[15] gibt.

Der Begriff Parität geht auf das lateinische Wort paritas zurück was soviel bedeutet wie ‘Gleichheit‘. Damit kann die Put-Call-Parität verstanden wer-den als eine Gleichgewichtsbedingung zwischen Kauf- und Verkaufsoptio-nen. Diese besagt, dass der Wert einer Kaufoption aus dem Wert einer Verkaufsoption abgeleitet werden kann und anders herum.[16] Diese wichtige Erkenntnis beschrieb erstmals Hans Stoll 1969 in seinem Papier „The relationship between put and call option prices“.[17] Das Prinzip der Put-Call-Parität basiert darauf, dass es zwei Portfolios gibt: Ein Portfolio besteht aus einer Kaufoption sowie einer Kreditaufnahme in Höhe des abgezinsten Ausübungspreises der Option . Das zweite Portfolio besteht aus einer Aktie und einer Verkaufsoption auf die Aktie. Da es sich um europäische Optionen handelt, die nicht vor dem Fälligkeitstermin ausgeübt werden können, müssen die Portfolios daher identisch sein. Es gilt:[18]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da es keine Arbitragemöglichkeiten gibt, muss der Wert der Portfolios nicht nur am Fälligkeitstag sondern auch an jedem früheren Tag während der Laufzeit identisch sein.

2.1.3 Volatilitäten

Als Synonym für Veränderlichkeit findet die Volatilität in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft Anwendung um Schwankungen zu beschreiben.[19] In der Finanzmathematik wird die Volatilität als eine Maßzahl der Schwankungsintensität eines Index, einer Aktie oder auch Währung um dessen Mittelwert verwendet. Damit gilt sie als eine der wichtigsten Risikokennzahlen[20], um das Anlagerisiko von Investitionen zu beschreiben. Es gilt: Je breiter die Streuung um den Mittelwert ist, umso größer ist die Volatilität und umso risikoreicher ist die Investition. Falls zur Berechnung der Volatilität stetige Renditen, d.h. Renditen mit kontinuierlicher Verzinsung herangezogen werden, kann die Volatilität gleichzeitig als Standardabweichung interpretiert werden.[21] Diese stetigen Renditen oder auch log-Renditen folgen der Normalverteilung und ergeben sich als natürlicher Logarithmus des Verhältnisses tagesaktueller Schlusskurs zu seinem Vortageskurs :[22]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die allgemeine Formel für die Standardabweichung lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da eine direkte Beobachtung der Volatilität am Markt nicht möglich ist, kann die Volatilität entweder auf Basis historischer Werte (historische Volatilität) für die Vergangenheit angegeben werden oder anhand von Optionspreisen (implizite Volatilität) geschätzt werden.[23]

Historische Volatilität

Die historische Volatilität basiert auf Datenmaterial vergangener Kurs-verläufe. Damit kann sie auch als realisierte Volatilität bezeichnet werden. Sie ist definiert als die über einen Zeitraum aufgetretene annualisierte Standardabweichung.[24] Als Datenbasis der Berechnung der historischen Volatilität dienen die log-Renditen, die in Formel 2 bereits dargestellt wurden. Für die Berechnung der historischen Volatilität gibt es verschiedene Ansätze. Hier soll der Weg mittels Berechnung der Varianz dargestellt werden. Die Varianz ist definiert als das Quadrat der Standardabweichung über einen Zeitraum :[25]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da es sich bei den zugrundeliegenden betrachteten log-Renditen stets um eine Stichprobe handelt, erfolgt die Berechnung mittels der Stichproben-varianz . Diese kann formal so dargestellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da gilt, kann der Schätzer der Volatilität berechnet werden als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Standardfehler dieser Schätzung beträgt näherungsweise:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die historische Volatilität wird normalerweise als Jahresvolatilität angegeben. Damit wird es möglich die Volatilitäten verschiedener Aktien mit-einander vergleichbar zu machen. Um die Jahresvolatilität zu erhalten, wird die errechnete Volatilität mit der Quadratwurzel des Zeitintervalls zwischen den Preisbeobachtungen multipliziert: Bei Verwendung täglicher Daten ist der Multiplikator , bei Handelstagen .[26]

Die historische Volatilität kann als Schätzwert für die implizite Volatilität in die Ermittlung des Optionspreises eingehen.

Abschließend sollen noch zwei wichtige Anmerkungen zur historischen Volatilität gegeben werden: Als erster wichtiger Punkt sei genannt, dass zur Berechnung der historischen Volatilität üblicherweise nur die Schlusskurse verwendet werden, d.h. Schwankungen, die während des Handelstages stattgefunden haben, werden bei der Berechnung der historischen Volatilität nicht beachtet. Als zweiter wichtiger Punkt soll das Zeitintervall der Beobachtung genannt werden. Allgemein gilt: Mehr Daten führen dazu, dass die Volatilität genauer wird. Jedoch führt die Betrachtung eines langen Zeitraumes dazu, dass lang zurückliegende Datenschwankungen mit in die Berechnung der Volatilität einfließen, welche unter Umständen weniger aussagekräftig sind als Betrachtungen, die kürzer zurück liegen. Daher benutzt man häufig denselben Zeitraum in der Vergangenheit, um für diesen Zeitraum Aussagen in der Zukunft treffen zu können.[27] Um das Problem lang zurückliegender Daten zu lösen, gibt es außerdem Berechnungsmodelle, die eine unterschiedliche Gewichtung der historischen Daten erlauben.

Implizite Volatilität

Die implizite Volatilität basiert, im Gegenteil zur historischen Volatilität, nicht auf vergangenen Kursverläufen. Stattdessen dienen aktuell am Markt gehandelte Optionen als Datengrundlage. Die implizite Volatilität ist hier selbst Bestandteil des Optionspreises, d.h. sie spiegelt die Volatilität wider, die bei einem gegebenen Optionspreis von den Marktteilnehmern angenommen wird.[28]

Zur Berechnung der impliziten Volatilität werden Optionspreismodelle, wie das Black-Scholes-Modell, verwendet. Im Black-Scholes-Modell sind die Optionspreise Funktionen der bereits in Kapitel 2.1.1 beschriebenen Para-meter. Erwartete Dividendenzahlungen werden innerhalb des Black-Scholes-Modells vernachlässigt. Ziel ist es nun bei einem gegebenen Optionspreis die Volatilität so zu bestimmen, dass der am Markt beobachtete Optionspreis mit dem Preis des Modells übereinstimmt. Die derart bestimmte Volatilität bezeichnet man als implizite Volatilität.

Die Grundlagen des Black-Scholes-Modells sowie dessen Bewertungs-Formeln werden ausführlich auf den nächsten Seiten vorgestellt. Eine tiefergehende Betrachtung der impliziten Volatilität erfolgt dann im Kapitel 3.

2.2 Das Black-Scholes-Modell und seine Annahmen

Nachdem das Black-Scholes-Modell 1973 veröffentlicht wurde, machte es sehr schnell seinen Siegeszug in der Industrie und auch am gerade neu gegründeten Chicago Board of Options Exchange (CBOE). Schnell wurde hier erkannt, dass Marktteilnehmer, die auf das Modell vertrauten, erfolgreicher waren als andere, die nach purem Bauchgefühl handelten.[29] Mit dem Black-Scholes-Modell war es erstmals möglich einen fairen Preis von Optionen zu bestimmen. Um das Modell allerdings erfolgreich anwenden zu können, ist die Kenntnis der Grundannahmen des Black-Scholes-Modells notwendig, welche hier dargestellt werden sollen:[30]

1. Der Kapitalmarkt ist vollkommen.
2. Der kurzfristige risikofreie Zinssatz ist bekannt und konstant.
3. Der Aktienkurs folgt der geometrischen Brownschen Bewegung, die Verteilung der möglichen Aktienkurse ist daher log-normal bzw. die logarithmierten Veränderungen sind normalverteilt, die Varianz und damit auch die Volatilität der Aktienrendite ist konstant.
4. Die Aktie zahlt keine Dividenden oder andere Ausschüttungen.
5. Die Option ist europäischer Art.
6. Es fallen keine Transaktionskosten beim An- oder Verkauf der Aktien oder Optionen an.
7. Es ist möglich ohne Einschränkungen zum kurzfristigen Zinssatz Geld zu leihen oder zu verleihen.
8. Leerverkäufe[31] sind möglich.

Nach den eben aufgezählten Annahmen hängt der Wert der Option nur vom Aktienkurs, der Zeit, sowie von bekannten und konstanten Größen ab.[32]

Der Artikel von Black und Scholes beschreibt inhaltlich zwei Wege um die Black-Scholes-Formel herzuleiten. Zum einen wird ein Weg basierend auf Arbitrageüberlegungen beschrieben. Als Alternative wird ein Weg über das Capital Asset Pricing Model (CAPM) aufgezeigt. Hier nachfolgend soll der erste Weg, mit Hilfe der Arbitrageüberlegungen, beschrieben werden

2.3 Die Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung

Die Grundidee der Überlegungen ist die Bildung eines risikolosen Portfolios, welches aus einer Option sowie einer Aktie besteht. Ein risikoloses Portfolio ist möglich, wenn sowohl die Option als auch die Aktie von derselben Unsicherheit, der Schwankung des Aktienkurses, abhängen. Durch diese Kombination wird erreicht, dass der Gewinn oder der Verlust der Aktie bei einer Veränderung des Aktienkurses durch den des Derivates vollständig ausgeglichen wird, sodass der Gesamtwert des Portfolios am Ende mit Sicherheit bekannt ist. Für den Fall, dass der Zinssatz konstant ist und die log-Renditen normalverteilt sind, ist das Portfolio, wenn auch nur für einen kleinen Zeitabschnitt risikolos. Ohne Arbitragemöglichkeiten muss daher die Portfoliorendite dem risikolosen Zinssatz entsprechen.[33]

Weiterhin geht das Black-Scholes-Modell von einem speziellen Prozess, der sogenannten geometrischen Brownschen Bewegung aus, dem die Aktienkurse folgen.[34] Dabei ergibt sich der zukünftige Aktienkurs aus der Überlagerung von zwei Prozessen. Nach dem Modell wird unterstellt, dass es zum einen eine natürliche Tendenz oder Drift der Aktie gibt und zum anderen, dass der Kursverlauf der Aktie vom Zufall gesteuert ist.[35] Dieser Zusammenhang kann anhand der folgenden stochastischen Differential-gleichung dargestellt werden:[36]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das vor den Variablen steht dabei dafür, dass es sich um infinitesimal kleine Änderungen der Variablen handelt, ist der aktuelle Kurs des Basiswertes, beschreibt die Zeitänderung und ist die Zufallsvariable des Wiener Prozesses.[37]

Die weiteren Betrachtungen erfolgen unter Zuhilfenahme eines kleinen Zeitintervalls , in diskreten Zeitschritten. Daher werden für die weiteren Formeln die diskreten Versionen benutzt. Die diskrete Version des Aktienkursprozesses lautet:[38]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert der Option ist eine Funktion vom Kurs des Basiswertes sowie der Zeit . Da dem Itô-Prozess[39] folgt, kann für die Funktion Itôs Lemma[40] angewendet werden. Daraus folgt, dass ebenfalls dem Itô-Prozess folgt. Daher gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Wert beschreibt die Änderung von im Zeitintervall .

Da nun der Optionswert und auch die Aktienkurs von derselben Unsicherheit, dem Wiener Prozess, abhängen, ist es möglich ein Portfolio aus einer Aktie und einer Option aufzubauen, so dass die Unsicherheit eliminiert wird. Dieses risikolose Portfolio wird im Black-Scholes-Modell durch die Bildung eines Duplikationsportfolios realisiert. Dieses Portfolio wird so gewählt, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt die gleichen Rückflüsse generieren soll wie die Option. Da das Duplikationsportfolio lediglich aus Finanztiteln besteht, von denen die Preise bekannt sind, kann somit auf den Optionspreis geschlossen werden.[41] Eine vollständige Eliminierung des Risikos ist nur möglich, wenn das Portfolio ständig angepasst werden kann. Dies kann mit Hilfe des Delta-Hedging[42] realisiert werden.

Der Besitzer des Duplikationsportfolios hat eine Verkäuferposition in der Option sowie eine Käuferposition von Einheiten der zugrunde-liegenden Aktie. Für den Wert des Duplikationsportfolios gilt daher:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Änderung des Duplikationsportfoliowertes im Zeitintervall ∆t kann angegeben werden durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beachtet man nun, dass in einem risikolosen Portfolio gelten muss und damit die stochastischen Terme eliminiert werden können, so erhält man nach dem Einsetzen der Gleichung 9 und Gleichung 10 in Gleichung 12 folgende deterministische Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wegen der Arbitragefreiheit muss die Änderung des risikolosen Portfolios gleich dem risikolosen Zinssatz sein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Einsetzen der Gleichung 11 und Gleichung 13 in Gleichung 14 und nach abschließender Umformung erhält man schließlich die Black-Scholes-Differentialgleichung:[43]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die eben hergeleitete Black-Scholes-Differentialgleichung hat viele Lösungen. Eine eindeutige Lösung der Gleichung ist über die Festlegung entsprechender Randbedingungen für die Werte und möglich. Beispiels-weise gilt für eine europäische Kaufoption die Randbedingung:

Die Randbedingung für eine europäische Verkaufsoption lautet:

Dabei ist ein beliebiger Zeitpunkt und der Fälligkeitszeitpunkt der Option.

2.4 Bewertungsformeln nach Black-Scholes

Die Bewertungsformeln für die europäischen Kauf- und Verkaufsoptionen, die wohl bekanntesten Lösungen der Black-Scholes-Differentialgleichung, können durch in der Fachliteratur im Detail beschriebene Transformationen und unter Berücksichtigung der oben dargestellten Randbedingungen hergeleitet werden. Diese lauten:[44]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit Hilfe der beiden aufgeführten Bewertungsformeln kann, unter Verwendung der Parameter Kurs des Basiswertes , Ausübungspreis der Option , Restlaufzeit der Option , risikoloser Zins und Volatilität , der Wert der Option berechnet werden. Mit der Funktion[45] wird die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Die Bewertungsformeln bestehen jeweils aus zwei Termen. Bei der Bewertungsformel des Calls beschreibt der erste Term den Wert des zugrunde gelegten Basiswertes, den der Besitzer der Kaufoption im Falle der Ausübung seines Kaufrechtes beziehen kann. Der zweite Term entspricht dem Wert des Ausübungspreises, den der Inhaber der Option bezahlen muss, wenn er die Option ausübt. Dieser Term vermindert den ersten Term. Die Variablen und geben in beiden Termen das Verhältnis des Basiswertkurses zum Ausgabepreis wider.[46] Analog lassen sich die zwei Terme des Puts erklären.

2.5 Volatilitäts-Smile

Das Black-Scholes-Modell wurde während der letzten 40 Jahre unzählige Male überprüft. Eine erste Überprüfung führten Black und Scholes bereits 1972 vor Veröffentlichung ihres Artikels selbst durch.[47] Die Haupterkenntnis der Untersuchungen ist, dass das Black-Scholes-Modell die Realität nicht vollkommen abbildet. Denn die Volatilität ist, entgegen den theoretischen Annahmen, nicht konstant, sondern abhängig vom Ausübungspreis und der Restlaufzeit, und variiert damit. Der Zusammenhang zwischen impliziter Volatilität, dem Ausübungspreis und der Restlaufzeit kann grafisch anhand sogenannter Volatilitätsoberflächen (volatility surfaces)[48] dargestellt werden.

Einen Querschnitt durch diese Oberfläche zeigt die implizite Volatilität in Abhängigkeit vom Ausübungspreis, bei gleicher Laufzeit der Optionen. Hier kann festgestellt werden, dass der Wert der impliziten Volatilität umso höher ist, je weiter der Ausübungspreis der Option vom aktuellen Aktienkurs entfernt ist.[49] Dies bedeutet, dass Optionen, die „im und aus dem Geld“ liegen, eine höhere implizite Volatilität haben als vergleichbare Optionen „am Geld“. Die grafische Darstellung dieses Phänomens wird Volatilitäts-Smile genannt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Volatilitäts-Smile. Dargestellt wird die Abhängigkeit der impliziten Volatilität vom Ausübungspreis. Es wird gezeigt, dass die implizite Volatilität von „im und aus dem Geld“ Optionen höher ist als die von „am Geld“ Optionen. (Entworfen nach: Hull (2012), S. 518.)

Dieser eben dargestellte Verlauf kann bei Währungsoptionen festgestellt werden. Bei Aktienoptionen kann zusätzlich die Besonderheit beobachtet werden, dass der Smile nach rechts gedreht ist und damit fallend verläuft. Hier nimmt die implizite Volatilität mit steigendem Ausübungspreis ab, d.h. Optionen mit einem niedrigeren Ausübungspreis weisen eine höhere implizite Volatilität auf, als Optionen mit einem höheren Ausübungspreis. Dieses Phänomen wird häufig als Volatilitäts-Skew bezeichnet. Interessanterweise trat das Phänomen der Volatilitäts-Schiefe erstmalig nach dem Börsen-Crash im Oktober 1987 auf und kann erst seitdem beobachtet werden.[50]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Volatilitäts-Skew. Der Volatilitäts-Skew ist eine besondere Form des Volatilitäts- Smile, der bei Aktienoptionen auftritt. Der Volatilitäts-Skew stellt dar, dass Optionen mit einem niedrigeren Ausübungspreis eine höhere Volatilität aufweisen, als Optionen mit einem höheren Ausübungspreis. (Entworfen nach Hull (2012), S. 521.).

Für das Auftreten des Phänomens des Volatilitäts-Smiles gib es verschiedene Erklärungsansätze, die in der Literatur diskutiert werden.

Eine erste Erklärung benutzt die Feststellung, dass die theoretisch normalverteilten log-Renditen und damit die Log-Normalverteilung der Aktienkurse nicht mit der Realität übereinstimmen. Die Wahrscheinlichkeit hoher Kursausschläge ist deutlich größer als bei der Normalverteilung angenommen. Man sagt auch, dass die Verteilung breite Enden besitzt. Zudem ist die Verteilung häufig zu einer Seite geneigt, also schief.[51]

Als zweiter Grund werden häufig Marktunvollkommenheiten wie das Auftreten von Transaktionskosten oder auch Steuern genannt. Durch diese Marktunvollkommenheiten wird der Arbitragemechanismus behindert. Damit existiert kein eindeutiger arbitragefreier Preis für die Option, sondern eine Bandbreite von Preisen, die diese Voraussetzung erfüllen.[52]

Als dritter möglicher Grund soll der Leverage-Effekt genannt werden.[53] Dieser sogenannte Hebel-Effekt lässt sich dadurch erklären, dass bei einem Kursverlust das Eigenkapital eines Unternehmens sinkt und dieses gezwungen wird Fremdkapital aufzunehmen, wodurch die Fremdkapitalquote steigt. Der Kursverlust führt außerdem dazu, dass Anleger ihre Aktien abstoßen und die Volatilität steigt. Kommt es auf der anderen Seite durch positive Nachrichten wieder zu einer Beruhigung, so werden die Anleger die Aktie schließlich wieder kaufen. Die Volatilität der Aktie sinkt. Dieser positive Effekt ist allerdings kleiner als der negative. Man sagt auch, dass die Volatilität asymmetrisch auf Schocks reagiert.[54]

[...]


[1] Vgl. Bundeszentrale für politische Bildung (2010), S. 1.

[2] Vgl. Bundeszentrale für politische Bildung (2010), S. 2.

[3] Vgl. Goldman Sachs (2011), S. A1-A2.

[4] Vgl. Hull (2012), S. 31.

[5] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 47.

[6] Vgl. Acworth (2013), S. 22. Die Zahlen sind Angaben für das Jahr 2012.

[7] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 22.

[8] Eine gute Darstellung der Teile des Optionspreise kann bei Geyer / Uttner (2007), S. 62 gefunden werden.

[9] Vgl. Adelmeyer / Warmuth (2009), S. 114.

[10] Vgl. Adelmeyer / Warmuth (2009), S. 115.

[11] Vgl. Geyer / Uttner (2007), S. 64.

[12] Vgl. Hull (2012), S. 278.

[13] Eine Beschreibung der Volatilität folgt in Kapitel 2.1.3.

[14] Vgl. Hull (2012), S. 286.

[15] Unter Arbitrage versteht man in der Finanzmathematik einen risikolosen Gewinn. Dieser kann beispielsweise durch die Ausnutzung von Preis- oder Kursunterschieden für das gleiche Handelsobjekt realisiert werden.

[16] Vgl. Adelmeyer / Warmuth (2009), S. 130.

[17] Vgl. Stoll (1969).

[18] Vgl. Hull (2012), S. 287.

[19] Vgl. Shirayev (1999), S. 345.

[20] Weitere Risikokennzahlen sind der Value at Risk (VaR), Maximum Drawdown sowie der Sharpe Ratio.

[21] Vgl. Shirayev (1999), S. 345.

[22] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 93.

[23] Vgl. Vogt (2011), S. 9.

[24] Vgl. Goldman Sachs (2006), S. 12.

[25] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 93.

[26] Vgl. Merk (2011), S. 126.

[27] Hull (2012), S. 389.

[28] Deutsche Börse (2007), S. 4.

[29] Vgl. Goldman Sachs (2011), S. A2.

[30] Vgl. Black / Scholes (1973), S. 640.; Goldman Sachs (2011), S. A3.

[31] Unter einem Leerverkauf ist grundsätzlich der Verkauf von Waren oder Finanztiteln zu verstehen, über welche der Verkäufer zum Zeitpunkt des Verkaufes nicht verfügt.

[32] Vgl. Black / Scholes (1973), S. 641.

[33] Vgl. Hull (2012), S. 392 f.

[34] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 69.

[35] Vgl. Hahnenstein / Wilkens / Röder (2000), S. 4.

[36] Die Herleitung folgt Hull (2012), S. 394. Daher wird auch die Notation übernommen.

[37] Der Wiener Prozess, welcher auch Brownsche Bewegung genannt wird, ist ein stetiger stochastischer Prozess mit unabhängigen, stationären Zuwächsen mit einem Erwartungswert von 0, d.h. er besitzt keinen Drift, und einer Varianz, die dem Zeitintervall entspricht.

[39] Benannt nach dem japanischen Mathematiker Itô Kiyoshi. Der Itô-Prozess ist ein stochastischer Prozess, der durch folgende Gleichung beschrieben wird: .

[40] Eine detaillierte Beschreibung von Itôs Lemma kann bei Hull (2012), S. 370 f. nach-gelesen werden.

[41] Vgl. Würfel (2007), S. 11.

[42] Mit dem Begriff Hedging wird die Reduktion von Risiko in einem Portfolio bezeichnet. Delta-Hedging beschreibt die vollständige Risikoabschaltung durch Ausnutzung der Korrelation zweier Finanzinstrumente.

[43] Vgl. Hull (2012), S. 395.

[44] Vgl. Hull (2012), S. 398.

[45] Die Formel der kumulativen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung lautet: .

[46] Vgl. Würfel (2007), S. 26.

[47] Vgl. Black / Scholes (1972).

[48] Die Abbildung einer Volatilitätsoberfläche kann im Anhang unter 5.1 gefunden werden.

[49] Vgl. Wallmeier (2003), S. 55.

[50] Vgl. Goldman Sachs (2006), S. 13.; Hull (2012), S. 523.

[51] Vgl. Wallmeier (2003), S. 56.; Ripper / Günzel (1997), S. 476.

[52] Vgl. Wallmeier (2003), S. 62.

[53] Vgl. Hull (2012), S. 523.

[54] Vgl. Franke / Härdle / Hafner (2004), S. 227.

Ende der Leseprobe aus 51 Seiten

Details

Titel
Implizite Volatilitäten im Black-Scholes-Modell
Untertitel
Eine theoretische und empirische Betrachtung
Hochschule
FernUniversität Hagen  (Fakultät für Wirtschaftswissenschaft)
Note
1,3
Autor
Jahr
2014
Seiten
51
Katalognummer
V275626
ISBN (eBook)
9783656767923
ISBN (Buch)
9783656767930
Dateigröße
1001 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
bestimmung, volatilitäten, black-scholes-modell
Arbeit zitieren
Bachelor of Science Sandra Korsinek (Autor), 2014, Implizite Volatilitäten im Black-Scholes-Modell, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/275626

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