Seit Beginn des 20. Jahrhunderts hat sich der Handel mit Finanzderivaten schneller entwickelt als der aller anderen Finanzinstrumente.
Unter Finanzderivaten werden Anlageformen verstanden, die von einem Basiswert, z. B. einem Wertpapier, Zinssatz, Index oder auch Rohstoff abgeleitet sind. Als Beispiele für Derivate können Optionen, Forwards oder auch Futures genannt werden. Wurden im Jahr 2000 noch Finanzderivate im Volumen von 384,6 Billionen US-Dollar an Terminbörsen gehandelt, war das Handelsvolumen im Jahr 2008 bereits auf 2.200 Billionen US-Dollar gestiegen. Durch diese über die Jahre gestiegene Bedeutung der Finanzderivate und damit der Terminbörsen rückte auch die implizite Volatilität immer stärker ins Blickfeld der Betrachtung.
Die implizite Volatilität ist ein Maß, das die aktuell am Markt erwartete Schwankungsbreite eines Basiswertes angibt.Sie wird daher oft auch erwartete Volatilität genannt. Zur Bestimmung der impliziten Volatilität wird in der Praxis unter anderem das Black-Scholes-Modell verwendet. Das Black-Scholes-Modell geht auf die Wirtschaftswissenschaftler Fisher Black und Myron Samuel Scholes zurück. Nach anfänglicher Ablehnung des Modells durch einige Zeitschriften, veröffentlichten diese im Herbst 1973, unter Zuhilfenahme der Gedanken des Finanzökonomen Robert Carhart Merton, ihren später weltberühmten Artikel „The pricing of options and corporate liabilities“. 24 Jahre später, im Jahr 1997, wurden Merton und Scholes dafür mit dem Nobelpreis in Wirtschaftswissenschaft ausgezeichnet. Black war zu diesem Zeitpunkt leider schon verstorben.
Obwohl eigentlich schon in die Jahre gekommen, erfreut sich das Black-Scholes-Modell auch heute noch großer Beliebtheit und wird verwendet um Optionen zu bewerten. Ein Hauptgrund dafür ist sicher die Einfachheit in der Anwendung.
Die vorliegende Bachelorarbeit untersucht, nach dieser Einleitung, im zweiten Kapitel das Black-Scholes-Modell. Dabei sollen zunächst wichtige finanzmathematische
Grundlagen wie Optionen, die Put-Call-Parität und der Begriff der Volatilität näher gebracht werden, bevor im Anschluss das Black-Scholes-Modell erläutert wird. In Kapitel drei folgt die Betrachtung der impliziten Volatilität. Nach einer Einführung wird dargestellt wie diese über das Black-Scholes-Modell berechnet werden kann. Im Anschluss daran folgt der empirische Teil der Arbeit. Auf Basis von Dax-Kaufoptionen werden implizite Volatilitäten bestimmt.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Black-Scholes-Modell
2.1 Finanzmathematische Grundlagen
2.1.1 Optionen
2.1.2 Put-Call-Parität
2.1.3 Volatilitäten
2.2 Das Black-Scholes-Modell und seine Annahmen
2.3 Die Herleitung der Black-Scholes-Differentialgleichung
2.4 Bewertungsformeln nach Black-Scholes
2.5 Volatilitäts-Smile
2.6 Kritik am Black-Scholes und seine Weiterentwicklungen
3 Implizite Volatilitäten
3.1 Theorie der impliziten Volatilitäten
3.2 Berechnung der Impliziten Volatilität am Beispiel von DAX-Optionen
3.2.1 Prämissen
3.2.2 Vorgehen
3.2.3 Ergebnisse
3.3 Kritische Würdigung
4 Zusammenfassung
Zielsetzung & Themen
Die vorliegende Bachelorarbeit befasst sich mit der Bestimmung impliziter Volatilitäten auf Basis des Black-Scholes-Modells, wobei die theoretischen Grundlagen des Modells zunächst erläutert und anschließend anhand eines empirischen Teils mit DAX-Optionen kritisch überprüft werden.
- Theoretische Grundlagen des Black-Scholes-Modells
- Analyse des Volatilitäts-Smile und der Term Structure
- Empirische Berechnung impliziter Volatilitäten für DAX-Kaufoptionen
- Kritische Diskussion der Modellprämissen und Anwendungsgrenzen
- Numerische Verfahren zur Lösung von Bewertungsformeln
Auszug aus dem Buch
2.5 Volatilitäts-Smile
Das Black-Scholes-Modell wurde während der letzten 40 Jahre unzählige Male überprüft. Eine erste Überprüfung führten Black und Scholes bereits 1972 vor Veröffentlichung ihres Artikels selbst durch. Die Haupterkenntnis der Untersuchungen ist, dass das Black-Scholes-Modell die Realität nicht vollkommen abbildet. Denn die Volatilität ist, entgegen den theoretischen Annahmen, nicht konstant, sondern abhängig vom Ausübungspreis und der Restlaufzeit, und variiert damit. Der Zusammenhang zwischen impliziter Volatilität, dem Ausübungspreis und der Restlaufzeit kann grafisch anhand sogenannter Volatilitätsoberflächen (volatility surfaces) dargestellt werden. Einen Querschnitt durch diese Oberfläche zeigt die implizite Volatilität in Abhängigkeit vom Ausübungspreis, bei gleicher Laufzeit der Optionen. Hier kann festgestellt werden, dass der Wert der impliziten Volatilität umso höher ist, je weiter der Ausübungspreis der Option vom aktuellen Aktienkurs entfernt ist. Dies bedeutet, dass Optionen, die „im und aus dem Geld“ liegen, eine höhere implizite Volatilität haben als vergleichbare Optionen „am Geld“. Die grafische Darstellung dieses Phänomens wird Volatilitäts-Smile genannt.
Zusammenfassung der Kapitel
1 Einleitung: Diese Einleitung stellt die Bedeutung von Finanzderivaten heraus und definiert das Ziel der Arbeit, die Bestimmung impliziter Volatilitäten mittels des Black-Scholes-Modells sowohl theoretisch als auch empirisch zu untersuchen.
2 Black-Scholes-Modell: In diesem Kapitel werden die finanzmathematischen Grundlagen wie Optionen und Volatilität sowie das Black-Scholes-Modell mit seinen Annahmen, der Herleitung der Differentialgleichung und Phänomenen wie dem Volatilitäts-Smile ausführlich behandelt.
3 Implizite Volatilitäten: Dieses Kapitel widmet sich der Theorie der impliziten Volatilität und führt eine empirische Berechnung am Beispiel von DAX-Optionen durch, gefolgt von einer kritischen Würdigung der erzielten Ergebnisse.
4 Zusammenfassung: Die Arbeit schließt mit einer Rekapitulation der theoretischen Erkenntnisse und der Zusammenfassung der empirischen Ergebnisse, inklusive eines Ausblicks zur Verbesserung der Modellanwendung.
Schlüsselwörter
Black-Scholes-Modell, Implizite Volatilität, Finanzderivate, Optionen, Volatilitäts-Smile, Term Structure, DAX, Newton-Raphson-Verfahren, Finanzmathematik, Historische Volatilität, Arbitrage, Börse, Delta-Hedging, Marktunvollkommenheit, Optionsbewertung
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit grundsätzlich?
Die Arbeit untersucht die Bestimmung impliziter Volatilitäten unter Verwendung des klassischen Black-Scholes-Modells.
Welche zentralen Themenfelder werden bearbeitet?
Die zentralen Themen umfassen die mathematischen Grundlagen von Optionen, die Anwendung des Black-Scholes-Modells, das Phänomen des Volatilitäts-Smiles sowie eine empirische Überprüfung mittels DAX-Kaufoptionen.
Was ist das primäre Ziel der Bachelorarbeit?
Das primäre Ziel ist es, zu analysieren, wie implizite Volatilitäten über das Black-Scholes-Modell bestimmt werden können und inwieweit die Modellannahmen – insbesondere die der konstanten Volatilität – in der Praxis Bestand haben.
Welche wissenschaftliche Methode wird verwendet?
Es wird eine theoretische Fundierung durch Literaturrecherche mit einer anschließenden empirischen Analyse kombiniert, bei der DAX-Optionsdaten mittels eines in VBA implementierten Newton-Raphson-Verfahrens ausgewertet werden.
Was wird im Hauptteil der Arbeit behandelt?
Der Hauptteil gliedert sich in die theoretische Herleitung des Black-Scholes-Modells und die empirische Anwendung auf DAX-Daten zur Berechnung impliziter Volatilitäten sowie deren kritische Würdigung.
Welche Schlüsselwörter charakterisieren die Arbeit?
Typische Schlüsselwörter sind Black-Scholes-Modell, implizite Volatilität, Volatilitäts-Smile, DAX-Optionen und numerische Näherungsverfahren.
Welches Problem trat bei der Berechnung der Volatilität für "tief im Geld" liegende Optionen auf?
Für diese Optionen konnte häufig keine implizite Volatilität berechnet werden oder es ergaben sich mathematisch unrealistisch hohe Werte, da ihr Zeitwert gegen Null geht und der Marktpreis nahezu dem inneren Wert entspricht.
Warum wird in der Arbeit das Newton-Raphson-Verfahren eingesetzt?
Da die Black-Scholes-Formel nicht direkt nach der Volatilität umgestellt werden kann, ermöglicht das Newton-Raphson-Verfahren als numerisches Näherungsverfahren eine effiziente Bestimmung der impliziten Volatilität.
- Arbeit zitieren
- Bachelor of Science Sandra Korsinek (Autor:in), 2014, Implizite Volatilitäten im Black-Scholes-Modell, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/275626
