Definition dynamischer Systeme durch Differentialgleichungen


Seminararbeit, 2014
27 Seiten

Leseprobe

Seminar über Systemtheorie und Anwendungen in
Naturwissenschaft und Technik
2. Thema ausgearbeitet von Steven Dendl
Dynamische Systeme, definiert durch Differentialgleichungen
- lineare und zeitinvariante Systeme, die von einem DGLn-System herkommen
- algebraische Natur solcher DGL- Systeme
Einführung
Was sind Dynamische Systeme?
- sind die Lehre von allen Dingen, die sich mit der Zeit ändern
- das beeinhaltet das Universum, das Leben und den ganzen Rest
·
Himmelsmechanik
·
biologische Populationen
·
das Wetter
·
physikalisches Pendel
·
Computersimulationen
·
mathematische Iterationsverfahren
Besonders wichtig in der Technik sind lineare und zeitinvariante Systeme, die durch
lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben
werden.
Dies kann durch ein System von n-Differentialgleichungen 1. Ordnung geschehen.
Die darin auftretenden Koeffizienten sind wegen der Zeitinvarianz konstant.
Was ist eine Differentialgleichung?
1
Eine Differentialgleichung ist also eine Gleichung, in der eine Funktion(hier: Signal) ,
deren Ableitungen, die Variable(hier: Zeit), von der die Funktion abhängt und
Konstanten vorkommen.
Die Ordnung bezeichnet dabei die höchste Ableitung, die vorkommt.
Man spricht auch von einem System von g Differentialgleichungen für die q
Komponenten w
1,
... , w
q
von w.
Gesucht ist die Menge aller Funktionen, die diese Differentialgleichung erfüllt.
Also das Ziel ist, die Lösungen zu finden.
1 Florian Modler, Martin Kreh: Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2, S. 132/133.

- Beispiel
2
Freier Fall im Vakuum ( Zeitpunkt t
0
=
0 )
- Fallgeschwindigkeit: v (t )=gt
mit t=Zeit , g =9,81
m
s
2
Für die Falltiefe s(t) gilt: (
d
dt
)
s=v (t) Lineare Differentialgleichung 1.Ordnung
Falltiefe bestimmen also die Lösung der Differentialgleichung:
s(t)=
0
t
[
v ()d
]
wobei hier die Integrationsvariable ist , weil t die Grenze ist
Hier gilt also( Fallgeschwindigkeit eingesetzt): s(t)=
0
t
[
(
g )d
]
s(t) = [
g
2
2
] =
1
2
gt
2
Wann ist ein System linear und zeitinvariant?
- Parameter hängen nicht von der Zeit ab und Zusammenhänge zwischen den Signalen
sind linear
Mathematische Beschreibung:
- Systeme liefern als Folge einer Ursache eine Wirkung:
Ursache u (t) System Wirkung w (t)
­
Gegeben sei ein System, welches auf die Ursache u
1
mit der Wirkung w
1
reagiert,
auf eine andere Ursache u
2
mit der Wirkung w
2.
­
Das System ist linear, wenn
- a-fache Ursache die a-fache Wirkung zeigt
- die Summe der Ursachen die Summer der Wirkungen hervorruft.
au
1
(
t)
System
aw
1
(
t)
u
1
(
t)+u
2
(
t )
System w
1
(
t)+w
2
(
t)
2 Prof. Dr. Georg Illies : Gewöhnliche Differentialgleichungen, S.7. (hier Beispiel ohne Luftwiderstand)
t
0

- Das System ist zeitinvariant, wenn
- das Verhalten des Systems sich mit der Zeit nicht ändert, also das System auf eine
zeitversetzte Ursache mit der selben Wirkung reagiert, aber um die gleiche Zeit
versetzt.
u
1
(
t-Ty) System w
1
(
t-Ty)
Beispiel
Gegeben sei das System
w (t)=sin (u (t))
Ist dieses System linear bzw zeitinvariant?
Linearität überprüfen:
Linearkombination am Ausgang:
Für zwei beliebige Eingangssignale u
1
(
t) und u
2
(
t) lauten die entsprechenden
Ausgangssignale
w
1
(
t)=sin (u
1
(
t)) und w
2
(
t)=sin(u
2
(
t ))
Die Linearkombination der Ausgangssignale lautet (a,b reelle oder komplexe Zahlen):
aw
1
(
t)+bw
2
(
t )=asin(u
1
(
t ))+bsin(u
2
(
t))
Linearkombination am Eingang:
Die Linearkombination der Eingangssignale lautet:
u (t)=au
1
(
t)+b
u
2
(
t )
Also ist das Ausgangssignal:
w (t)=sin (u (t))=sin(au
1
(
t)+bu
2
(
t))
= sin(au
1
(
t ))cos(bu
2
(
t))+cos (au
1
(
t))sin(bu
2
(
t))
= asin(u
1
(
t ))+bsin(u
2
(
t))=aw
1
(
t)+bw
2
(
t )
für beispielsweise a=2,b=0, u
1
(
t)=(
2
)
, u
2
(
t )=0
Nicht lineares System

Zeitinvarianz überprüfen:
Zeitverschiebung am Ausgang:
Für ein beliebiges Eingangssignal u
1
(
t) lautet der Ausgang
w
1
(
t)=sin (u
1
(
t))
Es folgt durch Zeitverschiebung :
w
1
(
t-t
0
)=
sin (u
1
(
t-t
0
))
Zeitverschiebung am Eingang:
Zeitverschobenes Eingangssignal u_2(t) mit
u
2
(
t)=x
1
(
t-t
0
)
Das entsprechende Ausgangssignal lautet
w
2
(
t)=sin(u
2
(
t ))=sin (u
1
(
t-t
0
))=
w
1
(
t-t
0
)
Zeitvariantes System

Notation:
Zur Beschreibung der Signalübertragung verwenden wir :
R(
d
dt
)
w=0
Gewöhnliche Differentialgleichung
Explizit
:
L
L
R
0
w+ R
1
(
d
dt
)
w+...+R
L
(
d
(
¿
)
dt
(
¿
)
)
w=0
mit
R
0,
R
1,...
, R
L
IR
gxq
gegebene Koeffizientenmatrizen,
d
dt
der Differentialoperator und w : IR IR
q
das Signal
Diese Gleichung beschreibt ein Dynamisches System mit Zeitachse T = IR
und Signalbereich W =IR
q
und Verhalten B bestehend aus diesen Signalen
w , für welche die Differentialgleichung gilt.
Notation im Detail:
Betrachten wir das System von g linearen Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten und reell-wertigen Signalen w
1,
w
2,
..., w
q
:
r
110
w
1
+
...+r
(
1qn
1q
)
(
d
(
n
1q
)
dt
(
n
1q
)
)
w
q
=
0
.
.
.
.
.
.
r
g10
w
1
+
...+r
(
gqn
gq
)
(
d
(
n
gq
)
dt
(
n
gq
)
)
w
q
=
0
merken wir dass eine mühsame Notation liefert.
Also benutzten wir Polynommatrizen um das Ganze kompakt zu halten:
- IR [ ] bedeutet die Menge der reellen Polynome in
-
heißt Indeterminante
-
IR
(
n
1
x n
2
)
[
]
bedeutet die Menge von reellen Polynommatrizen mit
n
1
Zeilen
und
n
2
Spalten

- Sei
r ( )
IR[ ]
ein Polynom mit reellen Koeffizienten
r ( )=
0
+
1
+...+
n
n
mit
0,
... ,
n
IR
und
die Indeterminante
- Wir ersetzen
durch
d
dt
:
r (
d
dt
)=
0
+
1
(
d
dt
)+
...+
n
(
d
n
dt
n
)
- Wir können den Differentialoperator
d
dt
auf eine n-mal differenzierbare
Funktion f: IR IR anwenden:
r(
d
dt
)
f =
0
f +
1
(
d
dt
)
f +...+
n
(
d
n
dt
n
)
f
- Jetzt verallgemeinern wir das für den mehrdimensionalen Fall
Wir konstruieren die Polynome:
r
kl
(
)=r
kl0
+
r
kl1
+...+r
(
kln
kl
)
(
n
kl
)
mit k =1,2 , ... , g , l=1,2 ,... , q
und gestalten sie zu einer g x q Polynommatrix:
R( ):=
[
r
11
(
) r
1q
(
)
r
g1
(
) r
gq
(
)
]
- Wir können auch schreiben:
R( )=R
0
+
R
1
+...+R
L
L
mit L das Maximum der Einträge n
kl
und mit R
j
IR
(
gxq )
- Ersetzen wir wieder durch
d
dt
, wie im eindimensionalen Fall erhalten
wir:
R(
d
dt
)=
R
0
+
R
1
(
d
dt
)+
...+R
L
(
d
L
dt
L
)

- Gestalten wir die Zeitfunktionen w
1,
... , w
q
zu einem Spaltenvektor w ,
w : IR IR
q
und weisen nach, dass R(
d
dt
)
w=0 , dann erhalten wir nichts
anderes als eine kompakte Schreibweise des Systems von g linearen
Differentialgleichungen
Beispiel:
Sei R( )=
[
3
-
2+
3
-
1+
2
1+ +
2
]
- Die mehrdimensionale Differentialgleichung R(
d
dt
)
w=0 lautet:
(
d
3
dt
3
)
w
1
­ 2w
2
+(
d
dt
)
w
2
+
3w
3
=
0
-
w
1
+(
d
2
dt
2
)
w
1
+
w
2
+(
d
dt
)
w
2
+(
d
2
dt
2
)
w
2
+(
d
dt
)
w
3
=
0
Lösungen von
R(
d
dt
)
w=0
Betrachten wir eine stetig partiell differenzierbare Funktion w , dann heißt
sie ,,starke" Lösung von R(
d
dt
)
w=0 .
Es kann aber sein, dass die Funktion w nicht stetig ist und somit nicht differenzierbar
Die Funktion w ist ein Vektor, deren Komponenten die Eingänge der
Signalübertragung sind.
Diese können willkürlich verändert bzw manipuliert werden(w wird zb. unstetig).
Somit muss auch die Lösung, die nicht stetig ist , definiert werden.
Diese heißt dann ,,schwache" Lösung von R(
d
dt
)
w=0 .
Definition(,,starke" Lösung)
Eine Funktion w : IR IR
q
heißt eine starke Lösung von R(
d
dt
)
w=0 ,
R( )
IR
gxq
[
] , falls die Komponenten von w so oft differenzierbar sind
wie erforderlich von der Differentialgleichung R(
d
dt
)
w=0 und falls w
eine Lösung im gewöhnlichen Sinn ist , also falls (R(
d
dt
)
w)(t)=0 für alle t
IR gilt.
Ende der Leseprobe aus 27 Seiten

Details

Titel
Definition dynamischer Systeme durch Differentialgleichungen
Autor
Jahr
2014
Seiten
27
Katalognummer
V275956
ISBN (eBook)
9783656691143
ISBN (Buch)
9783656691044
Dateigröße
595 KB
Sprache
Deutsch
Schlagworte
definition, systeme, differentialgleichungen
Arbeit zitieren
Steven Dendl (Autor), 2014, Definition dynamischer Systeme durch Differentialgleichungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/275956

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