Extracto
Seminar über Systemtheorie und Anwendungen in
Naturwissenschaft und Technik
2. Thema ausgearbeitet von Steven Dendl
Dynamische Systeme, definiert durch Differentialgleichungen
- lineare und zeitinvariante Systeme, die von einem DGLn-System herkommen
- algebraische Natur solcher DGL- Systeme
Einführung
Was sind Dynamische Systeme?
- sind die Lehre von allen Dingen, die sich mit der Zeit ändern
- das beeinhaltet das Universum, das Leben und den ganzen Rest
·
Himmelsmechanik
·
biologische Populationen
·
das Wetter
·
physikalisches Pendel
·
Computersimulationen
·
mathematische Iterationsverfahren
Besonders wichtig in der Technik sind lineare und zeitinvariante Systeme, die durch
lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben
werden.
Dies kann durch ein System von n-Differentialgleichungen 1. Ordnung geschehen.
Die darin auftretenden Koeffizienten sind wegen der Zeitinvarianz konstant.
Was ist eine Differentialgleichung?
1
Eine Differentialgleichung ist also eine Gleichung, in der eine Funktion(hier: Signal) ,
deren Ableitungen, die Variable(hier: Zeit), von der die Funktion abhängt und
Konstanten vorkommen.
Die Ordnung bezeichnet dabei die höchste Ableitung, die vorkommt.
Man spricht auch von einem System von g Differentialgleichungen für die q
Komponenten w
1,
... , w
q
von w.
Gesucht ist die Menge aller Funktionen, die diese Differentialgleichung erfüllt.
Also das Ziel ist, die Lösungen zu finden.
1 Florian Modler, Martin Kreh: Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2, S. 132/133.
- Beispiel
2
Freier Fall im Vakuum ( Zeitpunkt t
0
=
0 )
- Fallgeschwindigkeit: v (t )=gt
mit t=Zeit , g =9,81
m
s
2
Für die Falltiefe s(t) gilt: (
d
dt
)
s=v (t) Lineare Differentialgleichung 1.Ordnung
Falltiefe bestimmen also die Lösung der Differentialgleichung:
s(t)=
0
t
[
v ()d
]
wobei hier die Integrationsvariable ist , weil t die Grenze ist
Hier gilt also( Fallgeschwindigkeit eingesetzt): s(t)=
0
t
[
(
g )d
]
s(t) = [
g
2
2
] =
1
2
gt
2
Wann ist ein System linear und zeitinvariant?
- Parameter hängen nicht von der Zeit ab und Zusammenhänge zwischen den Signalen
sind linear
Mathematische Beschreibung:
- Systeme liefern als Folge einer Ursache eine Wirkung:
Ursache u (t) System Wirkung w (t)
Gegeben sei ein System, welches auf die Ursache u
1
mit der Wirkung w
1
reagiert,
auf eine andere Ursache u
2
mit der Wirkung w
2.
Das System ist linear, wenn
- a-fache Ursache die a-fache Wirkung zeigt
- die Summe der Ursachen die Summer der Wirkungen hervorruft.
au
1
(
t)
System
aw
1
(
t)
u
1
(
t)+u
2
(
t )
System w
1
(
t)+w
2
(
t)
2 Prof. Dr. Georg Illies : Gewöhnliche Differentialgleichungen, S.7. (hier Beispiel ohne Luftwiderstand)
t
0
- Das System ist zeitinvariant, wenn
- das Verhalten des Systems sich mit der Zeit nicht ändert, also das System auf eine
zeitversetzte Ursache mit der selben Wirkung reagiert, aber um die gleiche Zeit
versetzt.
u
1
(
t-Ty) System w
1
(
t-Ty)
Beispiel
Gegeben sei das System
w (t)=sin (u (t))
Ist dieses System linear bzw zeitinvariant?
Linearität überprüfen:
Linearkombination am Ausgang:
Für zwei beliebige Eingangssignale u
1
(
t) und u
2
(
t) lauten die entsprechenden
Ausgangssignale
w
1
(
t)=sin (u
1
(
t)) und w
2
(
t)=sin(u
2
(
t ))
Die Linearkombination der Ausgangssignale lautet (a,b reelle oder komplexe Zahlen):
aw
1
(
t)+bw
2
(
t )=asin(u
1
(
t ))+bsin(u
2
(
t))
Linearkombination am Eingang:
Die Linearkombination der Eingangssignale lautet:
u (t)=au
1
(
t)+b
u
2
(
t )
Also ist das Ausgangssignal:
w (t)=sin (u (t))=sin(au
1
(
t)+bu
2
(
t))
= sin(au
1
(
t ))cos(bu
2
(
t))+cos (au
1
(
t))sin(bu
2
(
t))
= asin(u
1
(
t ))+bsin(u
2
(
t))=aw
1
(
t)+bw
2
(
t )
für beispielsweise a=2,b=0, u
1
(
t)=(
2
)
, u
2
(
t )=0
Nicht lineares System
Zeitinvarianz überprüfen:
Zeitverschiebung am Ausgang:
Für ein beliebiges Eingangssignal u
1
(
t) lautet der Ausgang
w
1
(
t)=sin (u
1
(
t))
Es folgt durch Zeitverschiebung :
w
1
(
t-t
0
)=
sin (u
1
(
t-t
0
))
Zeitverschiebung am Eingang:
Zeitverschobenes Eingangssignal u_2(t) mit
u
2
(
t)=x
1
(
t-t
0
)
Das entsprechende Ausgangssignal lautet
w
2
(
t)=sin(u
2
(
t ))=sin (u
1
(
t-t
0
))=
w
1
(
t-t
0
)
Zeitvariantes System
Notation:
Zur Beschreibung der Signalübertragung verwenden wir :
R(
d
dt
)
w=0
Gewöhnliche Differentialgleichung
Explizit
:
L
L
R
0
w+ R
1
(
d
dt
)
w+...+R
L
(
d
(
¿
)
dt
(
¿
)
)
w=0
mit
R
0,
R
1,...
, R
L
IR
gxq
gegebene Koeffizientenmatrizen,
d
dt
der Differentialoperator und w : IR IR
q
das Signal
Diese Gleichung beschreibt ein Dynamisches System mit Zeitachse T = IR
und Signalbereich W =IR
q
und Verhalten B bestehend aus diesen Signalen
w , für welche die Differentialgleichung gilt.
Notation im Detail:
Betrachten wir das System von g linearen Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten und reell-wertigen Signalen w
1,
w
2,
..., w
q
:
r
110
w
1
+
...+r
(
1qn
1q
)
(
d
(
n
1q
)
dt
(
n
1q
)
)
w
q
=
0
.
.
.
.
.
.
r
g10
w
1
+
...+r
(
gqn
gq
)
(
d
(
n
gq
)
dt
(
n
gq
)
)
w
q
=
0
merken wir dass eine mühsame Notation liefert.
Also benutzten wir Polynommatrizen um das Ganze kompakt zu halten:
- IR [ ] bedeutet die Menge der reellen Polynome in
-
heißt Indeterminante
-
IR
(
n
1
x n
2
)
[
]
bedeutet die Menge von reellen Polynommatrizen mit
n
1
Zeilen
und
n
2
Spalten
- Sei
r ( )
IR[ ]
ein Polynom mit reellen Koeffizienten
r ( )=
0
+
1
+...+
n
n
mit
0,
... ,
n
IR
und
die Indeterminante
- Wir ersetzen
durch
d
dt
:
r (
d
dt
)=
0
+
1
(
d
dt
)+
...+
n
(
d
n
dt
n
)
- Wir können den Differentialoperator
d
dt
auf eine n-mal differenzierbare
Funktion f: IR IR anwenden:
r(
d
dt
)
f =
0
f +
1
(
d
dt
)
f +...+
n
(
d
n
dt
n
)
f
- Jetzt verallgemeinern wir das für den mehrdimensionalen Fall
Wir konstruieren die Polynome:
r
kl
(
)=r
kl0
+
r
kl1
+...+r
(
kln
kl
)
(
n
kl
)
mit k =1,2 , ... , g , l=1,2 ,... , q
und gestalten sie zu einer g x q Polynommatrix:
R( ):=
[
r
11
(
) r
1q
(
)
r
g1
(
) r
gq
(
)
]
- Wir können auch schreiben:
R( )=R
0
+
R
1
+...+R
L
L
mit L das Maximum der Einträge n
kl
und mit R
j
IR
(
gxq )
- Ersetzen wir wieder durch
d
dt
, wie im eindimensionalen Fall erhalten
wir:
R(
d
dt
)=
R
0
+
R
1
(
d
dt
)+
...+R
L
(
d
L
dt
L
)
- Gestalten wir die Zeitfunktionen w
1,
... , w
q
zu einem Spaltenvektor w ,
w : IR IR
q
und weisen nach, dass R(
d
dt
)
w=0 , dann erhalten wir nichts
anderes als eine kompakte Schreibweise des Systems von g linearen
Differentialgleichungen
Beispiel:
Sei R( )=
[
3
-
2+
3
-
1+
2
1+ +
2
]
- Die mehrdimensionale Differentialgleichung R(
d
dt
)
w=0 lautet:
(
d
3
dt
3
)
w
1
2w
2
+(
d
dt
)
w
2
+
3w
3
=
0
-
w
1
+(
d
2
dt
2
)
w
1
+
w
2
+(
d
dt
)
w
2
+(
d
2
dt
2
)
w
2
+(
d
dt
)
w
3
=
0
Lösungen von
R(
d
dt
)
w=0
Betrachten wir eine stetig partiell differenzierbare Funktion w , dann heißt
sie ,,starke" Lösung von R(
d
dt
)
w=0 .
Es kann aber sein, dass die Funktion w nicht stetig ist und somit nicht differenzierbar
Die Funktion w ist ein Vektor, deren Komponenten die Eingänge der
Signalübertragung sind.
Diese können willkürlich verändert bzw manipuliert werden(w wird zb. unstetig).
Somit muss auch die Lösung, die nicht stetig ist , definiert werden.
Diese heißt dann ,,schwache" Lösung von R(
d
dt
)
w=0 .
Definition(,,starke" Lösung)
Eine Funktion w : IR IR
q
heißt eine starke Lösung von R(
d
dt
)
w=0 ,
R( )
IR
gxq
[
] , falls die Komponenten von w so oft differenzierbar sind
wie erforderlich von der Differentialgleichung R(
d
dt
)
w=0 und falls w
eine Lösung im gewöhnlichen Sinn ist , also falls (R(
d
dt
)
w)(t)=0 für alle t
IR gilt.
Final del extracto de 27 páginas
- Citar trabajo
- Steven Dendl (Autor), 2014, Definition dynamischer Systeme durch Differentialgleichungen, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/275956
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