Was sind Dynamische Systeme?
- sind die Lehre von allen Dingen, die sich mit der Zeit ändern
- das beeinhaltet das Universum, das Leben und den ganzen Rest
• Himmelsmechanik
• biologische Populationen
• das Wetter
• physikalisches Pendel
• Computersimulationen
• mathematische Iterationsverfahren
Besonders wichtig in der Technik sind lineare und zeitinvariante Systeme, die durch lineare gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben werden.
Dies kann durch ein System von n-Differentialgleichungen
1. Ordnung geschehen.
Die darin auftretenden Koeffizienten sind wegen der Zeitinvarianz konstant.
Was ist eine Differentialgleichung?
1Eine Differentialgleichung ist also eine Gleichung, in der eine Funktion(hier: Signal), deren Ableitungen, die Variable(hier: Zeit), von der die Funktion abhängt und Konstanten vorkommen.
Die Ordnung bezeichnet dabei die höchste Ableitung, die vorkommt.
Man spricht auch von einem System von g Differentialgleichungen für die q Komponenten w1,…,wq von w. Gesucht ist die Menge aller Funktionen, die diese Differentialgleichung erfüllt. Also das Ziel ist, die Lösungen zu finden.
Inhaltsverzeichnis
Einführung
Was sind Dynamische Systeme?
Was ist eine Differentialgleichung?
Wann ist ein System linear und zeitinvariant?
Mathematische Beschreibung:
Notation:
Notation im Detail:
Lösungen von R(d/dt)w=0
Definition(„starke“ Lösung)
Bestimmung der Lösungs eines homogenen DGL Systems
Definition(Unendlich differenzierbare Funktion)
Definition( Lokal integrierbare Funktion)
Definition(“Schwache” Lösung)
Topologische Eigenschaften des Verhaltens
Definiton(Konvergenz im Sinne von L1loc (IR , IRq))
Definition(Funktion ɸ)
Polynomringe und Polynommatrizen
Addition von zwei Polynomen
Multiplikation von zwei Polynomen
Division von zwei Polynomen
Äquivalente Darstellungen
Definition (Äquivalente Differentialgleichungen)
Definition(Unimodulare Matrix)
Elementare Zeilenumformungen und unimodulare Polynommatrizen
Zielsetzung & Themen
Diese Arbeit befasst sich mit der mathematischen Beschreibung und Analyse von dynamischen Systemen, die durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten definiert sind. Ziel ist es, das Verhalten dieser Systeme durch die Anwendung von Polynommatrizen kompakt darzustellen und die Konzepte der „starken“ sowie „schwachen“ Lösungen präzise zu definieren und voneinander abzugrenzen.
- Grundlagen dynamischer Systeme und deren mathematische Modellierung mittels Differentialoperatoren.
- Unterscheidung zwischen linearen und zeitinvarianten Systemen sowie deren Überprüfung.
- Einführung und Anwendung von Polynommatrizen zur kompakten Systemdarstellung.
- Theorie der „schwachen“ Lösungen in lokalen Integrationsräumen.
- Analyse der Äquivalenz von Differentialgleichungssystemen mittels unimodularer Matrizen.
Auszug aus dem Buch
Definition(„starke“ Lösung)
Eine Funktion w: IR→ IRq heißt eine starke Lösung von R(d/dt)w=0 , R(ξ)∈ IRgxq [ξ] , falls die Komponenten von w so oft differenzierbar sind wie erforderlich von der Differentialgleichung R(d/dt)w=0 und falls w eine Lösung im gewöhnlichen Sinn ist , also falls (R(d/dt)w)(t)=0 für alle t ∈ IR gilt.
Betrachten wir eine stetig partiell differenzierbare Funktion w , dann heißt sie „starke“ Lösung von R(d/dt)w=0 . Es kann aber sein, dass die Funktion w nicht stetig ist und somit nicht differenzierbar Die Funktion w ist ein Vektor, deren Komponenten die Eingänge der Signalübertragung sind. Diese können willkürlich verändert bzw manipuliert werden(w wird zb. unstetig). Somit muss auch die Lösung, die nicht stetig ist , definiert werden. Diese heißt dann „schwache“ Lösung von R(d/dt)w=0 .
Zusammenfassung der Kapitel
Einführung: Hier werden dynamische Systeme als Lehre von zeitabhängigen Phänomenen definiert und die grundlegende mathematische Form einer Differentialgleichung erläutert.
Wann ist ein System linear und zeitinvariant?: Dieses Kapitel erklärt die mathematischen Kriterien für Linearität und Zeitinvarianz bei Systemen, die Ursachen auf Wirkungen abbilden.
Notation:: Es wird die Verwendung von Differentialoperatoren und Koeffizientenmatrizen eingeführt, um komplexe Systemgleichungen kompakt zu beschreiben.
Lösungen von R(d/dt)w=0: Das Kapitel führt die Differenzierung zwischen „starken“ Lösungen (klassisch differenzierbar) und „schwachen“ Lösungen (nicht stetig) ein.
Bestimmung der Lösungs eines homogenen DGL Systems: Hier wird der Vektorraum der Lösungen und die Verwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren zur Bestimmung eines Fundamentalsystems behandelt.
Polynomringe und Polynommatrizen: Grundlagen der Ringtheorie, Addition, Multiplikation und Polynomdivision werden bereitgestellt, um als Basis für komplexere Systemoperationen zu dienen.
Äquivalente Darstellungen: Das Kapitel untersucht, unter welchen Bedingungen verschiedene Differentialgleichungssysteme dasselbe dynamische Verhalten beschreiben.
Elementare Zeilenumformungen und unimodulare Polynommatrizen: Es wird gezeigt, wie durch Zeilenumformungen und unimodulare Matrizen Systeme in einfachere Formen, wie die Dreiecksgestalt, transformiert werden können.
Schlüsselwörter
Dynamische Systeme, Differentialgleichungen, Lineare Systeme, Zeitinvarianz, Polynommatrizen, Starke Lösung, Schwache Lösung, Unimodulare Matrizen, Differentialoperator, Eigenwerte, Fundamentalsystem, Signalübertragung, Bezout Identität, Ringtheorie, Integralgleichung.
Häufig gestellte Fragen
Worum geht es in dieser Arbeit?
Die Arbeit behandelt die mathematische Fundierung dynamischer Systeme durch lineare Differentialgleichungen und die algebraische Behandlung dieser Systeme mittels Polynommatrizen.
Was sind die zentralen Themenfelder?
Die zentralen Themen sind Systemtheorie, Differentialrechnung, Algebra (insbesondere Polynomringe) sowie die topologische Analyse des Systemverhaltens.
Was ist das primäre Ziel der Untersuchung?
Das Ziel ist eine kompakte und algebraisch handhabbare Darstellung von Systemen zu finden, die auch nicht-stetige, sogenannte „schwache“ Lösungen abdeckt.
Welche wissenschaftlichen Methoden werden verwendet?
Verwendet werden Methoden aus der linearen Algebra, der Analysis (Differentialgleichungen) und der Algebra (Polynomdivision, Ringe).
Was wird im Hauptteil behandelt?
Der Hauptteil konzentriert sich auf die Definition von Systemverhalten, die Einführung der „schwachen“ Lösung und den Einsatz unimodularer Matrizen zur Äquivalenzprüfung von Systemen.
Welche Schlüsselbegriffe charakterisieren die Arbeit?
Besonders charakteristisch sind die Begriffe der Unimodularität, der schwachen Lösung und der Polynommatrizen.
Warum sind unimodulare Matrizen für das Systemverhalten wichtig?
Unimodulare Matrizen erlauben es, äquivalente Differentialgleichungssysteme ineinander umzuformen, ohne das zugrundeliegende dynamische Verhalten des Systems zu verändern.
Was besagt die Bezout Identität in diesem Kontext?
Die Bezout Identität bietet eine Möglichkeit zu prüfen, ob eine Polynommatrix unimodular ist, indem sie die Existenz von Polynomen a und b sicherstellt, deren Kombination 1 ergibt.
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- Steven Dendl (Author), 2014, Definition dynamischer Systeme durch Differentialgleichungen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/275956
