Konzept und Berechnungsverfahren des „Cash Flow at Risk“

Inhaltsverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2 Cash Flow at Risk und Earnings at Risk

3 Anforderungen an ein Cash Flow at Risk-Verfahren

4 Verfahren I: Der Bottom-up-Ansatz
4.1 Grundidee
4.2 Exposure Mapping
4.3 Langfristige Prognosen
4.4 Ermittlung des Cash Flow at Risk
4.5 Darstellung des Bottom-up-Ansatzes an einem Beispiel
4.5.1 Ausgangssituation und Identifikation der Risikofaktoren
4.5.2 Aufstellen der Exposure Map
4.5.3 Simulation von Preispfaden
4.5.4 Cash Flow at Risk-Berechnung
4.6 Kritische Analyse des Bottom-up-Ansatzes

5 Verfahren II: Cash Flow at Risk-Berechnung mittels Regressionsanalyse
5.1 Grundidee
5.2 Multiple Regressionsanalyse
5.3 Cash Flow at Risk-Berechnung
5.4 Anwendung des Verfahrens an einem Beispiel
5.5 Kritische Analyse des Verfahrens

6 Verfahren III: Der Top-down-Ansatz
6.1 Grundidee
6.2 Ein-Schritt-Prognosen
6.3 Vergleichbare Unternehmen
6.4 Cash Flow at Risk-Berechnung
6.5 Modifikationen des Top-down-Ansatzes
6.6 Kritische Analyse des Top-down-Ansatzes

7 Abschließender Vergleich der Verfahren

8 Inhaltsverzeichnis (inkl. weiterführender Literatur)

9. Anhang
Anhang I Beispiel zur Cholesky-Zerlegung
Anhang II Daten auf Basis von Handelstagen
Anhang III Histogramm der Jahres-Cash Flows ohne Korrelationen
Anhang IV Daten auf Basis von Quartalen
Anhang V Jahres-Prognose des CFaR für α = 5%

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

In dieser Arbeit stehen die Analysen von drei unterschiedlichen CFaR-Verfahren – dem Bottom-up-Ansatz, der CFaR-Berechnung mittels Regressionsanalyse und dem Top-down-Ansatz – im Mittelpunkt. Bevor auf diese Verfahren eingegangen wird, wird der CFaR von dem eng verwandten Risikomaß Earnings at Risk (EaR) abgegrenzt. Um die drei genannten Verfahren, die sich in ihrer Grundidee und in den verwendeten statistischen Berechnungsmethoden grundsätzlich unterscheiden, vergleichen zu können, ist es notwendig, Anforderungskriterien zu formulieren, die von einem optimal zur Risikomessung geeigneten CFaR-Verfahren im Unternehmen erfüllt werden sollten. Inwieweit die Kriterien von den einzelnen Verfahren erfüllt werden können, wird zum der Arbeit analysiert.

2 Cash Flow at Risk und Earnings at Risk

Bei Betrachtung des Value at Risk Konzepts stellt sich heraus, dass dieses große Anerkennung und Akzeptanz bei Institutionen des Finanzsektors gefunden hat. Ausgehend von dieser Erkenntnis ist eine Modifikation der Grundidee des VaR-Ansatzes, die auch die Anforderungen an eine Risikomessung in Unternehmen außerhalb des Finanzsektors erfüllen lässt, logisch.^[1] Auf Basis des VaR-Konzeptes wurde zu diesem Zweck der CFaR entwickelt.^[2] Zwischen den beiden Verfahren bestehen zahlreiche Gemeinsamkeiten, aber auch einige Unterschiede. Die Risikomessung setzt in Unternehmen statt an der Wertebene an der Zahlungsstromebene an und Halteperioden stehen über einen längeren Zeitraum, angefangen bei Monaten bis hin zu Jahren, im Fokus der Betrachtung.^[3]

Während der VaR eines Portfolios aussagt, dass der Maximalverlust des Portfolios mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Halteperiode von bspw. einem Tag nicht größer als der berechnete VaR sein wird, gibt der CFaR an, dass der Cash Flow am Ende eines vorgegebenen Prognosezeitraum und mit einer vorab festgelegten Wahrscheinlichkeit den ermittelten Wert des CFaR nicht unterschreiten wird. Bei dem in der Begriffsbestimmung angesprochenen CFaR handelt es sich um den absoluten CFaR. Anhand der beiden genannten Definitionen lassen sich deutliche Vergleichbarkeiten zwischen den beiden Risikomaßen feststellen.^[4] Lee et al. (1999) definieren den CFaR hingegen als relativen CFaR, bei dem die maximalen Einbußen des zukünftigen Cash Flow in Bezug zu einem erwarteten bzw. zu erzielenden Cash Flow gesetzt werden, wobei wiederum der Prognosezeitraum und das Konfidenzniveau ex ante festgelegt werden. Der relative CFaR stellt die Differenz zwischen dem Zielwert und dem absoluten CFaR dar.^[5]

In der einschlägigen Literatur werden CFaR und EaR häufig in einem Atemzug genannt. Daher bietet es sich an dieser Stelle an, auch das Risikomaß EaR genauer zu betrachten.^[6] Lee et al. (1999) definieren EaR in analoger Weise zum CFaR als Differenz zwischen einem Zielwert für zukünftige Earnings und dem ermittelten absoluten EaR, der den höchstmöglichen Rückgang der Earnings zu einem vorgegebenen Konfidenzniveau und zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt angibt.^[7] Zu klären bleibt, in welcher Hinsicht sich zukünftigen Earnings vom zukünftigen Cash Flow unterscheiden. Der Cash Flow setzt sich aus den Erfolgskomponenten Einnahmen und Ausgaben zusammen. Im Vergleich dazu handelt es sich bei Earnings um handelsrechtliche Erträge und Aufwendungen.^[8] Beim EaR werden demnach die Auswirkungen der Marktpreisrisiken auf den bilanziellen Erfolg eines Unternehmens analysiert bzw. simuliert.^[9] Anhand zweier einfacher Beispiele lassen sich die Unterschiede zwischen den beiden Größen veranschaulichen: Benötigt ein Unternehmen eine neue Maschine, stellt der Kauf dieser Maschine zum Kaufzeitpunkt eine Ausgabe dar, während Aufwendungen durch die Abschreibungen der Maschine über die gesamte Nutzungsdauer entstehen.^[10] Ein weiteres Beispiel ist der Einkauf von Rohstoffen. Aus dem Einkauf resultiert eine Ausgabe. In der Regel werden Rohstoffe allerdings gelagert, bevor sie für die Produktion benötigt werden. Ein Aufwand liegt demzufolge erst in dem Moment vor, in dem die Rohstoffe weiterverarbeitet werden, d. h. in den Herstellungsprozess gelangen. Diese beiden Beispiele verdeutlichen, dass der Unterschied zwischen Cash Flow und Earnings in der zeitlichen Erfassung liegt. Die Berechnungsmethoden des CFaR und des EaR sind jedoch identisch, weshalb sich die Ausführungen dieser Arbeit auf die Verfahren zur Ermittlung des CFaR beschränken.^[11]

3 Anforderungen an ein Cash Flow at Risk-Verfahren

In den folgenden Kapiteln werden drei verschiedene Verfahren zur Berechnung des CFaR vorgestellt, wobei sich der Bottom-up-Ansatz und die CFaR-Berechnung mittels Regressionsanalyse vor allem auf die Auswirkungen von Marktpreisrisiken auf den Cash Flow konzentrieren. Zur Bildung einer Vergleichsbasis der drei Methoden ist es daher sinnvoll, Anforderungen zu formulieren, anhand derer die Güte der Verfahren beurteilt werden kann.

Das oberste Ziel eines CFaR-Verfahrens im Rahmen des Risikomanagements sollte die Sicherstellung der Existenz eines Unternehmens sein.^[12] Bleiben auf langfristige Sicht die erzielten Cash Flows unter den Erwartungen der Finanzplanung zurück, kann dieses zu Liquiditätsproblemen führen und geplante Investitionen können nicht oder nur eingeschränkt getätigt werden.^[13] Diese Überlegungen führen zur Ableitung des ersten Anforderungskriteriums:

I. Frühzeitige Erkennung von zukünftigen Liquiditätsengpässen

Stellt sich bei der Berechnung des CFaR heraus, dass bei Eintritt des ermittelten Wertes Liquiditätsengpässe auftreten können, ist es für ein Unternehmen von großem Interesse, die Ursachen der negativen Entwicklung zu kennen.^[14] Da im Mittelpunkt dieser Arbeit die Quantifizierung von Marktpreisrisiken steht, ergibt sich folgendes zweites Anforderungskriterium:

II. Unternehmensindividuelle Quantifizierung der Auswirkungen von Marktpreisänderungen auf zukünftige Cash Flows

Im Prozess des Risikomanagements erfolgt die Risikosteuerung im Anschluss an die Risikomessung.^[15] Nur wenn eine Risikoquantifizierung im Rahmen des jeweiligen CFaR-Verfahrens durchgeführt wurde, können Risiken mit entsprechenden Hedging-Maßnahmen abgesichert bzw. reduziert werden. Durch die Absicherungsmaßnahmen kann die Volatilität der Verteilung des zukünftigen Cash Flow reduziert werden.^[16] Daraus leitet sich bereits das dritte Kriterium ab:

III. Lieferung von Ergebnissen, aus denen Strategieempfehlungen in Form von Hedging-Maßnahmen abgeleitet werden können

Bislang wurden lediglich Marktpreisrisiken und ihre Auswirkungen auf zukünftige Cash Flows analysiert. Stein et al. (2001) weisen jedoch darauf hin, dass Marktpreise nicht die einzigen Faktoren darstellen, die die Variabilität des Cash Flow beeinflussen. Faktoren wie Marketingaktivitäten, Kundenbetreuung und weitere Unternehmensrisiken können ebenfalls Auswirkungen auf die Höhe zukünftiger Cash Flows haben.^[17] Begründen lässt sich diese Erkenntnis dadurch, dass bspw. uneffiziente Marketingaktivitäten zu Abwanderungen von Kunden zur Konkurrenz führen können, wodurch Absatzmengen und folglich auch Umsatzerlöse zurückgehen würden. Werden daher lediglich die Auswirkungen von Marktpreisrisiken auf zukünftige Cash Flows betrachtet, kann der ermittelte CFaR eventuell nicht alle relevanten Risikoquellen berücksichtigen und das Risiko wird geringer eingestuft als bei einem CFaR, der alle bzw. zusätzliche Risikofaktoren erfasst.^[18] Eine Anwendung eines CFaR-Verfahrens, bei dem lediglich Marktpreisrisiken betrachtet werden, ist daher nur beschränkt in der Praxis anwendbar. Beratungsfirmen bspw. können überhaupt nicht von Marktpreisrisiken betroffen sein, sofern diese nicht international ausgerichtet sind. Anforderungskriterium vier lässt sich demnach wie folgt formulieren:

IV. Berücksichtigung möglichst vieler bzw. aller unternehmensrelevanten Risikofaktoren, die die Höhe der zukünftigen Cash Flows beeinflussen Bei der Implementierung eines neuen Verfahrens in ein Unternehmen sollte grundsätzlich vorab geklärt werden, ob der aus dem Verfahren resultierende Nutzen den Aufwand der Implementierung und Durchführung der Methode übertrifft.^[19] Das fünfte Kriterium spiegelt demnach die Wirtschaftlichkeit eines Verfahrens wider.

V. Nutzen > Aufwand/Kosten

Weitere verfahrensspezifische Kritikpunkte werden im sechsten Anforderungskriterium zusammengefasst. Sobald schwerwiegende, die Güte des Verfahrens einschränkende Kritikpunkte auftreten, die durch die ersten fünf Anforderungskriterien nicht abgedeckt sind, ist das sechste Anforderungskriterium als nicht erfüllt anzusehen.

VI. Keine sonstigen schwerwiegenden Kritikpunkte

Bei den kritischen Analysen jeweils zum Ende der drei folgenden Kapiteln 4 bis 5 werden Aspekte angesprochen, die sich auf die Anforderungskriterien beziehen, und auch darüber hinausgehen. Eine explizite Darstellung bezüglich der Erfüllung bzw. Nichterfüllung der Anforderungskriterien erfolgt im abschließenden Kapitel 7.

4 Verfahren I: Der Bottom-up-Ansatz

4.1 Grundidee

Änderungen von Marktpreisrisiken beeinflussen den Wert eines Portfolios. Bei dem Bottom-up-Ansatz steht dieses Phänomen, d. h. die Auswirkung der Marktpreisrisiken auf den zukünftigen Cash Flow bzw. auf dessen Komponenten, im Mittelpunkt. Mit Hilfe des so genannten Exposure Mapping wird der Effekt der Marktpreisrisiken auf die einzelnen Komponenten der Zielgröße in Form von Gleichungen abgebildet.^[20] Bevor die Ausführungen zur Grundidee des Bottum-up-Ansatzes fortgeführt werden, soll jedoch an dieser Stelle zunächst der Begriff Exposure erläutert werden. Als zu untersuchende Zielgröße wird in dieser Arbeit der zukünftige Cash Flow zum Ende eines Prognosezeitraums betrachtet. Das Exposure gibt in dieser Hinsicht an, in welchem Ausmaß der Cash Flow von den zu betrachtenden Risiken gelenkt bzw. beeinflusst wird.^[21] Adler und Dumas (1984) definieren Exposure als den Betrag, der durch die zukünftige Sensitivität der Zielgröße in Folge von zufälligen Schwankungen der Risikofaktoren ausgedrückt wird.^[22] Dementsprechend spiegelt eine Exposure Map, wie bereits oben erwähnt, die Einflüsse der relevanten Risikofaktoren^[23] auf die Komponenten der Zielgröße wider.

Über einen Zeitraum von bspw. einem Jahr werden Prognosen für die Entwicklung der Marktpreise simuliert. Wird die Simulation 1.000-fach durchgeführt, ergeben sich daraus 1.000 unterschiedliche Werte für die Komponenten der Zielgröße. Bei diesem Vorgang müssen allerdings auch Wechselwirkungen in Form von Korrelationen zwischen den einzelnen Marktpreisrisiken berücksichtigt werden. Im Anschluss daran werden die einzelnen Komponenten zusammengeführt und in einem Histogramm dargestellt. Aus diesem Histogramm lässt sich der gesuchte CFaR ermitteln.^[24] Die beschriebenen Schritte werden in den folgenden Abschnitten zunächst allgemein erläutert. Anschließend erfolgt zur Verdeutlichung der Thematik eine Darstellung an einem Beispiel. Kapitel 4 schließt mit einer kritischen Analyse des Verfahrens.

4.2 Exposure Mapping

In der Einleitung zu diesem Kapitel wurde bereits erwähnt, dass eine Exposure Map die Auswirkungen Marktpreisveränderungen auf die Komponenten des zukünftigen Cash Flow widerspiegelt.^[25] Eine Exposure Map wird für jedes Unternehmen individuell erstellt und sollte alle Beziehungen zwischen den Risikofaktoren und den Komponenten (einnahmewirksame Erträge und ausgabewirksame Aufwendungen) eines Unternehmens abbilden. Darüber hinaus ist es erforderlich, Interdependenzen zwischen Marktpreisrisiken und Absatzmengen^[26] zu erfassen und in korrekter Weise darzustellen.^[27]

Ein einfaches Beispiel hinsichtlich des Wechselkursrisikos verdeutlicht diesen Zusammenhang: Ein deutsches Unternehmen verkauft seine Produkte auf dem heimischen Markt. Der Hauptkonkurrent ist in Schweden ansässig und tauscht die in Euro erzielten Umsätze dementsprechend in schwedische Kronen um. Bei einem steigenden Wechselkurs EUR/SEK ist der Konkurrent in der Lage, den Preis zu senken ohne Verluste zu erleiden. Für das deutsche Unternehmen besteht durch den gesenkten Preis des schwedischen Unternehmens die Gefahr, Absatzmengeneinbußen zu erleiden.^[28] Folglich ist es bei der Erstellung der Exposure Map wichtig, neben der eigenen Unternehmensrisikolage auch die Situation der Wettbewerber zu beachten, denn auf den ersten Blick würde das deutsche Unternehmen nicht davon ausgehen, dass der Wechselkurs EUR/SEK einen relevanten Risikofaktor darstellt.^[29]

Aus dem Beispiel wird ersichtlich, dass Schwankungen von Marktpreisen zunächst Produktpreise beeinflussen können. Die veränderten Produktpreise können anschließend zu Schwankungen auf dem Absatzmarkt führen. Ist bekannt, welchen Einfluss die Entwicklung der Marktpreise auf das Volumen der Absatzmenge hat, so lässt sich die Beziehung anhand von Preiselastizitäten abbilden.^[30] Eine Preiselastizität e in Höhe von -0,5 gibt z. B. an, dass die Absatzmenge eines Produktes um 0,5 % zurückgeht, wenn dessen Preis um 1% steigt. Allgemein lässt sich die Preiselastizität anhand der folgenden Formel berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit x = Absatzmenge, p = Produktpreis und ∆ = Veränderung der jeweiligen Größe.^[31]

Die Zusammenhänge zwischen der Variabilität von Marktpreisen und Produktpreisen lassen sich ebenfalls durch Elastizitäten beschreiben.^[32] Sind Elastizitäten für ein Unternehmen relevant, so sollten diese in den Gleichungen der Exposure Map abgebildet werden. Problematisch wird der Sachverhalt, wenn neben den Marktpreisrisiken auch die Mengen zufälligen Schwankungen unterliegen. Folglich müssten auch für die Entwicklungen der Mengen Prognosen erstellt werden.^[33]

Offen bleibt die Frage, aus welchen Komponenten sich die Zielgröße Cash Flow zusammensetzt. Bei den gesuchten Größen handelt es sich um Positionen des operativen Unternehmensplans. Als wichtigste Komponenten ergeben sich auf der Einnahmeseite Umsatzerlöse und auf der Ausgabeseite Anschaffungs- und Herstellungsausgaben von Verkaufsgütern sowie Zinsausgaben.^[34] Eine explizite Darstellung von Gleichungen einer unternehmensspezifischen Exposure Map erfolgt anhand eines Beispiels im Abschnitt 4.5.

4.3 Langfristige Prognosen

Während bei dem VaR-Konzept Prognosen für eine Halteperiode von ein bis zehn Tagen erstellt werden, sind bei den CFaR-Verfahren langfristige Prognosen erforderlich. Für die Abbildung der Entwicklung der Risikofaktoren über einen längeren Zeitraum gibt es unterschiedliche Methoden. Aufgrund der einfachen Umsetzbarkeit und des im Vergleich zu anderen Verfahren geringen Dateninputs werden in der vorliegenden Arbeit die Prognosen über den Verlauf der jeweils relevanten Marktpreise, deren Entwicklung zufällig ist, mit Hilfe von Random Walks erstellt.^[35] Eine alternative Methode stellt das Vector Error Correction Model (VECM) dar, das sich aus einem Vector Autogressive Model und einem Error Correction Model zusammensetzt.^[36]

Anhand eines Beispiels lässt sich das Prinzip eines Random Walks einfach beschreiben: Ein betrunkener Mann verlässt eine Feier um sich auf den Heimweg zu begeben. Wegen seines Zustandes ist es problematisch vorab festzulegen und daher unsicher, wohin der jeweils nächste Schritt gehen wird und wie groß dieser sein wird. Folglich ist jeder gemachte Schritt unabhängig vom vorangegangenen Schritt. Aufgrund der Zufälligkeit der Schritte ist die Entfernung vom Ausgangspunkt nach einer zurückgelegten Teilstrecke ebenfalls beliebig groß. Analog zu dem Prozess in dem beschriebenen Beispiel ist es möglich, Pfade für Marktpreise über einen langfristigen Zeitraum zu simulieren.^[37]

Es wird unterschieden zwischen Random Walks mit Trendkomponente (RWmT) und Random Walks ohne Trendkomponente (RWoT). Ein RWoT impliziert einen Erwartungswert von Null für die Renditen der Zeitreihe des betrachteten Marktpreises. Die beim RWmT verwendete Trendkomponente kann entweder aus vergangenen Beobachtungen des jeweiligen Risikofaktors oder aus dem betreffenden Forward- bzw. Futurepreis deduziert werden.^[38] Bezogen auf das Beispiel des Betrunkenen, kann eine Trendkomponente dadurch eingefügt werden, dass er in Richtung seines Hauses geht.^[39] Die RiskMetric Group testete für insgesamt 65 verschiedene Zeitreihen von Wechselkursen, Zinsen, Aktienkursen und Rohstoffpreisen, ob entweder der RWoT, der RWmT^[40] oder das VECM die exaktere Prognose bezüglich der Entwicklung der Marktpreise liefert. 30mal erwies sich dabei das VECM als das genauere Prognosemodell, gefolgt von dem RWoT (25mal) und dem RWmT (10mal).^[41] Eine Anwendung des VECM gestaltet sich jedoch insofern als schwierig, da eine „spezielle Software“^[42] benötigt wird. Infolge der Überlegenheit des RWoT gegenüber dem RWmT werden die langfristigen Prognosen bezüglich der Marktpreise im weiteren Verlauf des Kapitels 4 daher mit Hilfe des RWoT durchgeführt. Durch die Verwendung von Random Walks wird implizit festgelegt, dass die zu simulierenden logarithmierten Kursentwicklungen normalverteilt sind.^[43]

Allgemein lässt sich der RWoT anhand der folgenden Gleichungen abbilden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit Kt bzw. Kt-1 als Kurse eines Marktpreises in t bzw. in t-1, Z als standardnormalverteilte Zufallsvariable, σ als Standardabweichung der historischen Renditen und dt als Änderung der Zeit von t-1 bis t. Der Unterschied zwischen den drei Gleichungen besteht darin, dass in [2] die Standardabweichung auf der Basis von diskreten Renditen ermittelt wurde und die Standardabweichung in [3] und [4] mit stetigen Renditen berechnet wurde.^[44] Der Umformungsschritt von [3] zu [4] ist notwendig, um absolute Kurse simulieren zu können.^[45] Im Rahmen des Bottom-up-Ansatzes werden Standardabweichungen von historischen Renditen auf Basis von Handelstagen ermittelt. Da auch die Simulation der Marktpreise auf Basis von Handelstagen erfolgt, ergibt sich für dt der Wert 1 und kann daher vernachlässigt werden.

Abbildung 5 zeigt die Darstellung von 1.000 verschiedenen Preispfaden über einen Prognosezeitraum von 250 Tagen. Zugrunde gelegt werden dabei eine Standardabweichung der historischen Renditen von 0,005 und ein Konfidenzniveau von 90%. Bei der Betrachtung des Schaubilds ist ein zweiseitiges, schwarz gekennzeichnetes Intervall erkennbar. In diesem Fall erfasst das Intervall 90% der simulierten Marktpreispfade. Anders formuliert bedeutet dies, dass von den insgesamt 1.000 erzeugten Pfaden 900 in dem eingezeichneten Intervall liegen. Birgt sich das Risiko für ein Unternehmen in einem steigenden Kurs des Marktpreises, folgt daraus, dass nur die obere Grenze des Intervalls relevant ist und somit insgesamt 95% der Pfade unterhalb des Grenzpfades liegen. Eine umgekehrte Situation ergibt sich, wenn das Risiko in einem fallenden Kurs liegt.^[46]

Abbildung 1: Darstellung von 1.000 simulierten Preispfaden

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Quelle: Eigene Darstellung.

Das in Abbildung 1 dargestellte Vertrauensintervall ist dadurch gekennzeichnet, dass der obere bzw. untere Grenzpfad eine positive bzw. negative und im Zeitablauf abnehmende Steigung aufweist. Das Prognoseintervall für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenHandelstage in die Zukunft kann in allgemeiner Form anhand der folgenden Formeln berechnet werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Die VariablenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenstellen den Kurs des oberen bzw. unteren Grenzpfades zum Zeitpunkt t dar. Die Variablen z1-α/2 bzw. zα/2 entsprechen einem Tabellenwert der Standardnormalverteilung abhängig vom gewählten Konfidenzniveau des Prognoseintervalls, und die Standardabweichung der historischen Renditen des betrachteten Marktpreises wird, wie bereits erwähnt, als σ angegeben.^[47] Bei der Betrachtung der Gleichungen [5] und [6] wird deutlich, dass die Standardabweichung der historischen Renditen großen Einfluss auf die Breite des Vertrauensintervalls hat. Die Standardabweichung wird wiederum durch den Beobachtungszeitraum bestimmt, und kann bei einer unpassenden Wahl zu Prognosen führen, die das Risiko bezüglich der Entwicklung von Marktpreisen falsch einschätzen.^[48] Daher sollte die Wahl des Beobachtungszeitraums gründlich hinterfragt werden.

4.4 Ermittlung des Cash Flow at Risk

Um den CFaR quantifizieren zu können, müssen zunächst Prognosen über den zukünftigen Cash Flow erstellt werden. Dazu werden die mit Hilfe des Random Walks simulierten Pfade der relevanten Marktpreise und die Gleichungen der Exposure Map benötigt. Es wird ein Planungshorizont festgelegt, für den der Cash Flow prognostiziert werden soll. Im nächsten Schritt wird für jeden Risikofaktor simultan ein generierter Preispfad betrachtet, um diese Pfade als ein mögliches zukünftiges Szenario darzustellen. Wurden vorab für jeden Faktor jeweils 1.000 Preispfade generiert, folgt daraus, dass auch insgesamt 1.000 Szenarien zur Verfügung stehen. Die Komponenten des Cash Flow bilden die abhängige Variable in den Gleichungen der unternehmensspezifischen Exposure Map.^[49]

Die Anzahl der Werte in einem Szenario ist abhängig von der Zahl der betrachteten Risikofaktoren. Bislang wurde noch nicht beachtet, dass auch zwischen den einzelnen Risikofaktoren Interdependenzen vorliegen. So können sich die Wirkungen der Risikofaktoren auf den Cash Flow bzw. auf dessen Komponenten ausgleichen.^[50] Die Wechselwirkungen können aus den historischen Daten bezüglich der relevanten Marktpreise abgeleitet werden. Eine Darstellung aller Beziehungen zwischen den Risikofaktoren erfolgt über eine Korrelationsmatrix.^[51] Risikodiversifikationseffekte, also eine Verringerung des Gesamtrisikos, werden über den Korrelationskoeffizienten erfasst.

Der Wert des Korrelationskoeffizienten ρ gibt Auskunft über den linearen Zusammenhang zwischen den Entwicklungen von jeweils zwei Risikofaktorrenditen aus historischen Daten und wird über eine Normierung der Kovarianz ermittelt.^[52] Durch die Normierung kann der Korrelationskoeffizient lediglich Werte zwischen -1 und +1 annehmen.^[53] Ein Wert von +1 würde einen vollständig positiven linearen Zusammenhang bedeuten, d. h. die Entwicklung der beiden historischen Renditen wäre völlig gleichgerichtet. In analoger Weise würde ein Wert von -1 einen vollständig negativen Zusammenhang zum Ausdruck bringen.^[54]

Sind alle Korrelationen zwischen den Risikofaktoren berechnet, werden die Ergebnisse in einer Korrelationsmatrix zusammengefasst. Die Dimension der quadratischen Matrix wird durch die Anzahl der betrachteten Risikofaktoren bestimmt. Bei n Risikofaktoren ergibt sich eine n x n -Matrix als Korrelationsmatrix, wobei die Diagonale ausschließlich aus Einsen besteht.^[55] Die mit Hilfe des Random Walks simulierten Preispfade sind unkorreliert. Um korrelierte Preispfade zu simulieren, wird auf die Monte Carlo Simulation zurückgegriffen. Zunächst werden für jeden relevanten Risikofaktor zu jedem Tag des Prognosezeitraums 1.000 standardnormalverteilte Zufallszahlen simuliert. Für jeden zukünftigen Tag werden die Zufallszahlen in einer 1.000 x n -Matrix abgebildet, wobei n für die Anzahl der betrachteten Risikofaktoren steht. Zur Umformung der unkorrelierten Zufallszahlen in korrelierte Zufallszahlen wird die Cholesky-Zerlegung^[56] verwendet.^[57] Dabei wird eine Dreiecksmatrix aus der Korrelationsmatrix gebildet, die mit der Matrix der unkorrelierten Zufallszahlen multipliziert wird.^[58] Beträgt der Prognosezeitraum bspw. 50 Tage wird der Vorgang insgesamt auch 50mal durchgeführt. Anschließend werden die korrelierten Zufallszahlen in die Gleichung [4] für die Variable Z eingesetzt und es können nachfolgend für jeden Risikofaktor 1.000 Preispfade simuliert werden, in denen Korrelationen berücksichtigt sind.

Die simulierten Werte eines jeden Szenarios werden in die Gleichungen der Exposure Map eingesetzt, wodurch Ergebnisse für die Komponenten des Cash Flow erzeugt werden. Anschließend erfolgt eine Zusammenführung der Komponenten zur gesuchten Zielgröße, dem Cash Flow. Insgesamt resultieren aus der Betrachtung von 1.000 Szenarien 1.000 Neubewertungen der Komponenten, womit außerdem eine gleiche Anzahl an Cash Flows generiert wird. Jeder simulierte Cash Flow wird festgehalten und anschließend in einem Histogramm abgebildet.^[59] Falls die Neuberechnung der Komponenten auf der Basis von Monaten oder Quartalen erfolgt, stellt der ermittelte Cash Flow ebenfalls einen Monats- bzw. Quartalswert dar. Eine anschließende Addition der Monatswerte würde einen Cash Flow über einen Zeitraum mehrerer Monate liefern.^[60] Beträgt der Prognosezeitraum ein Jahr, ist eine Aufteilung auf bspw. Quartalsprognosewerte insofern sinnvoll, damit die Entwicklungen der Marktpreise und damit auch Elastizitäten abgebildet werden können.^[61]

Mit Hilfe der simulierten Cash Flow-Verteilung kann der CFaR ermittelt werden. Zu Beginn der Arbeit wurde bereits beschrieben, dass der CFaR auch als relative Größe angegeben wird. Um den relativen CFaR bestimmen zu können, ist allerdings zunächst eine Quantifizierung des absoluten CFaR notwendig. Wie bei den Simulationsmethoden des VaR erfolgt dieser Schritt durch das Ordnen der generierten Cash Flow-Werte. Wird bspw. ein Konfidenzniveau von 95% festgelegt, so entspricht der absolute CFaR bei 1.000 Werten dem 950sten Rangwert, sofern der erste Rang dem höchsten Cash Flow und der 1.000ste Rang dem geringsten Cash Flow entspricht. Anschließend wird der absolute Cash Flow von dem im Voraus geplanten Cash Flow subtrahiert. Daraus resultiert der relative CFaR.^[62]

4.5 Darstellung des Bottom-up-Ansatzes an einem Beispiel

4.5.1 Ausgangssituation und Identifikation der Risikofaktoren

Im Mittelpunkt des gewählten Beispiels steht ein deutsches Unternehmen, das sich auf die Herstellung von goldenen Fingerringen spezialisiert hat und diese auf dem polnischen Markt verkauft. ^[63] Bei den Konkurrenten handelt es sich ausschließlich um polnische Unternehmen. Aus diesen Überlegungen heraus kann der erste relevante Risikofaktor abgleitet werden. Dabei handelt es sich um den Wechselkurs EUR/PLN. Für die Herstellung der Fingerringe wird der Rohstoff Gold benötigt. Gold wird auf dem Weltmarkt in USD/Feinunze gehandelt, wodurch auch der Wechselkurs EUR/USD einen relevanten Risikofaktor darstellt. Der Rohstoffpreis für Gold unterliegt ebenfalls täglichen Schwankungen und spiegelt demzufolge den dritten relevanten Risikofaktor wider. Um die Komplexität des gewählten Beispiels in Grenzen zu halten, wird unterstellt, dass alle weiteren Ausgaben nicht von den Schwankungen der Marktpreise verändert werden. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die folgenden Analysen für einen Prognosezeitraum von einem Jahr durchgeführt werden, wobei jeweils simulierte Kurse zum Ende eines Quartals für die anschließende Berechnung des CFaR herangezogen werden.

[...]

---

^[1] Vgl. Kropp/Gillenkirch (2004), S. 92-93.

^[2] Vgl. Hoitsch/Winter (2004), S. 239; Andrén/Jankensgard/Oxelheim (2005), S. 76.

^[3] Vgl. Diederichs (2004), S. 179-180.

^[4] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Hoitsch/Winter (2004), S. 240.

^[5] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Lee/Kim/Malz (1999), S. 34.

^[6] Vgl. Gebhardt/Mansch (2001), S. 64; Kropp/Gillenkirch (2004), S. 95.

^[7] Vgl. Lee/Kim/Malz (1999), S. 32.

^[8] Vgl. Hager (2004), S. 100.

^[9] Vgl. Kropp/Gillenkirch (2004), S. 95.

^[10] Vgl. Hager (2004), S. 101; Wiedemann/Hager (2003), S. 219.

^[11] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Wiedemann/Hager (2003), S. 219.

^[12] Vgl. Hoitsch/Winter (2004), S. 243

^[13] Vgl. Batram (2000a), S. 1281; Froot/Scharfstein/Stein (1993), S. 1630-1631.

^[14] Vgl. Andrén/Jankensgard/Oxelheim (2005), S. 78.

^[15] Vgl. Pfennig (2000), S. 1296.

^[16] Vgl. Froot/Scharfstein/Stein (1993), S. 1631.

^[17] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Stein/Usher/LaGattuta (2001), S. 101.

^[18] Vgl. Andrén/Jankensgard/Oxelheim (2005), S. 78.

^[19] Vgl. Ossadnik (2003), S. 391.

^[20] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Hoitsch/Winter (2004), S. 242; Lee/Kim/Malz (1999), S. 28.

^[21] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Bartram (2000b), S. 243.

^[22] Vgl. Adler/Dumas (1984), S. 42.

^[23] Wenn im Rahmen des Kapitel 4 von Risikofaktoren die Rede ist, handelt es sich dabei um Marktpreisrisiken.

^[24] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Hoitsch/Winter (2004), S. 242; Lee/Kim/Malz (1999), S. 28-29.

^[25] Vgl. Lee/Kim/Malz (1999), S. 39.

^[26] Auch die Beschaffungsmengen können von Marktpreisänderungen abhängig sein.

^[27] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Wiedemann/Hager (2003), S. 222.

^[28] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Kropp/Gillenkirch (2004), S. 94.

^[29] Vgl. Andrén/Jankensgard/Oxelheim (2005), S. 78; Wiedemann/Hager (2003), S. 231.

^[30] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Kropp/Gillenkirch (2004), S. 94.

^[31] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Diggelmann (1999), S. 225.

^[32] Vgl. Lee/Kim/Malz (1999), S. 44.

^[33] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Kropp/Gillenkirch (2004), S. 94; Hager (2004), S. 84-85.

^[34] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Bartram (2000a), S. 1283.

^[35] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Hager (2004), S. 81.

^[36] Eine detaillierte Darstellung des VECM findet sich bei Lee/Kim/Malz (1999) S. 54-60 bzw. Kim/Malz/Mina (1999), S. 94-117.

^[37] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Wiedemann/Hager (2003), S. 219; Hager (2007a).

^[38] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Heij/de Boer/Franses (2004), S. 579-582; Hager (2004), S. 73.

^[39] Vgl. Wiedemann/Hager (2003), S. 219; Hager (2007a).

^[40] Für die Berechnung des Erwartungswertes wurden Forward Prämien verwendet.

^[41] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Kim/Malz/Mina (1999), S. 128-132.

^[42] Hager (2004), S. 81.

^[43] Vgl. zur Begründung dieser Aussage Deutsch (2001), S. 28-29.

^[44] Vgl. Deutsch (2001), S. 32 und S. 176; Jorion (2001), S. 293. Im weiteren Verlauf wird bei der Simulation von Preispfaden stets auf Gleichung [4] zurückgegriffen.

^[45] Vgl. Kremers (2002b), S. 144; Hager (2004), S. 72.

^[46] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Wiedemann/Hager (2003), S. 220; Jorion (2001), S. 294.

^[47] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Hager (2004), S. 75.

^[48] Vgl. Hager (2004), S. 75.

^[49] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Wiedemann/Hager (2003), S. 224-225..

^[50] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Andrén/Jankensgard/Oxelheim (2005), S. 79.

^[51] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Lee/Kim/Malz (1999), S. 87.

^[52] Für eine Darstellung der Berechnungsformeln für die Kovarianz und Korrelation wird auf Bamberg/Baur (2001), S. 125-126 verwiesen.

^[53] Vgl. Hager (2004), S. 32-33; Schneider/Kornrumpf/Mohr (1995), S. 206.

^[54] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Wiedemann (2002b), S. 1548; Kremers (2002b), S. 146-147.

^[55] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Kim/Malz/Mina (1999), S. 148.

^[56] Ein Beispiel zur Cholesky-Zerlegung ist im Anhang I. gegeben.

^[57] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Kaninke (2004), S. 131; Hager (2004), S. 56-57.

^[58] Vgl. Jorion (2001), S. 304.

^[59] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Lee/Kim/Malz (1999), S. 61.

^[60] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Wiedemann/Hager (2003), S. 225.

^[61] Vgl. Wiedemann/Hager (2003), S. 219.

^[62] Vgl. für die vorangehenden Aussagen Lee/Kim/Malz (1999), S. 62-65; Hager (2004), S. 109.

^[63] Es handelt sich hierbei um ein fiktives, einfach gewähltes Beispiel, das an die Ausführungen von Wiedemann/Hager (2003), S. 223-227 und Lee/Kim/Malz (1999), S. 43-45 angelehnt ist, wobei jedoch zusätzlich Korrelationen zwischen den Risikofaktoren berücksichtigt werden. Alle Berechnungen wurden mit dem Programmpaket R durchgeführt.