Förderung der Problemlösekompetenz durch Fermi-Aufgaben. Volumenberechnung in der 7. Klasse


Bachelorarbeit, 2011

49 Seiten, Note: 1,7


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Allgemeine Überlegungen zum Unterrichtsvorhaben
2.1 Stellenwert der Problemlösekompetenz
2.2 Begriffliches zum „mathematischen Problemlösen“
2.3 Merkmale und Ziele von problemorientiertem Mathematikunterricht
2.4 Heuristik im problemorientierten Mathematikunterricht
2.5 Anforderungsprofile für Aufgaben im problemorientierten Unterricht
2.5.1 Die Fermi-Aufgabe
2.5.1.1 Allgemeine Beschreibungen und Eigenschaften vor Fermi-Aufgaben
2.5.1.2 Pädagogischer Nutzen im Sinne des Themas
2.6 Beurteilungsverfahren und Bewertungsraster
2.6.1 Systematik der Bewertung

3 Darstellung des Ablaufs der Unterrichtsvorhabens in der Praxis
3.1 Methodische und didaktische Begründung für die Unterrichtsplanung
3.1.1 Ziele des unterrichtlichen Vorhabens
3.1.2 Unterrichtsplanung und ihre Begründung
3.2 Die Aufgabenstellung
3.2.1 Begründung für die Wahl dieser Aufgabenstellung
3.2.2 Beschreibung der Aufgabe und des Aufgabenblattes
3.2.3 Anspruchsniveau der Aufgabenstellung
3.2.4 Darstellung möglicher Lösungswege
3.2.5 Vermutliche Schwierigkeiten bei der Bearbeitung der Aufgabe

4 Überprüfung und Bewertung der Unterrichtsergebnisse
4.1 Lösbarkeit der Fermi-Aufgabe für die Schüler
4.2 Fokussierung der Befunde auf den Problemlöseprozess
4.3 Auswertung der Befunde

5 Zusammenfassende Betrachtung und Schlussbemerkung

6 Literaturverzeichnis

1. Einleitung

Spätestens seit der Veröffentlichung der Ergebnisse internationaler Leistungsvergleichsstudien (PISA und TIMMS) ist in die deutsche Schullandschaft viel Bewegung geraten. Verstärkt durch die demographische Entwicklung der abnehmenden Geburtenraten der letzten Jahre haben bildungspolitische Diskussionen zur Veränderung von Schulstrukturen und des Unterrichts Hochkonjunktur. Dabei geht es nicht nur um die Organisationsformen der Schulen, also um G8, Ganztagsschulen, Gemeinschaftsschulen usw., sondern schwerpunktmäßig auch um die Unterrichtsfächer, die Ziele der Fächer und um die Art des Unterrichts usw. Mit anderen Worten: Um die Qualität von Unterricht und Erziehung.

Keiner wird der Forderung nach mehr Qualität, d.h. Güte, wiedersprechen. Aber der Quali- tätsbegriff ist relativ „mehrdeutig“. Die Frage nach der „Güte“ von Schule und den entspre- chenden Fächern berührt ein pädagogisches Grundproblem der Schule, das in unserer poli- tischen Gesellschaft ausgesprochen kontrovers diskutiert und je nach Standpunkt des Be- trachters unterschiedlich gelöst wird. Ist die Auswertung kognitiven Wissens und kognitiver Fähigkeiten Merkmal der „guten“ Schule bzw. des „guten“ Unterrichts oder zählen mehr die Aktionen und Prozesse, die den Schüler zu Kompetenzen führen? Es geht dabei um Kompe- tenzen, die in dem der Schule nachfolgenden Leben als Auszubildender, als Student, als Facharbeiter, Arzt etc. nachgefragt werden. Beispiele sind die Sozialkompetenz, um aktiv am gesellschaftlichen Leben teilzunehmen oder in Teams erfolgreich mitarbeiten zu können, aber auch die Problemlösekompetenz, um den vielen im privaten und beruflichen Leben auf- tauchenden Schwierigkeiten erfolgreich begegnen und sie lösen zu können.

Der Qualitätsbegriff muss, wenn er auf die schulische Bildungsarbeit übertragen wird, meines Erachtens beide Bereiche - also Wissen und Fertigkeiten auf der einen Seite und Strategien, um Kompetenzen zu entwickeln, auf der anderen Seite - abdecken. Das gilt für alle Fächer. Natürlich auch für den Mathematikunterricht. Gerade in diesem Fach findet häufig eine sehr einseitige Ausrichtung auf das „richtige“ Ergebnis statt. Die Erzielung des richtigen Endproduktes der mathematischen Überlegungen wird übermäßig gewichtet. Alles andere geht häufig gar nicht in die Bewertung mit ein.

Erst die oben genannten PISA- und TIMMS-Untersuchungen haben unter diesem Aspekt zu einer Änderung im Denken der Bildungspolitiker geführt. „Problemlösekompetenz“ wurde in der nachfolgenden Diskussion als wichtiges Kriterium für die Bildungsarbeit gewichtet. Und zwar für alle Fächer.

Das hat mein Interesse an diesem Thema geweckt. Im Rahmen meiner Bachelorarbeit will ich an einem einfachen Beispiel für den Mathematikunterricht untersuchen, wie ein Unterricht in diesem Fach organisiert werden kann, indem das Unterrichtsziel „Problemlösekompetenz“ in den Mittelpunkt der unterrichtlichen Arbeit gestellt wird. Meine besondere Aufmerksamkeit liegt dabei auf dem Stellenwert, den das Aufgabenformat der Fermi-Aufgabe bei der Auslösung der Kompetenz besitzt. Das erfordert aber zunächst die Beantwortung der Frage, wie diese Aufgabenstellung vom Adressaten des Unterrichts - den Schülerinnen und Schülern1 - angenommen, verstanden und gewertet wird.

In diesem Sinne lautet das Thema meiner Bachelorarbeit „Förderung der Problemlösekompetenz durch Fermi-Aufgaben - Volumenberechnung in Klasse 7“ mit den daraus resultierenden Fragestellungen „können die Kinder dieses für sie unbekannte und ungewohnte Aufgabenformat lösen?“ und, wenn ja, „welche Problemlösestrategien nutzen die Schüler bei der Lösung der Fermi-Aufgabe?“.

Im Verlauf der Ausarbeitung werde ich dabei auf allgemeine theoretische Überlegungen zum problemorientierten Mathematikunterricht und auf die in der Literatur vorhandenen Quellen zu diesem Thema eingehen. Die Unterrichtsziele sowie die Besonderheiten der Unterrichtsaufgaben der Unterrichtsform und der Bewertungsmöglichkeiten werde ich meinem Unterrichtsvorhaben entsprechend darstellen.

Der zweite Teil der Arbeit beschreibt den Unterrichtsablauf in der für das Vorhaben ausgewählten Klasse eines Gymnasiums in B. Dabei werden die genaue Aufgabenstellung und die Reaktion der Schüler in Bezug zum Bewertungsschema beobachtet, dokumentiert und nachträglich ausgewertet.

Im abschließenden dritten Teil ziehe ich in einer vergleichenden Betrachtung ein Resümee meines Unterrichtsvorhabens und versuche dabei auf die Fragestellungen meiner Bachelorarbeit einzugehen.

2. Allgemeine Überlegungen zum Unterrichtsvorhaben

2.1 Stellenwert der Problemlösungskompetenz

Der normale Alltag bietet häufig Probleme, die nicht durch Rückgriff auf vorhandenes Wissen zu lösen sind. Alleine die Alltagsprobleme im Beruf bzw. in der Schule erfordern von den Menschen bestimmte Vorgehensweisen und Strategien, um sie zu bewältigen. Generell wird mit dem Lösen eines Problems etwas sehr Schwieriges verbunden. Diese in den letzten Jahrzehnten stark wachsende Anzahl an komplexen neuen und unerwarteten Situationen in allen Lebensbereichen begründen die Forderung nach einem geschulteren Umgang mit Problemlösestrategien. Der Mathematikdidaktiker Beat Wälti-Scolari (vgl. 2001, 1) stellt fest, dass die Problemlösekompetenz für die heutige Menschheit überlebensnotwendig geworden ist. Je eher die Kinder positive Erfahrungen im Umgang mit Problemen machen, desto früher können sie ähnliche Situationen im späteren Alltag bewältigen. Wo kann diese Kompetenz besser gefördert werden als in der Schule? Gerade der Mathematikunterricht bietet dazu viele Möglichkeiten. „Wir plädieren für Lernprozesse in der Schule, die Schülerinnen und Schüler auf die Komplexität und Offenheit ihrer Lebenswirklichkeit vorbereiten - und dies unabhängig von Alter und Leistungsfähigkeit. Der Umgang mit Problemen ist durch den Um- gang mit Unsicherheiten gekennzeichnet - und dies ist genau der Bildungswert“ (We- ning/Kriwet 1999, 7). Problemlösen ist somit als eine, mehr oder weniger selbständige Bear- beitung einer Aufgabenstellung anzusehen, bei der der Lösungsweg nicht gleich ersichtlich ist. Je nach Vorwissen, etc. des Individuums kommt es bei dieser Lösungsfindung zu perso- nenspezifischen Barrieren, die bewältigt werden müssen. In der Bewältigung dieser Barrie- ren liegt der eigentliche Akt des Problemlösens (vgl. Zimmermann 1991, 14).

Die im Zitat von Werning/Kriwet (1999) zum Ausdruck kommende Einstellung hat dazu ge- führt, dass die Problemlösekompetenz schon längst ihren Niederschlag in den Lehrplänen gefunden hat. Wälti-Scolaris (vgl. 2001, 12f.) Meinung „Mathematik betreiben heisst Proble- me lösen“ hat in die heutigen Lehrpläne Eingang gefunden. Die Vermittlung von operativem Verständnis und Problemlöseprozessen wird verstärkt angestrebt. Als eines der ersten Bun- desländer hat Nordrhein-Westfalen bereits 1986 die traditionellen Kernlehrpläne mit dem Ansatz des problemorientierten Lernens erweitert. Aus dieser neuen Sicht muss Unterricht so gestaltet werden, dass er den Kindern möglichst viele Gelegenheiten zum selbstständigen Lernen bietet.

Auch in den Bildungsstandards wird „Problemlösen“ als eine Kompetenz eingeführt. Die Bil- dungsstandards wurden als Reaktion auf die in der Einleitung bereits erwähnte PISA-Studie von der Kultusministerkonferenz im Jahr 2003 implementiert. In ihnen werden die fachbezo- genen Kompetenzen, die die Schüler bis zu einem bestimmten Zeitpunkt erworben haben sollen, festgelegt (vgl. Blum u.a. 2006, 15). Eine der Kompetenzen, an denen die Bildungs- standards das Können eines Schülers „festmachen“, ist die Kompetenz „Probleme mathema- tisch lösen“ (K2) (vgl. Blum u.a. 2006, 33). „Probleme lösen im Sinne der Bildungsstandards ist immer dann erforderlich, wenn eine Lösungsstruktur nicht offensichtlich ist und dement- sprechend ein strategisches Vorgehen bei der Bearbeitung notwendig ist“ (Blum u.a. 2006, 39).

Eine Umsetzung der Verankerung der Problemlösekompetenz und des Ausbaus der Kompe- tenz (K2) „Probleme mathematisch lösen“, erfordert von den Lehrern eine Umgestaltung des traditionellen Mathematikunterrichts hin zu einem problemorientierten Mathematikunterricht. „Ein problemorientierter Mathematikunterricht orientiert sich - wie könnte es anders sein? - an mathematischen Problemen“ (Zimmermann 1991, 9). Im Mittelpunkt des Unterrichts ste- hen also nicht mehr nur mathematische Aufgaben, welche von den Schülern durch Rückgriff auf Routineerfahrungen bearbeitet werden, sondern mathematische Probleme, deren Lö- sungsfindung, wie zuvor schon erwähnt, eine personenspezifische Barriere mit sich bringen (vgl. Zimmermann 1991, 9). Doch nicht jedes Problem ist geeignet, es im Rahmen von prob- lemorientiertem Mathematikunterricht einzusetzen. Neben der Forderung, dass die Probleme sowohl pädagogisch, als auch mathematisch sinnvoll sein sollen, sollen sie vor allem entde- ckendes Lernen fördern und ein hohes Maß an Offenheit mit sich bringen (vgl. Zimmermann 1991, 10).

Eine Aufgabenstellung, die sich durch zahlreiche dieser, soeben geschilderten Eigenschaf- ten auszeichnet und dadurch ein hohes Maß an Offenheit besitzt ist die Fermi-Aufgabe. Sie bekommt für die angestrebte Kompetenzentwicklung einen besonderen Stellenwert, der eine besondere Darstellung unter 2.5.1 im Rahmen dieser Arbeit rechtfertigt. Auch die Entschei- dung der adäquaten Unterrichtsmethodik wird im Kontext dieser Beschreibung dargestellt.

2.2 Begriffliches zum „mathematischen Problemlösen“ im Mathematikunterricht

Um untersuchen zu können inwiefern Fermi-Aufgaben Problemlösekompetenzen der Schüler besonders fordern und fördern, versuche ich zunächst den Begriff des „mathematischen Problemlösens“ zu erklären und die Vernetzung dieses Unterrichtsziels mit anderen Faktoren des Bildungsprozesses darzustellen.

Um mathematisches Problemlösen von den Schülern zu fordern, müssen sie zunächst natür- lich erst einmal mit dem Problem konfrontiert werden. „Ein Problem im Mathematikunterricht soll eine Anforderungssituation bezeichnen, die subjektiv als (kognitiv) schwierig erlebt wird“ (Bruder/Collet 2011, 11). Demnach stellen Probleme Ausgangssituationen für die Lernenden dar, die von ihnen nicht gleich durch die ihnen, bekannten Hilfsmittel zu bewältigen sind. „Es wird eine für das Individuum neue Lösung verlangt“ (Bruder/Collet 2011, 11). Besonders her- vorzuheben ist dabei der Begriff „Individuum“, der verdeutlichen soll, dass der Schwierig- keitsaspekt von Problemen von Person zu Person unterschiedlich ist. Je nach Herange- hensweise, kognitiven Vorkenntnissen, Motivation etc. werden verschiedene Lösungen un- terschiedlich leicht oder schwer gefunden (vgl. Bruder/Collet 2011, 11). Das folgende Zitat von Zimmerman gibt das am besten wieder: „Wesentlich für ein Problem ist, dass dem damit befassten (darin interessierten!) Schüler nicht sofort der Weg zu dessen Lösung klar ist, dass es also eine gewisse (auch personenspezifische) Barriere gibt“ (Zimmermann 1991, 9).

Ob eine Aufgabe als eine Problemlöseaufgabe angesehen werden kann, hängt also „nicht nur von der Aufgabe selbst, sondern ebenso von den Kompetenzen des Problemlösers und damit auch von ihrer Einbettung in die individuelle Lerngeschichte und der Platzierung im Unterrichtsprozess ab“ (Büchter/Leuders 2005, 29).

Dennoch steht nach Bruder/Collet (vgl. 2011, 12f.) der Aufgabenbegriff im Vordergrund des Mathematikunterrichts. Generell ist eine Aufgabe eine Aufforderung zum „Lernhandeln“. In der Didaktik versteht man unter Aufgaben vor allem den Oberbegriff für alle relevanten Lern- aufforderungen, die in Bezug auf das Individuum möglicherweise etwas Problemhaftes mit sich bringen. Dies bedeutet für mich, dass ich in Kenntnis des aktuellen Lernstands der Schüler der ausgewählten siebten Klasse des Gymnasiums, in der die unterrichtspraktische Phase stattfindet, das Problemlösepotenzial der von mir eingesetzten Aufgabenstellung, ab- schätzen muss. Für die Abschätzung dieses Potenzials geben Bruder/Collet (vgl. 2011, 13) Anregungen. Sie haben „die, in der Literatur dokumentierten Merkmale, die das Anforde- rungsniveau einer Aufgabe in einer objektivierten Form beschreiben können, gebündelt zu vier Parametern“ (Bruder/ Collet 2011, 13). Diese lauten Formalisierungsgrad F, Komplexi- tätsgrad K, Bekanntheitsgrad B und Ausführungsaufwand A. Beim Formalisierungsgrad F wird untersucht, ob eine mathematische Aufgabe selber gesucht werden muss oder ob sie schon vorgegeben ist und wie kompliziert dieser Suchprozess ist. Wie der Name schon sagt, wird großen Wert auf den formalen Aspekt der Aufgabe gelegt, sprich das Verständnis beim Lesen etc. Das zweite Kriterium, der Komplexitätsgrad K beschäftigt sich mit den „kognitiven Anforderungen insbesondere im Lösungsprozess der Aufgabe“ (Bruder/Collet 2011, 13), wohingegen der Bekanntheitsgrad B das erste Mal auch den Schüler mit in die Beurteilung hinein nimmt. Hier werden die Vorerfahrungen des einzelnen Aufgabenbearbeiters mit ein- bezogen und wird anhand dessen sein Umgang mit der jeweiligen Aufgabe untersucht. Im Ausführungsgrad A wird schließlich auf die Lösungsdarstellung und ihre Anforderungen ge- schaut. Dabei werden der formale Rechenaufwand, die Lösbarkeit der Aufgabenstellung, etc. in die Beurteilung mit einbezogen. „Diese vier Anforderungsparameter F, K, B, A bieten eine geeignete Orientierungshilfe zur Beschreibung des Problemlösepotenzials einer Aufgabe und zur gezielten Aufgabenvariation mit definierten Anforderungen an das fachmathemati- sche und problemlösemethodische Können der Schülerinnen und Schüler“ (Bruder/Collet 2011, 14). Auch ich werde mich in Kapitel 4 dieser Kriterien bei der Beurteilung meiner Auf- gabenstellung bedienen.

Daraus ergibt sich nun folgende Äußerung: „Der Problemlöseprozess ist durch vielfältige Wechselbeziehungen zwischen Problemaufgabe und Problemlöser gekennzeichnet“ (Fuchs 2006, 73). Die Untersuchung dieser Wechselbeziehung wird immer und immer wieder vor- genommen und dementsprechend findet man in der Literatur zahlreiche Modelle zu diesem Thema. Besonders bekannt ist das Konzept von Pólya, einem der „Urväter des mathemati- schen Problemlösens“ (Bruder/Collet 2011, 18). Er teilt den Vorgang des Problemlösens in vier Phasen ein. In der ersten Phase geht es um das Verstehen der Aufgabe, wobei der Ler- nende darüber nachdenken soll, ob die Aufgabe überhaupt lösbar ist und sich geeignete Fragen überlegen soll. Zur Hilfe können Visualisierungen, Tabellen, etc. genommen werden. Die zweite Stufe beschreibt das Ausdenken eines Plans. Pólya beschreibt die Idee eines Plans wie folgt: „Wir haben einen Plan, wenn wir wissen oder wenigstens in Umrissen wis- sen, welche Rechnungen, Umformungen oder Konstruktionen wir ausführen müssen, um die Unbekannte zu erhalten“ (Pólya 1949, 22). Es geht also darum eine bekannte Strategie auf deren Nutzbarkeit in Bezug auf die jeweilige Aufgabenstellung zu untersuchen. In der dritten Phase soll, durch die Ausführung dieses Plans. die Lösung erarbeitet werden. Wichtig ist an dieser Stelle, dass jeder Schritt der Problemlösung nachvollzogen und auf mathematische Richtigkeit überprüft wird. In der letzten vierten Phase findet eine Rückschau statt. In ihr werden nicht nur die einzelnen Teilschritte auf Richtigkeit überprüft, sondern auch das erar- beitete Ergebnis. Außerdem wird die verwendete Methode für neue Probleme abgespeichert (vgl. Pólya 1949, 48f.).

Dieses Stufenmodell soll den Schülern als eine Hilfe beim Bearbeiten von Problemstellungen dienen. Es baut aber auf der Kenntnis von Problemlösestrategien bzw. bestimmten strategi- schen Vorgehensweisen auf, welche in den Bildungsstandards als eine der sechs allgemei- nen mathematischen Kompetenzen angesehen wird. Unter der Kompetenz „Probleme ma- thematisch lösen“ (K2) versteht man das Verfügen über geeignete Strategien als Hilfe bei der Lösungsfindung und eine Reflexion darüber (Blum u.a. 2006, 39). Die Wissenschaft, die sich mit solchen strategischen Vorgehensweisen beschäftigt, ist die Heuristik. Nach Pólya wird sie folgendermaßen beschrieben: „Die Heuristik beschäftigt sich mit dem Lösen von Aufgaben. Zu ihren spezifischen Zielen gehört es, in allgemeiner Formulierung die Gründe herauszustellen für die Auswahl derjenigen Momente bei einem Problem, deren Untersu- chung uns bei der Auffindung der Lösung helfen könnte“ (Bruder/Collet 2011, 36). Damit sind Methoden und Techniken gemeint, die bei der Untersuchung von Lösungswegen von Problemen zu beobachten sind. Sie werden auch Heurismen genannt und in heuristische Prinzipien, Regeln, Strategien und Hilfsmittel unterteilt. In Kapitel 2.4 werde ich auf diese Heurismen genauer eingehen.

Die Kompetenz „mathematisches Problemlösen“ stellt an die Schüler verschiedene Ansprüche, welche in den Bildungsstandards (KMK 2003) durch drei Anforderungsbereiche definiert sind (Bruder/Collet 2011, 20):

- Kompetenz: Probleme mathematisch lösen Anforderungsbereich 1 (reproduzieren)
- Routineaufgaben lösen („sich zu helfen wissen“)
- Einfache Probleme mit bekannten - auch experimentellen - Verfahren lösen

Anforderungsbereich 2 (Zusammenhänge herstellen)
- Probleme bearbeiten, deren Lösung die Anwendung von heuristischen Hilfsmitteln,

Strategien und Prinzipien erfordert
- Probleme selbst formulieren
- Die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen

Anforderungsbereich 3 (verallgemeinern und reflektieren)
- Anspruchsvolle Probleme bearbeiten
- Das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren

2.3 Merkmale und Ziele von problemorientiertem Mathematikunterricht

Problemorientierter Unterricht richtet sich an der Thematisierung von Problemen aus (vgl. Kap. 2.1). Er beruht also auf einer Umsetzung der im vorhergehenden Kapitel genauer erläu- terten Kompetenz des mathematischen Problemlösens. Aber nicht jedes Problem ist dafür geeignet, es im Rahmen von problemorientiertem Mathematikunterricht zu bearbeiten.

Laut Zimmermann (vgl. 1991, 10) sollen „geeignete“ Probleme „pädagogisch sinnvoll“ sein. Das heißt, dass sie für möglichst viele Schüler motivierend sein sollen und oft Erfolgsergeb- nisse mit sich bringen sollen. Des Weiteren sollen sie die geistige Flexibilität schulen und ein Anlass zum Erwerb oder zur Festigung mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten sein. Außerdem ist es wichtig, dass sie mathematisch sinnvoll sind und „entdeckendes Lernen“ ermöglichen. Zusätzlich dazu zeichnen sich „geeignete“ Probleme durch ein hohes Maß an Offenheit aus. In Kapitel 2.5 werde ich auf geeignete Aufgabenstellungen im problemorientierten Mathematikunterricht genauer eingehen.

Laut Büchter/Leuders (vgl. 2005, 42f.) ist aber nicht nur die Wahl einer geeigneten Problem- stellung Garantie dafür, dass die Kinder durch problemlösendes Denken und Arbeiten an die Aufgabe heran gehen, sondern auch die Art der Unterrichtsgestaltung. Diese soll darauf ab- zielen, dass Probleme ihr Potenzial entfalten können. Dafür haben sie folgende Kriterien aufgelistet, welche ich in die Planung meiner Unterrichtsstunde mit einbeziehen werde. Zum einen muss den Schülern genügend Zeit für eine individuelle Auseinandersetzung mit dem Problem eingeräumt werden, denn ein zu früh fragend-entwickelndes Unterrichtsgespräch zwischen den Schülern unterbindet die individuelle Problemlösetätigkeit. Des Weiteren ist es sehr wichtig, dass die Kinder die nötigen Voraussetzungen zum Lösen der Aufgabe besitzen oder sich wieder erarbeiten können. Gestufte Hilfestellungen, wie Karteikärtchen mit Anre- gungen zum Vorgehen, etc. können bei Bedarf angeboten werden. Wichtig ist aber vor al- lem, dass die Schüler beim Bearbeiten von Problemaufgaben keinem Leistungs- bzw. Zeit- druck ausgesetzt werden, da dieser die Kreativität hemmt. Außerdem soll die affektive Seite des Problemlösens nicht unterschätzt werden. Nur wenn die Aufgabe die Kinder nicht über- fordert und ein ausgeglichenes Verhältnis zwischen Anregungsniveau und Lösungshoffnung besteht, stellen sich die für den weiteren Lernprozess unabdingbaren Erfolgserlebnisse ein. Als letztes Kriterium, welches für die Entwicklung von Problemlösefähigkeit wichtig ist, wird die Metakognition angesehen. Vor allem bei Problemen mit verschiedenen Lösungswegen und Lösungen ist ein anschließendes Reflektieren des Vorgehens für den Lernprozess von großer Bedeutung.

Anhand dieser Charakterisierung von problemorientiertem Unterricht lassen sich laut Zim- mermann (vgl. 1991, 11) folgende Ziele festhalten: Die lernenden Kinder sollen eine positive Einstellung zur Mathematik erlangen und möglichst oft vom Lehrer Situationen vorgegeben bekommen, in denen sie selbstständig und kreativ arbeiten können und die Gelegenheit er- halten ihr Repertoire an heuristischen Vorgehensweisen zu erweitern. Außerdem sollen die Schüler regelmäßig die Möglichkeit erlangen, „anhand offener und beziehungshaltiger Prob- lemfelder und offen gehaltener Unterrichtssituationen Querverbindungen innerhalb der Ma- thematik und mit anderen Bereichen aus ihrer Umwelt (u.a. Unterrichtsfächern) für sie er- fahrbar zu machen“ (Zimmermann 1991, 11). Das vierte Ziel von problemorientiertem Unter- richt ist, dass Problemaufgaben gestellt werden sollen, die den Schülern ein differenziertes Vorgehen bei der Lösungsfindung ermöglichen.

Inhaltlich eng verbunden mit den von Zimmermann formulierten Zielen sind die folgenden Ziele von Bruder/Collet (vgl. 2011, 20ff.). Sie sehen als Hauptziel des problemorientierten Unterrichts die Vermittlung der Problemlösekompetenz. So steht in der aktuellen Zieldiskus- sion des KMK-Bildungsstandards der Erwerb dieser Kompetenz im Fokus der Forderungen. Mathematikunterricht soll Wissen vermitteln, das im späteren Alltag oder Berufsleben weiter helfen soll. Jedoch kann nicht jede Kompetenz bzw. Fähigkeit, die im späteren Erwachse- nenleben gebraucht wird, vermittelt werden. Daher soll im Unterricht vielmehr ein Wissen aufgebaut werden, das beim späteren Weiterlernen helfen soll, das also vielmehr die Verbin- dung zwischen dem vorhandenen Basiswissen und dem neuen Weiterlernen darstellt. Auch dem Problemlösen wird eine solche Vermittlerrolle zugesprochen und es stellt daher ein zentrales Ziel von problemorientiertem Unterricht da. So sollen die Kinder im Rahmen von problemorientiertem Unterricht mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen erkennen, eigene Fragestellungen formulieren, mathematische Modelle bzw. geeignete Vor- gehensweisen zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen kennen und diese situati- onsgerecht anwenden sowie Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eige- nes Handeln entwickeln. Besonders stark wird das „Fragestellen“ betont. Im Vergleich zum herkömmlichen Mathematikunterrichts sind damit nicht die engführenden Fragestellungen der Lehrkraft gemeint. Problemorientierter Unterrichts soll viel mehr zu interessanten, weiter- führenden Fragen anregen. Diese ermöglichen den Kindern selbstbestimmendes Lernen und geben ihnen die Möglichkeitzum kreativen Problemlösen. Ein weiteres Ziel von problemori- entiertem Mathematikunterricht ist die Forderung nach Anstren gungsbereitschaft und Refle- xionsfähigkeit der Schüler, denn nur, wenn man sich auf die gegebenen und gefundenen Probleme einlässt, kann man Problemlösen lernen.

2.4 Heuristik im problemorientierten Mathematikunterricht

„Es versteht sich von selbst, dass das Ziel des Unterrichts sein muss, Schüler vom angeleiteten exemplarischen Anwenden konkreter Strategien über die Reflexion dieser Strategien zur selbstständigen Anwendung zu führen“ (Büchter/Leuders 2005, 37). Das berührt genau das Thema dieser Bachelorarbeit, ob die Fermi-Aufgaben von den Kindern in einem besonderen Maße heuristische Lösungsstrategien fordern.

Die Wissenschaftsdisziplin, die sich mit dem Entwickeln von Problemlösestrategien befasst, ist die Heuristik. Bei der Untersuchung der Lösungswege von Problemstellungen werden häufig zahlreiche neuartige, sich im Vergleich zu Routineverfahren unterscheidende Vorge- hensweisen, sogenannte Heurismen, festgestellt. Sie sind unterteilt in heuristische Prinzi- pien, Regeln und Strategien (vgl. Bruder/Collet 2011, 35f.). Um zu überprüfen, welche Heu- rismen die Kinder bereits sicher beherrschen und an welchen Stellen sie noch Schwierigkei- ten haben, werden zunächst die einzelnen Methoden und Techniken genauer benannt und ihre Eigenschaften hervorgehoben. Unterschieden wird dabei in der Literatur zwischen heu- ristischen Hilfsmitteln, heuristischen Strategien und heuristischen Prinzipien, welche ich im Folgenden genauer erläutern werde. Während heuristische Hilfsmittel in ihrer Definition klar festgelegt sind, fehlt zwischen heuristischen Prinzipien und Strategien eine klare Begriffsab- grenzung. Generell ist zu sagen, dass innerhalb der übergeordneten Prinzipien Strategien bzw. Hilfsmittel zu ihrer Verwirklichung eingesetzt werden. Dabei muss aber beachtet wer- den, dass sich die verschiedenen Prinzipien und Strategien gegenseitig überschneiden und keine ganz klare Grenze zwischen ihnen gezogen werden kann. Des Weiteren gibt es in der Literatur zahlreiche verschiedene Begriffe für die einzelnen Vorgehensweisen. Für die vorlie- gende Arbeit reicht es aus, wenn ich mich auf die Heurismen beschränke, welche auch in der Mathematikdidaktik eingesetzt werden.

„Zu den für die Schule interessanten heuristischen Hilfsmitteln zählen informative Figuren, Tabellen, Wissensspeicher sowie Lösungsgraphen, aber auch Gleichungen“ (Büch- ter/Leuders 2005, 45). Heuristische Hilfsmittel führen aber nicht unmittelbar zu einer Lösung, sondern sollen den Kindern eher beim Suchen dieser Lösung helfen. Dadurch dienen sie mehr zum Verstehen und Strukturieren der Probleme und zum Visualisieren und Reduzieren von Informationen. Des Weiteren sind sie für eine nachvollziehbare Dokumentation des Lö- sungsweges sehr zweckmäßig. Bei informativen Figuren bzw. Skizzen geht es um die „Dar- stellung möglichst vieler Beziehungen und Informationen in einer Figur“ (Bruder/Collet 2011, 46). Oft handelt es sich dabei um elementargeometrische Figuren, aber auch Koordinaten- systeme werden gerne genutzt. Diese Art der „Reduktion“ auf die wesentlichen und wichti- gen Informationen einer Aufgabenstellung findet man auch bei Gleichungen vor. Sie sind ein „ideales Instrument der Informationsreduktion in der Phase des Verstehens eines Problems“ (Bruder/Collet 2011, 67), erfordern von den Schülern aber auch ein hohes Maß an Abstrakti- onsmöglichkeit beim Aufstellen von Gleichungen. Nicht zu verwechseln sind die informativen Figuren mit Lösungsgraphen, welche vor allem bei mehrschrittigen Lösungswegen die Pla- nung der einzelnen Lösungsschritte dokumentieren. Ein weiteres heuristisches Hilfsmittel sind Tabellen, sobald sie nicht nur zur Dokumentation, sondern auch der Strukturierung von Daten dienen (vgl. Bruder/Collet 2011, 45ff.).

Als Nächstes gehe ich auf die heuristischen Strategien ein. Sie kommen zum Einsatz, wenn das Problem verstanden ist und beschreiben die unterschiedlichen Vorgehensweisen auf dem Weg zur Lösungsfindung. Die wohl bekannteste heuristische Strategie ist das systema- tische Probieren. Es ist ein geplantes und gut strukturiertes Vorgehen, welches sich von im- provisiertem und ziellosem Probieren unterscheidet. Meist wird sich zuvor ein bestimmtes Vorgehen in einer gut gewählten Reihenfolge überlegt und anschließend umgesetzt. „Vor- wärtsarbeiten ist ein Probieren mit Richtung“ (Bruder/Collet 2011, 76). Es wird versucht alle wichtigen Informationen aus der Ausgangssituation mitzunehmen, um damit das erwünschte Ziel zu erreichen. Hilfreiche Orientierungsfragen wären z.B.: Was ist gegeben? Was kann ich daraus folgern?. Von der Art her sehr ähnlich ist das Rückwärtsarbeiten, allerdings geht es entgegen dem Vorwärtsarbeiten vom Gesuchten aus und arbeitet sich langsam zum Gege- benen hin. „Rückwärtsarbeiten erfordert bereits eine große Flexibilität im Denken, nämlich Reversibilität als eine spezifische Beweglichkeitseigenschaft“ (Bruder/Collet 2011, 79). Im Alltag kommt diese Strategie jedoch sehr häufig vor und wird von uns oft unbewusst von uns verwendet. Eine mögliche hilfreiche Fragestellung könnte sein: Was wird benötigt um das Gesuchte ableiten zu können? Die letzte heuristische Strategie, welche ich vorstelle ist das Suchen nach Beziehungen. Gekennzeichnet ist diese Strategie durch folgende Anregungen: Suche nach Beziehungen (Gleichungen) zwischen den angegebenen Größen, den gesuch- ten Größen und eventuell benötigten Hilfsgrößen, die dann wieder zu eliminieren sind. Es handelt sich also um ein Übersetzen der Alltagssprache in mathematische Formeln (vgl. Bruder/Collet 2011, 68ff.).

Nun zu den heuristischen Prinzipien, welche „solche Vorgehensweisen, die mit den Beweg- lichkeitsqualitäten des Denkens Aspektwechsel und Aspektbeachtung korrespondieren“ (Bruder/Collet 2011, 87) beschreiben. Beim „Zerlegen und Ergänzen“ findet eine Rückfüh- rung vom Unbekannten zum Bekannten statt. Die Schüler untersuchen die Aufgabenstellung in Bezug auf ihnen bekannte Elemente, indem sie die Informationen zergliedern oder die Informationsmenge erweitern. Sinnvolle Fragen, die sich die Schüler beim Anwenden dieses Prinzips stellen können, sind: Wie kann die Aufgabe, der Sachverhalt geschickt zer- legt/aufgeteilt werden? Welche Reihenfolge muss bei der Lösung dieser Teilaufgaben be- achtet werden? Betrachte einzelne Eigenschaften, zerlege in Teilfragen, teile einen zeitab- hängigen Prozess in mehrere Phasen auf! „Beim Invarianzprinzip geht es um das Erkennen, die Suche nach oder die Konstruktion von Konstanten, Bezugsgrößen oder Gemeinsamkei- ten in den Informationen der Aufgabenstellung“ (Bruder/Collet 2011, 96). Die Schüler unter- suchen quasi die Informationen anhand der Fragen: Was bleibt gleich? Was haben alle Ob- jekte gemeinsam? Beim anschließenden Arbeiten mit der gefundenen Invariante helfen heu- ristische Hilfsmittel oder systematisches Probieren weiter. Das Transformationsprinzip bein- haltet das innermathematische Modellieren. Es geht dabei um den Übergang in eine Modell- ebene durch folgende Impulse: Suche nach anderen mathematischen Beschreibungsmög- lichkeiten für das Gegebene und Gesuchte! Variiere die Bedingungen! Betrachte Gegebenes und Gesuchtes in verschiedenen Zusammenhängen! Zerlege, ergänze oder verknüpfe mit Neuem! Bei diesem Prinzip geht es sozusagen um eine Übersetzung in eine geeignete ma- thematische Theorie. Das nächste Prinzip, welches ich vorstellen werde, ist das Analogie- prinzip. In seinem eigenen Repertoire an bereits gelösten Aufgaben wird geschaut, ob man eine ähnliche Aufgabe schon einmal bearbeitet hat und die Vorgehensweise von damals auf

[...]


1 Im Sinne einer einfachen Lesbarkeit verwende ich im Folgenden die männliche Form „Schüler“

Ende der Leseprobe aus 49 Seiten

Details

Titel
Förderung der Problemlösekompetenz durch Fermi-Aufgaben. Volumenberechnung in der 7. Klasse
Hochschule
Universität Bielefeld
Note
1,7
Autor
Jahr
2011
Seiten
49
Katalognummer
V280886
ISBN (eBook)
9783668158443
ISBN (Buch)
9783668158450
Dateigröße
1171 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Diese Arbeit enthält keine Arbeitsblätter!
Schlagworte
förderung, problemlösekompetenz, fermi-aufgaben, volumenberechnung, klasse
Arbeit zitieren
Marie Becker (Autor), 2011, Förderung der Problemlösekompetenz durch Fermi-Aufgaben. Volumenberechnung in der 7. Klasse, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/280886

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