Empirische Erkundungen zu Fehlern von Lernenden aus der Sekundarstufe II beim Bearbeiten mathematischer Probleme

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2.Theoretische Grundlagen
2.1 Problemlösen - Psychologische Sichtweise
2.1.1 Der Problembegriff
2.1.2 Problemkategorien
2.1.3 Der Problemlöseprozess
2.1.4 Problemlöseheurismen
2.2 Problemlösen – Mathematikdidaktische Sichtweise
2.2.1 Der Problembegriff
2.2.2 Problemkategorien
2.2.3 Der Problemlöseprozess
2.2.4. Problemlöseheurismen
2.3 Problemlösen lernen und Problemlösekompetenz
2.3.1 Problemlösen in der Mathematikdidaktik und im Mathematikunterricht
2.3.2 Ansatzpunkte und Methoden zur Förderung der Problemlösekompetenz
2.4Fehler beim Problemlösen als möglicher Ansatzpunkt
2.4.1 Der Fehlerbegriff
2.4.2 Einteilung von Fehlern

3.Wissenschaftliche Fragestellung der empirischen Erkundungsstudie

4.Methodologisches Vorgehen
4.1 Zur Auswahl geeigneter Probleme
4.2 Exemplarische Lösungsmöglichkeiten des ausgewählten Problems
4.3 Zur Auswahl der Versuchspersonen
4.4 Zur Erhebung der Daten
4.5 Zur Weiterverarbeitung der Daten
4.6 Zur Auswertung der Daten

5.Analyse der Problembearbeitungsprozesse
5.1 Versuchsperson
5.1.1 Beschreibung des Problembearbeitungsprozesses der Versuchsperson
5.1.2 Identifizierte Fehler der Versuchsperson
5.1.3 Strukturierte Aufzeichnungen der Versuchsperson
5.2 Versuchsperson
5.2.1 Beschreibung des Problembearbeitungsprozesses der Versuchsperson
5.2.2 Identifizierte Fehler der Versuchsperson
5.2.3 Strukturierte Aufzeichnungen der Versuchsperson
5.2 Versuchsperson
5.3.1 Beschreibung des Problembearbeitungsprozesseses der Versuchsperson
5.3.2 Identifizierte Fehler der Versuchsperson
5.3.3 Strukturierte Aufzeichnungen der Versuchsperson
5.4 Versuchsperson
5.4.1 Beschreibung des Problembearbeitungsprozesses der Versuchsperson
5.4.2 Identifizierte Fehler der Versuchsperson
5.4.3 Strukturierte Aufzeichnungen der Versuchsperson
5.5 Versuchsperson
5.5.1 Beschreibung des Problembearbeitungsprozesses der Versuchsperson
5.5.2 Identifizierte Fehler der Versuchsperson
5.5.3 Strukturierte Aufzeichnungen der Versuchsperson

6. Zusammenfassung der Befunde
6.1 Hauptbefunde der empirischen Untersuchung
6.2 Vorläufige didaktische Überlegungen

7. Ausblick

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Anhang
I. Transkripte und Aufzeichnungen der Versuchspersonen

1. Einleitung

Im Alltag stehen wir Tag für Tag immer neuen Problemen^[1] gegenüber, für deren Lösung wir nicht direkt auf vorhandenes Wissen zurückgreifen können. Immer wieder gilt es komplexe Anforderungen, ob im Beruf, im privaten Leben oder in der Schule, zu meistern. Es gibt also wenige Bereiche unseres Lebens, in denen Problemlösen keine wichtige Rolle spielt. Der bedeutende österreichisch-britische Philosoph Karl Popper geht in seinem Werk Alles Leben ist Problemlösen sogar so weit, „ das Leben als Problemlösen schlechthin […] “ (Popper 1994: 70) zu bezeichnen. Problemlösen ist also ein wesentlicher Bestandteil unseres Lebens, den es in der schulischen Ausbildung zu berücksichtigen gilt und der sich daher auch als Lerngegenstand im Mathematikunterricht wiederfindet.

Die Förderung der Problemlösefähigkeit^[2] ist seit den 70er Jahren ein zentrales Ziel des Mathematikunterrichts. Durch die Befunde internationaler Vergleichsstudien, insbesondere der TIMS^[3] Studie 1995, ist diese Fähigkeit wieder stärker in den Fokus mathematikdidaktischer Forschung gerückt. Die Ergebnisse im Rahmen der ersten Erhebungswelle der TIMS-Studie zeigten auf, dass deutsche Schülerinnen und Schüler erhebliche Defizite beim Problemlösen aufweisen. Daher kann zu diesem Zeitpunkt von keiner zufriedenstellenden Umsetzung dieser Zielsetzung gesprochen werden. In Folge dieser Befunde wurde die Problemlösefähigkeit als prozessbezogener Kompetenzbereich in die deutschen Bildungsstandards und die Bildungspläne der einzelnen Bundesländer aufgenommen (vgl. NKM 2006, KMK 2003). Mit dieser konkreten Zielsetzung des Mathematikunterrichts geht die Fragestellung einher, wie die Problemlösefähigkeit „besser als bisher“ gefördert werden kann. Ein möglicher Zugang besteht darin, das vorhandene Wissen über Problemlösen durch Forschung, Entwicklung und Erprobung anzureichern (vgl. BLK 1997). Das so neu erworbene Wissen kann dann als Grundlage für eine zielgerichtete didaktische Einflussnahme dienen.

Die Ansätze und Methoden zur Förderung der Problemlösefähigkeit in der Literatur sind vielfältig. Ein Ansatzpunkt zur Förderung der Problemlösefähigkeit ist der „Fehleraspekt“, denn nicht selten sind verschiedene Fehler dafür verantwortlich, dass das Finden einer Lösung behindert oder sogar verhindert wird. Die vorliegende Masterarbeit soll einen Einblick geben, wie eine sorgfältige Analyse von Fehlern beim Bearbeiten mathematischer Probleme dazu beitragen kann, die Problemlösefähigkeit (mittel- oder längerfristig) zu verbessern, indem die Befunde Mathematiklehrenden Anregungen für eine gezielte didaktische Einflussnahme zur Förderung der Problemlösekompetenz geben können. Vor diesem Hintergrund werden im Rahmen einer empirischen Erkundungsstudie Fehler von Lernenden aus der Oberstufe analysiert. Da Fehler beim Problemlösen bisher noch recht wenig erforscht wurden, hat die vorliegende Arbeit insbesondere das Ziel, unser Wissen über Fehler und den Umgang mit Fehlern zu erweitern. Denn erst wenn eine entsprechende Wissensgrundlage vorhanden ist, lassen sich mögliche Anknüpfungspunkte für eine gezielte didaktische Einwirkung ableiten.

2. Theoretische Grundlagen

Das Wort Problem hat griechisch-lateinischen Ursprung und bedeutet übersetzt „ der Vorwurf, das Vorgelegte“. Der Begriff hat zwei verschiedene semantische Bedeutungen. Zum einen ist damit eine schwierig zu lösende Aufgabe, Fragestellung, unentschiedene Frage oder Schwierigkeit gemeint. Zum anderen wird damit eine schwierige geistvolle Aufgabe im Kunstschach bezeichnet (vgl. Schülerduden Fremdwörterbuch 2002: 420). Dieser Arbeit liegt erstere Auffassung zugrunde.

2. 1 Problemlösen - Psychologische Sichtweise

Im Kontext der Psychologie lässt sich Problemlösen der Allgemeinen Psychologie und konkret dem Teilbereich der Denkpsychologie zuordnen (vgl. Dörner 1979).

2.1.1 Der Problembegriff

In der wissenschaftlichen Literatur findet man eine ganze Reihe von verschiedenen Problemdefinitionen. Die folgende, sehr verbreitete Begriffsbestimmung geht auf Karl Duncker zurück:

Ähnlich charakterisiert Dörner den Problembegriff: „ Ein Individuum steht einem Problem gegenüber, wenn es sich in einem inneren und äußeren Zustand befindet, den es aus irgendwelchen Gründen nicht für wünschenswert hält, aber im Moment nicht über die Mittel verfügt, um den unerwünschten Zustand in den wünschenswerten Zielzustand zu überführen. “ (Dörner 1979: 10).

Aus dieser Auffassung eines Problems leitet Dörner drei wesentliche Komponenten ab, durch die für ihn ein Problem gekennzeichnet ist. Diese lassen sich auch in der Problemdefinition nach Duncker (1935) wiederfinden:

1. Unerwünschter Anfangszustand
2. Erwünschter Endzustand
3. Barriere, welche die Transformation von 1) in 2) im Moment verhindert

(vgl. Dörner 1979: 10, Klix 1971: 639f.)

In ähnlicher Form definieren auch Lüer & Spada (1990: 256) ein Problem: „ Ein Problem liegt dann vor, wenn ein Subjekt an der Aufgabenumwelt Eigenschaften wahrgenommen hat, sie in einem Problemraum intern repräsentiert und dabei erkennt, dass dieses innere Abbild eine oder mehrere unbefriedigende Lücken enthält. Der Problemlöser erlebt eine Barriere, die sich zwischen dem bekannten Istzustand und dem angestrebten Ziel befindet.“

Durch diese Betrachtungsweise lassen sich Probleme eindeutig von Routineaufgaben abgrenzen. Liegt für den Problembearbeiter ein Hindernis in Form einer Barriere vor, das die Überführung des Anfangszustandes in den Zielzustand behindert, erfordert das eine Denkleistung der Person, die über das reproduktive Denken hinausgeht. Ist eine solche Denkleistung zur Lösung erforderlich, spricht man aus (denk-) psychologischer Sicht von einem Problem (vgl. Dörner 1979: 10). Dörner macht zudem deutlich, dass es personenspezifisch ist, ob es sich für ein Individuum um ein Problem oder eine Aufgabe handelt. Beispielsweise stellt für einen Dachdecker das Dachdecken kein Problem, sondern eine Routineaufgabe dar, wohingegen der Laie erhebliche Schwierigkeiten bei der Bewältigung dieses Problems hätte. Demzufolge hängt es von der Vorerfahrung des Individuums ab, ob es sich um eine Aufgabe oder ein Problem handelt (vgl. Sell & Schimweg 2002: 1).

2.1.2 Problemkategorien

Die Klassifikation von Problemen nach Unterscheidungskriterien „ stellt einen Versuch dar, Ordnung in die Vielzahl unterschiedlicher Probleme zu bringen. Obwohl es manchmal schwer ist, Probleme eindeutig einzelnen Kategorien zuzuordnen, stellen Taxonomien von Problemen ein nützliches Hilfsmittel in der Problemlöseforschung dar.“ (Knoblich 2002: 648).

In der Literatur findet man verschiedene Klassifikationen von Problemen zum Beispiel von McCarthy (1956), Arlin (1989) und Lüer & Spada (1990). In der deutschsprachigen Literatur ist vor allem eine solche Problemkategorisierung nach Dörner (1979) bekannt, der Probleme hinsichtlich der verschiedenen Barrieretypen unterscheidet.

Die Barriere, die ein Problem von einer Aufgabe abgrenzt, kann durch verschiedene Merkmale gekennzeichnet sein. Zum Beispiel können die Mittel, die zur Überführung des Problems nötig sind, bekannt oder unbekannt sein. Ferner kann auch der Zielzustand, den es zu erreichen gilt, dem Problembearbeiter unbekannt oder bekannt sein. Diese unterschiedlichen Anforderungen, die zur Lösung eines Problems erforderlich sind, führen zu einer Klassifikation von Problemen nach gesuchten und gegebenen Merkmalen. Eine solche Unterteilung nach den Dimensionen Bekanntheitsgrad der Mittel und Klarheit der Zielkriterien findet man bei Dörner (1979: 11f).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Klassifikation von Barrieretypen nach Dörner (1979)

Dörner spricht von einer Interpolationsbarriere, wenn der Zielzustand und die Mittel zur Lösung des Problems bekannt sind, nicht aber deren exakte Kombination, die zur Lösung des Problems erforderlich ist. Exemplarisch führt er dafür das Kursbuchproblem^[4] an: Morgens um 7 Uhr möchte man aus Bottrop-Boy abreisen, um im Laufe des Tages in Neumarkt/Oberpfalz anzukommen. Start und Ziel sind bekannt und das Kursbuch enthält sämtliche notwendige Informationen. Die Barriere besteht darin, dass die Interpolation zwischen Anfangs- und Zielzustand behindert ist (vgl. Dörner 1979: 12). Um das Problem zu lösen, müssen aus der hohen Anzahl von Mitteln, die dem Individuum zur Verfügung stehen, die richtigen Mittel ausgewählt und diese dann geschickt kombiniert werden.

Von der Interpolationsbarriere zu unterscheiden, ist die Synthesebarriere. Diese ist dadurch gekennzeichnet, dass der Zielzustand bekannt ist, nicht aber die Mittel, die zur Lösung des Problems notwendig sind. Um das Problem zu lösen, muss zunächst eine nützliche Ausstattung von Operationen zugänglich gemacht werden. Als Beispiel für diesen Barrieretyp lässt sich das Hängebrückenproblem (Sell 1991: 20f.) anführen:

„ Eine Hängebrücke über einen Fluss soll nachts von vier Personen überquert werden. Aus Sicherheitsgründen darf die Überquerung nur mit einer Taschenlampe durchgeführt werden, diese ist von den überquerenden Personen mitzuführen und besitzt eine Leuchtkraft von genau 60 Minuten. Gleichzeitig dürfen sich nur zwei Personen auf der Brücke aufhalten. Die Personen benötigen für die Überquerung unterschiedliche Zeiten, nämlich Minuten, Minuten, Minuten und Minuten. Gehen zwei Personen gleichzeitig, bestimmt der Langsamere das Tempo. In welcher Reihenfolge müssen die Personen die Brücke überqueren, damit sie nach 60 Minuten alle auf der anderen Flussseite sind?“

Des Weiteren führt Dörner die Dialektische Barriere an. Dieser Problemtyp unterscheidet sich grundlegend von den vorangegangen, da der angestrebte Zielzustand, in den der Ausgangszustand überführt werden soll, unbekannt ist. Mit diesem Problemtyp gehen häufig Komperativkriterien einher: „Eine neu eingerichtete Wohnung soll schöner werden als die alte. Dabei bleibt unklar, um wie viel schöner und hinsichtlich welcher Kriterien schöner.“ (Dörner 1979: 13). Dieser Typ ist dadurch charakterisiert, dass ein Entwurf für einen Zielzustand auf Widersprüche überprüft und dementsprechend verändert wird.

Neben den drei wesentlichen Barrierekategorien kann für Dörner auch eine Kombination dieser in Form einer Dialektischen Barriere und Synthesebarriere vorliegen, wenn nicht nur der Zielzustand unbekannt ist, sondern auch die Mittel, die zur Lösung des Problems erforderlich sind.

An dieser Stelle ist, wie in Kapitel 2.1.1 bereits bemerkt wurde, nochmals zu erwähnen, dass die Einordnung eines Problems in eine Problemkategorie stark vom Problembearbeiter abhängt. Zudem sind die Grenzen zwischen den Barrieren unscharf und fließend, da die Problemtypen auch kombiniert auftreten können. Auch Sell & Schimweg (1992: 15) machen deutlich, dass eine Problemkategorisierung nur bedingt gültig ist, da personenspezifische und situationsspezifische Gegebenheiten Einfluss auf die Problemeinordnung nehmen.

Zusammenfassend lässt sich konstatieren, dass sich verschiedene Arten von Problemen unterscheiden lassen. Demzufolge gibt es verschiedene Formen problemlösenden Verhaltens. Dennoch muss, unabhängig von der Problemkategorie, zur „ Lösung ein geistiger und handlungsorientierter Prozess in Gang gesetzt werden.“ (Burchartz 2003: 21). Dieser Problemlöseprozess soll im folgenden Kapitel beschrieben werden.

2.1.3 Der Problemlöseprozess

In der denkpsychologischen Literatur ^[5] hat sich bis heute in großen Teilen die Auffassung etabliert, dass Problemlösen als Informationsverarbeitung verstanden wird. Diese Auffassung basiert auf Grundlage der Problemraumtheorie von Newell & Simon (1972) und hat die Annahme, dass der Mensch ein informationsverarbeitendes System ist.

Unter Problemlösen wird der Prozess verstanden, der es ermöglicht, den Ausgangszustand mit Hilfe von (inneren und äußeren) Operationen in den erwünschten Zielzustand zu transformieren (vgl. Dörner 1979: 15). Dörner unterscheidet zwischen Operatoren, womit die allgemeine Form einer Handlung gemeint ist, und Operationen, welche die konkrete Realisierung des Operators beinhalten. Darüber hinaus ordnet Dörner den Problemen verschiedene Realitätsbereiche (Ausschnitte der Wirklichkeit) zu, die wiederum unterschiedliche Sachverhalte und Operatoren einschließen. Beispielsweise umfassen die Operationen im Realitätsbereich „Schach“ sämtliche regelkonformen Züge, wohingegen alle möglichen Schachfigur-Konstellationen die verschiedenen Sachverhalte des Realitätsbereiches darstellen. Grundsätzlich geht es beim Problemlösen um „ die Umwandlung bestimmter Sachverhalte mit Hilfe bestimmter Operatoren, und ein Realitätsbereich ist durch diese beiden Mengen von Dingen charakterisiert.“ (ebenda: 16).

In der psychologischen Literatur (z.B. Selz 1924: 10f., Dörner 1979: 39) lassen sich grundsätzlich drei verschiedene Ablaufmerkmale finden, durch die der Problemlöseprozess gekennzeichnet ist:

1. Der Denkvorgang besteht aus einer Abfolge von unterscheidbaren Teilprozessen
2. Diese Teilprozesse sind nicht wahllos angeordnet
3. Die Durchführung des Problemlöseprozesses erfolgt mehrschichtig

Die Prozesse, die während der Problembearbeitung ablaufen, sind komplex und in verschiedene Teilprozesse unterteilt. Die einzelnen (Teil-) Prozesse sind nicht direkt sichtbar und lassen sich nur aus dem Verhalten der Person ableiten. Die Phasen, die bei der Problembearbeitung aufeinanderfolgen, lassen sich in inhaltlich unterscheidbare Abschnitte einordnen. Psychologische Stufenmodelle des Problemlösens, die den Ablauf von Problembearbeitungsprozessen erklären sollen, verwenden eine Abfolge von (linearen) Stufen. Zum Beispiel charakterisiert Köster (1988: 129f.) den Ablauf von Problemlöseprozessen als lineare Abfolge von fünf zeitlich aufeinanderfolgender Stufen:

1. Bewusstwerden der Problemsituation
2. Problemanalyse und Fragestellung
3. Hypothesenbildung (Vermutungen) und Suche des Lösungsweges
4. Finden der Lösung
5. Kontrolle und Bewertung des Lösungsergebnisses

Auch für Wessels (1994: 338f.) umfasst der Ablauf des Problemlöseprozesses vier aufeinanderfolgende Phasen:

1. Definition des Problems (enthält Anfangs- und Endbeschreibung)
2. Aufstellen einer Strategie, einer Methode oder eines Plans
3. Exekution der Strategie
4. Evaluierung des Fortschritts bezüglich des Ziels

Die Stufenmodelle suggerieren eine idealtypische lineare Abfolge der Teilprozesse des Problembearbeitungsprozesses, welche sich so geradlinig lediglich in den jeweiligen Modellen wiederfinden lassen. In der Regel ist der Lösungsprozess eher als ein Kreislauf zu verstehen, der durch Prüf- und Handlungsphasen gekennzeichnet ist, bis der (erwünschte) Zielzustand erreicht ist. Der Grundgedanke dieses Kreisprozesses findet sich bereits in der T est – O perate – T est – E xit – Einheit (kurz TOTE – Einheit) bei Miller/Galanter/Pribram (1960) (vgl. Abb. 2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: TOTE – Einheit nach Miller/Galanter/Pribram (1960)

Im Zuge neuerer Erklärungsansätze des Problemlöseprozesses wird dieser Kreislaufgedanke aufgegriffen. Einem neueren kognitionspsychologischen Ansatz zufolge, welcher auf die Problemraumtheorie von Newell & Simon (1972: 59f.) zurückzuführen ist, besteht der Problemlöseprozess aus zwei Phasen, einem Verstehensprozess und einem Suchprozess, zwischen denen hin und her gewechselt wird, bis das Problem zufriedenstellend gelöst wird. Arbinger (1997: 32) veranschaulicht den Problemlöseprozess nach Newell & Simon (vgl. Abb. 3) und zeigt anhand dieser Abbildung auf, „ daß Problemlösen keineswegs als linearer Prozeß zu verstehen ist. In jeder Phase sind Rücksprünge möglich, auch kann der gesamte Prozeß mehrfach durchlaufen werden.“ (ebenda: 33).

In der Verstehensphase erfolgt zunächst der Aufbau einer Problemrepräsentation bzw. eines Problemraumes. Während dieser ersten Phase versucht der Problembearbeiter, das Problem unter Einbeziehung seines Wissens über die Ist/Soll- Kriterien und potenzielle Lösungsmöglichkeiten zu verstehen. In der sich anschließenden zweiten Phase erfolgt die Suche in diesem Problemraum nach Operatoren, die die Transformation des Ausgangszustandes in den (erwünschten) Zielzustand ermöglichen (vgl. ebenda: 31f.). Bei der Wahl der Operatoren greift der Problembearbeiter auf sogenannte heuristische Strategien (siehe Kapitel 2.1.4) zurück. Diese Theorie ist für Funke (2003: 63) „ bis heute die Grundlage des funktionalistischen Ansatzes “.

Schema aktiviert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Schematische Darstellung des Problemlöseprozesses nach Newell & Simon

(zitiert nach Arbinger 1987)

Diese beiden Phasen des Problembearbeitungsprozesses werden durch die kognitive Struktur getragen, die nach Dörner (1979: 26f.) dem Problemlösen zugrunde liegt. Diese umfasst für ihn die epistemische Struktur und die heuristische Struktur.^[6] Beide Gedächtnisstrukturen sind für ihn maßgebend, um ein Problem lösen zu können. Unter der epistemischen Struktur versteht Dörner das Wissen über den Realitätsbereich, welches u.a. Kenntnisse über Operatoren sowie Informationen über mögliche Sachverhalte einschließt. Geht man beispielsweise von der Mathematik als Realitätsbereich aus, umfasst die epistemische Struktur mathematische Begriffe, Sätze und algorithmische Verfahren (vgl. Heinrich 2004: 66). Dieses Wissen liefert die Grundlage für die heuristische Struktur, ohne die ein Problem nicht lösbar wäre. Damit meint Dörner Lösungsmethoden, die vom Problembearbeiter zunächst konstruiert werden müssen, um ein Problem zu lösen. Diese verschiedenen Konstruktionsverfahren werden im Weiteren als Heurismen oder heuristische Verfahren^[7] bezeichnet und sollen im nächsten Kapitel erklärt werden. Sie machen nach Dörner (1979) die heuristische Struktur aus.

2.1.4 Problemlöseheurismen

Unter dem Wort Heuristik versteht man zum einen die Lehre bzw. Wissenschaft von den Verfahren, Probleme zu lösen. Zum anderen wird darunter die methodische Anleitung bzw. Anweisung zur Gewinnung neuer Erkenntnisse verstanden (vgl. Schülerduden 2002: 214).

Wie in Kapitel 2.1.3 bereits angedeutet, ist zum Lösen eines Problems nicht nur das Wissen über den Realitätsbereich bedeutsam, sondern diesem Bereich des reproduktiven Denkens muss produktives Denken „übergeordnet“ werden. Das bedeutet, dass Teilprozesse unterscheidbarer geistiger Handlungen nicht willkürlich oder intuitiv aufeinanderfolgen, sondern bewusst und zielgerichtet eingesetzt werden. „ Um diese geistigen Handlungen so organisieren zu lernen, sind bestimmte Konstruktions- und Verfahrenselemente (Heuristik) anzuwenden.“ (Sell & Schimweg 2002: 67).

Dörner (1979: 38) versteht unter Heurismen „ Programme für die geistigen Abläufe, durch welche Probleme bestimmter Form unter Umständen gelöst werden können“, die Lösung aber nicht garantieren. Präziser gesagt, ist für ihn ein heuristisches Verfahren, ein nicht willkürlicher Ablauf mentaler Operationen, welche, zielgerichtet eingesetzt, zum Lösen eines Problems führen können. Zu diesen geistigen Operationen gehören u.a. das logische Schließen, der Analogieschluss, das Abstrahieren, das Konkretisieren, das Vergleichen und das Klassifizieren.^[8] Diese unterliegen bestimmten Koppelungsgesetzen, zu denen auch die TOTE – Einheit gehört (vgl. Abb. 2). Die Wahl der heuristischen Verfahren hängt in der Regel vom Problemtyp ab.

2.2 Problemlösen – Mathematikdidaktische Sichtweise

„ Da das Lösen von Problemen sowohl im Alltagsleben als auch in der Wissenschaft eine große Rolle spielt, muss die Fähigkeit des Individuums zum Lösen von Problemen auch ein Bildungs- und Erziehungsziel eines jeden Unterrichts darstellen.“ (Heinrich 2004: 49).

Dieser Auffassung von Problemlösen liegt die Annahme zugrunde, dass es kaum einen Lebensbereich gibt, indem Problemlösen nicht bedeutsam wäre. Aus dieser Ansicht leitet sich die Forderung ab, dass das Problemlösen eine Schlüsselqualifikation darstellt, die im Gegensatz zu den bereichsspezifischen Kompetenzen als crosscurriculare, d.h. fächerübergreifende Fähigkeit betrachtet werden kann (vgl. Funke 2003: 13) und demnach in besonderer Weise im Unterricht gefördert werden sollte.

Die vorliegende Arbeit soll sich im Folgenden auf den Realitätsbereich Schulmathematik fokussieren. In der mathematikdidaktischen Literatur hat sich heutzutage die psychologische Sichtweise des Problemlösens etabliert, wie im Weiteren erklärt wird.

2.2.1 Der Problembegriff

Der Problembegriff hat in der Mathematik eine spezifische Bedeutung und lange Tradition. Grundsätzlich wird darunter eine „ Bezeichnung für bekannte oder als bedeutend geltende mathematische Herausforderungen “ verstanden (Heinrich 2004: 39). Diese können in gelöste und ungelöste Probleme unterschieden werden. Da das Themengebiet der Mathematik unbegrenzt ist, existieren beliebig viele ungelöste mathematische Probleme. Besondere Bekanntheit haben die Klassischen Probleme der antiken Mathematik^[9], deren Lösungen erst im 19. Jahrhundert gefunden wurden. Dieser Arbeit soll aber die Problemauffassung der Mathematikdidaktik zugrunde liegen, welche im Folgenden erläutert wird.

Das Verständnis des Problembegriffs in der Mathematik weicht deutlich von der mathematikdidaktischen Sichtweise ab. In der mathematikdidaktischen Literatur findet man verschiedene Charakterisierungen.

Dürschlag (1983: 51) versteht unter einem mathematischen Problem „ eine Situation, die den Schüler vor eine mathematisch-wesentliche Schwierigkeit stellt, für die er kein einfaches Lösungsverfahren […] kennt, und zu deren Bewältigung Einfälle und kreatives Verhalten erforderlich sind.“.

Eine ähnliche Begriffsbestimmung findet man bei Vollrath (1992), welcher ebenfalls vom Lernenden ausgeht: „Im Folgenden verstehen wir unter einem Problem eine Aufgabe, die dem Bearbeiter beim Lösen eine Barriere entgegenstellt. Ob eine Aufgabe ein Problem darstellt, hängt von den Erfahrungen, Kenntnissen und Fähigkeiten des Problemlösers ab.“.

Auch Zimmermann (1991b) weist auf die „ personenspezifische Barriere “ hin, durch die für ihn ein Problem charakterisiert wird.

Bei Bruder & Collet (2011: 11), die sich auf den Denkpsychologen Hussy (1984) beziehen, findet man folgende Begriffsdefinition: „ Unter Problemlösen versteht man das Bestreben, einen gegebenen Zustand (Ausgangs- oder Ist-Zustand) in einen anderen, gewünschten Zustand (Ziel- oder Soll-Zustand) zu überführen, wobei es gilt, eine Barriere zu überwinden, die sich zwischen Ausgangs- und Zielzustand befindet.“

Grundsätzlich wird in der Mathematikdidaktik unter einem Problem eine subjektiv schwierig zu lösende Aufgabe verstanden, die an den Problemlöser gewisse Anforderungen stellt. Obwohl in den verschiedenen Begriffsbestimmungen von Barrieren und Schwierigkeiten die Rede ist, meinen die Begriffe dennoch inhaltlich dasselbe: Die Lösung wird durch etwas verhindert. Diese Sichtweiset ähnelt dem psychologischen Problembegriff und die Existenz einer solchen Barriere grenzt Probleme von Aufgaben ab.

2.2.2 Problemkategorien

Auch in der mathematikdidaktischen Literatur lassen sich verschiedene Problemtypisierungen finden (vgl. Kapitel 2.1.2). Eine gängige Problemtypisierung hat Pólya (1949: 66f.) vorgenommen, welcher Probleme hinsichtlich des Operationsbereiches in Bestimmungsaufgaben und Entscheidungsaufgaben unterteilt.^[10]

I. Bestimmungsaufgaben:

-Berechnen von Zahlen und Größen
-Konstruieren von Größen und Figuren
-Bestimmen verschiedener Fälle, die bei der Aufgabenlösung zu unterscheiden sind
-Beschreiben von Lösungsschritten, etwa bei einer geometrischen Konstruktion

II. Entscheidungsaufgaben:

-Beweisen einer Behauptung
-Überprüfen der Lösung einer Bestimmungsaufgabe auf Richtigkeit und Vollständigkeit
-Überprüfen der Lückenlosigkeit von Beweisen

Kratz (1988: 208) erweitert die Pólyasche Problemtypisierung um Entdeckungsaufgaben, welche sich auf das Entdecken neuer Aufgaben und die dazu benötigten Voraussetzungen konzentrieren, und nicht auf ihre Lösungsmöglichkeiten.

III. Entdeckungsaufgaben:

-Aufstellen von Vermutungen noch unbekannter Gesetzmäßigkeiten
-Entdecken neuer Interpretationsmöglichkeiten eines vorgegebenen Sachverhalts
-Auffinden neuer Problemstellungen in einem bestimmten mathematischen Sachbereich

Darüber hinaus lassen sich formal-psychologische Problemtypisierungen in der mathematikdidaktischen Literatur finden, die auf kognitionspsychologischen Sichtweisen basieren (vgl. z.B. Klix 1971, Dörner 1979). Die Einteilung von Problemen erfolgt hinsichtlich der Informationen über den Anfangs- und Endzustand sowie den Operatoren, welche die Transformation vom Anfangs- in den Endzustand ermöglichen. In diesem Zusammenhang wird vor allem auf die Arbeit von Dietrich Dörner (1979) zurückgegriffen (vgl. Kapitel 2.1.2). Zum Beispiel haben Tietze & Förster (2000: 94) an diese Problemtypisierung angeknüpft. Sie haben die Dörnerschen Begriffe beibehalten und mit mathematischen Beispielen versehen.

Pehkonen (1995: 55) lässt in einer an Dörner angelehnten Problemtypisierung die Bekanntheit der Lösungsmittel aus und nimmt in seiner Einordnung zusätzlich das Merkmal der Klarheit des Anfangszustandes auf. Er unterscheidet Probleme hinsichtlich der Offenheit des Anfangs- und des Zielzustandes und gewichtet diese mit open oder closed (vgl. Abb. 4) . Anhand dieser Einteilung ergeben sich die folgenden vier verschiedenen Problemtypen, von denen er drei als offene Probleme bewertet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Problemtypisierung nach Pehkonen (1995)

Des Weiteren lassen sich Probleme auch in die (klassischen) Themengebiete der Mathematik einteilen. So ergibt sich eine Klassifizierung in geometrische, algebraische und stochastische Probleme, welche aber insbesondere im Bereich der Forschung als problematisch anzusehen sind, da es häufig zu einer Überschneidung der Themengebiete kommt.

2.2.3 Der Problemlöseprozess

Gemäß der Auffassung des Problembegriffs (vgl. Kapitel 2.2.1) wird unter Problemlösen der Prozess verstanden, einen gegebenen Zustand (Ausgangszustand) in einen anderen, gewünschten Zustand (Zielzustand) zu überführen, wobei der Lernende bestehende Schwierigkeiten/Barrieren, die sich zwischen Ausgangs- und Zielzustand befinden, zu überwinden hat (vgl. Heinrich 2013b: 1, Hussy 1984: 114). Zum Verständnis dieses Prozesses lassen sich die psychologischen Sichtweisen zu Problemlöseprozessen (vgl. Kapitel 2.1.3) auf mathematische Kontexte übertragen.

Mitte des 20. Jahrhunderts lieferte Pólya in seinem Buch „Schule des Denkens“ einen entscheidenden Beitrag zum Verständnis von Problemlöseprozessen. Er (1949: 18f.) gliedert den Problembearbeitungsprozess in vier aufeinanderfolgende Phasen (vgl. Abb. 5):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5: Verlaufsmodell nach Pólya (1949)

Zunächst muss die Aufgabe^[11] vom Problemlöser verstanden werden, um zu erkennen, was von ihm verlangt wird. Diese Phase beinhaltet u.a. die Auseinandersetzung mit der Formulierung der Aufgabenstellung, insbesondere mit den Daten, den Unbekannten und der Bedingung. Aber auch das Anfertigen einer Zeichnung, sofern das die Aufgabenstellung erfordert, ordnet Pólya (1949) dieser Phase zu.

Die sich anschließende Phase ist für Pólya die eigentliche Anforderung des Problemlöseprozesses, die vom Problemlöser die entscheidende Denkleistung erfordert: „Die eigentliche Leistung bei der Lösung einer Aufgabe ist es allerdings, die Idee des Plans auszudenken.“ (ebenda: 22). In diesem Abschnitt muss der Problemlöser Operatoren für die Transformation vom Anfangszustand in den (erwünschten) Zielzustand finden, indem er auf frühere Erfahrungen und bereits erworbenes Wissen zurückgreift. Für das Gelingen eines Plans spielen für Pólya nicht nur diese eine entscheidende Rolle, sondern auch geistige Disziplin, Konzentration auf den Zweck und Glück (vgl. ebenda: 26).

Für die Umsetzung des Plans, welche eine weitere Phase des Problemlöseprozesses für Pólya darstellt, benötigt der Problemlöser vor allem Geduld. Der Problemlöser überprüft die Richtigkeit seiner Schritte intuitiv oder mithilfe formaler Regeln . Die Überzeugung des Problemlösers von der Richtigkeit eines jeden Schrittes ist für Pólya dabei von besonderer Bedeutung (vgl. ebenda: 27).

In der letzten Phase des Problemlöseprozesses erfolgt der Rückblick auf die vollständige Lösung des Problems, indem diese und der Weg, der zu dieser Lösung führte, nochmals überprüft und kontrolliert werden. Die Rückschau kann dazu beitragen, dass das Wissen gefestigt wird und die Problemlösekompetenz gefördert wird (vgl. ebenda: 28).

Dieses Verlaufsmodell nach Pólya suggeriert, ähnlich wie psychologische Stufenmodelle (vgl. 2.1.3), dass der Problembearbeitungsprozess nach einer linearen Struktur verläuft. Im Rahmen einer Erkundungsstudie über Prozessverläufe beim Problemlösen ergaben Befunde, dass lediglich zwei Drittel der Problembearbeitungsprozesse tatsächlich linear verlaufen^[12] (vgl. Rott 2013: 397). Das restliche Drittel muss mithilfe anderer Modelle erklärt werden. Ein Versuch, die dynamische und zyklische Struktur des Problembearbeitungsprozesses explizit zu berücksichtigen, ist das Modell von Fernandez/Hadawey/Wilson (1994: 196) (vgl. Abb. 6):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Phasenmodell nach Fernandez/Hadawey/Wilson (1994)

In diesem Modell finden sich die vier Phasen des Problembearbeitungsprozesses nach Pólya wieder, daher kann es als Erweiterung zu Pólyas Verlaufsmodell verstanden werden (vgl. ebenda). Zusätzlich haben Fernandez/Hadawey/Wilson Managerprozesse, wie Selbstkontrolle, Selbststeuerung und Selbsteinschätzung in ihr Modell aufgenommen, die jedem Phasenwechsel zugrunde liegen. Zudem wird in diesem Modell die Beziehung zwischen dem Aufstellen und Lösen eines Problems dargestellt (vgl. Heinrich 2004: 46).

Ein weiteres dynamisch-zyklisches Verlaufsmodell haben Mason/Burton/Stacey (2006) entwickelt. Sie gliedern den Problembearbeitungsprozess in die drei Phasen Planung, Durchführung und Rückblick.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Problemlösephasen nach Mason/Burton/Stacey (2006)

Wie bei Fernandez/Hadawey/Wilson ist die Anlehnung an Pólya deutlich zu erkennen, wobei Mason/Burton/Stacey eine Phase weniger charakterisieren. Das hängt damit zusammen, dass die Phasen Aufstellen eines Plans und Durchführung eines Plans in diesem Modell von Mason/Burton/Stacey in der Durchführungsphase vereint sind. Darüber hinaus weisen sie auf die Bedeutung sogenannter metakognitiver Elemente, die sie „innerer Ratgeber“ nennen, hin (vgl. Rott 2013: 57). Dieser hat die Funktion, die Handlungsabläufe genau zu beobachten und immer wieder Fragen zu stellen (vgl. Mason/Burton/Stacey 2006: 123). Diese metakognitiven Elemente finden sich auch in dem Modell von Fernandez/Hadawey/Wilson (1994) in Form der Managerprozesse wieder.

2.2.4. Problemlöseheurismen

Wie in Kapitel 2.1.3 bereits beschrieben wurde, geht Dörner davon aus, dass zum Lösen von Problemen eine bestimmte (geistige) Ausstattung nötig ist. Neben dem Wissen über den Realitätsbereich (epistemische Struktur), muss vom Problembearbeiter ein Verfahren konstruiert werden, um ein Problem zu lösen. Das Wissen über sämtliche Konstruktionsverfahren nennt Dörner die heuristische Struktur. Demzufolge spielen beim Problemlösen heuristische Verfahren bzw. Heurismen eine entscheidende Rolle.

Der Begriff Heurismen bzw. heuristische Verfahren ist in der wissenschaftlichen Literatur nicht einheitlich bestimmt. Von Becker (1987: 123f.) findet man folgende Begriffsbestimmung:

„Es handelt sich dabei sowohl um relativ vordergründige Faustregeln, wie etwa die Anregung, Gegebenes vom Gesuchten sauber zu unterscheiden, das Gegebene in seine Bestandteile zu zerlegen, um Vorstellungen über die Zweckmäßigkeit der Abfolge bestimmter Teilschritte, und Regeln, Wissenselemente miteinander zu kombinieren, um eine Art von Prüflisten zur Erzeugung von Zwischenschritten einer passenden oder beabsichtigten Form, die Orientierung an früheren Problemlösungen und dergleichen, als auch um übergeordnete Programme zur Suche von Lösungsschritten, zu ihrer Überprüfung und zur Abschätzung der Auswirkungen in Erwägung gezogener Lösungsschritte.“

Rott (2013: 81) nimmt Bezug zur formalpsychologischen Sichtweise des Problembegriffs und charakterisiert Heurismen wie folgt: „Ein Heurismus ist eine Methode oder ein (kognitives) Werkzeug, die bzw. das bei der Bearbeitung eines Problems behilflich ist. Diese Hilfe bezieht sich auf die Analyse des Ausgangszustandes des Problems oder dessen Transformation, indem die Repräsentationsform des Problems gewechselt wird oder die Suche nach einer Lösung durch Einschränkung oder Ordnung des Suchraums unterstützt wird.“

Pólya hat eine Reihe nützlicher heuristischer Verfahren herausgearbeitet. Er definiert diese als Denkoperationen, die beim Problemlöseprozess „ in typischer Weise von Nutzen sind. “(vgl. Pólya 1949: 155). Zu diesen Heurismen zählen das Analogieprinzip, der Darstellungswechsel, das Extremalprinzip, das inhaltliche Lösen, das Invarianzprinzip, das kombinierte Arbeiten, das Rückführungsprinzip, das Rückwärtsarbeiten, das Symmetrieprinzip, das systematisches Probieren, das Transformationsprinzip und das Vorwärtsarbeiten (vgl. Pólya 1963).

Eine strengere Unterteilung heuristischer Verfahren hinsichtlich ihres Allgemeinheitsgrades und ihres Anwendungsbereiches verwendet Bruder (1988: III/5). Sie gliedert diese in heuristische Strategien, heuristische Hilfsmittel, heuristische Prinzipien und heuristische Regeln:^[13]

Heuristische Strategien

- Systematisches Probieren
- Vorwärtsarbeiten
- Rückwärtsarbeiten
- Analogieschluss
- Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes

Heuristische Hilfsmittel

- Veranschaulichung durch informative Figuren
- Tabellen
- Wissensspeicher und umstrukturierte Wissensspeicher
- Lösungsgraphen

Heuristische Prinzipien

- Symmetrieprinzip
- Extremalprinzip
- Invarianzprinzip
- Zerlegen und Ergänzen
- Prinzip der Fallunterscheidung
- Arbeiten mit Einzel- und Spezialfällen
- Schubfachprinzip
- Transformationsprinzip

Heuristische Regeln

- Allgemeine Regeln (Vorrangregeln u.a.)
- Spezielle Regeln und Regelsysteme für bestimmte Aufgabenklassen (heuristische Programme)

Zimmermann (2003: 46) hebt vor allem die folgenden fünf heuristischen Verfahren hervor, die sich bei Untersuchungen der Geschichte mathematischer Heuristik als besonders bedeutsam erwiesen haben: Inhaltliches Lösen von Problemen, Rückwärtsarbeiten, Darstellungswechsel, Analogisieren und Modellieren.^[14]

Es lässt sich konstatieren, dass unter einem heuristischen Verfahren eine Methode oder ein kognitives Werkzeug verstanden wird, welche(s) sowohl beim Suchen und Finden eines Lösungsweges, als auch beim Verstehen der Problemsituation behilflich sein kann (vgl. Tietze/Klika/Wolpers 2000: 99).

2.3 Problemlösen lernen und Problemlösekompetenz

In diesem Kapitel soll es um Problemlösen lernen und die Förderung der Problemlösekompetenz gehen. Dabei Problemlösen soll deutlich gemacht werden, welchen Stellenwert Problemlösen in der Mathematikdidaktik und im Mathematikunterricht hat, sowie Ansatzpunkte und Methoden zur Förderung der Problemlösekompetenz aufgezeigt werden.

2.3.1 Problemlösen in der Mathematikdidaktik und im Mathematikunterricht

Problemlösen kann zwei verschiedene didaktische Aspekte umfassen. Zum einen unterscheidet man zwischen Probleme lösen lernen (Zielaspekt) und Problemlösen als Lernmethode zur Erreichung von Lernzielen (Methodenaspekt) (vgl. Heinrich 2004: 56). Der Zielaspekt verfolgt die Intention, Schülerinnen und Schülern dazu anzuleiten, Probleme selbstständig zu lösen, wie im Sinne der KMK - Bildungsstandards. Beim Methodenaspekt geht es vielmehr um die Erreichung von Lernzielen (schlechthin) durch Problemlösen (vgl. Heinrich/Bruder/Bauer 2014: 6). Fritzlar (2011: 33) nennt sogar drei didaktische Gesichtspunkte von Problemlösen:

- Lernen über Problemlösen
- Lernen fürs Problemlösen
- Lernen durch Problemlösen

Als zusätzlichen Aspekt führt Fritzlar das Lernen durch Problemlösen auf: „Mathematische Probleme sind hier also Ausgangspunkte und integrale Bestandteile von Lernprozessen.“ (ebenda). Hierbei handelt es sich um indirektes Fördern, welches primär auf die Gestaltung der Situation ausgerichtet ist, indem das Denken und somit auch das Lernen angeregt werden, ohne dass die Strategie dabei genannt wird (vgl. z.B. Fritzlar 2011, Leuders 2003). Dieser Aspekt von Problemlösen, lässt sich, wie das Lernen fürs Problemlösen, eher dem Methodenaspekt nach Heinrich (2004) zuordnen. Das Lernen übers Problemlösen kann eher dem Zielaspekt hinzugefügt werden.

Im Weiteren soll vor allem der Zielaspekt, also Probleme lösen lernen, eine wichtige Rolle spielen. Dabei geht es um die Förderung mathematischer Problemlösekompetenz.

Seit Ende der 80er Jahre wird die Problemlösefähigkeit verstärkt als Schlüsselqualifikation im Mathematikunterricht gefordert. Im Zuge internationaler Vergleichsstudien (TIMS-Studie, IGLU-Studie, PISA-Studie), welche gravierende Defizite deutscher Schülerinnen und Schüler im internationalen Vergleich aufzeigten, insbesondere hinsichtlich ihrer Problemlösefähigkeit, ist diese Kompetenz wieder stärker in den Fokus mathematikdidaktischer Forschung geraten (vgl. Baumert et al. 1997). Die Ergebnisse zeigten kognitives Potenzial im Bereich Problemlösen, welches noch nicht hinreichend im Mathematikunterricht genutzt wird (vgl. ebenda). Aus diesen Befunden resultiert die Forderung der DMV^[15] nach einer Umgestaltung des Mathematikunterrichts, insbesondere hinsichtlich der Förderung der Problemlösekompetenz durch stärkere Problemorientierung, in einer Stellungnahme zur TIMS-Studie bei der Kultusministerkonferenz am 26./27. Juni 1997 in Bonn: „Mathematische Grundausbildung muß mehr vermitteln als Fertigkeiten, die gegebenenfalls automatisiert werden. Die Kraft mathematischen Denkens liegt in der Fähigkeit zur Begriffs- und Modellbildung und zur Entwicklung leistungsfähiger Verfahren und Algorithmen zur konkreten Problemlösung, dafür muß Verständnis, wenn nicht Begeisterung, geweckt werden.“

In Folge dieser Befunde fand eine Umstrukturierung im Bildungsbereich Schule von einer Input-Orientierung zu einer Output-Orientierung statt. Der Fokus der Lehrpläne liegt nun nicht mehr vorrangig auf den Inhalten, sondern vor allem auf den erworbenen Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler am Ende des Schuljahres. Die Problemlösekompetenz ist in Folge dieses „Bildungsschocks“ als prozessbezogener Kompetenzbereich in deutschen Bildungsstandards und den Bildungsplänen der einzelnen Bundesländer für das Fach Mathematik fest verankert worden (vgl. NKM 2006, KMK 2003).

Manche Autoren kritisieren aber auch die von PISA eingesetzten Probleme, da es sich nach der, in dieser Arbeit vertretenen, Auffassung strenggenommen nicht um Probleme, sondern um eine Vermischung der Kompetenzbereiche (fächerübergreifendes) „Problemlösen“ und „Modellierung“ handelt: „The OECD/PISA assessment focuses on real-world problems, moving beyond the kinds of situations and problems typically encountered in school classrooms. In real-world settings, citizens regularly face situations when shopping, travelling, cooking, dealing with their personals finances, judging political issues, etc. in which the use of quantitative or spatial reasoning or other mathematical competencies would help clarify, formulate or solve a problem.“ (OECD 2003: 24).

Diese Auffassung vertritt auch die GDM^[16], die in einer Presserklärung zur Veröffentlichung der PISA-Testergebnisse vom 05.12.2001 konstatiert, dass vielmehr „ mathematisches Modellieren realer, realitätsbezogener und innermathematischer Probleme im Vordergrund “ stand.

Es zeigt sich also, dass Problemlösen im Mathematikunterricht eine zentrale Position einnimmt. Allerdings sollte es nicht als „ ein zusätzliches Gebiet der Mathematik unterrichtet werden, sondern anhand der Geometrie, Analysis, Algebra usw.“ vermittelt werden (Burchartz 2003: 47). Vielmehr sollte Problemlösen eine der wichtigsten Leitideen für den Mathematikunterricht sein (vgl. Zimmermann 1983: 8). Zimmermann (2003: 42f.) führt fünf verschiedene Gründe für Problemlösen im Mathematikunterricht auf:

1. Pädagogische Gründe: Problemorientierter Mathematikunterricht erlaubt innere Differenzierung und befähigt zur Selbst- und Mitbestimmung. Zudem erfolgt eine Förderung von selbstständigem, kooperativem und kreativem Denken durch „entdeckendes Lernen“.
2. Lernpsychologische Gründe: Lernen erfolgt immer in einem entdeckenden Kontext, da Wissen kaum vermittelt werden kann, sondern vom Schüler konstruiert werden sollte. Ein Unterrichtskonzept, das dieser konstruktivistischen Lerntheorie (z.B. nach Glaser 1991) folgt, da es produktive Eigentätigkeit ermöglicht, ist problemorientierter Mathematikunterricht.
3. Empirische Gründe: Umfragen ergaben ein zunehmend starkes Interesse von Lehrerinnen und Lehrern am problemorientiertem Mathematikunterricht.
4. Gesellschaftliche Gründe: Die im problemorientierten Unterricht vermittelte Fertigkeit der Selbstorganisation kann in komplexen Systemen effektiver sein als zentrale Lenkung. Die Befähigung zum Lösen komplexer Probleme stellt daher im heutigen Schulunterricht ein wesentliches Lernziel dar.
5. Innermathematische Gründe: Für den wissenschaftlichen Fortschritt in der Mathematik ist die Entwicklung und Anwendung heuristischer Verfahren bedeutsam. Diese erfolgt durch die Orientierung an Problemen. Darüber hinaus geben diese der Mathematik langfristig mehr Anregungen als systematische Rekonstruktionen.

Ähnliche Gründe lassen sich bei Pólya (1980) und Bruder & Collet (2011) finden. Als sehr wichtig lässt sich die Schulung des Denkens aufführen, welche für Pólya durch den Erkenntnisprozess beim Betreiben von Mathematik gefördert wird (vgl. Pólya 1980: 9). Aber auch die Förderung der Kreativität ist ein Grund, warum Schülerinnen und Schüler im Mathematikunterricht Probleme lösen sollten. Darüber hinaus sind Kenntnisse über heuristische Strategien für das Betreiben von Mathematik, aber auch im Alltag unabdingbar und sollten im Mathematikunterricht gefördert werden (vgl. Zimmermann 2003: 47). Außerdem hat Mathematikunterricht die Aufgabe mathematische Kenntnisse und Fähigkeiten zu vermitteln, die im Alltag und späteren Berufsalltag gebraucht werden, was auch Problemlösen umfasst (vgl. Bruder & Collet 2011: 20).

Zimmermann (1991: 32f.) nennt aber auch einige Schwierigkeiten, die beim Problemlösen auftreten können. Insbesondere die Leistungsbewertung der Schülerinnen und Schüler und der Zeitdruck, welcher dem Mathematikunterricht obliegt, sieht er als hinderliche Punkte beim Problemlösen an. Auch können sprachliche Schwierigkeiten der Schülerinnen und Schüler ein erhebliches Hindernis beim Problemlösen darstellen.

Es lässt sich also festhalten, dass Problemlösen lernen und lehren für Lernende und Lehrende ein wichtiges Lernziel bzw. Lehrziel und eine große Herausforderung darstellt. Daher sollte diese Kompetenz verstärkt im Mathematikunterricht gefördert werden (vgl. Heinrich/Bruder/Collet 2014: 7). Mit dieser Zielsetzung geht die Frage einher, wie die Problemlösekompetenz besser als bisher gefördert werden kann. Darum soll es im folgenden Kapitel gehen.

2.3.2 Ansatzpunkte und Methoden zur Förderung der Problemlösekompetenz

Die Ansätze zur Förderung der Problemlösefähigkeit in der mathematikdidaktischen Literatursind vielfältig. In diesem Zusammenhang ist es sinnvoll, zwischen Ansatzpunkten und Methoden zur Förderung der Problemlösekompetenz zu unterscheiden. Beginnen wir mit den verschiedenen Ansatzpunkten, welche mit den Einflussfaktoren auf Inhalt und Verlauf von Problemlöseprozessen gleichzusetzen sind.

Schoenfeld (1985: 15) hat vier verschiedene Komponenten herausgearbeitet, die Problemlösen subjektiv beeinflussen und an denen eine Förderung der Problemlösekompetenz ansetzen kann:

1. Resources: Mathematical Knowledge possed by the individual that can be brought to bear on the problem at hand

- Intuitions and informal knowledge regarding the domain
- Facts
- Algorithmic procedures
- „Routine“ nonalgorithmic procedures

2. Heuristics: Strategies and techniques for making progress on unfamiliar or nonstandard problems; rules of thumb for effective problem solving, including:

- Drawing figures; introducing suitable notation
- Exploiting related problems
- Reformulating problems; working backwards
- Testing and verification procedures

3. Control: Global decisions regarding the selection and implementation of resources and strategies

- Planning
- Monitoring and assessment
- Decision-making
- Conscious metacognitive acts

4. Belief Systems: One´s „mathematical world view“, the set of (not necessarily conscious) determinants of an individual´s behaviour

- About self
- About the environment
- About the topic
- About mathematics

Diese Faktoren lassen sich als inhaltliche Ansatzpunkte, welche gefördert werden sollen, auffassen. Diese gehen mit der Fragestellung einher „Wo ist der Hebel anzusetzen?“ bzw. „Was soll gefördert werden?“ (vgl. Heinrich/Bruder/Bauer 2014: 11). Neben der epistemischen und heuristischen Struktur (Resources und Heuristics) nach Dörner (vgl. Kapitel 2.1.3) führt Schoenfeld, ähnlich wie Fernandez/Hadawey/Wilson und Mason/Burton/Stacey (vgl. Kapitel 2.2.2), unter dem „Control“-Aspekt metakognitive Elemente auf, welche auf den Problembearbeitungsprozess Einfluss nehmen.

Der amerikanische Psychologe Flavell (1976: 232) charakterisiert den Begriff Metakognitionen wie folgt: „Metacognition refers to one´s knowledge concerning one´s own cognitive processes or anything related to them, e.g. the learning-relevant properties of information or data. For example, I am engaging metacognition […] if I notice that I am having more trouble learning A than B; if I strikes me that I should double-check C before accepting it as a fact; if it occurs to me that I had better scrutinize each and every alternative in a multiple-choice type task before deciding which is the best one; […] Metacognition refers, among other things, to the active monitoring and consequent regulation and orchestration of those processes in relation to the cognitive objects or data on which they bear, usually in the service of some concrete [problem solving] goal or objective.“

In dieser Definition wird die Vielschichtigkeit von Metakognitionen deutlich, welche auch von vielen anderen Autoren betont wird (z.B. Woolfolk 2008: 329). Der Begriff metacognition ist in die Aspekte metacognitive knowledge (Wissen über Kognitionen) und metacognitive regulation (Steuerung von Kognitionen) unterteilt. Flavell (1984: 23f.) fügt in einer späteren Arbeit die Kategorie metacognitive experience (metakognitive Empfindungen, auch Sensitivität) hinzu. Auch Schoenfeld (1987: 189f.) nennt dieselben drei Bereiche, die für ihn Metakognitionen umfassen (vgl. Rott 2013: 85):

„[R]esearch on metacognition has focused on three related but distinct categories of intellectual behavior:

1. Your knowledge about your own thought processes. How accurate are you in describing your own thinking?
2. Control, or self-regulation. How well do you keep track of what you´re doing when (for example) you´re solving problems, and how well (if at all) do you use the input from those observations to guide your problem solving actions?
3. Beliefs and intuitions. What ideas about mathematics do you bring to your work in mathematics, and how does that shape the way that you do mathematics?“

Als weitere, bisher noch nicht betrachtete, subjektive Komponente des Problembearbeitungsprozesses nennt Schoenfeld (1985) den Punkt „Belief-Systems“, welcher Grundhaltungen des Problembearbeiters zu sich selbst und zur schulischen Umwelt umfasst.

In Anlehnung an Schoenfeld hat Geering (1992: 2) die nachfolgenden Ebenen herausgestellt, die das individuelle Problemlösen beeinflussen und an denen mögliche Fördermöglichkeiten ansetzen können. Die Punkte „Heuristics“ und „Resources“ nach Schoenfeld (1985) fasst Geering zum Einflussfaktor „Kognitionen“ zusammen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 8: Einflussebenen nach Geering (1992)

Auch Kießwetter (1983: 81f.) geht von einer dreigeteilten Struktur aus und führt neben kognitiven und metakognitiven Aspekten einen weiteren Faktor an, welcher Einfluss auf den Problembearbeitungsprozess hat. Er erweitert den Ansatz der kognitiven Struktur nach Dörner (1979) um die „Meta-Meta-Struktur“, die für ihn die physisch-psychische Momentankonstellation des Problembearbeiters ausmacht, welche mit der Zeit veränderlich ist und auf Ermüdungserscheinungen (z.B. Motivation), Wettereinflüsse, sowie vorhergehende Erfolgs- und Misserfolgserlebnisse Einfluss nimmt.

Kilpatrick & Radatz (1983: 153) gehen ebenso von einer dreiteiligen Struktur aus, die dem Problembearbeitungsprozess zugrunde liegt. Neben der epistemischen und heuristischen Struktur führen auch sie eine metakognitive Struktur auf. Zudem betonen sie, dass alle drei Strukturen zu erweitern sind, wenn die Problemlösekompetenz gefördert werden soll: „Teachers need to recognize that improving the ability of pupils to solve problems may requiere the further development of all three structures“.

Anhand dieser unterschiedlichen Einflussfaktoren lässt sich folgern, dass es zur Förderung der Problemlösekompetenz viele verschiedene Ansatzpunkte zu berücksichtigen gilt. Während bei den inhaltlichen Ansatzpunkten weitestgehend Konsens in der mathematikdidaktischen Literatur herrscht, dass der Hebel an verschiedenen Stellen anzusetzen ist, ist die Frage nach den Maßnahmen bzw. Methoden zur Förderung der Problemlösefähigkeit umstritten. Auf die Fragen „ Wie soll gefördert werden ?“ bzw. „ Welche Maßnahmen und Methoden eignen sich, um die Problemlösekompetenzen zu verbessern?“ findet man eine Vielzahl von Möglichkeiten in der wissenschaftlichen Literatur.

Beispielsweise hat Kilpatrick (1985: 8f.) anhand seiner Analysen über möglicher Fördermaßnamen der Problemlösefähigkeit zwischen 1960 bis etwa 1985, eine grobe Einteilung in fünf Gruppen möglicher Maßnahmen aufgestellt (vgl. Heinrich 2004: 81f.).

1. Osmosis: Derartigen Maßnahmen liegt die Annahme zugrunde, dass durch die Bearbeitung zahlreicher Probleme ein implizites Lernen des Problembearbeiters erfolgt, indem Methoden und Vorgehensweisen beim Problemlösen (implizit, durch osmotische Vorgänge) erlernt werden.
2. Memorization: Entsprechende Ansätze fokussieren das Erlernen und die korrekte Ausführung von Teilschritten des Problembearbeitungsprozesses.
3. Imitation: Die Förderung der Problemlösekompetenz tritt durch „Lernen am Modell“^[17] ein, indem Problemlöseprozesse von Experten erlebt und entsprechend nachgeahmt werden.
4. Cooperation: Die Annahme solcher Maßnahmen ist, dass durch Gespräche in Kleingruppen Ideen hervorgebracht, sowie Konzepte und Verfahren geklärt werden, welche alleine nur schwer zu erarbeiten sind.
5. Reflection: Dieser Ansatz verfolgt die Vorstellung, dass Kinder nicht nur durch ihre eigene Tätigkeit lernen (learn by doing) sondern auch durch Nachdenken über das, was sie tun (learn by doing and by thinking about what they do), d.h. Ausführen der Problemhandlung und Reflektieren des eigenen Problembearbeitungsprozesses.

Einen weiteren Methodenkatalog zur Förderung der Problemlösekompetenz, der im Folgenden dargestellt ist, führt Zech (1996: 364) auf:

- Durch Problemlösen
- Dialektik zwischen Anleitung und Selbständigkeit beachten
- Verwendung von Handlungsanweisungen
- Gezieltes kognitives Modellieren heuristischer Regeln
- Üben von Teilhandlungen

- Analyse von Fehlern, die auf das Nichtbeachten wesentlicher heuristischer Regeln zurückzuführen sind
- Kommentieren richtiger und falscher Lösungsschritte (Rückmeldung)
- Lösungswege reflektieren
- Aufforderung, von vorhandenem Wissen Gebrauch zu machen, auf Ähnlichkeiten zu reflektieren (Analogisieren)
- Entwicklung der Abstraktionsfähigkeit (daran gewöhnen, auf wichtige Informationen zu achten)

Tietze & Förster (2000: 113) formulieren in Anlehnung an Zech (1996) und Bruder (1992) folgende unterrichtsbezogene Maßnahmen zur Förderung der Problemlösekompetenz:

- Erwerb des Wissens durch entdeckendes Lernen; die Probleme sollten der Leistungsfähigkeit der Schüler angemessen sein; man arbeitet mit prozessorientierten Hilfen
- Das Unterrichtsklima sollte akzeptierend sein
- Der Lehrer sollte die Schüler zum divergenten Denken ermutigen
- Automatisierte Gedankenabläufe stören
- Offene und herausfordernde Probleme stellen und Schüler selbst Probleme stellen und weiterführen lassen
- Umgangssprachliche Äußerungen akzeptieren, intuitives Argumentieren und Vermuten anregen
- Ein konstruktives Verhältnis zu Fehlern aufbauen
- Heuristische Strategien lehren

Heinrich/Bruder/Bauer (2014: 13f.) haben wesentliche Maßnahmen zur Förderung der Problemlösekompetenz, die man u.a. bei Kilpatrick (1985: 8f.), Zech (1996), Bruder (1992), Heinrich (1992) oder Leuders (2003) findet, in einem Überblick zusammengefasst.

Heute gibt es eine (weitgehende) Übereinstimmung darüber, dass die Problemlösefähigkeit vermutlich am wirksamsten durch die Kombination einander ergänzender Maßnahmen gefördert werden kann (vgl. Heinrich/Bruder/Bauer 2014: 14). Allerdings liegen aus forschungsökonomischen Gründen und methodologischen Schwierigkeiten bisher nur wenige empirische Befunde dazu vor (vgl. Heinrich 2004: 85). Grundsätzlich herrscht aber Konsens darüber, dass „ die Entwicklung der Problemlösekompetenz ein schwieriger und langwieriger Prozeß ist “ (Törner & Zielinski 1992: 259).

Die vorliegende Arbeit knüpft am oben hervorgehobenen Gedanken an, ein konstruktives Verhältnis zu (Denk-) Fehlern aufzubauen. Wenn man dabei den Begriff Denkfehler liest, assoziiert dieses, dass damit Fehler im strategischen Vorgehen der Lösungssuche, also sogenannte Strategiefehler, gemeint sind. Wie die weiteren Aufführungen jedoch zeigen werden, können auch Fehler anderer Art (sogenannte Wissens- oder Fertigkeitsfehler) den Verlauf und das Ergebnis des Problembearbeitungsprozesses erheblich beeinflussen und somit lösungshinderlich sein. Daher werden wir uns im Weiteren nicht nur strategischen Defiziten zuwenden, sondern lösungshinderliche Fehler jeglicher Art untersuchen.

[...]

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^[1] An dieser Stelle wollen wir unter einem Problem eine schwierige Aufgabe verstehen, welche nicht sofort gelöst werden kann.

^[2] In der vorliegenden Arbeit wird der Begriff Problemlösefähigkeit synonym mit der heute verwendeten Begrifflichkeit Problemlösekompetenz verwendet.

^[3] Third International Mathematics Science Study; seit 2003 Trend International Mathematic Science Study.

^[4] Im Zeitalter abrufbarer elektronischer Fahrpläne, handelt es sich heutzutage nicht mehr um ein Problem.

^[5] In der Literatur findet man häufig die Begriffe Problemlöseprozess und Problembearbeitungsprozess. Letzterer schließt ein, dass keine Lösung gefunden wird. Nicht selten spricht man aber auch von Problemlösen, wenn keine Lösung für das Problem gefunden wird.

^[6] Diese Unterscheidung erfolgt auf der Basis von Piaget Auffassung von Assimilations- und Akkomodationsprozessen.

^[7] Dieser Begriff wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet (vgl. Becker 1987: 123f.).

^[8] Eine nähere Erläuterung von Heuristiken erfolgt im Kontext der Mathematikdidaktik in Kapitel 2.2.3.

^[9] Die Quadratur des Kreises, die Drittelung des Winkels und die Erzeugung eines Würfels mit doppeltem Volumen.

^[10] Auch wenn Pólya von Aufgaben spricht, sind damit nach unserem Verständnis Probleme gemeint.

^[11] Obwohl Pólya von Aufgaben spricht, sind damit nach unserer Auffassung Probleme gemeint.

^[12] Bezogen auf Untersuchungen zu Problemlöseprozessverläufen von Fünftklässlern.

^[13] Weitere Formulierungen und Unterteilungen heuristischer Verfahren findet man zum Beispiel bei Tietze & Förster (2000), König (1992) und Zimmermann (2003).

^[14] Alle in diesem Kapitel aufgezählten Heurismen sind in der angegebenen Literatur ausführlich beschrieben und werden aufgrund des Umfangs dieser Arbeit nicht weitergehend erläutert.

^[15] Deutsche Mathematiker-Vereinigung.

^[16] Gesellschaft für Didaktik der Mathematik.

^[17] Sozialkognitivistische Lerntheorie nach Albert Bandura (1963).