Zyklische Gruppen der Ordnung n bilden genau dann Automorphismengruppen auf einer 1-Faktorisierung des vollständigen Graphen K_n, wenn n ̸= 2^t für t ≥ 3. Im Falle n = 2^t mit t ≥ 3 wird bewiesen, dass es keine zyklische 1-Faktorisierung von K_n gibt, für die anderen Fälle wird die Aussage durch Konstruktion der 1-Faktoren bewiesen. Eine analoge Aussage für abelsche Gruppen ist möglich, wird aber nicht vollständig bewiesen.
Inhaltsverzeichnis
- Einleitung
- Einführung in die Graphentheorie
- Grundlagen und Definitionen
- Cayley-Graphen
- Faktorisierungen
- Zyklische 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen
- Struktur zyklischer 1-Faktorisierungen
- Konstruktion einer zyklischen 1-Faktorisierung
- Fazit
- Abelsche Automorphismengruppen auf 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen
- Gruppen der Ordnung 2m (für m ungerade Primzahlpotenz)
- Zusammenfassung
- Beispiel
- Verallgemeinerung
- Zusammenfassung und Ausblick
- Quellenverzeichnis
Zielsetzung und Themenschwerpunkte
Die Bachelorarbeit befasst sich mit der Untersuchung von Automorphismengruppen auf 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen. Ziel ist es, zu erforschen, welche zyklischen Gruppen als Automorphismengruppen auf 1-Faktorisierungen von vollständigen Graphen auftreten können. Die Arbeit basiert auf der Arbeit von Hartman und Rosa [HR85] und verfolgt deren Beweisführung detailliert nach.
- Zyklische Gruppen als Automorphismengruppen auf 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen
- Konstruktion von 1-Faktorisierungen mit zyklischen Automorphismengruppen
- Übertragbarkeit der Erkenntnisse auf abelsche Gruppen
- Cayley-Graphen als Hilfsmittel zur Konstruktion von 1-Faktorisierungen
- Anwendung der Graphentheorie auf die Modellierung netzartiger Strukturen
Zusammenfassung der Kapitel
Das erste Kapitel führt in die Thematik der Arbeit ein und erläutert die Bedeutung von 1-Faktorisierungen in der Graphentheorie. Es werden die wichtigsten Begriffe und Definitionen aus der Graphentheorie eingeführt, insbesondere im Hinblick auf Cayley-Graphen.
Kapitel 2 widmet sich der Untersuchung von zyklischen 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen. Es wird die Struktur dieser Faktorisierungen analysiert und eine konkrete Konstruktion einer zyklischen 1-Faktorisierung vorgestellt. Der Beweis, dass zyklische Gruppen der Ordnung n genau dann Automorphismengruppen auf einer 1-Faktorisierung des vollständigen Graphen Kn bilden, wenn n ‡ 2ª für t ≥ 3, wird detailliert nachvollzogen.
Kapitel 4 befasst sich mit der Frage, inwiefern die Erkenntnisse über zyklische Gruppen auf abelsche Gruppen übertragbar sind. Es wird ein Spezialfall betrachtet, nämlich Gruppen der Ordnung 2m (für m ungerade Primzahlpotenz). Die Arbeit verweist für allgemeine Aussagen auf die Literatur, da die entsprechenden Überlegungen den Rahmen der Arbeit übersteigen.
Schlüsselwörter
Die Schlüsselwörter und Schwerpunktthemen des Textes umfassen 1-Faktorisierungen, vollständige Graphen, zyklische Gruppen, abelsche Gruppen, Automorphismengruppen, Cayley-Graphen, Graphentheorie, Konstruktion, Beweis, Struktur, Faktorisierung, Mathematik, Modellierung, netzartige Strukturen.
- Citation du texte
- Christin Zabelt (Auteur), 2014, Symmetriegruppen der 1-Faktorisierungen vollständiger Graphen, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/283093
