Spezielle Mathematik zur Komplexen Koexistenz


Forschungsarbeit, 2014

46 Seiten


Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Teil 1 Grundlage
I.1. Die Zahlentheorie
I.1.1 Die Zahl
I.1.2 Rechenregeln
I.1.3 Gebrochene Zahlen
I.2 Das erweiterte Zahlensystem
I. 2.1 Verknüpfungen mehrerer Zahlensysteme
I.3. Rechnen mit 0 und ∞
I.3.1 Multiplikation und Division
I.4 Definierte (endliche) Zahlensysteme
I.5 Anwendbarkeit definierter Systeme
I.6 Philosophische Gedanken

Teil 2 Beweisführungen
II Erläuterung
II.1 Definition
II.2 Allgemeine Berechnung von 0/0
II.3 Analyse der Beispiele aus I.2
II.4 Potenzregeln bezüglich 0n
II.5 Überprüfung der Potenzregel
II.6 Negative Exponenten
II.7 Der Sprung auf die Imaginär-Achse
II.8 Die 0 als Ergebnis einer Summe (xn ± a=0)
II.9 Schnittpunkt der Achsen an ∞

Teil 3 Anwendungen auf die Komplexe Koexistenz
III.1Transformation in ein komplexes System
III.2 Ausweichen auf die 3. Dimension

Anhang

Stichwortverzeichnis

Literaturnachweis und Quellennachweis:

Vorwort

In der Theorie der Komplexen Koexistenz befassen wir uns mit Problemen in Grenzbereichen und mit sprunghaften Veränderungen im mathematisch komplexen Bereich. Zwar kann man die Probleme mit Grenzwertbetrachtung und Differenzialrechnung angehen. Dennoch stößt man an Grenzen. Vor allem, wenn man – wie in der Forschung – noch nicht über vollständige Formeln verfügt. Hier war es von Nöten nach einer besseren mathematischen Problemlösung für diesen Bereich zu suchen

Ursprünglich habe ich nur die Phänomene des Rechnens mit null und unendlich untersucht, um spezielle Problem zu lösen. Dabei bin ich auf dieses allgemeine Problem gestoßen.

In dem vorliegenden Buch werden die grundlegenden Regeln der Mathematik isoliert und die "Zahlen" null und unendlich definiert und eine kleinst - und größtmögliche Zahl (ohne Wert) eingeführt und ihnen einen festen Platz im Zahlensystem zugewiesen. Hierfür mussten einige spezielle Regeln erstellt werden. Diese wurden erstmals in dem Buch Mathematik ohne Grenzen veröffentlicht.

Der zweite Teil des Buches enthält die mathematische Beweisführung für die Definitionen und Regeln des ersten Teils. Ihre Gültigkeit und Übereinstimmung mit den anerkannten Regeln der Mathematik werden nachgewiesen.

Der Teil 3 des Buches befasst sich mit dem Einstieg in das Gebiet der Transformationen für die gezielte Anwendung im Bereich der Komplexen Koexistenz.

Nachdem die Regeln dieses Buches nun in der Theorie der Komplexen Koexistenz eine breitere Anwendung gefunden haben, wurde die vorliegende Auflage im Hinblick darauf überarbeitet. Speziell wird auf die Anwendung im Subatomaren Bereich eingegangen.

Das Buch erhebt nicht den Anspruch auf Vollständigkeit. Es enthält jedoch alles was nach Meinung des Autors erforderlich ist, um ein volles Verstehen der Problematik der mathematischen Handhabung der Komplexen Koexistenz zu erreichen. Kenntnisse der Infinitesimalrechnung, der Vektorenrechnung und der komplexen Rechnung werden vorausgesetzt.

Der Verfasser

Teil 1 Grundlage

I.1. Die Zahlentheorie

Als Grundlage der Mathematik dienen die Peanoschen Axiome1

1. 1 ist eine natürliche Zahl.
2. Zu jeder natürlichen Zahl n existiert genau ein Nachfolger n', der ebenfalls der natürlichen Zahlenmenge angehört.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist.
4. Die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen sind voneinander verschieden.
5. Eine Menge von natürlichen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen, wenn 1 zur Menge gehört und mit einer natürlichen Zahl n stets auch der Nachfolger n' zur Menge gehört.

Diese Regeln sagen nichts weiter aus, als dass die 1 die erste Zahl im Zahlensystem ist und dass jede Zahl eine nachfolgende Zahl hat, die um den Wert 1 größer ist als die vorhergehende. Dieses Zahlensystem enthält nicht den Wert "0" und auch nicht den Wert "∞". Das Zahlensystem ist nach oben offen, daher kann es immer eine größte Zahl geben, aber nicht ∞. Es ist von fundamentaler Bedeutung, dass sowohl die 0 als auch ∞ außerhalb des Zahlensystems liegen.

I.1.1 Die Zahl

Was ist eine Zahl?

Eine Zahl ist ein festgelegtes Symbol für einen bestimmten Wert. Dieser Wert gilt nur für diese eine Zahl.

Ihre Position, innerhalb des Zahlensystems, ist ebenfalls festgelegt und unveränderbar.

Ihr Wert liegt genau zwischen dem Wert der vorangegangenen und der nachfolgenden Zahl und wird durch deren Werte bestimmt. Dies gilt nicht für die erste Zahl (1); ihr Wert ist durch Definition festgelegt und gibt zugleich auch die Schrittgröße des Systems an. Hieraus ergibt sich, dass sowohl der Wert einer Zahl, als auch ihre Position im Zahlensystem festgelegt sind. Der Wert und die Position einer Zahl stehen miteinander in einer festen Beziehung.

1) Benannt nach Guiseppe Peano (1858-1932)

Hieraus ergibt sich die 1. Regel

DER WERT EINER ZAHL WIRD AUSSCHLIESSLICH DURCH IHRE POSITION IM ZAHLENSYSTEM BESTIMMT! UNABHÄNGIG DAVON, WIE DIESES AUCH IMMER AUFGEBAUT SEIN MAG.

Wenn wir eine Zahl benennen, meinen wir im Allgemeinen Position und Wert der Zahl. Für den Umgang mit der Mathematik ist es jedoch von entscheidender Bedeutung zu wissen, dass Wert und Position zwei ganz verschiedene Dinge sind; wobei die Position übergeordnet ist. Der Umstand, dass diese beiden Dinge gleichgesetzt wurden, hat zu der Irrlehre geführt, dass man mit null keine höheren Rechenoperationen durchführen kann.

Es gibt eine 2. Regel

DIE POSITION EINER ZAHL BESTIMMT DEREN WERT, SIE IST DAMIT DEM WERT ÜBERGEORDNET!

Die Bedeutung dieser Regel wird im Verlaufe des Buches deutlich werden.

Die Zahlen 0 und ∞ liegen außerhalb des Zahlensystems und können deshalb keinen Wert annehmen. (Es wird Ihnen vielleicht etwas merkwürdig vorkommen, dass ich ∞ als eine Zahl bezeichne, da dies nicht allgemein üblich ist. Aber es ist korrekt, wie Sie im Verlaufe des Buches feststellen werden.)

Im weiteren Verlauf des Buches unterscheiden wir zwischen drei Arten von Zahlen.

a.) Die Zahl mit Eigenwert. Hierunter verstehen wir jede Zahl, die von Natur aus innerhalb des Zahlensystems liegt.
b.) Die Zahl ohne Eigenwert. Hierunter verstehen wir die Zahlen 0 und ∞.
c.) Die Zahl mit unbestimmtem Wert. Hierunter verstehen wir Zahlen denen (per Definition oder durch Rechenoperationen) eine Position zugewiesen wird, welcher jedoch kein fester Wert zugewiesen werden kann, sowie alle Zahlen, die außerhalb des Systems liegen (z.B. ∞ /2, 2.∞).

Die Zahl mit unbestimmtem Wert hat keinen praktischen Wert, kann aber vorkommen und als Hilfswert bei Rechenoperationen hilfreich sein. Sie muss daher der Vollständigkeit halber an dieser Stelle erwähnt werden.

I.1.2 Rechenregeln

Wenn wir mathematische Berechnungen durchführen, dann operieren wir nicht - wie meist fälschlicherweise angenommen wird - mit den Werten der Zahlen, sondern mit ihren Positionen. Dies wird dann deutlich, wenn man mit Formeln rechnet (z.B. a+b=c). Hier werden die Werte nachträglich zugeordnet.

Beispiel:

Wir können a als Startposition, b als zu gehende Strecke, + als Richtung und c als Ziel ansehen. Wir starten an der Position 3 und bewegen uns um 4 Einheiten in Richtung ∞. So gelangen wir zu der Position 7. Der Position 7 ist der Wert 7 zugeordnet. Das Ergebnis ist 7.

Die Zeichen + und - geben die Bewegungsrichtung an.

+ ist eine Bewegung in Richtung ∞.

- ist eine Bewegung in Richtung 0 (bzw. Richtung - ∞)

Eine Formel (Rechenoperation) gibt die Wege an, die man gehen muss, um zum Ziel (Rechenergebnis) zu gelangen.

Beispiel: 3+4-5+6=X

Der Auftrag lautet: Starte an der Position 3, gehe 4 Einheiten in Richtung ∞, gehe 5 Einheiten in Richtung 0, gehe dann 6 Einheiten in Richtung ∞, dann bist du am Ziel (Position X). X entspricht der Position 8 und hat somit den Wert 8. Dies gilt selbstverständlich für alle Rechenregeln.

Hieraus ergibt sich die 3.Regel

RECHENOPERATIONEN STELLEN DIE BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN POSITIONEN (NICHT DEN WERTEN) DER ZAHL DES ZAHLENSYSTEMS DAR.

Das in diesem Kapitel beschriebene Zahlensystem ist zwar für die Beschreibung der Grundregeln gut geeignet, aber für die Beschreibung aller Regeln und Verfahren unzureichend. Das gezeigte System enthält nur ganze Zahlen und die Zahlen 0 und ∞, als Richtungsangaben. Null und unendlich gehören hier strenggenommen gar nicht her, da sie Verknüpfungsfunktionen haben. Die besonderen Eigenschaften dieser speziellen Zahlen kommen hier noch nicht zum Tragen.

I.1.3 Gebrochene Zahlen

1/2, 1/3, 1/786 sind gebrochene Zahlen (Brüche). Zur Vereinfachung können wir sagen: ganze Zahlen sind größer als 1 und gebrochene Zahlen sind immer kleiner als 1. Dies ist sehr banal, aber von größter Wichtigkeit. Der Zahl 1 kommt daher eine besondere Bedeutung zu, wie wir noch feststellen werden.

Zahlen wie 3/2, 1,25...usw. sind Kombinationen (Additionen) von ganzen und gebrochenen Zahlen z.B. 3/2 = 1+1/2; 1,25 =1+1/4 ...usw.

I.2 Das erweiterte Zahlensystem

Ein Zahlensystem, das alle möglichen ganzen und gebrochenen Zahlen enthält und ihre Beziehungen zueinander verdeutlicht, lässt sich wie folgt darstellen.

Die Zahl (Position) 1 stellt den Mittelpunkt dieses Systems dar. Die Zahlen 0 und ∞ liegen außerhalb des Systems, genau wie bei dem ursprünglichen Zahlensystem aus Kapitel 1.

Im weiteren Verlauf des Buches werden wir diese 1 als Spiegelachse bezeichnen. Das System ist symmetrisch aufgebaut d.h. 1/2 hat den gleichen Abstand von der 1 (Spiegelachse) wie die 2, 1/3 hat den gleichen Abstand wie 3 ...usw. Die Zahlen 0 und ∞ werden als Verknüpfungsglieder bezeichnet (die Erklärung folgt später).

Genaugenommen stellt die 1 hier auch ein Verknüpfungsglied dar. Wir haben hier zwei Zahlensysteme wie in Kapitel 1 miteinander verknüpft, wobei eines von 1 in Richtung ∞ (unendlich groß) und das andere von 1 in Richtung 0 (unendlich klein) geht. Da aber die 1 zum Zahlensystem gehört und andere Funktionen hat, als die Verknüpfungsglieder (0 und ∞), verwenden wir hier (um Verwechslungen vorzubeugen) nicht den gleichen Ausdruck.

Da das System symmetrisch ist und jede Zahl eine gespiegelte Zahl hat, ist das System nach beiden Seiten offen. Das heißt, es gibt nicht nur immer eine noch größere Zahl, sondern es gibt auch immer eine noch kleinere Zahl. Daraus ergibt sich, dass es weder eine Zahl ∞, noch eine Zahl 0 (als Werte) geben kann. Im Zusammenhang mit diesem Zahlensystem wäre es demnach korrekter den Begriff 0 durch unendlich klein zu ersetzen. Da aber die 0 üblich ist werden wir den Begriff weiter verwenden.

Bei einer Addition oder Subtraktion kann natürlich der Wert 0 als Ergebnis erscheinen. Dies bedeutet aber nichts weiter, als dass man das Zahlensystem verlassen hat.

Gebrochene Zahlen sowie auch Dezimalzahlen, die nicht in der Zahlenreihe zu finden sind, sind Additionen mehrerer Zahlen (ganze und/oder gebrochene). Z.B. 1,83333 ... = 1+1/2+1/3 Die Anzahl der Summanden kann unendlich sein (z.B. bei den Werten von p oder e).

Aus dem symmetrischen Aufbau dieses erweiterten Zahlensystems ergeben sich einige weitere grundlegende Regeln in der Mathematik.

4. Regel

DER BEREICH VON 0 BIS 1 ENTHÄLT DIE GLEICHE ZAHLENMENGE WIE DER BEREICH VON 1 BIS ∞.

Die Vorstellung, dass komplizierte Dezimalzahlen Additionen sind, ermöglicht es, das Zahlensystem einfach zu belassen. Andernfalls hätten wir zwischen zwei ganzen Zahlen unendlich viele gebrochene Zahlen; ein solches System wäre nicht praktikabel.

5. Regel

MULTIPLIZIERT MAN EINE ZAHL MIT IHRER GESPIEGELTEN ZAHL, SO ERHÄLT MAN IMMER DEN WERT 1.

Dies gilt selbstverständlich auch für die Zahlen 0 und ∞, da diese den gleichen Abstand zur Spiegelachse (1) haben (obwohl diese außerhalb des Zahlensystems liegen).

Hieraus ergibt sich: ∞ .1/∞ = 1. 1/∞ entspricht 0 daher ist ∞ .0=1.

[Anmerkung: Diese Rechnung ist nur möglich, wenn 0 und ∞ wie oben definiert sind. Mit der Grenzwertbetrachtung gehen wir gegen 0, was bedeutet, dass wir noch innerhalb des Zahlensystems liegen, aber keine konkrete Position einnehmen.]

Auch Zahlen wie z.B ∞ /2 oder irgendetwas in der Art, können definiert werden, und man kann mittels 1:∞ /2 ihre Spiegelzahl errechnen. Solchen Zahlen kann jedoch kein Wert zugeordnet werden; dennoch kann, gemäß der 3. Regel, mit ihnen gerechnet werden.

I. 2.1 Verknüpfungen mehrerer Zahlensysteme

Die Verknüpfung erfolgt mit der Hilfe der Verknüpfungsglieder 0 und ∞

Bisher haben wir nur positive reale Zahlen betrachtet. Zur Erweiterung des Zahlensystems mit negativen Zahlen, wird einfach ein weiteres (identisches) Zahlensystem spiegelverkehrt an 0 oder an ∞, angebunden.

a) Anbindung an 0

Die Erweiterung um die Imaginär-Achse erfolgt ebenfalls durch Anbindung an einem Verknüpfungsglied 0 oder ∞. So erhalten wir die bekannte Gaußsche Zahlenebene.²

Gaußsche Zahlenebene

2) Karl Friedrich Gauß(1777 bis 1855)

I.3. Rechnen mit 0 und ∞

Da 0 und ∞ definierte Positionen haben, kann man auch mit ihnen rechnen. Da diese Zahlen aber keinen zugeordneten Wert haben, gibt es einiges zu beachten.

I.3.1 Multiplikation und Division

Regel:

Multipliziert man eine Zahl mit 0, so liegt das Ergebnis zwischen 0 und 1. Geht die Zahl gegen ∞, so geht das Ergebnis gegen 1. Geht die Zahl gegen 1, so geht das Ergebnis gegen 0. Liegt die Zahl zwischen 1 und 0, so ist das Ergebnis 0 (das Ergebnis ergibt eine Zahl die Außerhalb des Zahlensystems liegt).

Eine Division durch 0 entspricht einer Multiplikation mit ∞, daraus folgt: Dividiert man eine Zahl durch 0, so liegt das Ergebnis zwischen 1 und ∞. Geht die Zahl gegen 0, so geht das Ergebnis gegen 1. Geht die Zahl gegen 1, so geht das Ergebnis gegen ∞. Ist die Zahl größer als 1, so ist das Ergebnis ∞. (Da Zahlen größer als ∞ nicht möglich sind, liegen auch hier die Ergebnisse außerhalb des Zahlensystems).

Eine Multiplikation mit ∞ entspricht einer Division durch 0. Eine Division durch ∞ entspricht einer Multiplikation mit 0.

Achtung: Diese Regeln gelten nur für Definierte Zahlensysteme, in denen 0 und ∞ bzw. die größt- und kleinstmögliche Zahl definiert sind. Im Standardsystem ist das Ergebnis einer Multiplikation immer null.

[...]

Ende der Leseprobe aus 46 Seiten

Details

Titel
Spezielle Mathematik zur Komplexen Koexistenz
Autor
Jahr
2014
Seiten
46
Katalognummer
V283580
ISBN (eBook)
9783656841340
ISBN (Buch)
9783656841357
Dateigröße
748 KB
Sprache
Deutsch
Anmerkungen
Das Buch ist Teil der Forschungsarbeiten zum Thema "Komplexe Koexistenz".
Schlagworte
Komplexe Koexistenz, Physik, Kernphysik, Grenzbereiche, Sprunghafte Übergänge
Arbeit zitieren
Richard Moritz (Autor:in), 2014, Spezielle Mathematik zur Komplexen Koexistenz, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/283580

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